Transcript Des instruments à cordes

Introduction
à la physique du son
Un peu de physique pour les
musiciens, un peu de musique
pour les physiciens
Jérôme Joubert
CRR de Saint-Maur-des-Fossés - 2013
Instruments à cordes
Rappel : nature physique du
son - surpression
• Vibration d’un matériau (fluide en général)
• Oscillation de pression au sein de
tranches de fluide
Évolution spatiale :
Évolution temporelle :
exemple d’une onde sinusoïdale
Source : http://www.energieplus-lesite.be
Patm ≈ 100000 Pa
P ≈ 0,01 Pa
Rappel : nature physique du
son - vitesse
• L’intensité dépend de la vitesse de déplacement
des tranches de fluide
v
• I = p.v en Watt par m² (flux de puissance
sonore à travers une surface d’un m²)
Rappel : nature physique du
son - fréquence
• La hauteur du son
dépend de sa fréquence
f = 1/T
• f en Hz, c’est le nombre
de vibrations identiques
en une seconde
• Plus la vibration est
rapide, plus le son est
ressenti aigu
• La réalité n’est pas si
simple : un son de basse
fréquence et de très forte
intensité est parfois
ressenti plus aigu qu’un
son de plus haute
fréquence : c’est le
domaine de la psychoacoustique
Propagation du son et
longueur d’onde
• La transmission n’est pas instantanée
• Longueur d’onde et fréquence sont liés
par la vitesse de propagation, notée c
l = c/f
Sons complexes : notion de
timbre
• Un son est rarement constitué par une vibration à une
seule fréquence
• On peut décomposer un son en une série de partiels, i.e.
d’ondes sinusoïdales chacune caractérisée par
– une fréquence (éventuellement variable)
– une intensité (éventuellement variable)
– une phase (= décalage à l’origine de l’émission du son)
Décomposition en somme de Fourier
• Le timbre se définit par l’ensemble de ces paramètres et
sans doute aussi par beaucoup de ressenti psychoacoustique…
Joseph Fourier (1768-1830), mathématicien et physicien français
Représentation du contenu
fréquentiel
• Représentation graphique de la
décomposition en somme de Fourier
• Gain de lisibilité
+
=
Onde sonore
Spectre
Représentation du contenu
fréquentiel
• Le contenu fréquentiel
peut évoluer au cours du
temps (c’est une des
caractéristique du
timbre).
• Deux représentations
possibles :
– spectre en 3D ;
– sonogramme.
Harmoniques & partiels
Pour des partiels
harmoniques :
fn = n.ffondamental
n° du partiel
Partiel trop haut par rapport à la note « juste »
Partiel trop bas par rapport à la note « juste »
La série harmonique sonne « faux »
Vibration d’une corde fixée à
ses extrémités
• Quel est le lien entre la série harmonique
et une corde vibrante ?
• Nécessité d’un premier modèle : la corde
infiniment fine fixée à ses extrémités en
des points immobiles.
Vibration d’une corde fixée à
ses extrémités
• Le monocorde : lorsqu’on divise
la corde en n, chaque sous-partie
vibre à la fréquence du nième
partiel de la série harmonique (si
la corde est très fine)
• C’est le principe de génération
des différentes hauteurs de son
des violons, des violes et des
guitare
Monocorde de Mersenne
l’Harmonie Universelle
Vibration d’une corde fixée à
ses extrémités
• La fréquence de vibration est
donnée par la relation :
f 
1 T
2L µ
L : longueur de la corde
T : tension de la corde
µ : masse linéique de la corde
• Plus la corde est longue, plus
elle sonne grave. Ceci est mis
en application pour la harpe.
• Pour ne pas avoir une harpe
trop grande, on joue sur la
tension mais ça ne suffit pas :
– harpe trop grande
– cordes graves sous-tendues
Vibration d’une corde fixée à
ses extrémités
• Plus la corde est
lourde, plus elle
sonne grave à tension
et longueur égale :
– On utilise une corde
de plus grand
diamètre ;
– On utilise un
enroulement de métal
autour d’une corde
simple (corde filée).
