Transcript 04 Estructuras Algebraicas

Estructuras
Algebraicas
Trabajo Práctico Nº 4
Estructuras Algebraicas
1. Determinar en cada caso si el par ( G, * ) es grupo
a) G1 = { x / x = 2k, k  Z } ;
* es el producto ordinario.
b) G2 = { x / x = 3 k , k  N } ;
* es la adición
c) G3 = { 1; -1 } ;
* es el producto ordinario
2. Sea A = { x  R / x = a + b 2 ; a  Z  b  Z }. Comprobar que A es un anillo
conmutativo y con unidad con la suma y el producto ordinario de números reales.
3. Sea K = { 0, 1 } y la suma y el producto definidos en K, según las siguientes tablas :
*
0
1

0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
Probar que estas
operaciones definen sobre
K una estructura de cuerpo.
4)
Completar los siguientes enunciados para que resulten
proposiciones verdaderas :
En R2 = C se define la relación de equivalencia : (a, b)  (c, d) 
En R2 = C se define la adición y la multiplicación mediante
(a, b) + (c, d) = . . . . . . . .
(a, b) * (c, d) = . . . . . . . .
ii) (C, +) tiene estructura de . . . . . . . (C, *) tiene estructura de . . . . . . .
(C, +, *) tiene estructura de . . . . .
iii) Un complejo es real  . . . . . . . .un complejo es imaginario  . . . .
iv) En C es :
i0 =
i1 =
i2 =
v) Si z = (a, b)  z = . . .; - z = . . . . ; z
-1 =
i3 =
i4q+r=
. . . . z1  z2 = . . . . . z1  z 2 = . . .
5) Resolver las ecuaciones siguientes indicando a qué campo numérico
pertenecen las soluciones :
a) x2 – 1 = 0
b) x2 – 3 = 0
c) x2 + 1 = 0
3
z3  2  4i
z4  (  2, 2)
 2i
2
c) Expresar z2 y z3 en forma de pares
ordenados
6) Dados los números complejos : z1  ( 5,3)
a) Representarlos gráficamente
b) Expresar z1 y z4 en forma binómica
d) x2 + 3x + 3=0
z2 
d) Hallar y representar gráficamente z4
e) Calcular y representar gráficamente i) z1  z2 ii) z2  2(z2  z1 )
z3
z  z1
ii)
f) Calcular : i) z1  z2
iii) 3
1
z4 
z2
iii) z3  z2  z3  z1
9) Determinar z tal que :
a) 3 z +z = 3 + 5 i
c) z + iz = 3 + 5 i
b) i z - 2z = - 6 i
10) Resolver las siguientes ecuaciones en el campo complejo. En todos
los casos z es un número complejo ; despejarlo y calcular su valor :
z
2z  3i
z
i) (5  2i)  z  3  7i
iii)

 6  3i
ii)
 (3,5)
z
2 i
(3,4)
11) Determinar x para que el producto (3 - 6 i)  (4 + x i) sea :
a) un número real
b) un número imaginario puro
12)
Si B = { 1, 2, 3, 6 }
con las operaciones * y 
donde * denota mínimo común múltiplo
y
 denota máximo común divisor ;
Analizar si (B, *,  ) resulta un modelo de Algebra de Boole, donde los
neutros son respectivamente 1 y 6.
13) Probar que en un Algebra de Boole las siguientes condiciones son
equivalentes :
i) a  b´ = 0
ii) a * b = b
iii) a´ * b = 1
iv) a  b = a
14) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Proposiciones
15) Probar que  a, b  B : a) (a * b)  (a * b´) = a
b) (a  b) * (a  b´) = a
16) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Conjuntos
Estructuras Algebraicas
Frecuentemente la primera dificultad que encuentra el alumno en el
estudio de las Estructuras Algebraicas es asimilar la existencia de
operadores como * que expresan operaciones que no tienen porqué ser las
clásicas conocidas de adición, diferencia, producto, cociente, etc.
Sino que pueden expresar otras formas de
composición (operaciones definidas por una ley
de variación que puede o no expresarse en
fórmulas)
Según la tabla 2, el operador * genera los
siguientes resultados:
0*0=0
0*1=1
1*0=1
1*1=0
*
a
b
*
0
1
a
a
b
0
0
1
b
b
a
1
1
0
Tabla 1
Si
Tabla 2
G = { 0, 1 }
Notemos que todos los resultados de operar
algún elemento de G con otro elemento del
mismo conjunto (incluso consigo mismo) . . .
Son elementos del mismo conjunto G ( 0 ó 1 ) entonces
* Es una Ley de Composición interna en G
* se lee “asterisco”
Si una operación * respecto de los elementos de un conjunto G
que se escribe: (G, *), verifica que:
1) G2  G
* es una Ley de composición interna en G
Definida una operación * si el resultado de operar dos elementos
cualesquiera de G con * es otro elemento de G, hay L.C.I.
1a
1b
2) a, b, c : a, b, c  G  (a * b) * c = a * (b * c)
Asociativa
Definida una operación * si con tres elementos cualesquiera de G la operación *
responde a la propiedad asociativa
(G, *) tiene estructura de semi-grupo
3) e  G / a : a  G  a * e = e * a = a
1c
si además
Existe Elemento Neutro
Definida una operación * si en el conjunto G existe al menos un elemento “e”, que al
operarlo con cualquier otro elemento “a” de G, resulta el mismo elemento “a”
4) a : a  G, a´  G / a * a´ = a´ * a = e
Existe Elemento Inverso
Definida una operación * si para cada elemento de G existe al menos un elemento a´
que al operar con a dá como resultado el neutro e
(G, *) tiene estructura de grupo
Si además de cumplirse las cuatro condiciones anteriores
- lo que hace a (G,*) Grupo 5) a, b : a, b  G  a * b = b * a
Conmutativa
(G, *) tiene estructura de grupo abeliano ó grupo conmutativo
Sea una estructura algebraica definida en un
conjunto G con dos leyes de composición * y 
(G, *  ) es Anillo
1) (G, *) es Grupo abeliano
2) (G, ) es semi Grupo
3)  es distributivo a izquierda y derecha respecto de *
a, b, c  G :
a  (b * c) = (a  b) * (a  c)
(b * c)  a = (b  a) * (c  a)
Si la segunda ley de composición es conmutativa,
(G, *  ) es Anillo Conmutativo
si . . .
Si (G *  ) es Anillo
Y además posee elemento neutro respecto de 
(G *  ) es Anillo con Unidad
Un Anillo con unidad cuyos elementos no nulos son inversibles se llama Anillo con división
Si un Anillo con división es conmutativo, se llama Cuerpo
1) (G, *) es Grupo abeliano
2) (G , ) es Grupo abeliano, salvo que el 0 no es inversible
3)  es distributivo respecto de *
Ejemplo: (Z, * ) donde * es la adición (suma) y  es el producto ordinario
No es cuerpo, pues los únicos elementos no nulos que
admiten inverso multiplicativo son 1 y - 1
(R, * ) donde * es la adición (suma) y  es el producto ordinario
Es Cuerpo
1) a) Si G1 = { x / x = 2k, k  Z } ;
* es el producto ordinario
2k
·
2t
=
2(k + t)
Asociatividad
Sean k, t  Z
Luego 2(k + t)  G1
Si k, t  Z  (k + t)  Z
Entonces * es L.C.I. En G1
2k · (2t · 2s) = 2k · 2(t + s) = 2k + ( t + s) = 2( k + t ) + s = 2( k + t ) · 2s = (2 k · 2 t ) · 2s
Existencia de Elemento Neutro
2 k · e = 2 k · 2 t = 2(k+t) = 2 k
Para cada 2k debe existir 2t = e con t  Z
Conmutativa
2k  2t = 2
2k · x = 20 = 1
Entonces
(k + t)
entonces
t=0
0Z
Entonces 2t = 2 0 es un elemento del conjunto G1
Existencia de Elemento Inverso
Si e = 20 (ya demostrado)
k+t=k

