Transcript Analisis de Redes

Temas
3.1 Problema de transporte.
 3.1.1 Método de la esquina noroeste
 3.1.2 Procedimiento de optimización.
32 Problema del camino mas corto.
3.3 Problema del árbol expandido mínimo.
3.4 Problema de flujo máximo.
3.5 Ruta critica ( PERT-CPM).
Alumno: Jesús David Manuel Garcia
Mapa Conceptual.
Método de la esquina
Noroeste
Problema de
Transporte
Procedimiento de
optimización
Problema del
camino mas corto
Análisis de
Redes.
Problema del
árbol expandido
mínimo.
Problema de flujo
máximo
Ruta
Critica(PERTCPM)

El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias
fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son: 1. Nivel de oferta en cada fuente y la
cantidad de demanda en cada destino. 2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada
destino.

Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más fuentes. El
objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de cada fuente a cada destino,
tal que se minimice el costo del transporte total.

La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es directamente
proporcional al numero de unidades transportadas. La definición de “unidad de transporte” variará
dependiendo de la “mercancía” que se transporte.

El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una red con m fuentes y n
destinos. Una fuente o un destino esta representado por un nodo, el arco que une fuente y un
destino representa la ruta por la cual se transporta la mercancía. La cantidad de la oferta en la
fuente i es ai, y la demanda en el destino j es bj. El costo de transporte unitario entre la fuente i y
el destino j es Cij. Si Xi j representa la cantidad transportada desde la fuente i al destino j,
entonces, el modelo general de PL que representa el modelo de transporte es:

Minimiza Z= S i=1 m S j=1 n C i j X i j

Sujeta a:

S j=1 n X i j <= ai , i=1,2,…, m S i=1 m X I j >= bj , j=1,2,…, n

X i j >=0 para todas las i y j
 El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envíos
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desde una fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma análoga,
el segundo conjunto requiere que la suma de los envios a un destino
satisfaga su demanda.
El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta total Si=1 m ai
debe ser cuando menos igual a la demanda total Sj=1 n bj. Cuando la
oferta total es igual a la demanda total, la formulación resultante recibe
el nombre de modelo de transporte equilibrado. Este difiere del modelo
solo en el hecho de que todas las restricciones son ecuaciones, es decir:
SX i j = ai, i=1,2,…, m
SX i j = bj, j=1,2,…, n
En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la
demanda o mayor que ella. Sin embargo, un modelo de transporte
siempre puede equilibrarse. El equilibrio, además de su utilidad en la
representación a través de modelos de ciertas situaciones prácticas, es
importante para el desarrollo del método de solución que explote
completamente la estructura especial del modelo de transporte. Los
dos ejemplos que siguen presentan la idea del equilibrio y también sus
implicaciones prácticas.
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Ejemplo 1 (Modelo de transporte estándar)
MG Auto Company tiene plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns. Sus centros de
distribución principales son Denver y Miami. Las capacidades de las plantas durante el
trimestre próximo son 1 000, 1 500, y 1 200 automóviles. Las demandas trimestrales en los
dos centros de distribución son de 2 300 y 1 400 vehículos. El costo del transporte de un
automóvil por tren es de 8 centavos por milla. El diagrama de las distancias recorridas
entre las plantas y los centro de distribución son:
Denver Miami Los Ángeles
1 000 1 690 Detroit 1 250 1 350 Nueva Orleans 1 275 850
Esto produce en costo por automóvil a razón de 8 centavos por milla recorrida. Produce
los costos siguientes (redondeados a enteros), que representan a C i j del modelo original:
Denver Miami
Los Ángeles 80 215 Detroit 100 108 Nueva Orleans 102 68
Mediante el uso de códigos numéricos que representan las plantas y centros de
distribución, hacemos que X i j represente el número de automóviles transportados de la
fuente i al destino j. Como la oferta total ( = 1 000 + 1 500 + 1 200 = 3 700) es igual a la
demanda ( = 2 300 + 1 400 = 3 700), el modelo de transporte resultante esta equilibrado.
Por lo tanto, el siguiente modelo de PL que representa el problema tiene todas las
restricciones de igualdad.
 Minimizar Z = 80X 11 + 215X 12 + 100X 21 + 108X 22 +

