Transcript Document

Означення пропорції. Основна
властивість пропорції
Учення про відношення та пропорції стародавні греки називали
музикою, яку вважали галуззю математики.
В музичному інструменті багато (або декілька) струн. Щоб усі вони під
час гри звучали узгоджено, їх довжини повинні в певному відношенні.
Пропорційність має широке застосування в архітектурі, живописі,
скульптурі. Вона означає дотримання певних співвідношень між окремими
частинами споруди, картини, скульптури, що справляє найприємніше
враження. Архітектуру часто називають “завмерлою музикою”.
Рівнобедрений трикутник.
Означення. Властивості кутів
180  36 144
0

 72
2
2
AD – бісектриса кута
С
С
36˚
36˚
0
0
0
D
72˚
72˚
А
36˚
72˚
В
А
36˚
72˚
В
Подібність трикутників. Перша
ознака подібності трикутників
С
∆ABC~∆BDA за двома кутами
Їх сторони пропорційні
36˚
AB BD

;
AC AB
D
72˚
AB  AC  BD
36˚
2
середнє пропорційне, або
середнє геометричне
72˚
А
36˚
В
Правильний десятикутник
А
О
В
AOB  360 : 10  36
0
∆AOB рівнобедрений
0
Задача №1
A
B
0
36

1080
E

360
D
ABCDE – правильний п’ятикутник
180(n-2) – сума внутрішніх кутів
1800  3 3

 1800  1080
5
5
0
180  3
0
0
C   
 36  3  108
5
C
1800  1080 720
CDB  CBD 

 360
2
2
  108  36  72
0
0
0
    108  72  180
0
Довести: AE ll BD
0
AE ll BD
0
Задача №2
BD ll AE, та CE ll AB, тому ABOE – паралелограм
B за означенням
Оскільки AB = AE за умовою, то ABOE – ромб.
A
∆ECD~∆DCO
EC DC

DC OC
CE = EO + OC;
О
E
D

DC = EO, то
EO  OC EO

EO
OC
OC
EO
EO
1

, нехай
x
EO OC
OC
1
1
 x; x  0
x
2
D  1  4 11  5
x  x 1  0
C
Знайти відношення,
в якому діагоналі
правильного
1 5
x1 
 0;
п’ятикутника
2
поділяються точкою
не задовольняє
перетину.
умову
1 5
x2 
0
2
x  1,6
OC
2
2( 5  1)
5 1


EO 1  5
5 1
2
EO
 1,6
OC
OC
 0,6
EO
Золотий переріз
a-x
x
A
B
M
AB
AM

AM BM
AB = a > 0
aa  x   x
a
x

x ax
2
aa 5
x  ax  a  0 D  a  4 1  a   5a x1, 2 
2
5 1
aa 5
aa 5
x2 
a
;
x1 
 0 x2 
2
2
2
2
2
x2  0618a
2
2
2
Термін золотий переріз увів Леонардо до Вінчі
наприкінці XV ст..
Під золотим перерізом розуміють поділ відрізка
точкою так, щоб більша частина відрізка, була
середньою пропорційною величиною між
меншою частиною і всім відрізком.
Пентагон
C
A1
B
B1
C1
E1
D1
A
E
Піфагор вважав правильний
п’ятикутник незвичайною фігурою і
дарував його зображення тільки
друзям, як символ дружби.
D
Діагоналі п’ятикутника утворюють
правильну зірка, яку піфагорійці
сприймали як символ здоров’я.
Усередині п’ятикутника
знаходиться зірка, усередині
зірки – п’ятикутника, у ньому –
знову зірка і т. д..
Для побудови такої правильної
П’ятикутна зірка - пентограма –
зірки піфагорійці користувалися
завжди привертала увага людей
тим, що кожна з п’яти діагоналей
досконально формою. П’ятикутна
ділить іншу в певному відношенні
зірка зустрічається на прапорах і
(відношення золотого перерізу),
гербах Китаю, США, Сінгапуру,
тобто A B
A
D

BDD
~

A
B
C


1
1
1 1 1
 1 
 В’єтнаму, Пакистану, Туреччини,
Євросоюзу і т. д..
A1 D BD 
BD1 || A1C1

Побудування золотого перерізу
a
2
С
a
2
N
x
A
a
AC 
B
М
2
a
a 

4
2
Відрізок x можна побудувати,
використавши теорему Піфагора.
1) коло (С; а/2)
2) коло (А; x)
3) т. М перетин кола №2 і АВ.
Завдання: побудувати довільний
відрізок і знайти його золотий
переріз, використовуючи циркуль і
лінійку.
5a
4
2
a

2
a 5 a
5 1
AN  AM 
 
a.
2
2
2
5;
Висновок
Золотий переріз – це поділ відрізка на дві нерівні частини так, що довжина
всього відрізка відноситься до довжини більшої його частини, як довжина
більшої частини до довжини меншої. Золотий переріз називають
гармонійним.
0,618a
 т ау
a
або
 фі
AB – зріст людини
А
х
т. Х – на талії, тоді
Ax Bx

Bx AB
Квітник
5 : 8 або 8 : 13
(людина)
трава
квіти
В
смуги