Transcript Slide 1
TIKIMYBIŲ TEORIJA
Įvykiu vadinami įvairūs gamtos, ekonominiai ir
pan. reiškiniai, kurie gali įvykti susidarius tam
tikroms sąlygoms. Visuma sąlygų, duodančių
galimybę pasirodyti stebimajam įvykiui,
paprastai vadinama bandymu arba
eksperimentu. Kiekvieno bandymo rezultatas
vadinamas įvykiu.
•Metamas lošimo kauliukas – bandymas,
iškrito 6 akys – įvykis.
•Perkamas akcijų paketas – bandymas,
dividendų gavimas – įvykis.
Įvykis, kuris bandymo metu gali įvykti arba
neįvykti, vadinamas atsitiktiniu įvykiu.
Pavyzdžiui, laimėjimas tenka ne
kiekvienam įsigytam loterijos bilietui.
Įvykis, kuris, atlikus bandymą, būtinai
įvyksta, vadinamas būtinu. Įvykis, kuris ,
atlikus bandymą, negali įvykti, vadinamas
negalimu.
Pavyzdžiui, prie 100º C temperatūros vanduo,
esant normaliam slėgiui, užverda- tai būtinas
įvykis, bet prie tų pačių sąlygų, jis niekada
nevirs ledu – tai negalimas įvykis.
Atsitiktiniai įvykiai žymimi didžiosiomis
raidėmis – A,B,C,…
Būtiną įvykį visuomet žymėsime Ω, o
negalimą įvykį žymėsime tuščios aibės
simboliu Ø. Jei įvykis nėra nei būtinas, nei
negalimas, tai jis – atsitiktinis.
Tarkime,kad metamas(vieną kartą) lošimo
kauliukas. Šis bandymas gali baigtis tik viena
iš šešių galimybių: gali atsiversti sienelė su 1,
2, 3, 4, 5, 6 akutėmis. Tuos bandymo
rezultatus išreikšime įvykiais A1, A2, A3, A4, A5,
A6.
Elementariuoju vadinamas įvykis, kuriam
palanki tik viena baigtis. Tokių įvykių aibė
vadinama elementariųjų įvykiu erdve. Vadinasi,
elementariųjų įvykių erdvę sudaro visi galimi
bandymo rezultatai, kurie gali įvykti tik atskirai
(o ne kartu su kitais) ir kurių negalima
“smulkinti”.
A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6
Veiksmai su įvykiais
Ω
A
B
Jei įvykis B yra įvykio A dalis , t.y. BA,
jeigu įvykus įvykiui A, įvyksta ir įvykis B
Kiekvienas įvykis A yra būtinojo įvykio Ω dalis
A 1,2,3,4
B 2,4
A
B
A
B
Ω
Įvykiu A ir B sąjunga arba suma vadiname
įvykį, kai įvyksta bent vienas iš įvykių A ir B.
Žymima A+B arba AUB.
A 1,2,3,4
B 4,5
A
B
A+B
A
B
Ω
Įvykių A ir B sankirta arba sandauga vadiname
įvykį, kai kartu įvyksta abu įvykiai A ir B.
Žymima A·B, A∩B arba A&B.
A 1,2,3,4
B 4,5
A
B
A&B
A
B
Ω
Įvykių A ir B skirtumu vadinamas įvykis A\B
(A-B), kai įvyksta A, o B neįvyksta
A 1,2,3,4
B 4,5
A
B
A\B
A
Ω
Įvykis, kuris įvyksta, kai įvykis A neįvyksta,
yra vadinamas įvykiui A priešingu įvykiu ir
žymimas A
A A AA Ø
A A
A 1,2,3,4
A 5,6
A
A
A
B
Ω
Įvykiai A ir B vadinami nesutaikomais,
jeigu jie negali įvykti kartu , kai A B
Priešingu atveju jie vadinami sutaikomais
A 1,2,3,4
A 5,6
A
A
Klasikinis tikimybės apibrėžimas
Įvykio A tikimybe vadinamas elementariųjų
įvykių, sudarančių įvykį A, skaičiaus santykis
su elementariųjų įvykių skaičiumi erdvėje Ω
m palankiųįvykiuiA atvejųskaičius
P(A)
visų galimų atvejųskaičius
n
Ši tikimybės skaičiavimo formulė vadinama
klasikiniu tikimybės apibrėžimu
P() 0
P ( ) 1
0 P( A) 1
P( A ) 1 P( A)
Du kartus metama moneta. Kokia tikimybė, kad
bent kartą iškris herbas?
Ω=
m 3
P(A)
n 4
n!
A
n k !
k
n
Gretiniai
Tvarka!
Ne tas pats gretinys!!!
A n(n - 1)(n- 2)(n- 3)...
k
n
k narių
10
9
8
7
6
5
10
10
10
10
10
10
Kėliniai
Pn n!
