Transcript Exponenciális egyenletek

Exponenciális egyenletek
Készítette:
Horváth Zoltán
1. feladat
2  16
x
2 2
x
4
• Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor
egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik.
x4
• Vegyük észre, hogy a 16-t felírhatjuk 2 hatványaként!
2
2. feladat
3  27
x
3 3
x
3
• Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor
egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik.
x3
• Vegyük észre, hogy a 27-t felírhatjuk 3 hatványaként!
3
3. feladat
3  27
3x
3 3
3x
3
• Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor
egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik.
3x  3
x 1
• Vegyük észre, hogy a 27-t felírhatjuk 3 hatványaként!
4
4. feladat
4 x 5
3
 729
4 x 5
3
3
6
• Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor
egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik.
4x  5  6
4 x  11
•
•
11
x felírhatjuk

Vegyük észre, hogy a 729-t
3 hatványaként!
4
Ezt onnan is megtudhatjuk, ha elvégezzük
a 729
prímtényezős felbontását!
5
5. feladat
3  27
x
3 3
x
3
• Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor
egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik.
ha x  0
x  3
x 3
ha x  0
x  3
• Vegyük észre, hogy a 27-t felírhatjuk 3 hatványaként!
6
5. feladat
3
3 x 4
3 x 4
9
2 x 2
 
2 2 x 2
3
 3
3 x 4
2 2 x 2 
a   a
3

3
• Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor
n k
n k
egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik.
4
ha x 
3
3x  4  22x  2
 3x  4  22 x  2
4
ha x 
3
3x  4  22 x  2
 Vegyük
3x  észre,
4  hogy
4 x a 9-t4felírhatjuk33xhatványaként!
 4  4x  4
Eközben 8
az egyenlet
bal oldalán alkalmazzuk a következő

7
x
8hatványok hatványára vonatkozó azonosságot:
0x
x
(ügyeljünk
közben arra, hogyaegytagú
algebrai
kifejezést
7
feltételne
k nem
felel meg
7
szorzunk több tagú algebrai kifejezéssel!!!)
6. feladat
1
4 
4
x
4 4
x
1
• Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor
egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik.
x  1
• Vegyük észre, hogy az 1/4-t felírhatjuk 4 hatványaként!
8
7. feladat
10  0,01
x
2
10  10
x
• Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor
egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik.
x  2
• Vegyük észre, hogy az 0,01-t felírhatjuk 10 hatványaként!
9
8. feladat
a 
n k
a
n k
4  32
x
2 x
2 
2
2x
2
2
5
5
• Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor
egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik.
2x  5
x  2,5
• Vegyük észre, hogy a 4-t és a 32-t felírhatjuk 2
hatványaként!
• Alkalmazzuk a hatványok hatványozására vonatkozó
azonosságot az egyenlet bal oldalára!
10
9. feladat
7 0
x
• Egy nem zérus alapú hatvány értéke soha sem lehet
zérus.
• Nincs megoldása az egyenletnek.
x R
11
10. feladat
5 3
x
x
• Különböző alapú hatványok értéke azonos kitevővel
akkor és csak akkor egyeznek meg, ha a kitevő
zérus.
x0
12
10. Feladat – másik módszer, mellyel azonos
alapú hatványokra hozzuk az egyenlet oldalait!
x
x
5 3
x
x
5

1
x
3x
 5  5
   
 3  3
an  a 
 
n
b
 b
n
 5
  1
 3
0
• Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor
ha a kitevőjük
isosszuk
megegyezik.
• Azegyenlők,
előbbi megoldást
félre téve
el az egyenletet az
egyenlet jobb oldalával!
• Alkalmazzuk az azonos kitevőjű hatványok hányadosára
vonatkozó azonosságot az egyenlet bal oldalára!
• Írjuk fel 1-t az 5/3 hatványaként!
x0
13
11. feladat- Oldja meg az alábbi egyenletet a (Q)
racionális számok halmazán!
2 3 x
4 x 1
 81
3
3
23 x
2 3 x
3
 
