Transcript VECTORI ÎN PLAN

Verifică dacă ai înţeles!
Grupa 1. Sarcina 1.
Găseşte coordonatele vectorilor, AB, BC şi AC dacă
A(-1,2),B(0,-3),C(2,-1)
Grupa 2. Sarcina 1.
Fie (O, i, j)un reper cartezian în plan. Figuraţi punctele A,B,C,D astfel încât OA=2 i+3 j,
OB=2 i-3 j, OC=-2 i-3 j, OD=-2 i+3 j
Grupa 3. Sarcina 1.
Se dă vectorul AB=- i-2 j Determinaţi coordonatele punctului B, dacă A are coordonatele A(1,3).
Grupa 4. Sarcina 1.
Se consideră vectorii a=(m+1)i+4j şi b=2i+(m-1)j.Să se determine m astfel încât a=b.
=(
) +(
)
MN=(xN-xM).i+(yN-yM).j
G1.S1. Răspuns: 𝐴𝐵 =1∙ 𝑖 − 5 ∙ 𝑗 , 𝐵𝐶 =2∙ 𝑖 +2∙ 𝑗 , 𝐴𝐶 =3∙ 𝑖 − 3 ∙ 𝑗
G2.S1.Răspuns:
G3.S1. Răspuns: 𝑥𝐵 = 0 ş𝑖 𝑦𝐵 = 1
G4.S1. Răspuns: 𝑚 + 1 = 2: şi 𝑚 − 1 = 4 , 𝑚 = 1: şi 𝑚 = 5 deci nu există.
Verifică dacă ai înţeles!
Grupa 1. Sarcina 2.
Determinaţi modulul următorului vector: a(1,2).
Grupa 2. Sarcina 2.
Determinaţi modulul următorului vector: a=2.i + j
Grupa 3. Sarcina 2.
Determinaţi modulul următorului vector: AB , dacă A(1,3),B(-2,0)
Grupa 4. Sarcina 2.
Determinaţi modulul următorului vector: -a(1,2)
Dacă
sau
atunci | |=
G1.S2. Răspuns: dacă |𝑎 |= 𝑥𝑎 2 + 𝑦𝑎 2 = 12 + 22 = 5
G2.S2. Răspuns: dacă |𝑎 |= 𝑥𝑎 2 + 𝑦𝑎 2 = 22 + 12 = 5
G3.S2. Răspuns: dacă |𝐴𝐵| =
( −2 − 1)2 + ( 0 − 3)2 = 3 2
G4.S2. Răspuns: |−𝑎 |=|𝑎 |= 𝑥𝑎 2 + 𝑦𝑎 2 = 12 + 22 = 5
VECTORI ÎN PLAN
Verifică dacă ai înţeles!
Grupa 1. Sarcina 3.
Stabiliţi dacă următorii vectori sunt coliniari: u(1,2) şi v(-2,-4)
Grupa 2. Sarcina 3.
Stabiliţi dacă următorii vectori sunt coliniari: u= i+2. j şi v=-2. i-4. j
Grupa 3. Sarcina 3.
Fie A(8,-2),B(3,4),C(11,7),D(-21,19). Stabiuliţi dacă vectorii AB , CD sunt
coliniari.
Grupa 4. Sarcina 3.
Fie A(8,-2),B(3,4),C(11,7). Stabiliţi dacă punctele A,B,C sunt
coliniare.(adică dacă vectorii AB, BC sunt coliniari)
=
şi
doi vectori sunt coliniari dacă
pentru
VECTORI ÎN PLAN
G1.S3. Răspuns:
G2.S3. Răspuns:
G3.S3. Răspuns:
𝑥𝑢
𝑥𝑣
𝑥𝑢
𝑥𝑣
=
𝑦𝑢
𝑦𝑣
𝑦𝑢
𝑦𝑣
adică
adică
1
−2
1
−2
=
=
2
−4
2
−4
coliniari.
coliniari
𝑢 𝑥𝑢 , 𝑦𝑢 = 𝐴𝐵 =−5 ∙ 𝑖 + 6 ∙ 𝑗 , 𝑣 𝑥𝑣 , 𝑦𝑣 = 𝐶𝐷 = −32 ∙ 𝑖 + 12 ∙ 𝑗
𝑥𝑢
G4.S3. Răspuns:
=
=
𝑦𝑢
adică
−5
𝑥𝑣
𝑦𝑣
−32
𝑥 𝐵 −𝑥 𝐴
𝑦𝐵 −𝑦𝐴
𝑥 𝐶 −𝑥 𝐴
=
𝑦𝐶 −𝑦𝐴
=
adică
6
12
−5
−32
nu sunt coliniari.