2k  2t = 20  k + t = 0
t = -k lo que es claro que t  Z y 2t  G1
= 2 ( t + k) = 2 t  2 k
valiéndonos de la
conmutatividad de la suma en Z
(G, * ) es Grupo Abeliano
1 b
1 c
1) b)
Si
G2 = { x / x = 3 k , k  N } ;
* es la adición (+)
G2 es un conjunto conformado por todos los naturales múltiplos de 3 ;
. . . entre otros :
si k = 1 , x = 3 ; si k = 2 , x = 6 ; k = 3 , x = 9 . . . .
3k + 3t = 3 (k + t)
Para k, t  N
Asociatividad
Pero (k + t)  N
Debe verificarse que 3 k + ( 3 t + 3 s ) = ( 3 k + 3 t) + 3 s
3 k + ( 3 t + 3 s ) = 3 k + 3 (t + s) = 3 [k + (t + s)] =
3 [(k + t) + s)] = 3 (k + t) + 3 s = (3 k + 3 t) + 3 s
Existencia de Elemento Neutro en G para *
3k+3t=3k
Entonces
LCI ok
si
3t=e
3 k + 3 t = 3 (k + t) = 3 k
Pero 0  N
Se acepta la asociatividad de la
adición para los números naturales
Si existe e (neutro) en G, tendrá la
forma e = 2t donde t  N
Luego ( k+ t ) = k

entonces . . .
NO Existe Elemento Neutro en G para *
( G2, * ) No es Grupo
1 c
t=0
1) c)
Si G3 = { 1; -1 } ;
* es el producto ordinario
Por tratarse de un conjunto finito y con pocos elementos, algunas
condiciones pueden ser analizadas para cada situación . . .
1 · 1 = 1  G3
-1 · 1 = -1  G3
-1 · -1 = 1  G3
1 · -1 = -1  G3
Se verifica que * es L.C.I. en G3
Podemos admitir que la Asociatividad “se hereda” de la asociatividad del
producto entre elementos del conjunto de los números enteros
Sabemos que para el producto existe neutro en Z,
pero debemos verificar que ese neutro  G3
Analizamos si cada elemento de G3
admite inverso en G3
-1 · e = -1

e=1
1·e= 1

e=1
1·x=e=1

x=1
-1 · x = e = 1

x = -1
1  G3
Existe neutro
Los elementos
de G3 admiten
inverso
Podemos admitir que la Conmutatividad “se hereda” de la conmutatividad
del producto entre elementos del conjunto de los números enteros
( G3, * ) es Grupo Abeliano
2) Sea A = { x  R / x  a  b 2 ; a  Z  b  Z }. Comprobar que
A es un anillo conmutativo y con unidad con la suma y el producto
ordinario de números reales.
 a b 2
Supongamos dos elementos cualquiera que
pertenecen al conjunto A; ellos son :
 c d 2
* es L.C.I.
en A
Analizamos (A, *); en este caso * es la suma, analizamos entonces (A, +)
a c Z
con
    ( a  b 2 )  ( c  d 2)  ( a  c )  ( b  d ) 2
b d Z
La Asociatividad se “hereda” de la asociatividad de la suma para los números reales,
porque es evidente que si a, b, c y d son números enteros;  R    R
Supongamos que existe nulo y es 
 c d 2
    ( a  b 2 )  ( c  d 2)  ( a  b 2 )
c  Z  d  Z    A
entonces  +  =    es nulo
esto es posible para c = 0
y d=0
Lo que prueba la existencia de
neutro en A para la suma
Si existe elemento inverso para cada elemento de A
+=0
 es inverso de 
( a  b 2 )  ( c  d 2 )  ( 0,0 2 )
( a  c )  ( b 2  d 2 )  ( 0,0 2 )
( a  c )  ( b  d ) 2  ( 0,0 2 ) Debe ser a + c = 0
c=-aZ
b+d=0
d=-bZ
  ( c  d 2 )  ( a  b 2 )  A
Prueba la existencia de inverso
La Conmutatividad se “hereda” de la conmutatividad de la suma para los números
reales, porque es evidente que si a, b, c y d son números enteros;   R    R
Analizamos ahora ( A,  ) donde
 es el producto ordinario
(A, *) es Grupo Abeliano
    ( a  b 2 )  ( c  d 2 )  aplicando distributiva  ac  ad 2  bc 2  bd ( 2 ) 2 
 ( ac  2bd )  ( ad  bc ) 2
ac + 2bd  Z
 A