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

102X 31 + 68X 32
Sujeto a:
X 11 X 12 = 1 000
X 21 X 22 = 1 500 X 31 X 32 = 1 200 X 11 X 21 X 31 = 2 300
X 12 X 22 X 32 = 1 400 X i j para todas las i y j
Este método comienza asignando la cantidad máxima permisible para la oferta y la demanda a la variable X11 (la que está
en la esquina noroeste de la tabla).
La columna o renglón satisfechos se tacha indicando que las variables restantes en la columna o renglón tachado son
igual a cero. Si la columna y el renglón se satisfacen simultaneamente, únicamente uno (cualquiera de los dos) debe
tacharse. Esta condición garantiza localizar las variables básicas cero si es que existen. Después de ajustar las
cantidades de oferta y demanda para todos los renglones y columnas no tachados, la cantidad máxima factible se asigna
al primer elemento no tachado en la nueva columna o renglón. El procedimiento termina cuando exactamente un renglón
o una columna se dejan sin tachar.
Ejemplo:
Una compañía tiene 3 almacenes con 15, 25 y 5 artículos disponibles respectivamente. Con estos productos disponibles
desea satisfacer la demanda de 4 clientes que requieren 5, 15, 15 y 10 unidades respectivamente. Los costos asociados
con el envío de mercancía del almacén al cliente por unidad se dan en la siguiente tabla.
Clientes
2
Alma 1
cén
1
10 0
2
12 7
3
0 14
3
4
20 11
9 20
16 18
 Motivos para estudiar Optimización
 Existe una enorme variedad de actividades en el mundo
cotidiano que pueden ser útilmente descritas como sistemas,
desde sistemas físicos tales como una planta industrial hasta
entidades teóricas tales como los modelos económicos. La
operación eficiente de esos sistemas usualmente requiere un
intento por optimizar varios índices que miden el desempeño del
sistema. Algunas veces, esos índices son cuantificados y
representados como variables algebraicas. Entonces se deben
encontrar valores para esas variables, que maximicen la ganancia
o beneficio del sistema, o bien minimicen
los gastos o pérdidas. Se asume que las variables dependen
de ciertos factores. Algunos de esos factores a veces están bajo el
control (al menos parcialmente) del analista responsable del
desempeño del sistema.
 El proceso de administración de los recursos escasos de un sistema se
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suele dividir en seis fases:
i análisis matemático del sistema
ii construcción de un modelo matemático que refleja los aspectos
importantes del sistema
iii validación del modelo
iv manipulación del modelo a fin de obtener
una solución satisfactoria, si no óptima
v implementación de la solución seleccionada
vi introducción de una estrategia de control del desempeño del sistema
después de la implementación efectuada.
La cuarta fase, la manipulación del modelo, es la que concierne a la
teoría de la optimización. Las otras fases son muy importantes en la
administración de cualquier sistema y probablemente requerirán
mayor esfuerzo total que la fase de optimización. Sin embargo, en esta
presentación de la optimización se asumirá que las demás fases fueron
o serán resueltas aparte. Debido a que la teoría de la optimización
brinda este eslabón en la cadena de la administración de sistemas
constituye un cuerpo importante del conocimiento matemático.
 El problema es determinar la mejor manera de cruzar
una red para encontrar la forma mas económica
posible desde un origen a un destino dado. Suponga
que en una red dada existen m nodos y n arcos
(bordes) y un costo Cij asociado con cada arco (i a j) en
la red. Formalmente, el problema del camino mas
corto (CC) es encontrar el camino mas corto (menor
costo) desde el nodo de comienzo 1 hasta el nodo final
m. El costo del camino es la suma de los costo de cada
arco recorrido. Defina las variables binarias Xij, donde
Xij =1 si el arco (i a j)es sobre el CC y Xij = 0 de lo
contrario. Existen dos nodos especiales llamados
origen y destino. El objetivo es encontrar el camino
mas corto entre el origen y el destino.
 Árbol: Es un grafo en el que existe un único nodo desde el que se puede acceder
a todos los demás y cada nodo tiene un único predecesor, excepto el primero,
que no tiene ninguno. También podemos definir un árbol como:
 Un grafo conexo y sin ciclos.
 Un grafo sin ciclos y con n-1 aristas, siendo n el número de vértices.