1 T
f 
2L µ
Vibration d’une corde fixée à
ses extrémités
• On rencontre le même genre
de problème avec les violons
et les altos.
• Si la tension et la masse des
cordes étaient les mêmes, la
longueur de corde d’un alto
devrait être 1,5 fois celle du
violon : 49 cm, c’est très grand.
• Les cordes d’alto mesurent
environ 38 cm : elles sont
moins tendues et plus lourdes
pour compenser.
Vibration d’une corde fixée à
ses extrémités
•
•
À longueur fixée (cas des
instruments de la famille des
violons ou des violes), on peut
jouer sur le diamètre et/ou la
tension.
On peut montrer que, à T et L
constant :
C : constante liée aux
dimensions de l’instrument
D : diamètre de la corde
1 T C
f 

2L µ D
note
fréquence
diamètre
ré
146,8 Hz
160 mm
la
110 Hz
200 mm
mi
82,4 Hz
260 mm
do
65,4 Hz
340 mm
sol
49 Hz
460 mm
ré
36,7 Hz
610 mm
Ré-La
Rapport de fréquence : 0,75
Rapport de diamètre : 0,8
La-Mi
Rapport de fréquence : 0,75
Rapport de diamètre : 0,77
Mi-Do
Rapport de fréquence : 0,79
Rapport de diamètre : 0,76
Do-Sol
Rapport de fréquence : 0,75
Rapport de diamètre : 0,74
Sol-Ré
Rapport de fréquence : 0,75
Rapport de diamètre : 0,76
Diamètre équivalent si la corde était en boyau
Modes propres et timbre
• Lorsqu’on fait vibrer une
corde, les différents
partiels sonnent tous en
même temps avec
différentes intensités :
c’est une partie de ce qui
fait le timbre
Exemple de corde vibrant selon
deux modes simultanément
Source : Les instruments de l’orchestre, J.C. Risset
Spectre 3D d’une note de violon
• Les modes propres ont
une fréquence proche de
celle donnée par la série
harmonique
Effets non-linéaires :
inharmonicité
•
Plusieurs phénomènes intrinsèque à la corde contribuent à modifier la
fréquence des partiels par rapport à la série harmonique :
– L’épaisseur de la corde et son homogénéité ;
– La raideur de la corde
f ninharmoniq ue  f nharmonique .1  k.n²
E 3 r 4
k
8TL ²
E : module d’Young de la corde, i.e. sa
capacité à s’opposer aux déformation
Contrainte : s = F/s0
Allongement relatif : e = (l−l0)/l0
Module d'Young (ou module d'élasticité) : E = s/e
– L’accroissement de la longueur entre l’état de repos et la position écartée ;
– L’accroissement de tension entre l’état de repos et la position écartée.
Effet minime pour ces deux derniers points
(variation de fréquence de l’ordre de 0,1% voire moins)
•
Des phénomènes de couplage corde/caisse de résonance ou corde/archet
viennent s’ajouter aux causes d’inharmonicité
Évolution de la fréquence selon une série harmonique
(en rouge) et en prenant en compte la raideur (en vert)
Inharmonicité : cas du piano
• Le piano n’a pas de caisse de résonance,
seulement une table d’harmonie.
• La table d’harmonie du piano est connue pour
être surtout un amplificateur : elle à peu
d’influence en retour sur la vibration des cordes.
(cf. article Le piano, E. Blackham - Les instruments de l’orchestre, J.C. Risset)
• Structure d’une corde de piano
– Cordes aigues : simple fil d’acier homogène
– Cordes graves : fil d’acier entourée d’un fil de cuivre
ou de fer (deux enroulements pour les cordes très
graves)
Inharmonicité : cas du piano
Le 16e partiel est plus haut d’un
demi-ton que l’harmonique
correspondante : c’est un la #
médium au lieu d’être un la 440Hz.
Conséquences importantes sur la
façon d’accorder les pianos pour
que les accords sonnent bien.
