Transcript x - Sociedad canaria de profesores de matemáticas

El nuevo currículum
y las competencias
Xavier Vilella Miró
Marzo, 2010
Análisis de tareas

Ordena estas tareas según los 5 criterios que se
dan (de + a -):
Eficiente para desarrollar competencias
 Frecuentes en las aulas de matemáticas
 Dificultad
 Apertura
 Equidad

PARRILLA PARA LA ORDENACIÓN
DE LAS TAREAS
Criterio
competencias
frecuencia
dificultad
apertura
equidad
Tareas




Ejercicios
Problemas
Breves investigaciones
Proyectos
COMPETENCIAS BÁSICAS
Competencia en comunicación lingüística
Competencia matemática
Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico
Tratamiento de la información y competencia digital
Competencia social y ciudadana
Competencia cultural y artística
Competencia para aprender a aprender
Autonomía e iniciativa personal
Desarrollar la competencia
matemática implica...

Pensar matemáticamente


Construir conocimientos matemáticos a partir de situaciones
en las que tenga sentido, experimentar, intuir, formular,
comprobar y modificar conjeturas, relacionar conceptos y
realizar abstracciones.
Razonar matemáticamente

Realizar inducciones y deducciones, particularizar y
generalizar, reconocer conceptos matemáticos en situaciones
concretas; argumentar las decisiones tomadas, así como la
elección de los procesos seguidos y de las técnicas utilizadas.
Desarrollar la competencia
matemática implica...

Plantearse y resolver problemas.
Leer
y entender el enunciado,
generar preguntas relacionadas con una situación-problema,
plantear y resolver problemas análogos,
planificar y desarrollar estrategias de resolución,
verificar la validez de las soluciones,
buscar otras resoluciones,
cambiar las condiciones del problema,
sintetizar los resultados y métodos utilizados,
y extender el problema, recogiendo los resultados que
pueden ser útiles en situaciones posteriores.
Para desarrollar
la competencia matemática...

Obtener, interpretar y generar información con
contenido matemático

Utilizar las técnicas matemáticas básicas (para contar,
operar, medir, situarse en el espacio y organizar y
analizar datos) y los instrumentos (calculadoras y
recursos TIC, de dibujo y de medida) para hacer
matemáticas
Para desarrollar
la competencia matemática...

Interpretar y representar (a través de palabras,
gráficos, símbolos, números y materiales) expresiones,
procesos y resultados matemáticos

Comunicar a otras personas el trabajo y los
descubrimientos realizados, tanto oralmente como por
escrito, utilizando el lenguaje matemático
Análisis de una tarea
¿Qué
competencias
¿Qué conexiones ¿Qué
con otras partes de conexiones con
desarrolla?
las matemáticas
facilita?
otras áreas
permite?
Análisis de una tarea
¿Facilita que
¿Motivará al
todos se pongan alumnado?
Motivación
a trabajar?
Atención a la diversidad
¿Facilita la entrada
de conocimiento
de fuera del
centro?
Formas de enriquecer
una tarea pobre







(Previamente: ¿vale la pena enriquecerla?)
Contextualizarla
Esconder datos
Ofrecer demasiados datos
Cambiar la pregunta
Presentar una respuesta y pedir cuál era la
pregunta
Enriquecerla mediante la GESTIÓN en el aula
…
¿Es igual?
6 · 10
10 · 6
Propiedad commutativa del
producto de números naturales:
axb=bxa
Ejemplo: 12 x 3 = 3 x 12
36 = 36
(pág. 13 del libro de texto)
6 cajas de 10
lápices
Casa con
fachada de 6
metros y
fondo de 10
60 lápices
60 metros
cuadrados
10 cajas de 6
lápices
Casa con
fachada de
10 metros y
fondo de 6
¿Es igual?
1/2
3/6
Propiedad fundamental de las
fracciones equivalentes:
axd=bxc
Ejemplo: 1 x 6 = 3 x 2
6=6
(pág. 80 del libro de texto)
Tengo 1 de 2
Tengo la
mitad
Tengo 3 de
6
Probabilidad
La
Probabilidad
a cara o cruz probabilidad a 3 números
en una
es ½
en un dado
moneda
de parchís
¿Por qué ahora hablamos
de competencias?