 Grado de un nodo en un árbol es el número de subárboles de aquel nodo (en el
ejemplo, el grado de v1 es 2 y de v2 1).
 Denominamos hojas en un árbol a los nodos finales (v3, v5 y v6).
 Un árbol de máximo alcance es aquel que obtenemos en un grafo conexo y
sin ciclos.
 Árbol de mínima expansión: Árbol de máximo alcance cuyo valor es mínimo,
es decir, la suma de sus aristas es mínima

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El algoritmo de Kruskal permite hallar el árbol minimal de cualquier grafo
valorado (con capacidades). Hay que seguir los siguientes pasos:
Se marca la arista con menor valor. Si hay más de una, se elige cualquiera
de ellas.
De las aristas restantes, se marca la que tenga menor valor, si hay más de
una, se elige cualquiera de ellas.
Repetir el paso 2 siempre que la arista elegida no forme un ciclo con las ya
marcadas.
El proceso termina cuando tenemos todos los nodos del grafo en alguna de
las aristas marcadas, es decir, cuando tenemos marcados n-1 arcos, siendo n
el número de nodos del grafo.
Ejemplo: Determinar el árbol de mínima expansión para el siguiente
grafo:
Siguiendo el algoritmo de Kruskal, tenemos:

Elegimos, por ejemplo, la arista (5, 6) = 1 (menor valor) y la marcamos.

Elegimos la siguiente arista con menor valor (1, 3) = 1 y la marcamos.

Elegimos la siguiente arista con menor valor (5, 7) = 2 y la marcamos, ya que no forma
ciclos con ninguna arista de las marcadas anteriormente.

Elegimos la siguiente arista con menor valor (1, 2) = 3 y la marcamos, ya que no forma
ciclos con ninguna arista de las marcadas anteriormente.

Elegimos la siguiente arista con menor valor (6, 7) = 4 y la desechamos, ya que forma
ciclos con las aristas (5, 7) y (5, 6) marcadas anteriormente.

Elegimos la siguiente arista con menor valor (2, 5) = 5 y la marcamos, ya que no forma
ciclos con ninguna arista de las marcadas anteriormente.

Elegimos la siguiente arista con menor valor (4, 5) = 6 y la marcamos, ya que no forma
ciclos con ninguna arista de las marcadas anteriormente.

FIN. Finalizamos dado que los 7 nodos del grafo están en alguna de las aristas, o también
ya que tenemos marcadas 6 aristas (n-1).
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En una red con flujo de capacidades en los arcos, el problema es determinar el flujo
máximo posible proveniente de los orígenes de forma tal de ahogar las capacidades de
flujos de los arcos. Considere una red con m nodos y n arcos con un flujo simple de
bienes. Denote el arco de flujo (i a j) como Xij. Asociamos cada arco a una capacidad de
flujo, kij. En esta red, deseamos encontrar el flujo total máximo en la red, F, del nodo 1 al
nodo m.
Luego de resolver este problema de PL mediante el uso de LINDO (entre otros software),
obtenemos los siguientes resultados:
Enviar 10 unidades de 1 a 2
Enviar 7 unidades de 1 a 3
Enviar 3 unidades de 2 a 6
Enviar 7 unidades de 2 a 4
Enviar 4 unidades de 3 a 6
Enviar 6 unidades de 3 a 5
Enviar 7 unidades de 4 a 7
Enviar 8 unidades de 5 a 7
Enviar 3 unidades de 6 a 3
Enviar 2 unidades de 6 a 5
Enviar 2 unidades de 6 a 7
 El flujo máximo es F= 17 unidades.
 El Problema Dual de Flujo Máximo:
 El problema dual para el ejemplo numérico anterior es:
 Min 10Y12 + 10Y13 + Y23 + Y32 + 6Y26 + 4Y36 + 4Y63 + 8Y24
 3Y64 + 3Y46 + 12Y35 + 2Y65 + 2Y56 + 8Y75 + 7Y47 + 2Y67
 sujeto a:
 X2 - X1 + Y12

