Obtener el número de elementos

// método para el usuario public int tamaño(){ return tamaño(raiz); } // metodo auxiliar para el procesamiento private int tamaño(Nodo raiz){ if (raiz == null) return 0; else return 1+ tamaño(raiz.izquierdo)+ tamaño(raiz.derecho);

}

Insertar elementos en un ABB

public void insertar(int n){ raiz = insertar(raiz, n); } //método auxiliar private Nodo insertar(Nodo r, int n){ if (r == null) r = new Nodo(n); else if (n<=r.dato) r.izquierda = insertar(r.izquierda, n); else r.derecha = insertar(r.derecha, n); return r; }

2 raíz 23 45 65

Recorridos de un AB

•

Inorden = 2,7,23,38,45,48,52,65,96

– Visitar el subarbol izquieredo en inorden – Visitar el nodo raiz – Visitar el subarbol derecho en inorden 96 7 38 52 48 •

Preorden= 45,23,2,7,38,65,52,48,96

– Visitar el nodo raiz – Visitar el subarbol izquieredo en preorden – Visitar el subarbol derecho en preorden •

Postorden= 7,2,38,23,48,52,96,65,45

– Visitar el subarbol izquieredo en postorden – Visitar el subarbol derecho en postorden – Visitar el nodo raiz

D raíz B A C

Recorridos de un AB

•

Inorden = D,G,B,A,H,E,I,C,F

– Visitar el subarbol izquieredo en inorden – Visitar el nodo raiz – Visitar el subarbol derecho en inorden F G H E I •

Preorden= A,B,D,G,C,E,H,I,F

– Visitar el nodo raiz – Visitar el subarbol izquieredo en preorden – Visitar el subarbol derecho en preorden •

Postorden= G,D,B,H,I,E,F,C,A

– Visitar el subarbol izquieredo en postorden – Visitar el subarbol derecho en postorden – Visitar el nodo raiz

Implementación de Inorden

public void inorden(){ inorden(raiz); System.out.println(); } public void inorden(Nodo r){ if (r!=null) { inorden(r.izquierda); System.out.print (r.dato+" "); inorden(r.derecha); } }

Implementación de Preorden

public void preorden(Nodo r){ if (r!=null) { System.out.print (r.dato+" "); preorden(r.izquierda); preorden(r.derecha); } } public void preorden(){ preorden(raiz); System.out.println(); }

Implementación de Postorden

public void postorden(){ postorden(raiz); System.out.println(); } public void postorden(Nodo r){ if (r!=null) { postorden(r. izquierda); postorden(r.derecha); System.out.print (r.info+" "); } }

Ejercicios para ABB

• Escribe un método que regrese el número de hijos de n • Escribe un método que obtenga el padre de n • Escribe un método que obtenga para cada nodo su balance (#nodos subárbol izquierdo - #nodos subárbol derecho) • Escribe un método para Obtener los nodos de una generación • Escribe un método para Buscar el elemento mayor de un árbol binario • Escribe un método para encontrar el promedio de los elementos de un árbol que contiene datos enteros.

Arboles Generales

Un árbol general, es un conjunto finito

no vacío

T de elementos llamados nodos, tales que: 1. T contiene un elemento R, llamado Raíz de T.

2. Los restantes elementos de T forman una colección ordenada de 0 o más a árboles disjuntos T1, T2, … Tm.

Los árboles T1,T2,…Tm son llamados subárboles de R.

Árboles binarios Vs Generales:

Un AB puede estar vacío y el AG no.

En un AB un nodo distingue entre sus hijos como izquierdo y derecho; en un AG no hay distinción para hijos.

Ejemplo: Suponer que existen 2 árboles:

C B A

•Si los 2 son AB son diferentes.

•Si los 2 son AG son iguales.

A D C B D

Árboles Generales

• • • • • •

Terminología:

Padre: Nodo del cual dependen otros nodos.

Hijo: Nodo sucesor de otro nodo.

Grado de un árbol: Máximo número de sucesores de un nodo.

Hermanos: Nodos con el mismo padre.

Generación: Todos los nodos de un mismo nivel.

Bosque: es una colección de 0 o mas árboles distintos.

Bosque:

Es una colección de 0 o más árboles distintos.

Ejemplo: Si se elimina la raíz R de un árbol general T se obtiene un bosque que consiste en los subárboles de R.

A B E M F N G H C I D J K L

E M

Conversión de un árbol en bosque

Arbol 1 Arbol 2 Arbol 3

B C D F G H I J K N L

B

Conversión de Árboles Generales a Árboles Binarios.