Las Tic, Internet:
Sí, la información al alcance de todos, pero...
... para entenderla y usarla inteligentemente es
preciso disponer de saberes globales y abstractos,
interpretar muchas situaciones y datos diversos
 Y para acceder a ella, es preciso desarrollar
habilidades
 y tener criterios de análisis crítico


Cambios en el sistema económico:
Personas preparadas para cambiar de trabajo
 Con gran capacidad de trabajo en equipo
 Y de afrontar la resolución de problemas no
previstos y de tomar decisiones


Vivir en una sociedad democrática:
Personas preparadas para participar en analizar
problemas colectivos y globales
 Para generar propuestas alternativas y ponerlas en
práctica con otras personas
 Saber escuchar, argumentar, negociar...

Una definición

La competencia es:

El uso integrado de un conjunto de capacidades
sobre un contexto de realidad

La capacidad de poner en juego de forma integrada y
estratégica ante una demanda compleja de la
sociedad, los conocimientos, habilidades, actitudes y
valores que poseemos
Componente cognitivo y de
habilidades prácticas
Componente social y de
comportamiento (actitudes,
valores, motivación)
Esfuerzo para superar el reto
CONTEXTO
ACTUACIÓN
COMPETENTE
Esto pide un cambio
• Enseñar un área: enseñar la
teoría, dar herramientas para
afrontar ejercicios y situaciones,
poner ejemplos...
• Descubrir su lógica
interna
• Aplicar los
conocimientos: ejercicios en
los que se aplique lo que se ha
enseñado: eco
• Presentar al alumno una
demanda más o menos
real
• Provocar su reflexión y
su análisis
• Conducir y ayudar a
buscar y encontrar los
conocimientos,
habilidades, actitudes...
que necesita para
resolverla
Actividad en…
MATEMÁTICA
EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
Universal
Contextualizada
Demanda rigor
Demanda eficacia
Priorización del símbolo
Priorización del significado
Enfasis en el contenido
Enfasis en el aprendiz
Completa
Construible
Propedéutica
Práctica
Ciclo de mejora
Propias
prácticas
Orientación
del trabajo
competencial
Nuevas propias
prácticas
Transición hacia la interdisciplinariedad:
ENRIQUECIMIENTO DE
TAREAS
La tarea que proponemos
en el aula

En un instituto del área metropolitana de
Barcelona:
¿Cuántas veces ha latido el corazón de una
persona de 80 años en tota su vida, si
suponemos una media de 72 latidos por
minuto?




¿Contenido competencial?
¿Resultado en el aula, en términos competenciales?
¿Resultado en el aula, en términos inclusivos?
¿Qué evaluamos con esta tarea?
La tarea enriquecida
¿Cuántas veces late el corazón de una persona de 80 años en toda su vida, si
suponemos una media de 72 latidos por minuto?
Queda así:
¿Cuántas veces ha latido el corazón de una
persona en tota su vida?



¿Contenido competencial?
¿Resultado en el aula, en términos competenciales?
¿Qué evaluamos con esta tarea?

Puede usarse en diferentes niveles de la
Educación Obligatoria:

Preguntándonos si somos capaces de encontrar una
expresión en función:
Del número de años que vive una persona
 del número de latidos de cada persona

¿Cuáles serán las variables a usar?
 ¿Cuáles serán las letras que las simbolizarán?
 ¿Para qué servirán estas expresiones? ¿Quién las
podría usar? ¿Para qué?
 ¿Hemos ganado algo creando estas expresiones?