Évolution de la fréquence selon une série
harmonique (en rouge) et en prenant en
compte la raideur (en vert)
Fréquence des partiels du la grave d’un piano
(trait plein) – fréquences de la série
harmonique (trait pointillé)
Source : Le piano, E. Blackham - Les instruments de l’orchestre, J.C. Risset
Différentes méthodes
d’excitation
• Excitation continue ou
prolongée par
« archet » (violons,
violes, ou vielles à
roue) : oscillations
forcées (autooscillations)
• Excitation de très
courte durée (corde
frappée ou pincée) :
oscillations libres
Oscillations amorties
• Le signal est pseudopériodique (pas de
répétition rigoureuse
d’une période au cours
du temps)
• Exemple d’une sinusoïde
atténuée de façon
exponentielle :
– Élargissement spectral
– Timbre est plus riche que si
le son était continu et
rigoureusement périodique
Amortissement d’une corde
en oscillation libre
• Le temps
d’amortissement dépend
de la fréquence de
vibration de la corde
Temps caractéristique
d’amortissement d’une corde
par l’effet de la viscosité de l’air
en fonction de sa fréquence de
vibration
Source : Acoustique des instruments de
musique, A. Chaigne, Belin 2008
• Les différents partiels ne
s’amortissent pas tous à
la même vitesse en
fonction de la nature de la
corde (attention aux
couplages avec la table
d’harmonie et/ou la caise
de résonance vide infra)
Sonogramme d’un son de guitare selon la nature de la corde
Source : M. Castellego, BUP N°649 (1982) pp.337-346
Cordes pincées
• Temps d’excitation court : quelques
millisecondes, i.e. de l’ordre de grandeur
de la plupart des périodes T = 1/f des
vibrations émises (voire plus court)
Source : http://jpchorier.perso.sfr.fr/introductionalamusique/instruments/Leclavecin.html
Force exercée par un plectre
sur une corde de clavecin
Source : Acoustique des instruments de musique, A. Chaigne, Belin 2008
Cordes pincées
• La position du point
d’excitation (plectre
ou doigt) impose une
condition de vibration
à la corde : il ne peut
pas y avoir un nœud
de vibration à cet
endroit
• Effet sur le timbre
Source : M. Castellego, BUP N°649 (1982) pp.337-346
Cordes frottées : principe de
fonctionnement de l’archet
• L’archet entraîne des
successions de tensiondétente de la corde par
des phases d’adhérence
et des phases de
glissement
x,x’
t
Déplacement de la corde sous l’archet (en rouge)
et vitesse du point de contact corde-archet (en bleu)
Modèle de Helmholtz
• Son « triangulaire » très
différent d’un son pur
triangulaire
sinusoïdal pur
• Ce n’est pas le son d’un
instrument à archet…
– Modélisation grossière
– Couplage avec la table
d’harmonie et la caisse de
résonance
Action de l’archet sur la corde
• La phase d’adhérence
présente des oscillations
(modes propres de
torsion de la corde)
• La phase de glissement
se déroule en plusieurs
étapes
• Engendre une
complexification du
contenu fréquentiel de la
vibration, donc un
enrichissement du timbre
vitesse du point de contact corde-archet
(modèle de Helmholtz en pointillé)
Source : Acoustique des instruments de musique, A. Chaigne, Belin 2008
Cordes frottées : placement
de l’archet
• La place de l’archet impose un
déplacement dans la zone de contact :
– Pas de nœud à cet endroit
– Impact sur le timbre
• La place d’archet conditionne la longueur
relative des phases d’adhérence et de
glissement
– Impact sur l’excitation de la corde
– Impact sur le timbre
Effet de la pression de l’archet
• La fréquence de vibration
est abaissée si la
pression est trop grande
• L’effet est plus marqué
Effet de la pression de l’archet
sur la fréquence de vibration d’une corde
en fonction de la vitesse d’archet
ou de sa position sur la corde
Source : Acoustique des instruments de musique, A. Chaigne, Belin 2008
– à faible vitesse
– Lorsqu’on joue plus près
du milieu de la corde
• Les vibrations ne sont
plus imposées par la
corde : l’archet crée une
non-linéarité forte
Caisse de résonance et table
d’harmonie et chevalet
• La vibration d’une corde ne met pas
suffisamment l’air en mouvement pour générer
une onde sonore musicalement intéressante.