1.-Enlazar los hijos de cada nodo de forma horizontal de izquierda a derecha.

2.-Enlazar de forma vertical el nodo padre con el hijo que se encuentra mas a la izquierda.

3.-Eliminar los vínculos viejos entre hijos y padres.

4.-Rotar el diagrama 45º.

A A A A B C D B C D B C D C D

Ejemplo 2.

I D

Raiz

B A E J F G K C

Raiz

A B I D E G C F H X J L X H L K

Convertir un bosque a AB:

1) Enlazar en forma horizontal las raíces de los distintos árboles generales.

2) Enlazar los hijos de cada nodo en forma horizontal.

3) Enlazar en forma vertical el nodo padre con el hijo mas a la izquierda.

4) Eliminar los vínculos del padre con los hijos.

5) Rotar el diagrama resultante.

Arbol 1 Arbol 2 Arbol 3

B E M F N G H C I J D K L

Arbol 1 Arbol 2 Arbol 3

B E M F N G H B M E F N G I C H C I J D

Arbol General

J D K L K L

E B

Convertir un bosque a AB:

H A P I D J Q R C S F G K L M T U X

AB: E B F C G D A H K I J L P M Q J T X R S

Representación en memoria de Árboles generales.

• Los hijos de un nodo se pueden representar de diversas formas: – Cada nodo contiene un campo de liga para cada hijo.

– Cada nodo contiene un arreglo de hijos.

– Cada nodo contiene un vector de hijos.

– Cada nodo contiene una lista de hijos.

Representación gráfica

Cada nodo contiene un campo de liga para cada hijo.

Info h1 h2 ... hn Cada nodo contiene un arreglo o vector de hijos Info hijos Cada nodo contiene una lista de hijos Info hijos Info hijos Info hijos

Aplicaciones de árboles generales

• Directorio de archivos • Organigrama de una empresa • Contenido de un documento.

• Diseño por componentes.

• Juegos • Estructuras de un lenguaje de programación.

Recorridos de un arbol general

• Inorden.

– Recorrer en Inorden T1 – Visitar la Raiz – Recorrer en Inorden T2 – … – Recorrer en Inorden Tn  Preorden.

     Visitar la Raiz Recorrer en Preorden T1 Recorrer en Preorden T2 … Recorrer en Preorden Tn  Postorden.

     Recorrer en Postorden T1 Visitar la Raiz Recorrer en Postorden T2 … Recorrer en Postorden Tn

Otros árboles

• Árboles balanceados – Por altura (AVL) – Por peso (perfectamente balanceados) – Rojinegros

Árboles Balanceados

• Árboles balanceados son aquellos ABB que cumplen con una condición de equilibrio (que sus subárboles izquierdo y derecho tengan la misma profundidad) • Los árboles balanceados optimizan la búsqueda de elementos.

• Árboles AVL (1962- Adelson, Velskii y Landis) la altura de los subárboles asociados a cada elemento no pueden diferir en más de 1 y los dos subárboles son también AVL.

Altura = 1

5

Ejemplos de árboles AVL

Altura = 2

15 18

Altura = 1 Altura = 3

20

Altura = 2

15

Altura = 1

5

Altura = 1

30

Altura = 1

18

Inserción en árboles balanceados

35

Insertar 10,18,27

20 40 15 25 10 18 35 27 20 40 15 25

Insertar 37,45

35 20 15 25 37 45

Inserción en árboles balanceados

Caso 1.

Las ramas izquierda y derecha del árbol tienen la misma altura. (H RI = H RD )

35 20 40 Caso 1.1

Inserta elemento en rama izquierda (RI)

35 20 40 Caso 1.2

Inserta elemento en rama derecha (RD)

35 20 40 50 15

Inserción en árboles balanceados

Caso 2.

Las ramas izquierda y derecha del árbol tienen altura diferente. (H RI

≠

H RD )

35 Caso 2.1.1

Inserta en RI

Caso 2.1

H RI

<

H RD suponer

20 40 15 50 35 Caso 2.1.2

Inserta en RD

35 20 40 20 40 50 50 75

Inserción en árboles balanceados

Caso 2.