 3
4 4 x 1
4 4 x 1
3
a 
n k
 a n k
• Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor
egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik!
2  3x  44 x  1
 2  19 x
2
2  3x  16 x  4 x  
19
• Vegyük észre, hogy a 81 felírható 3 hatványaként!
x Q, ez az egyenletmegoldása
• Alkalmazzuk az egyenlet jobb oldalán a hatványok
hatványozására vonatkozó azonosságot!
• Rendezzük x-re az egyenletet!
14
12. Feladat
Oldja meg az egyenletet a (Q) racionális számok halmazán!
x 2 7 x 12
2
1
x 2 7 x 12
0
2
2
• Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor
egyenlők, ha a kitevőjük is egyenlő.
x  7 x  12  0
2
  7   7  4 1 12

2 1
2
x1; 2
7 1

2
x  4, 4 Q
x  3, 3 Q
• Írjuk fel 1-t 2 hatványaként!
• Ez egy másodfokú egyenlet, aminek megoldása:
15
• A feladat megoldása:x=3 és x=4 .
13. Feladat
Oldja meg az egyenletet a (Q) racionális számok halmazán!
x 2 8 x 12
5
1
x 2 8 x 12
0
5
5
• Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor
egyenlők, ha a kitevőjük is egyenlő.
x  8x  12  0
2
  8  8  4 1 12

2 1
2
x1; 2
84

2
x  6, 6 Q
x  2, 2 Q
• Írjuk fel 1-t 5 hatványaként!
• Ez egy másodfokú egyenlet, aminek megoldása:
16
• A feladat megoldása:x=6 és x=2 .
14. Feladat
Oldjuk meg az egyenletet a racionális számok halmazán!
x
2 x
1 3
9
8
 
  3    3 
  
      
27
 4
  2    2 
x

 

2
3
3 
2
 2   3
3 an
2 
x
 a

 
n
b
 b
n
a 
n k
 3
 
 2
2x
 3
 
 2
3
 a n k
3
  3 
 2
3
3
   •  Hozzuk
   hatványalakra
az
egyenlet
jobb
2
x


3
x  és baloldalán
,
 Q
  2 
3
 

 található
2
2
törteket!
• Alkalmazzuk a hatványok hatványozására vonatkozó
• azonosságot!
Alkalmazzuk az azonos kitevőjű hatványok
hányadosára vonatkozó azonosságot!
• Ha a hatványok alapjai megegyezik, akkor az
• egyenlőség
Vegyük észre,
hogy
egyenlet jobb
a
csak
úgyaz
teljesülhet,
ha a oldala
kitevőkfelírható
is
3/2 hatványaként, mert 2/3 reciproka a 3/2!
megegyeznek.
2
17
15. feladat
Oldjuk meg az egyenletet a racionális számok halmazán!
3 x 3
x
100  2  10
5
x
3
3x
x
100  2  10 10  5
1
x
3
3x
100  2  10 10  x
5
x
x
3
3x
100 2 5  10 10
x
a
n m
a
/ 5
x
 a a
n
x
m
1
 x
a
1
2x
100 10  10 10
10  10
3x
1  2x
100 10
2x
 x
0,1  10
x  0,5;  0,5 Q
1000 10
x
3
3x
18
16. Feladat
Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán!
x 3
•
•
•
•
•
•
2  2  112 n m
n
m
a
 a a
x
3
x
2  2  2  112
x
x
 2 bal2oldalára
 112
Az 8
egyenlet
alkalmazzuk a következő
x
7  2  112
2  16
x
azonosságot:
Hozzuk az egyenletet egyszerűbb alakra, azaz 23=8.
x
Végezzük el a kivonást az egyenlet bal oldalán!
Osszuk el az egyenlet
mindkét
oldalát 7-tel!
x
4
Írjuk fel a 16-t 2 hatványaként: 16=24.
Az azonos alapú hatványok akkor egyenlők, ha kitevőjük
is megegyezik!
2 2
x4
19
17. Feladat
 2  34
a
 a a
nm
n
m
x
2
x
2
2  2  2 : 2  34 a  a : a
x
2
x
4 2 
 34
Az egyenlet bal oldalára alkalmazzuk
a következő
4
17 x
azonosságot:
x
x
3
 2  34
 8 bal oldalát!
2 2
Hozzuk
4 egyszerűbb alakra az2egyenlet
2
•
•
•
•
•
•
Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán!
x2
x 2
n m
n
m
Vonjuk össze a 2x-es tagokat!
Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 17/4-gyel!
Írjuk fel a 8-t 2 hatványaként: 8=23 !
Az azonos alapú hatványok akkor egyenlők, ha kitevőjük
is megegyezik!
x3
20
18. Feladat
Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán!
x 1
x
x 1
25  5
 4 5  5
 646
 646
25  5  5  4  5
n m
n
m
nm
n
m
a
 ax  a
 a :a
x
x a
625 5  20  5  5  3230
Az egyenlet balxoldalára alkalmazzuk a következő azonosságot:
646