 es LCI en A
porque . . .
ad + bc  Z
La Asociatividad se “hereda” de la asociatividad del producto para
los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d son números
enteros;  R    R (de la misma manera se verifica también la
conmutativa
(A, ) es Semi Grupo

es doblemente distributivo respecto de
, ,   A :
*
  (  *  ) = (  ) * (  )
(  *  )   = (  ) * (  )
, ,  son números reales y sabemos que en el conjunto de los
números reales el producto es distributivo respecto de la suma
( A, *,  )
Es Anillo Conmutativo
3) Sea K = { 0, 1 } y la suma y el producto definidos en K, según las
siguientes tablas :
Probar que estas
operaciones definen sobre
K una estructura de cuerpo.
*
0
1

0
1
sabiendo que * y  son asociativas
0
0
1
0
0
0
y  es doblemente distributiva respecto de *
1
1
0
1
0
1
Analizamos ( K, * )
De observar la tabla del operador * resulta que todos los resultados posibles son
elementos del conjunto K
* Es L.C.I. en K
0*0=0
0*1=1
1*0=1
1*1=0
Asociativa ; verificamos . . .
por ejemplo
El 0 es neutro;
0*0=0
(0*1)*0=1*0=1
0*0=0
y
El inverso para 0 es 0
0*(1*0)=0*1=1
0*1=1
1*1=0
El inverso para 1 es 1
De analizar la tabla, comprobará también que * es conmutativo
( K, * )
Es Grupo Abeliano
Analizamos ( K – {0},  )
De observar la tabla del operador  resulta
que todos los resultados posibles son
elementos del conjunto K
00=0
01=0
Asociativa ; verificamos . . .
por ejemplo
0
1
0
0
0
1
0
1
10=0
11=1
(01)0=00=0
Existe neutro en K para  pues
El inverso para 1 es 1

1 0=0
y
L.C.I. de  en K
0(10)=00=0
11=1
el neutro es el 1
11=1
De analizar la tabla, comprobará también que  es conmutativo
( K,  )
Es Grupo Abeliano, salvo que el 0 no es inversible
y sabemos que  es doblemente distributivo respecto de *
por ejemplo . . .
(0*1)0=10=0
(00)*(10)=0*0=0
0(0*1)=00=0
(00)*(01)=0*0=0
( K, *,  )
Es Cuerpo
5
Números Complejos
7 a-d
7 b-c-e i/ii
Sabemos que la solución de la raíz cuadrada de un número
real negativo no tiene solución en reales
1 i
donde i es un número que llamamos imaginario
Recuerde siempre que si
1 i

i  1
2
Con un binomio formado por una parte real y una parte
imaginaria, formamos un número complejo
Lo representamos gráficamente en un par de ejes cartesianos
Llevando en el eje de las abscisas la parte real
Y en el eje de las ordenadas la parte imaginaria
El punto de intersección de la parte
real con la imaginaria es un punto en el
“plano de los complejos”
Por otro lado, a cada complejo le está
asociado un vector con inicio en el origen de
coordenadas y extremo en el punto
determinado por el par ordenado (a, b)
7 e iii
7 f i/ii
9 a
9 c
9 b
10 i
7 f iii
10 i / ii
y no tiene ubicación en la
recta de los números reales
z = a + bi
Parte imaginaria
Parte real
5
Podemos pasarlo a la forma de par ordenado, donde la primera
componente es la parte real del complejo
z = a + bi
7 b-c-e i/ii
7 e iii
Y la segunda componente es la
parte imaginaria (se coloca solo el
valor de b –sin i-)
z = a + bi = ( a, b )
Si
7 a-d
Expresado en forma de binomio
Definido el complejo z = a + bi
9 a
7 f i/ii
9 b
10 i
cuya representación gráfica es
definimos el conjugado de z
z  a  bi
como un número complejo con la misma parte real que z
y su componente imaginaria es la opuesta de la
componente imaginaria de z
también podemos definir el opuesto de z
 z  a  bi
como un número complejo cuya componente real es el número opuesto de la
componente real de z
y su componente imaginaria es el número opuesto de la
componente imaginaria de z
z = a + bi
5
9
z = a - bi
-z = -a - bi
7 f iii
9 c
10 i / ii
5
Operaciones con números
complejos
7 a-d
7 b-c-e i/ii
7 e iii
Si dos números complejos se presentan en forma de binomio, se
los puede sumar como cualquier binomio
z1  a  bi
z2  c  di
9 a
z1  z2  ( a  bi )  ( c  di ) 
7 f i/ii
9 c
9 b
10 i
7 f iii
10 i / ii
sacamos el imaginario i
como un factor común
las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí
z1  z2  ( a  c )  ( bi  di )  ( a  c )  ( b  d ) i
Si los complejos se presentan en forma de par ordenado
Se opera de la misma manera, las partes reales
entre sí y las partes imaginarias entre sí
Si se trata de una diferencia
z1  ( a , b )
z1  z 2  ( a , b )  ( c , d ) 
z1  z 2  ( a  c , b  d )
z1  z2  ( a  bi )  ( c  di ) 
z1  z2  a  bi  c  di  ( a  c )  ( b  d ) i
z1  z 2  ( a , b )  ( c , d ) 
5
7
9-10
z2  ( c , d )
( a  c,b  d )
5
Gráficamente
Sean
z1  a  bi
7 a-d
z2  c  di
Para sumar gráficamente los complejos
1) Una vez representados gráficamente los
complejos z1 y z2 como ya hemos visto
2) Por el extremo de z2 trazo una recta paralela a z1
7 b-c-e i/ii
7 e iii
9 a
10 i
7 f i/ii
7 f iii
9 c
9 b
10 i / ii
A los efectos de limpiar el
gráfico borramos las
líneas auxiliares
3) Y por el extremo de z1 trazo una recta paralela a z2
4) Donde se intersectan ambas paralelas se encuentra el extremo de un nuevo vector
que tiene inicio en el origen de coordenadas y representa z1 + z2
5) El valor de abscisa que le corresponde al vector resultante es la parte real del
resultado de la suma de números complejos
6) El valor de la ordenada que le corresponde al vector resultante es la
parte imaginaria del resultado de la suma de números complejos
Obviamente, los resultados por métodos
analíticos y gráficos deben coincidir siempre
5
7
9-10
5
Producto
Sean z1  a  bi z2  c  di
7 a-d
z1  z2  ( a  bi )  ( c  di )
7 b-c-e i/ii
7 e iii
9 a
Se aplica propiedad distributiva como si
se tratara de dos binomios cualquiera
7 f i/ii
9 b
10 i
El producto (bidi) se resuelve multiplicando bdi i
Sacamos como factor común el imaginario i
que resulta bdi2
Recuerde que i2 = - 1
z1  z2  ( ac  bd )  ( ad  bc ) i
En forma de par ordenado . . .
z1  z2  ( a , b )  ( c , d )  ( ac  bd ; ad  bc )
7
9-10
9 c
10 i / ii
z1  z2  a  c  a  di  bi  c  bi  di 
z1  z2  ac  adi  bci  bdi 2  ac  ( ad  bc ) i  bd ( 1) 
5
7 f iii
Cociente
Sean z1  a  bi
z2  c  di
Para resolver el cociente
z1 ( a  bi )