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0, X3 - X1 + Y13 0, X3 - X2 + Y23 0,
X3 - X2 + Y32 0, X6 - X2 + Y26 0, X6 - X3 + Y36 0,
X3 - X6 + Y63 0, X4 - X2 + Y24 0, X4 - X6 + Y64 0
X6 - X4 + Y46 0, X5 - X3 + Y35 0, X5 - X6 + Y65 0,
X6 - X5 + Y56 0, X5 - X7 + Y75 0, X7 - X4 + Y47 0,
X7 - X6 + Y67 0, X1 - X7 1, y
Yij 0, y todos los Xi son variables libres.
La formulación dual sugiere que se intente asignar flujos a arcos de
misma manera que para cada arco, la diferencia en valores en el
nodo inicial y el nodo final excede el valor agregado.

MÉTODOS CPM Y PERT

Los métodos CPM (método de la ruta crítica o del camino crítico, criticaI path method) y PERT (técnica
de evaluación y revisión de programa, program evaluation and review techni- que) se basan en redes, y
tienen por objeto auxiliar en la planeación, programación y control de proyectos. Se define un proyecto
como conjunto de actividades interrelacionadas, en la que cada actividad consume tiempo y recursos. El
objetivo del CPM y del PERT es contar con un método analítico para programar las actividades. En la
figura 6.50 se resumen los pasos de estas técnicas. Primero se definen las actividades del proyecto, sus
relaciones de precedencia.

Representación en red
 Cada actividad del proyecto se representa con un arco que apunta en la
dirección de avance del proyecto. Los nodos de la red establecen las relaciones
de precedencia entre las diferentes actividades del proyecto.
 Para configurar la red se dispone de dos reglas:
 Regla 1. Cada actividad se representa con un arco, y uno sólo.
 Regla 2. Cada actividad se debe identificar con dos nodos distintos.

 La figura 6.51 muestra cómo se puede usar una actividad ficticia para


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
representar dos actividades concurrentes, A y B. Por definición, la actividad
ficticia, que normalmente se representa con un arco de línea interrumpida, no
consume tiempo o recursos. La inserción de una actividad ficticia en una de las
cuatro formas que se ven en la figura 6.51, mantiene la concurrencia de A y B, y
también proporciona nodos finales únicos para las dos actividades (para
satisfacer la regla 2).
Regla 3. Para mantener las relaciones de precedencia correctas, se deben
contestar las siguientes preguntas cuando se agrega a la red cada actividad:
a)
¿Qué actividades deben anteceder inmediatamente a la actividad actual?
b)
¿Qué actividades deben seguir inmediatamente a la actividad actual?
c)
¿Qué actividades deben efectuarse en forma concurrente o simultánea
con la actividad actual?

Regla 3. Para mantener las relaciones de precedencia correctas, se deben contestar las siguientes
preguntas cuando se agrega a la red cada actividad:

a)
¿Qué actividades deben anteceder inmediatamente a la actividad actual?

b)
¿Qué actividades deben seguir inmediatamente a la actividad actual?

c)
¿Qué actividades deben efectuarse en forma concurrente o simultánea con la actividad actual?
Uso de una actividad ficticia para tener representación única de las actividades
concurrentes A y B
Para contestar estas preguntas se podrá necesitar el uso de actividades ficticias,
para asegurar las precedencias correctas entre las actividades. Por ejemplo,
considere al siguiente segmento de un proyecto:
La actividad C comienza de inmediato después de haber terminado A y B.
La actividad E se inicia después de que sólo terminó la actividad B.

La parte (a) de la figura 6.52 muestra la representación incorrecta de esta relación de precedencia,
porque pide que A y B terminen antes de poder iniciar E. En la parte B se corrige la situación con el
uso de la actividad ficticia.

Figura 6.52: Uso de una actividad ficticia para asegurar una relación de precedencia correcta