5

3230
Szorozzuk be az egyenlet minden tagját 5-tel!
x az 5 -t tartalmazó tagokat!
x
1
Vonjuk 5
össze
5
5 5
x 1
x
x
x
5

5
•
•
x
•
• Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 646-tal!
• Írjuk fel az 5-t 5 hatványaként! 51=5
• Az azonos alapú hatványok akkor egyenlők, ha kitevőjük is megegyezik!
21
19. Feladat
Oldjuk meg az egész számok
halmazán a következő egyenleteket!
x 2
2 x
2 5
x 2
 x 2 
2 5
•
•
a 
n k
n k

a
x 2
 x 2  1
2Az egyenlet
 5jobb és bal oldalán
1
 n különbözőek
a hatványok
a  n
alapjai, viszont a kitevőjük csak annyiban
különböznek, hogy
a
1
x2
egymásnak
2  -1-szerese.
 2egyenlet

Ekkor átírható xaz
jobb oldala a hatványok


5
hatványozására vonatkozó azonosság szerint:
• Ha felhasználjuk a negatív kitevőjű hatványokra vonatkozó
összefüggést, miszerint:
22
19. Feladat (2)
Oldjuk meg az egész számok
halmazán a következő egyenleteket!
2
x2

5
 x 2 
10
10
1
 x2
 x 2 
2
1
 10
 x 2 
1


5
n x  2 -vel!
n mindkét
n
• Szorozzuk meg az egyenlet
oldalát
a b  a b 5
 x  2  fel az0azonos kitevőjű, de különböző alapú
• Használjuk
hatványokra vonatkozó összefüggést!
• Írjuk fel az 1-t 10 hatványaként!
• Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők,
ha a kitevőjük is megegyezik!
• amiből következik, hogy:
x20
• Mivel x  2;
a feladatnak.
x Z
x2
ezért ez a megoldása
23
20. Feladat
Oldjuk meg az egész számok
halmazán a következő egyenleteket!
5 x
x 5
8 7
5 x
 5 x 
8 7
a 
n k
n k

a
5 x
5 x  1
8

7
1
 n különbözőek
• Az egyenlet jobb és bal oldalán
a hatványok
a  n
alapjai, viszont a kitevőjük csak annyiban
különböznek, hogy
a
1
5  x 
egymásnak
8
 -1-szerese.
 xegyenlet

• Ekkor átírható5az
jobb oldala a hatványok


7
hatványozására vonatkozó azonosság szerint:
• Ha felhasználjuk a negatív kitevőjű hatványokra vonatkozó
összefüggést, miszerint:
24
20. Feladat (2)
Oldjuk meg az egész számok
halmazán a következő egyenleteket!
8
5  x 