z2 ( c  di )
Siempre se multiplica y se divide la expresión por el conjugado
del denominador
5
7 a-d
7 b-c-e i/ii
7 e iii
9 a
10 i
7 f i/ii
7 f iii
9 c
9 b
10 i / ii
ac  adi  bci  bdi 2 ac  bd  ( ad  bc ) i
z1 ( a  bi ) ( c  di )




2
2 2 
2
2
c

cdi

cdi

d
i
c

d
z2 ( c  di ) ( c  di )
Luego se procede como en cualquier
Observe que tenemos ahora una diferencia de
producto entre números complejos,
cuadrados en el denominador
multiplicando los numeradores entre
A esta situación siempre llegamos porque,
sí y los denominadores entre sí precisamente para eso es que hemos multiplicado y
dividido la expresión por el conjugado del denominador
De esa manera, en
el denominador
Obteniendo así como resultado del cociente entre
siempre habrá un
complejos, otro número complejo
número real
z1  z 2 
5
7
9-10
( ac  bd ) ( ad  bc )

i
c2  d 2
c2  d 2
Nº complejo
z ; - z; 1/z
5) Completar los siguientes enunciados para que
suma-resta
resulten proposiciones verdaderas :
i) En R2 = C se define la relación de equivalencia : (a, b) = (c, d)  a = c  b = d
En R2 = C se define la adición y la multiplicación mediante
cociente
(a, b) * (c, d) = (ac - bd; ad + bc)
(a, b) + (c, d) = (a + c; b + d)
producto
operac. gráf.
ii) (C, +) tiene estructura de Grupo Abeliano
(C, *) tiene estructura de “cuasi” Grupo Abeliano; puesto que (0,0) no es inversible (&)
(C, +, *) tiene estructura de Cuerpo
iii) Un complejo es real  su parte imaginaria es 0
un complejo es imaginario  su parte real es 0
iv) En C es :
i0 = 1
i2 = - 1
v) Si z = (a, b)
i3 = - i
en forma de binomio z = a + b i
z  ( a ; b )  a  bi
 z  ( a ; b )  a  bi
(&) “cuasi” Grupo Abeliano es Semi-grupo
conmuitativo con elemento neutro
i4q+r = i r
Nº complejo
z 1  
a
2
a  b
z1  z 2 
;
2
b 

a 2  b2 
z ; - z; 1/z
suma-resta
b 
a
b
 a



i

2
2
2
2
2
2
2
2
a b  a b
a b
a  b
z 1  
resolvemos primero la suma
producto
z1  z2  ( a , b )  ( c , d )  ( a  c , b  d )
z1  z2  ( a  c ,b  d )
Y luego hallamos el conjugado de la suma
En forma de binomio
operac. gráf.
z1  z2  ( a  bi )  ( c  di )  ( a  c )  ( b  d ) i
el conjugado de la suma
z1  z 2 
cociente
z1  z2  ( a  c )  ( b  d ) i
resolvemos primero el
producto
z1  z2  ( a , b )  ( c , d )  ( ac  bd , ad  cb )
Y luego hallamos el conjugado del producto
z1  z2  ( ac  bd , ad  cb )
En forma de binomio z1  z2  ( a  bi )  ( c  di )  ( ac  bd )  ( bc  ad ) i
el conjugado del producto
z1  z2  ( ac  bd )  ( bc  ad ) i
despejamos x
6 a) Para resolver x2 – 1 = 0
x 1  0
2
entonces
Pasamos
–1 al 2º
miembro
x1 = 1
x 1
x2 = - 1
x 3 0
entonces
Pasamos
–3 al 2º
miembro
x 1  0
entonces
Y la
potencia
como raíz
x 3
x1 =  3
Pasamos
1 al 2º
miembro
con x1,, x2  Z
2
x2 =  3
x  1
2
x1 = i
x  3
con x1,, x2  I (irracionales)
despejamos x
c) Para resolver x2 + 1 = 0
2
x  1
despejamos x
b) Para resolver x2 – 3 = 0
2
Y la
potencia
como raíz
2
Y la
potencia
como raíz
x2 = - i
x   1
la raíz cuadrada de
un número negativo
resulta siempre un
imaginario
con x1,, x2  C
6 d
aplicamos la fórmula que
resuelve la ecuación de
segundo grado
d) Para resolver x2 + 3x + 3= 0
Una ecuación completa de 2º grado
tiene la forma
y la solución
ax 2  bx  c  0
En la ecuación
a=1
x1  2
x2 + 3x + 3= 0
b=3
x12
x1  2
c=3
3 3


