Transcript Halmazok

MATEMATIKA
Halmazok, műveletek
halmazokkal
Halmazok, műveletek halmazokkal
1
Halmazelmélet
Halmaz: alapfogalomnak tekintjük, más fogalmakkal nem definiáljuk!
Valamilyen meghatározott tulajdonságok alapján szelektáljuk az elemeket
Halmaz elemei: az adott halmazba tartozó elemek összessége
Jelölések:
halmaz -> (A,B,C)
halmaza eleme -> (a,b,c)
nem eleme a halmaznak
I
a A
a A
A
B
C
Ábrázolása: Venn-diagramm segítségével
Halmaz megadása:
elemek felsorolásával: {1;2;3}
A
:
k|k
1
0


halmaz elemeire jellemző tulajdonság definiálásával:
Halmaz ekvivalencia: ha a halmazok elemei megegyeznek (pl.: A={1;1;2} és B={1;2})
Jelölése: A~B
Üres halmaz: az a halmaz, melynek egyetlen eleme sincs
vagy {}
Jelölése:
Halmazok, műveletek halmazokkal
2
Halmazelmélet
Véges halmaz: egy halmaz véges, ha véges sok eleme van. Véges halmaz számossága
egyenlő az elemek számával.
Halmazok számosságának jelölése: |A|
Részhalmaz: Egy adott A halmaz a B halmaz részhalmaza, ha az A minden eleme a B
halmaznak is eleme.
Jelölés:
A B
Valódi részhalmaz: Egy adott A halmaz a B halmaz valódi részhalmaza, ha A
részhalmaza B és B-nek van olyan eleme, mely nem eleme A-nak.
Jelölés:
A B
Hatványhalmaz: adott halmaz összes részhalmazának halmaza
A
:

1
;
2

P
()
A
:

,1
,2
,1
;
2








Halmazok, műveletek halmazokkal
3
Műveletek halmazokkal
Az alábbi definíciók adott A és B nem üres halmazok esetére értendőek!
A) Egyesítés (unió): azon elemek halmaza, melyek elemei vagy A-nak vagy B-nek.

B

x
|xA

v
a
g
y
x

B
Jelölés: A


B) Metszet (közös rész): azon elemek halmaza, melyek mind A-nek mind B-nek elemei.
Jelölés:
A

Bx


é
s
|xAxB

C) Különbség: azon elemek halmaza, mely A-nak azon elemeiből áll, melyek nem
elemei B-nek.
Jelölés:
A
\Bx


d
e
|xAxB

A)
B)
Halmazok, műveletek halmazokkal
C)
4
Számhalmazok – Természetes
Számok
Természetes számok halmazának jelölése: N (nem negatív egész számok)
Halmaza: a valós számok olyan részhalmaza, melyre:
a) 0N,1N
N

k
1N
b) k
c ) ha N  Nés kielégíti a) és b) feltételeket, akkor
számok halmaza

, ahol N* pozitív egész
N  N
Vagyis: ha egy természetes számokból álló halmaz tartalmazza a 0-t és 1-t, valamint
minden k számhoz a rákövetkező számot, akkor tartalmazza az összes természetes
számot.
Összeadás: tag1+tag2=összeg
a) kommutatív (felcserélhetőség) -> a+b+c=a+c+b=összeg
b) asszociatív (csoportosíthatóság) -> (a+b)+c=a+(b+c)=összeg
Kivonás: kisebbítendő-kivonandó=különbség
Az N számok halmazán a kivonás csakkor végezhető el, ha a
kisebbítendő≥kivonandó
Halmazok, műveletek halmazokkal
5
Számhalmazok – Egész Számok
Egész számok halmazának jelölése: Z
Ahol, az egész számok halmaza a valós számok halmazának részhalmaza, melyre:
Zx
:


R
|
m
,
n
N
:
xm

n


Vagyis: az egész számok halmaza a természetes számok halmazának bővítése, ahol a
kivonás mindig értelmezhető és elvégezhető.
Szorzás: tényező1*tényező2*tényező3 = szorzat (azonos előjelek száma
meghatározza a szorzat előjelét)
a) kommutatív
 b) asszociatív
 c) Disztributív (széttagolható) -> a(b+c)=ab+ac=szorzat
Osztás: osztandó:osztó=hányados -> abszolút értékük hányadosát egyenlő előjelű
osztandó és osztó esetén +, különböző előjel esetén – előjellel látjuk el.
Egész számok halmazán az osztás nem mindig végezhető el! (10+3=3 és maradt az 1)
Nullával való osztást nem értelmezzük!
Halmazok, műveletek halmazokkal
6
Számhalmazok – Racionális Számok
Racionális számok halmazának jelölése: Q
Ahol, a racionális számok halmaza a valós számok halmazának részhalmaza, melyre:
m


Q
:

x

R
|

m
,
n

Z
(
n

0
)
:
x



n


Vagyis: a racionális számok halmaza az egész és természetes számok halmazának olyan
bővítése, mely esetén az osztás mint matematikai művelet minden elem esetén
elvégezhető.
Hatványozás: egyenlő számok, betűkifejezések szorzatának rövidített alakja.
(an=a*a*a…*a)
a: hatvány alap
n: hatvány kitevő
0n=0 (n>0) és 1n=1
pozitív szám hatványa mindig pozitív
negatív szám hatványa (ha páros a kitevő -> pozitív, ha páratlan a kitevő ->
negatív)
Halmazok, műveletek halmazokkal
7
Számhalmazok – Racionális Számok
Hatványozás alapszabályai
2 x3  4 x3  7 x3  13x3
10 x3  5 x3  5 x3
a x 4  b (  x ) 4  ( a  b )( x ) 4
a m  a n  a m  n , ( a  R \  0 ; m , n  Z )
a m  b m  a b m , ( a  R \  0 ; m  Z )
( a  b ) m  a m b m , ( a , b  R \  0 ; m  Z )
am
 a m  n , ( a  R \  0  ; m , n  Z és m  n )
n
a
m
am  a 
   , ( a , b  R \  0 ; m  Z )
bm  b 
( a m ) n  a m n , ( a  R \  0 ; m , n  Z )
a n 
1
, ( a  R \  0 ; n  Z )
an
Halmazok, műveletek halmazokkal
8
Számhalmazok – Racionális Számok
Gyökvonás: azon művelet, mely során az adott hatványhoz és hatványkitevőhöz
keressük a hatványalapot.
52  25
Az n a olyan nem negatív szám, melynek n-edik hatványa a és ahol n a gyökkitevő; a
gyök alatti mennyiség.
Gyökvonás alapszabályai
5
3
5
3
(
n
n
n
2  5
3
2  10
2  2
3
2  3
a )
a
m

a
m
 a
kn
a
n
n
ab 
n
a
n
a
b
n
a )
m
n

a
2
2
n

, k  N \
km
m /n

n
Negatív számok gyökvonása
nem értelmezett a racionális
számok halmazán!
 a
n
m
(
3
3
a
m
n
b
 0 , 1
Negatív számok gyökvonása
a komplex számok halmazán
értelmezett!
a
, (b  0 )
b
nm
a
Halmazok, műveletek halmazokkal
9
Számhalmazok – Valós Számok
Irracionális számok: a végtelen, nem szakaszos tizedes törteket irracionális számoknak
nevezzük. Vagyis, ezen számok halmazának elemei nem írhatók fel két egész szám
hányadosaként.
Jelölése: Q*
Valós számok halmaza: a racionális és irracionális számok halmazának unióját valós
számoknak nevezzük.
Jelölése: R
N={Természetes számok halmaza.}
Z={Egész számok halmaza.}
Q={Racionális számok halmaza. }
Q*={Irracionális számok halmaza.}
T={Transzcendens számok halmaza.}
R={Valós számok halmaza.}
Halmazok, műveletek halmazokkal
10
Summary – Mit „illik” tudni?
Kivonás nem mindig végezhető el az egész számok halmazában.
Az osztás nem mindig végezhető el az egész számok halmazában.
A valós számok halmazában sem végezhető el mindig a gyökvonás, pl negatív
számoknak a négyzetgyöke nem tartozik a valós számok halmazába.
A valós számok halmazán mindig értelmezett műveletek, az összeadás, szorzás, osztás
mint matematikai műveletek tulajdonságainak pontos ismerte és alkalmazása.
Halmazok, műveletek halmazokkal
11