1
7
5x 
56
56
5  x 
5  x 
8
1
 56
 5 x 
1


7
n 5 x -vel!
n mindkét
n
• Szorozzuk meg az egyenlet
oldalát
a b  a b 7
5x  fel az0azonos kitevőjű, de különböző alapú
• Használjuk
hatványokra vonatkozó összefüggést!
• Írjuk fel az 1-t 56 hatványaként!
• Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők,
ha a kitevőjük is megegyezik!
• amiből következik, hogy:
5 x  0
• Mivel x  5;
a feladatnak.
x Z
x5
ezért ez a megoldása
25
Mely valós x számok elégítik ki a következő
egyenletet: (központi érettségi 1994 „A”/1.) 9 pont
 1
 
 2
 1
 
 2
 1
 
 2
2 x 3
2 x 1
2 x 3
2 x 1
 1
 
 4
x 9
2 x2
 1 2
   
 2 


2 x 3
2 x 1
 1
 
 2
x 9
2 x2
2 x 9 
2 x2
Feltételek:
a 
n k
2x  2  0
2x 1  0
x  1
x  0,5
Azaz:
x R /  1; 0,5
 a n k
Az azonos alapú hatványok akkor és csak
akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik!
2 x  3 2 x  9 

2x 1 2x  2
2x  22x  3  2x  92x  1
26
2x  22x  3  2x  92x  1
Zárójelbontás
4 x  10x  6  4 x  14x  18
2
2
10 x  6  14 x  18
24  4 x
x6
| - 4x2
| -10x; +18
| :4
Az x = 6, és ez a megoldása az egyenletnek,
ami a feltételnek is eleget tesz
27
Exponenciális egyenlőtlenségek
Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!
2 8
x
2 2
x
A
2
x
Írjuk fel a 8-at 2 hatványaként!
3
Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt:
A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával Nem változik.
x3
28
Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!
4  256
x
4 4
x
A
2
x
Írjuk fel a 256-t 4 hatványaként!
4
Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt:
A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával Nem változik.
x4
29
Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!
x
 1  1 
   
 2   16
x
 1  1
   
 2  2
 1
Az  2 
 
1
Írjuk fel az 16 -t
1
hatványaként!
2
4
x
Exponenciális függvény szigorú monoton csökkenése miatt:
A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával megváltozik.
x4
30
Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!
x
 3   64
   
 4   27
x
 3  3
   
 4  4
A
 3
 
 4
Írjuk fel a
64
-t
27
3
hatványaként!
4
3
x
Exponenciális függvény szigorú monoton csökkenése miatt:
A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával megváltozik.
x  3
31
Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!
2
x 2
 32
x2
2
2
A
2
x
Írjuk fel a 32-t 2 hatványaként!
5
Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt:
A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával Nem változik.
x25
x7
32
Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!
2
x 2
 32
x 2
2
2
A
2
x
Írjuk fel a 32-t 2 hatványaként!
5
Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt:
A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával Nem változik.
ha x  2
  x  2  5
x2 5
x25
x  3
x5
ha x  2
x25
x7
Azaz : x  3 vagy x  7
33
Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!
2
3 x 12
 64
3 x 12
2
2x
A
2
Írjuk fel a 64-t 2 hatványaként!
6
Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt:
A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával Nem változik.
3x 12  6
ha x  4
 3x  12  6
 3 x  12  6
 3x  6 x  2
ha x  4
3 x  12  6
3x  18
x6
Azaz : x  2 vagy x  6
34
Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!
2
3 x 12
 64
3 x 12
2
2x
A
2
Írjuk fel a 64-t 2 hatványaként!
6
Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt:
A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával Nem változik.
3x 12  6
ha x  4
 3x  12  6
 3 x  12  6
 3x  6 x  2
ha x  4
3 x  12  6
3x  18
x6
Azaz : 2  x  6
35