2
 b  b 2  4ac

2a
 3  9  12
 3  32  4  1  3



2
21
x1  
3
3

i
2
2
x2  
3
3

i
2
2
con x1,, x2  C
Nº complejo
7 a) Dados los números complejos :
z1  ( 5,3)
z2 
3
 2i
2
z3  2  4i
z ; - z; 1/z
z4  (  2, 2)
suma-resta
producto
Por el valor real de z1 trazamos una paralela al eje de los imaginarios
Por el valor imaginario de z1 trazamos una paralela al eje de los reales
Donde se intersectan ambas paralelas, tenemos
el extremo del vector que representa z1 y tiene
inicio en el origen de coordenadas
z2 y z3 se representan con idéntico procedimiento
Para representar gráficamente z4
tomamos los valores aproximados de  2
tanto en la parte real como imaginaria
7 d) Para representar z 4 usamos el mismo valor real que para z4
pero a la parte imaginaria le cambiamos el signo
z4   2  2i
7 b-c-e i/ii
7 e iii
7 f i/ii
7 f iii
cociente
operac. gráf.
7 b) c)
z1  ( 5,3)
Nº complejo
en forma de binomio es z1  5  3i
z ; - z; 1/z
3
3
z2   2i en forma de par ordenado es z2  ( 2 , 2)
2
en forma de par ordenado es z3  ( 2, 4 )
z3  2  4i
z4  (  2, 2)
7 e) Para calcular
en forma de binomio es
i) z1  z2
suma-resta
producto
z 4   2  2i
cociente
operac. gráf.
pasamos z1 a la forma de binomio y hallamos z2 
3
 2i
2
3
3
agrupando reales por un
 2i )   5  3i   2i 
2
2
lado e imaginarios por otro
7
3
 ( 5  )  ( 3  2) i    5i
resuelvo primero la diferencia
2
2
de números complejos
3
ii )  2( z2  z1 )  2[(  2i )  ( 5  3i )] 
2
para multiplicar un entero
3
13
por un complejo,
 2[  2i  5  3i ]   2(
 5i ) 
aplicamos distributiva del
2
2
z1  z2  ( 5  3i )  (
13
 2   ( 2)  ( 5i )  13  10i
2
7 e iii
7 f i/ii
entero en el complejo
7 f iii
Nº complejo
iii ) z  z2  z3  z1   ( 3  2i )  ( 2  4i )  ( 5  3i ) 
2
procedemos de igual manera que si hubiera sido la suma de
dos complejos, eliminamos los paréntesis aplicando la regla
de los signos
z ; - z; 1/z
suma-resta
producto
cociente
3
3
11
operac. gráf.
 2i  2  4i  5  3i  (   2  5)  ( 2i  4i  3i ) 
 9i
2
2
2
3
con z1 y z2
para sumar gráficamente z1  z2  ( 5  3i )  (  2i )
representados
2
3
buscamos z2   2i
luego
2

por el extremo de z1 trazo una paralela a z 2
por el extremo de z 2 trazo una paralela a z1
las paralelas se intersectan en el extremo del vector
suma y su inicio está en el origen de coordenadas
buscamos conocer la componente
real del vector resultante,
y la componente imaginaria
z1  z 2  
3
 5i
2
7 f i/ii
7 f iii
Para resolver gráficamente
con z1 y z2
 2( z2  z1 ) representados
Nº complejo
z ; - z; 1/z
suma-resta
buscamos –z1 prolongando z1 en sentido opuesto
y trasladando con el compás el extremo de z1 sobre la línea
prolongada, con centro en el origen de coordenadas encontramos –z1
sumamos z2 + (-z1) como hemos visto
prolongamos la recta de acción de
z2 -z1 y borramos la
semicircunferencia auxiliar
y trasladamos con el compás el
extremo de z2 - z1 sobre la línea
prolongada, con centro en el origen
de coordenadas (por cambio de signo)
con el compás trasladamos una vez
más sobre la recta la distancia
z2 - z1 ; obteniendo –2(z2 - z1 )
buscamos la componente
real del vector resultante,
y la componente imaginaria
 2( z2  z1 )  13  10i
producto
cociente
operac. gráf.
Para resolver gráficamente
z  z2  z3  z1
con z1 ; z2 y z3
representados
comenzamos buscando el opuesto de z2 , es decir - z2
luego buscamos
z1
y con este resultado buscamos  z1
ahora tenemos los complejos –z2 ; z3 y  z1
representados por sus respectivos vectores
solo nos queda efectuar la suma de todos ellos
( z2 )  z3  ( z1 )
lo que hacemos trasladando z3 a continuación de –z2
 z1 a continuación del z3 que sigue a - z2
uniendo el extremo de la acumulación de
segmentos con el origen de coordenadas
tenemos el resultado que buscamos
 z2  z3  z1  11  9i
2
Nº complejo
z ; - z; 1/z
suma-resta
producto
cociente
operac. gráf.
Para calcular z1  z2 lo realizamos como si se tratara
del producto de dos binomios; con la única salvedad
que debemos considerar el producto de números
imaginarios
z1  z2  ( 5  3i )  (
z1  z2  5 
15
9
 6)  ( 10  ) i 
2
2
z3
z 4 1

z ; - z; 1/z
suma-resta
producto
cociente
operac. gráf.
3
3
 15
9
 ( 5 )  ( 2i )  ( 3i )   3i  ( 2i ) 
 10i  i  6i 2 
2
2
2
2
( 
ii )
3
 2i ) 
2
Nº complejo
podemos pensar como
z3  z 4
11