Enriquecer una tarea pobre
• ¿Estamos de acuerdo en lo que consideramos
una tarea pobre?
Desde el punto de vista del desarrollo de las
competencies básicas
• Complejidad  realidad
• Reto  curiosidad
• Visión estratégica  previsión de consecuencias de las
acciones que se realizan
• Representaciones  oportunidad para todos/as
• Metareflexión  apropiación personal
• Si enriqueces una tarea pobre (o la gestión pobre
de una actividad)
– aparecen las conexiones entre contenidos de forma
natural
– Se desarrollan más aspectos competenciales
– Se facilita la atención a la diversidad
Tareas ricas y tareas pobres
• Calcula el mcm de 40 y 100
• Por una parada del centro de Santa Cruz pasan dos líneas de
guaguas, la línea A y la línea B. Las dos comienzan a funcionar a
las 6 de la mañana. La primera línea, la A, realiza un recorrido
corto, y vuelve a pasar por la parada del centro al cabo de 40
minutos. La línea B, en cambio, da una vuelta más larga, y tarda 1
hora y 40 minutos en regresar a la parada del centro. ¿A qué hora
se volverán a encontrar las dos guaguas en la parada del centro?
¿Cuántas veces coincidirán en toda una jornada, si vuelven a
cocheras a las 12 de la noche?
Tareas ricas y tareas pobres


En Infantil, han trabajado las formas geométricas
sencillas (cuadrado, rectángulo, triángulo, círculo)
Ahora trabajan el Arlequín de Picasso:





A1: “Señu, esto no son ni cuadrados, ni triángulos, ni
círculos... ¿Qué son?”
Maestra: “¿Qué creeis que son? ¿Qué veis ahí?”
A2 (callado todo el rato): “Hay dos triángulos enganchados”
El A2 muestra gran capacidad de análisis visual
¡La maestra ha de tomar buena nota de ello!

Cada curso, grados, minutos y segundos, de forma mecánica

Enriquecimiento:
“Una alta ejecutiva de una empresa multinacional trabaja en
Barcelona y ha de viajar a Copenhague y Ciudad del Cabo.





¿Deberá de cambiar la hora?
Me han dicho que en Ciudad del Cabo hace el mismo tiempo que en
Barcelona. ¿Es posible? ¿Por qué? ¿Tendrá relación con la latitud?
¿Y en Copenhague?”
Buscan las longitudes y latitudes con Google Earth y trabajan
unidades de ángulo en contexto
La profesora observa:

interés enorme, ganas de seguir trabajando en casa, se lo
pasen bien (¡ella también!), se ayudan entre ellos, son
protagonistas de la actividad, y aprenden mejor
Espacio y forma
•
Seguir la tradicional lección de
geometría del libro.
•
Enriquecimiento:
–
–
–
–
Formas de objetos,
clasificarlos
Investigar la función
que realizan
Comprobar que la
función se relaciona
con la forma
Estudiar las formas
4 x + 3 y = 12,5
8 x + 4 y = 22
Competencias que Relaciones con
se trabajan
otros temas y otras
áreas

Dos pizzas y tres
ensaladas cuestan
19,90 €. ¿Puedes
saber cuánto
cuestan una pizza y
dos ensaladas?
Pizzas y refrescos





la idea de equivalencia
la idea de proporcionalidad
el contexto muy cercano ayuda a superar el reto
el lenguaje algebraico
resolviendo, sin saberlo, sistemas de dos
ecuaciones con dos incógnitas, por el método de
reducción







4 pizzas y 6 ensaladas, ¿cuánto cuestan?
Explica qué más puedo saber con estos datos.
Razona que 2 pizzas no pueden costar 20 €.
Razona que 1 ensalada no puede costar más de 6 €.
Razona que cada pizza no puede costar más de 9 €.
Razona que 4 pizzas y 7 ensaladas cuestan más de 39 €.
Di 5 posibles precios de la ensalada y los
correspodienentes de cada pizza.
Tipos de cuestiones





Qué podemos saber a partir de una afirmación con dos
variables (ax+by=c)
Qué datos cumplen con dicha afirmación
Reconocimiento del alcance de una afirmación con dos
variables y lo que podemos deducir de ella
Observación de relaciones multiplicativas inmediatas
basadas en acotación en forma negativa
Argumentaciones no inmediatas de acotación aditiva en
forma positiva
El precio de 4 porciones y 6
refrescos es 17,60 €
 Razona por qué no puedo
saber el precio de 1 porción y
1 bebida
 ¿Qué podemos saber del
precio de 4 bebidas y 2
porciones?
 Di 5 cosas que podemos
asegurar a partir de la
información de que
disponemos.
 Razona si puedes saber el
precio de 8 porciones y 12
bebidas.
El precio de 3 porciones y 3 bebidas es 12 €.