• Le rôle de la table est de transmettre la vibration
de la corde à l’air environnant : c’est le système
de diffusion du son.
• La caisse de résonance est un filtre : certaines
fréquences sont amplifiées, d’autres sont
atténuées
• Le chevalet est l’élément qui transmet l’énergie
de la corde vibrante à l’ensemble {table,caisse}
Quelques exemples de
chevalet
Le chevalet doit être adapté aux types
de vibrations : entretenues ou libres
Chevalet pour oscillations
libres
• Pour des oscillations libres, le chevalet doit
transmettre l’énergie progressivement à la table
– Décroissance lente de l’onde, son de durée suffisante
– Pas de claquement trop prononcé à l’attaque
• Par exemple, pour une guitare, on utilise du
palissandre ; si on prend un bois plus dur
(ébène), la vibration est transmise plus
directement à la table : le son est moins
« malléable ».
Chevalet pour oscillations
entretenues
• Pour des oscillations entretenues, le
chevalet doit transmettre rapidement et
presque totalement l’énergie à la table
• l’énergie ne s’emmagasine pas dans la
corde :
– Amplitude pas trop grande : évite la distorsion
du son (saturation, non linéarité)
– Optimisation de l’effort du musicien pour
obtenir un son puissant
Son émis et vibrations de
l’ensemble {table-caisse}
•
Le timbre ressenti à proximité de l’instrument est fortement lié à ce que
Réponse de la caisse à un bruit blanc
transmet la vibration de la table
Atténuation (dB)
Analyse du timbre d’un la 110 Hz
Zones de forte
atténuation
Partiels absents
Étude des vibrations de la caisse d’un
violoncelle : comparaison au timbre
•
Fréquence (Hz)
Les fréquences atténuées par l’ensemble {caisse-table} donnent lieu à des
partiels atténués ou manquants dans le timbre
Rayonnement de la table
d’harmonie
• La table doit avoir une surface adaptée :
– trop grande, elle vibre à basse fréquence et
ne permet pas la transmission des aigus
– trop petite, elle vibre à haute fréquence et ne
permet pas la transmission des graves
Rayonnement de la table
d’harmonie
• Pour les instrument qui couvrent un large
domaine de fréquence, la table comporte
des régions adaptées
Rayonnement de la table
d’harmonie
• Le rayonnement est directionnel
Source : Acoustique des instruments de musique, A. Chaigne, Belin 2008
• Le placement relatif auditeur/table d’harmonie joue sur la perception
de l’intensité, mais aussi du timbre : la table ne rayonne pas de la
même manière à toutes les fréquences
Table de clavecin
• La table est une surface vibrante selon des modes,
comme une corde, mais en 2 dimensions.
• Un barrage complexe permet une transmission correcte
de larges plages de fréquences en empêchant la table
de vibrer uniquement à basse fréquence.
Sous la table d’un clavecin Keiser
(Cité de la Musique, Paris)
Table de clavecin
• 36 modes identifiés entre 0 et 600 Hz : par une grande
densité de mode, on accroît les chances qu’un partiel
issu de la corde soit transmis
Quelques modes de vibration d’une table d’harmonie de clavecin
Source : E. Kottick, K. Marschall, T. Hendrickson, L’acoustique du clavecin - Les instruments de l’orchestre, J.C. Risset, Pour la Science 1995
Plaques de violon
• On appelle « plaque » la table et le fond
du violon.
• Les plaques ont leurs modes propres de
vibration
Premiers modes de vibration d’une
table (rangée du haut ; 80, 147,
222, 304 et 349 Hz) et d’un fond de
violon (rangée du bas ; 116, 167,
222, 230, 349 et 403 Hz)
Source : C. Maley Hutchins, L’acoustique des plaques de
violon - Les instruments de l’orchestre, J.C. Risset, Pour la
Science 1995
Plaques de violon
•
•
•
•
•
Les vibrations de la table et du fond sont couplées quand la caisse est
montée : il faut accorder les modes de vibration avant montage.
