Transcript Компланарные векторы

Работу выполнили: Зыков Михаил
И Гинкель Андрей 11а класс
Определение.
Векторы называются компланарными, если при откладывании
от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
B1
C1
A1
D1
B
A
C
D
Иначе:
векторы называются компланарными, если имеются равные
им векторы, лежащие в одной плоскости.
Любые два вектора компланарны.
Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных,
также компланарны.
B1
D
C
Векторы
компланарные
B
E
A
O
Три произвольных вектора могут быть как
компланарными, так и некомпланарными.
Признак компланарности трех векторов:



 


Если вектор с можно представить в виде с  х а  у b ,
где х и у  некоторые числа, то векторы a , b и с компланарны.
Признак компланарности трех векторов:
Доказательство :

а


Пусть a и b неколлинеа рны.

Отложим от некоторой точки пространст ва О
b




векторы ОА  a и ОВ  b .


Векторы ОА и ОВ лежат в плоскости ОАВ.

В1

В
Построим векторы х а и у b .
Для определенности будем считать

b
•
О
С




ОС  х а  у b

а
А


что х  0, y  0. ОА1  х а и ОВ1  y b .
А1


Векторы ОА1 и ОВ1 также лежат в плоскости ОАВ.




Их сумма  вектор ОС  х  ОА у  ОВ , равный вектору с , лежит
в плоскости ОАВ.







Итак, векторы ОА  а , ОВ  b , ОС  c лежат в одной плоскости,
 

т . е . векторы а , b , и c  компланарны .
Разложение вектора по трем
некомпланарным векторам
Теорема:
Любой вектор можно разложить по трем данным
некомпланарным векторам, причем
коэффициенты разложения определяются
единственным образом.



Разложить вектор p по векторам a и b , это значит ,



представит ь его в виде р  х а  у b .
Доказатель ство .

Пусть a и b неколлинеарны .
Р

Отложим от некоторой точки пространст ва О
p
 
В
b
Р1


а

Так как векторы компланарны,
то они лежат в одной плоскости.
векторы р , a и b .
Проведем через точку Р прямую , параллельн ую

О

А

ВО .









Тогда ОР  ОР1  Р1 Р , но ОР1  х а , т.к. ОР1  а , Р1Р  у b , т.к. Р1P  b ,



следовател ьно , ОР  х а  у b ,



т .е , р  х а  у b , ч .т .д .
Мы умеем на плоскости складывать векторы по правилу
треугольника и параллелограмма. А как складывать
векторы в пространстве?
Для сложения трех некомпланарных векторов пользуются правилом
параллелепипеда. В чем оно заключается?
B1
D


c

b
О
В
Е

а
А







а  b  c  OA OB OC  OE  OC  OD
A1
С