(continuación) Las ramas izquierda y derecha del árbol tienen altura diferente. (H RI

≠

H RD )

35 Caso 2.2.1

Inserta en RI

Caso 2.2

H RI

>

H RD suponer

20 40 15 35 Caso 2.1.2

Inserta en RD

5 20 40 35 15 20 40 15 50

Reestructuración

•

Factor de equilibrio:

Es la diferencia entre la altura de la rama derecha y la altura de la rama izquierda. FE = H RD

-

H RI • Cada nodo tiene asociado un factor de equilibrio que se calcula para todos los elementos de la rama donde se realizó la inserción. Este se utiliza para saber si el árbol esta balanceado o debe reestructurarse.

0

33

-1

65

1

45

-1

54 70

-1

68

0

50

0

Rotaciones

Caso 1

Rotación simple por la rama izquierda padre.fe = -2 hijo.fe = -1

0 15 -2 35 -1 20 0 15 0 20 35 0 Caso 2

Rotación simple por la rama derecha

2 0 35 50

padre.fe = 2

1 0

hijo.fe = 1

50 35 75 75 0 0

padre.izq = hijo.der

hijo.der = padre padre = hijo padre.der = hijo.izq

hijo.izq = padre padre = hijo

Rotaciones

Caso 3

Rotación compuesta

Derecha Izquierda

p

35 2 0 45

padre.fe = 2 hijo.fe = -1 h n

45 0 50 -1 0 35 50 0 Caso 4

Rotación compuesta

Izquierda Derecha

padre.fe = -2 hijo.fe = 1

-2 35 1 20 0 25 0 20 0 25 35 0

hijo.der = n.izq n.izq= hijo padre.izq = n.der

n.der = padre padre = n

5.3 Grafos

Un grafo es una estructura de datos no lineal que consta de: 1) Un conjunto finito V de elementos llamados vértices (Nodos, Puntos).

2) Un conjunto E de aristas tales que cada arista e ε E esta identificada por un único par (desordenado) [u,v] de nodos de V denotado como e = [u,v].

Un grafo se denota como

G = (V, E).

NODOS VECINOS O ADYACENTES: Dos nodos son vecinos si existe una arista que los una.

E = (u, v) los vértices u, v son vecinos.

EL GRADO DE UN NODO U: es el número de aristas que contienen a u.

NODO AISLADO: Son aquellos nodos que tienen grado 0.

GRAFO ETIQUETADO: Es un grafo donde cada arista tiene un valor asignado.

Ejemplo de grafos: Portland Chicago New York Los Ángeles Las Vegas Miami V(G)= Los Ángeles, Portland, Chicago, New York, Las Vegas, Miami.

E(G)={(Los ángeles, Chicago),(Los ángeles, New York), (Chicago, New York), (Chicago, Las Vegas), (Las vegas, New York), (Las Vegas, Miami)}

Las aristas no están ordenadas lo que significa que: ( Los Ángeles, Chicago) = ( Chicago, Los Ángeles) ( u 1 , v 2 ) = (u 2 , v 1 ) Grado (Los Ángeles) = 2 Grado (Chicago) = 3 Grado de Portland = 0

• •

Grafo dirigido

Un grafo dirigido es una estructura de datos no lineal que consta de: Un conjunto finito de elementos llamados vértices.

Un conjunto E de aristas con orientación (flechas) que conectan a 2 nodos.

Portland Chicago New York Los Ángeles Las Vegas Miami

Terminología:

Un

camino P

de longitud n desde U hasta V es una secuencia de n+1 nodos escrita como: P (V 0 ,V 1 ,…,V n ).

Donde: •U = V 0 •V i es adyacente a V i-1 para toda i = 1, 2, …, n •V = V n

Bucle

: Conexión de un vértice consigo mismo.

Camino Cerrado

: Es un camino donde V 0 inicial y el final son el mismo.

= V n , el vértice

Camino Simple

: Es aquel donde todos los vértices son distintos (Solo V 0 puede ser = a V n ).

Ciclo

: Camino simple cerrado de longitud 3 o mayor.

K-Ciclo

: Es un ciclo de longitud K.

Grafo Convexo

: Grafo donde existe un camino entre cualesquiera dos de sus nodos.

Grafo Completo

: Un grafo es completo si cada nodo U de G es adyacente a todos los demás nodos de G.

Multigrafo

: Es una generalización de un grafo que: 1) Contiene bucles y /o 2) Contiene aristas múltiples que conectan a los mismos extremos.

G1 Grafo Completo Dirigido G4 G2 Grafo Completo G3

Máximo Numero De Aristas: •GRAFO : Gn = n ( n - 1 ) 2 •GRAFO DIRIGIDO: G3 = 4(3) = 12 = 6 2 2 GDn = n ( n – 1 ) G4 = 4 (3) = 12 G1: CICLO A, B, C, A •GRAFO ACICLICO : Es un grafo que no contiene ciclos.