3 29

i
2 2
z3
z3
 1 
1
1
z4
z4
que resolvemos como
cociente de fracciones,
efectuando el producto
de los extremos sobre el
producto de los medios
2
 ( 2  4i )  (  2  2i )   2 2  2 2i  4 2i  4 2i 
(- 1)
z3
 1  2 2  6 2i
( z4 )
7 f iii
Nº complejo
iii )
2  4i  5  3i )
z3  z1 ( 2  4i )  ( 5  3i )



3
3
z2
(  2i )
(  2i )
operamos en el
numerador
2
2
z ; - z; 1/z
suma-resta
efectuamos el cociente, multiplicando y
dividiendo por el conjugado del denominador
3
 2i
7  7i 2
7  7i




3
3
3
 2i
 2i
(  2i )
2
2
2
49 7
21
21
 i
 14i  i  14
2
 2
 29 2
9
2
4
 4i
4
4
producto
cociente
operac. gráf.
21
21
operamos en el
 14i  i  14i 2
numerador y en el
2
2

2
denominador
3
2
   ( 2i )
recuerde que i2 = - 1
2
2
2
49 7
49 7
i
 i
2  2  49  4  7  4 i
2
2

 25 25
2  25 2  25
25
4
4
4
z3  z1 98 14

i

z2
25 25
fracción de fracción: es igual al
producto de los extremos sobre
el producto de los medios
8) Si
f(x)  x2  2x  1
g(x)  x2  x
para
calcular
f(2  i)
g(1  i)
(2+i) toma el lugar
de x en f(x)
f(x) = (2+i)2 - 2 (2 + i) + 1
(1+i) toma el lugar
de x en g(x)
g(x) = (1+i)2 + (1 + i)
entonces
( 2  i )  2( 2  i )  1
f(2  i)


2
g(1  i)
(1i ) (1i )
2
operando resulta . . .
(4  4i  i 2 )  (4  2i )  1
4  4i  i 2  4  2i  1



2
(1  2i  i 2 )  (1  i )
1  2i  i  1  i

2i  1  1
2i
3 1

  i
1  2i  1  1  i 1  3i
5 5
recuerde ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
recuerde i2 = - 1
9) a)
Si
3z  z  3  5i
Para hallar z tal que :
z  a  bi
3z  z  3  5i
resolvemos
z  a  bi
puede escribirse
entonces . . .
( 3a  a )  ( 3b  b ) i  3  5i
4a  3
z ; - z; 1/z
suma-resta
3( a  bi )  ( a  bi )  3  5i
3a  3bi  a  bi  3  5i
4a  2bi  3  5i
Nº complejo
Agrupamos reales e
imaginarios en el 1º miembro
producto
cociente
operac. gráf.
que resulta ser . . .
Para que se verifique la igualdad, deben ser idénticas las
partes reales e imaginarias del primero y segundo miembro
2b  5
a
3
4
b
5
2
tengamos presente que no podremos resolver
esta ecuación despejando z
9 b
entonces . . .
z 
3 5
 i
4 2
9 c
Nº complejo
i  z  2z  6i
9 b) Para hallar z tal que :
Si
z  a  bi
i  z  2z  6i
resolvemos
z  a  bi
i ( a  bi )  2( a  bi )  6i
ai  bi 2  2a  2bi  6i
a  2b  6
de (1)
b  2a
 3a  6
i 2  1
producto
cociente
operac. gráf.
Para que se verifique la igualdad, deben ser
idénticas las partes reales e imaginarias del
primero y segundo miembro
( 2a  b )  ( a  2b ) i  6i
que resolvemos por sustitución
Agrupamos reales e
imaginarios en el 1º miembro
teniendo presente que
ai  b( 1)  2a  2bi  6i
 2a  b  0
suma-resta
entonces . . .
puede escribirse
z ; - z; 1/z
(1) 
 2a  b  0

(2) 
 a  2b  6
reemplazando (1) en (2)
entonces
 2  2  b  0 entonces
a
6
3
Podemos componer un
sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas
a  2( 2a )  6
a 2
reemplazando a = 2
en (1)
b  4
9 c
Nº complejo
9 c) Para hallar z tal que :
Si
z  a  bi
z  a  bi
z  i  z  3  5i puede escribirse
resolvemos
z  i z  3  5i
a  bi  ai  b  3  5i
( a  b )  ( a  b ) i  3  5i
a b 3
a b 5
suma-resta
entonces . . .
( a  bi )  i ( a  bi )  3  5i
producto
a  bi  ai  bi 2  3  5i
a  bi  ai  b( 1)  3  5i
z ; - z; 1/z
agrupamos reales e
imaginarios en el 1º miembro
tenga presente que
i  1
2
cociente
operac. gráf.
Para que se verifique la igualdad, deben ser
idénticas las partes reales e imaginarias del
primero y segundo miembro
a  b  3

a  b  5
Podemos componer un sistema
de dos ecuaciones con dos
incógnitas
intuimos que este sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas no tiene solución, porque la suma de dos
números cualesquiera, no pueden tener resultados
diferentes
10 i) la ecuación
así :
z 
3  7i
5  2i
( 5  2i )  z  3  7i
puede resolverse
despejando z
resolvemos como
cociente de números
complejos
multiplicamos y dividimos la expresión
por el conjugado del denominador
Nº complejo
3  7i 5  2i
3  7i


z 

5  2i 5  2i
5  2i
z ; - z; 1/z
2
aplicando propiedad distributiva en el numerador y  15  6i  35i  14i 
diferencia de cuadrados en el denominador
52  ( 2i ) 2
también podría haberse aplicado
distributiva en el denominador y
hubiéramos tenido el mismo resultado
operamos sabiendo que i2 = -1