Razona por qué ahora puedo saber el precio conjunto de una porción y 1 bebida.
¿Cuánto es?
Explica por qué puedo saber cuanto cuestan 5 bebidas y 5 porciones.
Indica 6 cosas que podemos saber a partir de los datos que tenemos ahora.
Razona por qué no puedo saber el precio de 2 porciones y una bebida solamente
con la información de esta página.
Si sabemos también lo que conocíamos antes (el precio de 6 bebidas y 4 porciones),
explica cómo pudes averiguar el precio de 1 porción y 3 bebidas.
¿Puedes saber el precio de 5 porciones y 15 bebidas? Razona la respuesta.

¿Puedes saber ahora el precio de cada bebida y el precio de cada porción?





Actividad propuesta
1.
Ayer compramos 4 bocadillos y 3 bebidas y
nos costaron 12,50 €. Hoy hemos comprado 8
bocadillos y 4 bebidas y nos han costado 22 €.
Averigua el precio de un bocadillo y el precio
de una bebida.
2.
4 x + 3 y = 12,5
8 x + 4 y = 22
¿Cuánto vale x? ¿Cuánto vale y?
Descubren el aislamiento en
ecuaciones de 1r grado
4
8
4
4
3
4
3
2
1
12,5
22
12,5
11
1,5
4
4
4
1
3 · 1,5
4,5
12,5
12,5
8
2
Después de las pizzas
y bebidas…



Vamos hacia el lenguaje simbólico y la
abstracción
Lo hacemos a partir de las representaciones que
ya han aparecido en los debates en el aula:
formas matriciales de los sistemas de ecuaciones
Aprovechamos para introducir casos y ampliar el
dominio: incompatible, restas, soluciones
negativas…
Practiquemos
2
2
3
4
8
10
¿cuánto vale la x y cuánto
vale la y?
 Ahora,
x+y=6

¿Y ahora?
x+2y=8
2 x + 4 y = 16
Practiquemos un poco...
x + 3 y = 10
x+2y=7

5
3
Escribe un enunciado para este sistema:
4
4
26
22
Practiquemos...
7
7
2
4
16
18
5
10
4
8
¿Qué pasa?
13
26
x+y=4
x+2y=3
Pasa algo...
2x-y=3
x-y=2
5x-y=9
x-2y=0
Justifica que:
x=2y
Nuevo contexto

Tarifas telefónicas I:




La compañía telefónica DD Comunications lanza una oferta
de telefonía móvil para captar clientes: ofrece una tarifa A en
la que el usuario sólo paga por el tiempo total que ha estado
llamando a razón de 0,08 euros / minuto.
Por otro lado, ofrece una segunda tarifa, la B, en la que el
usuario paga 6 euros fijos al mes pero las llamadas las paga a
0,05 euros / minuto.
Sea cual sea la tarifa escogida, esta compañía factura por los
segundos que el usuario haya llamado; además, en esta oferta
no se cobra el establecimiento de llamada.
Haz un estudio comparativo de las dos tarifas y saca tus
conclusiones.

Tarifas telefónicas II :
Días más tarde, la misma compañía lanza una tercera
tarifa, la C, en la que el usuario paga 10 euros fijos al
mes, pudiendo llamar180 minutos; si llama más
minutos, el usuario paga estos minutos de más a 0,20
euros / minuto.
 Compara esta tarifa con las anteriores. Expón tus
conclusiones.

Descubrir un
poblado íbero









El reto del descubrimiento
Reconstruir un pasado lejano usando las matemáticas
Identificación de restos íberos: observación de las diferencias
Reconocimiento de características: descubrimiento de las propiedades
Toma de medidas
La complejidad de la realidad
Registro de datos
Trabajo en equipo
Camino de la generalización
De los íberos al álgebra

Preparación de la salida:


Salida


Contextualitzación y objetivos
Recogida de datos
Trabajo en el aula
con los datos recogidos
 Conclusiones a partir de los resultados del trabajo
algebraico

Observar para distinguir (II)

Las terrazas de los
campesinos retienen la
tierra y la aplanan

Si encontramos muros en
ángulo o con
contrafuertes, no son
terrazas
Una vez identificados...