Les modes 1, 2 et 5 semblent critiques. Si l’écart de fréquence de ces
modes est trop grand entre le fond et la table, le violon devient grinçant
Ces modes sont testés « à la main » par les luthiers
On ajuste la fréquence en jouant sur la raideur de la plaque (en rabotant
plus ou moins)
On peut agir sélectivement sur un mode en ponçant des zones de ventre de
vibration de ce mode qui sont des nœuds pour les autres modes
Caisse de résonance
• Elle n’existe pas chez tous les instruments
à cordes (ex : pas de caisse de résonance
pour un piano)
• Elle doit amplifier les vibrations transmises
à la table en accumulant de l’énergie
libérée de façon contrôlée par la table
• Elle ne doit pas être trop sélective, sinon
le timbre ne sera pas homogène
Caisse de résonance
• Elle possède des modes propres de
vibration en 3 dimensions
Exemples de modes de vibration de la caisse de résonance d’un clavecin
Source : E. Kottick, K. Marschall, T. Hendrickson, L’acoustique du clavecin - Les instruments de l’orchestre, J.C. Risset, Pour la Science 1995
Caisse de résonance et ouïes
• Les ouïes permettent
d’évacuer une surpression
locale d’un mode propre de la
caisse qui se formerait à leur
place si elles n’étaient pas là.
• Elles empêchent que certains
modes de la caisse forcent sur
la table d’harmonie
• Elles contribuent au
rayonnement de l’instrument
• Elles peuvent faire vibrer les
cordes par sympathie dans le
cas des oscillations libres
Couplages
cordes-table-caisse
• L’ensemble table-caisse n’est pas qu’un filtre des
signaux envoyés par la corde : il impose ses vibrations
propres à la corde.
• Si le couplage est trop grand, il peut être nuisible pour la
musique ; c’est la note du loup des violoncelles, des
violes de gambe (et dans une moindre mesure des altos)
– Elle se produit sur une fréquence propre de la caisse de
résonance (déterminé par le volume d’air emprisonné).
– La caisse amplifie de façon trop importante une fréquence.
– Lorsque cette fréquence est excitée sur la corde, la caisse
accentue l’amplitude de la vibration de la corde, créant une
instabilité au niveau du contact corde-archet : il y a une phase
de glissement supplémentaire.
Atténuation de la note du loup
• On peut atténuer la note du loup :
– En appuyant l’archet plus fort ;
– En plaçant sur la caisse ou sur les cordes
(entre le chevalet et le cordier) un absorbeur
d’énergie correspondant à la fréquence
gênante.
Les harmoniques
• Les sons harmoniques sont des effets :
– on excite la corde en bloquant l’émission du
fondamental ;
– Un nœud est créé artificiellement (en
l’effleurant dans le cas des violons) mais la
corde vibre sur toute sa longueur ;
– Son faible : l’amplitude de vibration est limitée
par la suppression de ventres au point
d’effleurement.
Bibliographie
•
•
•
Le son musical, John Pierce, Pour le Science 1983
Les instruments de l’orchestre, Jean-Claude Risset, Pour la Science 1995
Étude acoustique du timbre d’un instrument de musique, M. Castellengo,
BUP N°649 (1982) pp.337-346
•
Intervalles, échelles, tempéraments et accordages musicaux, Jean Lattard,
L’Harmattan 2003
•
•
Acoustique des instruments de musique, A. Chaigne, Belin 2008
Acoustique, informatique et musique, Brigitte d’Andréa-Novel, Presses des
Mines 2012
•
Physique, Eugene Hecht, De Boeck 1999
Quelques logiciels
• Audacity 2.0 - logiciel libre
http://audacity.sourceforge.net
• Goldwave - version d’essai complète
http://www.goldwave.com/