15  6i  35i  14( 1)


25  4i 2
1  41i
1
41


i
29
29 29
suma-resta
producto
cociente
operac. gráf.
verificamos . . .
2
1
41
1  41i
5

205
i

2
i

82
i
( 5  2i )(

i )  ( 5  2i )(
)

29 29
29
29
3
7
87  203i 87 203i  3  7i


29
29
29
10 ii/iii
ii )
z
 ( 3,5)
( 3,4 )
así :
Nº complejo
puede resolverse
despejando z, porque
en ella no aparece z
z ; - z; 1/z
suma-resta
z  ( 3, 5 )  ( 3, 4 )
z  ( 9  ( 20 );12  ( 5 ) 3)  ( 29, 3)
iii) resolver
z
2z  3i

 6  3i
z
2 i
2z  3i
1
 6  3i
2 i
2z  3i
 7  3i
2 i
Pasamos –1 al
2º miembro
producto
no debe ser muy diferente
de lo realizado hasta ahora
2z  3i  14  7i  6i  3i 2  11  13i
2z  11  10i
operac. gráf.
y resolvemos el segundo
2z  3i
 6  3i  1 miembro antes de pasar
2i
2z  3i  ( 7  3i )( 2  i )
2z  3i  11  13i
cociente
2z  11  13i  3i
z 
11
 5i
2
multiplicando el
denominador del primer
término
resolvemos nuevamente el
2º miembro
y ahora despejamos z
11) a) Si el producto (3 - 6 i)  (4 + x i) debe ser un número real
La parte imaginaria del resultado del producto (3 - 6 i)  (4 + x i)
debe ser igual a 0
( 3  6i )  ( 4  xi )  ( 12  3xi  24i  6xi 2 ) 
 ( 12  3xi  24i  6x ( 1)) 
así, agrupando reales por un lado e
imaginarios por otro, tendremos . . .
 ( 12  6x )  ( 3xi  24i )  ( 12  6x )  ( 3x  24 ) i 
Si la parte imaginaria debe ser 0, tendremos . . .
3x  24  0
entonces . . .
24 8
x 
8
3
Si el resultado del producto (3 - 6 i)  (4 + x i)
x 
y una parte imaginaria
debe ser un imaginario puro
la parte real debe ser 0, tendremos . . .
2
entonces . . .
se distingue en la
expresión claramente una
parte real
 12
 2
6
( 12  6x )  0
Algebra de Boole
Decimos ( B, *  ) es Algebra de Boole
para un conjunto B  
y
si
dos operaciones * y

1)
* y  son dos leyes de composición interna en B
2)
* y  son operaciones conmutativas
3)
* y  son operaciones asociativas en B
4)
* y  son operaciones distributivas cada una respecto de la otra
12
13
5) Existen elementos neutros en B respecto de * y  que se denotan como 0 y 1
6) Todo elemento a  B admite un complementario a´, tal que :
a * a´ = 1
y
a  a´ = 0
Tenga “muy presente” que 0 y 1 en Algebra de Boole son simples
denominaciones del neutro respecto de * (0) y respecto de  (1)
( no guardan ninguna relación con los valores que representan
normalmente)
12
13
12)
Si
B = { 1, 2, 3, 6 } con las operaciones * y 
donde * denota mínimo común múltiplo
y
 denota máximo común divisor
confeccionamos las tablas respectivas para cada una de las operaciones
m.c.m.
m.c.d.
*
1
2
3
6

1
2
3
6
1
1
2
2
2
3
6
6
6
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
3
6
6
6
3
6
6
6
3
1
1
1
2
3
3
3
6
2
3
6
6
Todos los resultados de cualquiera de las dos tabla son elementos del conjunto B
Entonces
* y  son leyes de composición interna en B
* y  son conmutativas porque definen relaciones conmutativas
m.c.m. de a y b = m.c.m. de b y a
m.c.d. de a y b = m.c.d. de b y a
m.c.m.
m.c.d.
*
1
2
3
6

1
2
3
6
1
1
2
3
6
1
1
1
1
1
2
2
2
6
6
2
1
2
1
2
3
3
6
3
6
3
1
1
3
3
6
6
6
6
6
6
1
2
3
6
Ejemplos donde se verifica la asociatividad de *
y de 
(2*3)*6=6*6=6
2*(3*6)=2*6=6
(62)1=21=1
6(21)=61=1
Ejemplos donde se verifica la distributividad de  respecto de * y viceversa
(2*3)1=61=1
se verifica con
(21)*(31)=1*1=1
(23)*1=1*1=1
se verifica con
(2*1) (3*1)=2*3=1
m.c.m.
m.c.d.
*
1
2
3
6

1
2
3
6
1
1
2
3
6
1
1
1
1
1
2
2
2
6
6
2
1
2
1
2
3
3
6
3
6
3
1
1
3
3
6
6
6
6
6
6
1
2
3
6
Analizamos la existencia de neutro en B para los operadores * y 
Si existe neutro en B para el operador * será un elemento e tal que
x * e = x para cualquier x  B
esto se verifica para e = 1
Decimos entonces que el “cero” para la operación * es el elemento 1 del conjunto B
Si existe neutro en B para el operador  será un elemento e tal que
x  e = x para cualquier x  B
esto se verifica para e = 6
Decimos entonces que el “uno” para la operación  es el elemento 6
m.c.m.
m.c.d.
*
1
2
3
6