Deriniai
k
n
n!
A
C
n k !k! k!
k
n
Aksiominis tikimybės
apibrėžimas
Tikimybe vadiname skaitinė funkcija P, tenkinanti
šias aksiomas:
•P(A)≥0;
•P()=1;
•P(A+B)=P(A)+P(B), kai AB=
Trejetas {,F,P} vadinamas tikimybine erdve, čia
-elementarių įvykių erdvė
F-poaibių klasė, kurios elementai yra nagrinėjami
įvykiai
P-tikimybė
Tikimybės savybės:
1) P()=0
2) 0≤P(A)≤1
3) P( A )=1-P(A)
n
n
4) P Ai P(Ai ) ,kai AiAj=, i≠j
i 1 i 1
5) Jei įvykiai Ai , i=1,2,...,n sudaro pilnąją
įvykių grupę, tai
n
P(A ) 1
i 1
i
Įvykių sumos ir sandaugos
tikimybė
Teorema. Dviejų įvykių sumos (sąjungos)
tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai be
tų įvykių sandaugos (sankirtos) tikimybės
skirtumui:
P( A B) P( A) P( B) P( AB).
Teorema. Nors vieno iš įvykių A1 , A2 , A3 ,...An
pasirodymo tikimybė :
P( A1 A2 A3 ...An ) 1 P( A1 A2 A3 ... An )
Įvykis B=A1+A2+...+An , tada jam priešingas įvykis
B A1 A2 A3 ... A (dualumo principas). Kadangi
P(B) 1 P( B ) tai
P(A1 A2 A3 ...An ) 1 P(A1 A2 A3 ... An )
Iš urnos, kur yra 7 balti ir 5 juodi rutuliai, atsitiktinai
be gražinimo išimti 4 rutuliai. Kokia tikimybė, kad
A nors vienasrutulysyra baltas?
A visi juodi
P ( A) 1 P ( A )
5 4 3 2
C54
1 4 1 4 3 2 1
12 1110 9
C12
5
4 3 2 1
5 1 98
1
9 5 11 99
Įvykio A tikimybė, apskaičiuota tarus, kad įvykis
B įvyko, vadinama sąlygine tikimybe ir žymima
P( A B)
Skaitoma - ”tikimybė, kad įvyks A su sąlyga,
kad įvyko B”
P( AB)
P( A B)
P( B)
Teorema. Dviejų įvykių sandaugos(sankirtos)
tikimybė yra lygi vieno įvykio tikimybei,
padaugintai iš kito įvykio sąlyginės tikimybės,
kai pirmasis įvykis įvyko:
P( AB) P( A)P(B A) P(B)P( A B)
Iš 36 kortų kaladės atsitiktinai traukiamos trys
kortos. Kokia tikimybė, kad tarp jų nebus nei vieno
tūzo?
32 31 30
P( A1 A2 A3 )
0.69
36 35 34
Du įvykiai A ir B vadinami nepriklausomais, jei
vieno iš jų įvykimas nepakeičia antrojo įvykio
tikimybės, t.y. P( A B) P(A) ir P( B A) P(B)
Priešingu atveju jie vadinami priklausomais.
Teorema. Dviejų nepriklausomų įvykių
sandaugos tikimybė lygi tų įvykių tikimybių
sandaugai, t.y.
P( AB) P( A) P( B)
Kadangi įvykiai A ir B yra nepriklausomi, tai
P( A B) P(A) ir P( B A) P(B)
Įrašę į sandaugos teoremą P(AB) P(A)P(B A) P(B)P( A B)
gauname P(AB) P(A)P(B)
Teisingas ir atvirkščias teiginys
Studentas iš patirties žino, kad jam reikalinga
knyga bus KTU knygyne su tikimybe 0,5.
Tikimybė, jog reikalinga knyga bus KVK
bibliotekoje lygi 0,7, o Kauno viešoje bibliotekoje
lygi 0,3. Apskaičiuokite tikimybes:
a) reikiamą knyga bus bent vienoje iš šių
paminėtų institucijų,
b) reikiamą knyga bus KTU knygyne ir KVK
bibliotekoje ,
c) visose trijuose institucijose.
a)
reikiamą knyga bus bent vienoje iš šių
paminėtų institucijų
0,5
0,7
0,3
0,3
0,5
P( A) 1 P( A )
1 0.5 0.3 0.7 0.895
0,7
b)
reikiamą knyga bus KTU knygyne ir KVK bibliotekoje
0,5
0,7
0,7
0,5
0,7
0,3
P( A) 0.5 0.7 0.7 0.5 0.7 0.3 0.35
c)
visose trijuose institucijose
0,7
0,5
0,3
P( A) 0.5 0.3 0.7 0.105