Компланарные векторы
Download
Report
Transcript Компланарные векторы
Работу выполнили: Зыков Михаил
И Гинкель Андрей 11а класс
Определение.
Векторы называются компланарными, если при откладывании
от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
B1
C1
A1
D1
B
A
C
D
Иначе:
векторы называются компланарными, если имеются равные
им векторы, лежащие в одной плоскости.
Любые два вектора компланарны.
Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных,
также компланарны.
B1
D
C
Векторы
компланарные
B
E
A
O
Три произвольных вектора могут быть как
компланарными, так и некомпланарными.
Признак компланарности трех векторов:
Если вектор с можно представить в виде с х а у b ,
где х и у некоторые числа, то векторы a , b и с компланарны.
Признак компланарности трех векторов:
Доказательство :
а
Пусть a и b неколлинеа рны.
Отложим от некоторой точки пространст ва О
b
векторы ОА a и ОВ b .
Векторы ОА и ОВ лежат в плоскости ОАВ.
В1
В
Построим векторы х а и у b .
Для определенности будем считать
b
•
О
С
ОС х а у b
а
А
что х 0, y 0. ОА1 х а и ОВ1 y b .
А1
Векторы ОА1 и ОВ1 также лежат в плоскости ОАВ.
Их сумма вектор ОС х ОА у ОВ , равный вектору с , лежит
в плоскости ОАВ.
Итак, векторы ОА а , ОВ b , ОС c лежат в одной плоскости,
т . е . векторы а , b , и c компланарны .
Разложение вектора по трем
некомпланарным векторам
Теорема:
Любой вектор можно разложить по трем данным
некомпланарным векторам, причем
коэффициенты разложения определяются
единственным образом.
Разложить вектор p по векторам a и b , это значит ,
представит ь его в виде р х а у b .
Доказатель ство .
Пусть a и b неколлинеарны .
Р
Отложим от некоторой точки пространст ва О
p
В
b
Р1
а
Так как векторы компланарны,
то они лежат в одной плоскости.
векторы р , a и b .
Проведем через точку Р прямую , параллельн ую
О
А
ВО .
Тогда ОР ОР1 Р1 Р , но ОР1 х а , т.к. ОР1 а , Р1Р у b , т.к. Р1P b ,
следовател ьно , ОР х а у b ,
т .е , р х а у b , ч .т .д .
Мы умеем на плоскости складывать векторы по правилу
треугольника и параллелограмма. А как складывать
векторы в пространстве?
Для сложения трех некомпланарных векторов пользуются правилом
параллелепипеда. В чем оно заключается?
B1
D
c
b
О
В
Е
а
А
а b c OA OB OC OE OC OD
A1
С