1
2
3
6
1
1
2
3
6
1
1
1
1
1
2
2
2
6
6
2
1
2
1
2
3
3
6
3
6
3
1
1
3
3
6
6
6
6
6
6
1
2
3
6
Nos queda analizar la existencia de complementario para
Si existe complementario para * debe verificarse que
Para todo elemento a
* y

a  B, a´  B : a * a´= 1
que pertenece al conjunto B existe un elemento a´
que también pertenece al conjunto B que verifica la condición a * a´= 1 donde 1 es el neutro de 
el 1 de  es el elemento 6 del conjunto B, verificamos
respecto de * el complemento de
1*6=6
6B
ok
a=1
es
a´ = 6
2*3=6
6  B ok
a=2
es
a´ = 3
3*2=6
6  B ok
a=3
es
a´ = 2
6*1=6
6B
a=6
es
a´ = 1
ok
m.c.m.
m.c.d.
*
1
2
3
6

1
2
3
6
1
1
2
3
6
1
1
1
1
1
2
2
2
6
6
2
1
2
1
2
3
3
6
3
6
3
1
1
3
3
6
6
6
6
6
6
1
2
3
6
Finalmente analizamos la existencia de complementario para
Si existe complementario para  debe verificarse que
si el 0 de * es el elemento 1del conjunto B, verificamos

a  B, a´  B : a  a´= 0
respecto de  el complemento de
16=1
6B
ok
a=1
es
a´ = 6
23=1
3B
ok
a=2
es
a´ = 3
32=1
2B
ok
a=3
es
a´ = 2
61=1
1B
ok
a=6
es
a´ = 1
(B,*,  ) Es Algebra de Boole
13) Probar que en un Algebra de Boole las siguientes condiciones son
equivalentes :
1) a  b´ = 0
2) a * b = b
3) a´ * b = 1
4) a  b = a
probamos (2) a partir de (1) entonces:
a * b = (a * b)  1
porque 1 es neutro para 
por propiedad distributiva extraemos b
(a * b)  1 = (a * b)  (b * b´)
(a * b)  (b * b´) = b * (a  b´)
b * (a  b´) = b * 0 = b
b * b´= 1
suponiendo válida la primera condición a  b´ = 0
por ser 0 el neutro de *
queda probado que a * b = b
Probamos ahora (3) a partir de (2) entonces:
Si a´ * b = a´ * ( a * b)
dando por válido lo que acabamos de probar
a´ * ( a * b) = ( a´ * a ) * b
por asociatividad, que debe cumplir un Algebra de Boole
( a´ * a ) * b = 1 * b
por complementario a * a´= 1
1*b=(1*b)1
por ser 1 neutro para 
( 1 * b )  ( b * b´ ) = ( 1  b´ ) * b
luego
a´* b = 1
= b * b´ = 1
Probamos ahora (4) a  b = a
(a  b) * 0 = (a  b) * (a  a´)
(a  b) * (a  a´) = a  (b*a´)
a1=a
a  b´ = (a  b)  b´
por ser  distrubutivo en *
porque quedó probado (3) a´*b = 1
a  b´
a0=(a0)*0
a partir de (4)
con * conmutativo
queda probado que a  b = a
a b=a
cerrando la cadena, entonces:
suponiendo válido lo que acabamos de probar a  b = a
(a  b)  b´ = a  ( b  b´ )
a  ( b  b´ ) = a  0
entonces:
porque a  a´ = 0
porque 1 es neutro para 
Probamos ahora (1)
a´*b = 1
porque 0 es neutro para *
a  b = (a  b) * 0
a  (b * a´) = a  1
a partir de (3)
por asociatividad
por complementario b  b´= 0
por ser 0 el neutro de *
( a  0 ) * 0 = ( a  0 ) * (a  a´) = a  (0 * a´)
a  (0 * a´) = a  a´ = 0
luego
a  b´ = 0
0 * a´ = a´ por ser 0 neutro
para *
14) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Proposiciones
establecemos las siguientes equivalencias:
*

equivale a
equivale a
1) a  b´ = 0
0
1


será
equivale a F
equivale a V
p   q  F
3) a´ * b = 1 será  p  q  V
a´ equivale a p
2) a * b = b
será
p  q  q
4) a  b = a
será
p  q  p
Le queda a Ud comprobar que cualquiera de ellas se cumple suponiendo verdadera
alguna otra, aplicando los contenidos del tema 1 (lógica de proposiciones)
15) a) Probamos que (a * b)  (a * b´) = a
a * (b  b´) = a * 0 = a
Aplicando distributiva y sabiendo que 0 es neutro de *; por tanto b  b´ = 0
b) Probamos que (a  b) * (a  b´) = a
a  (b * b´) =
a1=a
Aplicando distributiva y sabiendo que 1 es neutro de *; por tanto b * b´ = 1
Observamos además que esto es válido
por el principio de dualidad, dado que éste
caso es el dual del punto a)
16) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Conjuntos
establecemos las siguientes equivalencias:
*
equivale a

0
equivale a

equivale a

1
equivale a U

a´ equivale a A´=
A
(a * b)  (a * b´) = a
equivale a
(A  B)  (A  B´) = A  ( B  B´ ) = A   = A
(a  b) * (a  b´) = a
equivale a
(A  B)  (A  B´) = A  ( B  B´ ) = A  U = A
Es posible que algo haya quedado sin entenderse, te sugiero que vuelvas a repasar,
que resuelvas los ejercicios complementarios y otros de los que dispongas
pero JAMAS TE DESANIMES, no dejes
que los fantasmas te persigan . . .
Las cosas que acabarán con la
raza humana son: la política sin
principios, el progreso sin
compasión, la riqueza sin
esfuerzo, la erudicción sin
silencio, la religión sin riesgo y
el culto sin conciencia
(Anónimo)