Ahora vamos a reconstruir
virtualmente el poblado:





Situar
Dibujar
Fotografiar
Medir
Primeras hipótesis:



Defensas: ¿para qué?
Viviendas: distribución, funciones,
ocupantes...
Edificios públicos: ¿cómo descubrirlos?
La reconstrucción virtual









Usando lo que ya se descubrió antes de nuestro trabajo
Descubrimiento de la constante de proporcionalidad
Aplicación a nuestro poblado: la altura de las paredes
Usando EXCEL para trabajar mejor
Usando matemáticas podemos hacer predicciones
Generalización: fórmulas equivalentes para una misma relación
funcional
Identificando el tipo de edificios
Ampliación: fórmula de Rondelet
Estimación de la extensión del poblado, y de la población
Descubrir la razón de
proporcionalidad
Poblado íbero
Altura
calculada
Grosor del
muro
Cerro Los
Santos
7.40
0.60
Sant Miquel de
Llíria
4.90
0.43
Ullastret A
7.90
0.65
Ullastret B
4.72
0.40
Razón de
proporciona
lidad n
Aplicación a nuestro poblado
Casa nº
1
2
3
4
5
E
n1
H1
n2
H2
Equivalencia de ecuaciones
H=E·n
H=n·E
H=E/n
E=H/n
H/E=n
E=n/H
¿Cuántas fórmulas equivalentes a la fórmula a = b · c existen?
Subiendo un peldaño...

Fórmula de Rondelet: E = H/8 · L/ √ (L2 + H2)
L
E
8LE
L2
E2
64 E2
L2-64E2
Raiz
Cociente
6,2
0,45
22,32
38,44
0,2025
12,96
25,48
5,047771786
4,421752
6,7
0,41
21,976
44,89
0,1681
10,7584
34,1316
5,842225603
3,761580
8,5
0,6
40,8
72,25
0,36
23,04
49,21
7,014983963
5,816121
6,1
0,6
29,28
37,21
0,36
23,04
14,17
3,764306045
7,778326
1,5
0,29
3,48
2,25
0,0841
5,3824
-3,1324
#NUM!
#NUM!
3,4
0,35
9,52
11,56
0,1225
7,84
3,72
1,928730152
4,935890
2,5
0,3
6
6,25
0,09
5,76
0,49
0,7
8,571428
2,5
0,2
4
6,25
0,04
2,56
3,69
1,920937271
2,082316
3
0,3
7,2
9
0,09
5,76
3,24
1,8
4
15,6
0,6
74,88
243,36
0,36
23,04
220,32
14,84318025
5,044741
8,7
0,4
27,84
75,69
0,16
10,24
65,45
8,090117428
3,441235
Reconstruyendo
piezas de cerámica




Conocimiento previo sobre la fabricación de
piezas de cerámica
Tipos de piezas usuales entre los íberos
Reconstrucción de la circunferencia: usamos
geometría sintética (¿tangentes o cuerdas?)
La pendiente lateral como elemento de
identificación de la pieza: acotación
La pendiente que identifica
altura
2
7
radio
Relación altura/radio
R
D
R
Clave de identificación
Jarra, olla
Bol
Plato
Línea de base
Para una jarra: diámetro < altura
Para un plato: altura ≤ 2/7 radio
Para un bol: altura ≤ 1/3 diámetro
Algunas referencias interesantes





Currículum vigente, competencias básicas
Web de CREAMAT
Revista BIAIX de la Federació del professorat de
Catalunya (FEEMCAT): número 24 i altres.
Principios y Estándares para la Educación Matemática.
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM),
traducidos por la Sociedad Andaluza de Educación
Matemática (THALES)
Revista UNO de didáctica de las matemáticas. Ed. Graó.
Núm. 9 y otras.

¿Es posible viajar con las matemáticas? Grup Vilatzara.
Editado por la FESPM, Badajoz. Disponibles en el
ICE-UAB

Matemáticas para todos: enseñar matemáticas en un aula
multicultural. Xavier Vilella. Colección Cuadernos de
Educación, núm. 53. Coeditado por el ICE-Universidad
de Barcelona y editorial HORSORI, Barcelona.

Investigando las matemáticas. Ed. AKAL. Madrid. 4 libritos
fotocopiables con breves investigaciones.