(Un árbol es un grafo aciclico).

F A B E C D

Un

Subgrafo

S 1 de un grafo G se define como: V (S 1 ) Є V (G) E (S 1 ) Є E (G) S 1 es un subconjunto de G si y solo si V (S1) Є V (G) y E (S1) Є E (G).

Ejemplo: Grafo G Subgrafo S 1 Subgrafo S 2 Subgrafo S 3

Grafo débilmente conectado

: Para cada par de vértices (u,v) existe un camino de u a v tal que vo = u y vn= v y para cada componente de la ruta (vi, vi+1) existe en E(G) el componente (vi, vi+1) o (vi+1,vi).

El camino quizá no puede recorrerse debido a la orientación de sus aristas.

Representación secuencial de grafos:

•Se basa en una matriz de adyacencia.

•Suponga que G es un grafo dirigido simple de m nodos y que los nodos de G han sido ordenados y llamados V 1 , V 2 , … , V n . La matriz de adyacencia para G es de tamaño m x m definiendo cada elemento como: a ij Ejemplo 1:

Y Z

= 1 : si V i es adyacente a v j . Existe e = (v i , v j ) 0 : en caso contrario.

X W

V V V V 1 2 3 4 = X = Y = Z = W

A =

X Y Z W V 1 V 2 V 3 V 4 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 X Y Z W V 1 V 2 V 3 V 4

= A 1

Para un grafo no dirigido, la matriz de adyacencia es una matriz simétrica: a i,j = a j,i

Y X

X X Y Z W 0 1 1 1 Y 1 0 1 1

Z W

Z 1 1 0 2 W 1 1 2 0

Considere las potencias A1, A2, A3 … de la matriz de adyacencia ak(i,j) = la entrada i,j de la matriz Ak.

A1 – Representa el número de caminos de longitud 1 desde el nodo vi hasta vj.

Ak – Representa el número de caminos de longitud k desde el nodo vi hasta el nodo vj.

A 2 =

0 0 0 1 1 0 1 2 0 0 1 1 1 0 0 1

A 3 =

1 0 0 1 1 0 2 2 1 0 1 1 0 0 1 1

A 4 =

0 0 1 1 2 0 2 3 1 0 1 2 1 0 1 1 Caminos de long. 2 Caminos de long. 3 Caminos de long. 4

Representación en memoria dinámica: Un grafo se puede representar con una LISTA DE ADYACENCIA.

Una lista de adyacencia para un vértice a es una lista ordenada de todos los vértices adyacentes a a.

• Si el Número de nodos es fijo se pueden almacenar

en un arreglo.

Ejemplo: Arreglo de nodos Lista de nodos adyacentes a cada nodo.

a b a c b b a c d c d d b

* Si el número de nodos puede variar, se deben almacenar en una lista.

Lista de Nodos

a b c a b b a c d c d d b

Operaciones sobre grafos:

1) Buscar un vértice/arista.

2) Insertar un vértice/arista.

3) Eliminar un vértice/arista.

4) Recorrer el grafo.

5) Número de vértices 6) Vacío.

• Los vértices se mantienen en una lista de vértices.

No pueden existir vertices repetidos.

• Los aristas se mantienen en una lista ordenada para cada vértice.

Búsqueda de el camino más corto:

Encontrar el camino más corto desde A (nodo inicial) hasta I (nodo final): 1) Marcar todos los nodos con infinito, y seleccionar nodo inicial (iniciar con 0) como nodo actual 2) Calcular los caminos del nodo actual a los nodos adyacentes, reemplazar el camino actual por el nuevo solo si este es menor.

3) Marcar el nodo actual como “visitado”.

4) Seleccionar como nodo actual el nodo con camino de valor mínimo.

5) Repetir para el nodo actual seleccionado los pasos 2, 3, 4 hasta llegar al nodo final o hasta agotar todos los nodos.

Ejemplo: ∞ * A 4 3 ∞ ∞ ∞ * D

(4,A)

∞ * ∞

(3,A)

B 5 ∞ C 1 2 E * ∞ ∞

(5,A, B)

2 3 G * 7 2 F 1 * ∞ ∞ 5 H ∞ 2 ∞

(7,A, B, E)

1 * ∞ ∞

(10,A, D, H)

I ∞ * ∞

Ejemplo 2. Encontrar el camino mas corto de A a Z