=
6
12
nu sunt coliniari.
VECTORI ÎN PLAN
VECTORI ÎN PLAN
Verifică dacă ai înţeles!
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Grupa 1. Sarcina 4.
Să se arate că triunghiul ABC, unde A(0,3),B(2,6),C(5,4) este dreptunghic în B.
(Indicaţie: se arată că vectorii AB şi BC sunt perpendiculari)
Grupa 2. Sarcina 4.
Într-un reper cartezian xOy să se reprezinte punctele A,B şi C pentru care OA=3. i , OB=-2. j, OC=3. i -2. j
şi să se arate că patrulaterul OBCA este un dreptunghi.
(Indicaţie: se arata că două laturi opuse sunt vectori paraleli si egali şi doua laturi alăturate sunt doi vectori
perpendiculari).
Grupa 3. Sarcina 4.
Fie A(0,3),B(2,6),C(5,4). Să se verifice dacă perechile de vectori AB şi BC , BC şi AC sunt perpendiculari.
(Indicaţie: se scriu vectorii in funcţie de coordonate şi se verifică condiţia de mai jos din chenar)
Grupa 4. Sarcina 4.
Fie triunghiul ABC unde A(1,2),B(3,0),C(5,2). Să se determine coordonata piciorului D(x,4) al înălţimii duse din A.
(Indicaţie: din condiţia de perpendicularitate a vectorilor AD şi BC se obţine x)
Doi vectori =
şi
sunt perpendiculari
VECTORI ÎN PLAN
G1.S4. Răspuns: 𝐴𝐵
= (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )𝑖 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )𝑗 = 2 − 0 𝑖 + (6 − 3)𝑗 = 2𝑖 + 3𝑗 ,
𝐵𝐶 = (𝑥𝐶 − 𝑥𝐵 )𝑖 + (𝑦𝐶 − 𝑦𝐵 )𝑗 = 5 − 2 𝑖 + 4 − 6 𝑗 = 3𝑖 − 2𝑗 ,
Verificăm condiţia (P2) x1 ∙ x2 + y1 ∙ y2 = 0 adică ……….
G2.S4. Răspuns:
se aleg 𝑂𝐵 şi 𝐴𝐶 opuşi. Modulele sunt |𝑂𝐵|=2 şi 𝐴𝐶 =𝐴𝑂 + 𝑂𝐶 = −3𝑖 + 3𝑖 − 2𝑗 = −2𝑗,
|𝐴𝐶 |=2
Fiind şi egali vectorii atunci sunt paraleli, deci figura este paralelogram.
Mai arătăm că 2 vectori concurenţi sunt perpendiculari:
Fie 𝑂𝐴 şi 𝑂𝐵 sunt perpendiculari fiind pe cele două axe.
G3.S4. Răspuns:
𝐴𝐵 = 2𝑖+3𝑗 , 𝐵𝐶 = 3𝑖 − 2𝑗 şi 𝐴𝐶 = 5𝑖+𝑗
Verificăm pentru 𝐴𝐵 şi 𝐵𝐶 condiţia (P2): 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 = 0, adică 2∙3+3∙(-2)=0 sunt perpendiculari
Verificăm pentru 𝐵𝐶 şi 𝐴𝐶 condiţia (P2): 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 = 0, adică 3∙5-2∙1=13 nu sunt perpendiculari
alegem 𝐵𝐶 = 5 − 3 𝑖 + 2 − 0 𝑗 = 2𝑖+2𝑗 şi 𝐴𝐷 = 𝑥 − 1 𝑖 + 4 − 2 𝑗 = (𝑥 − 1)𝑖+2𝑗
din condiţia de perpendicularitate se obţine 2 ∙ 𝑥 − 1 + 2 ∙ 2 = 0 rezultă 2x-2+4=0 adică x=-1
G4.S4. Răspuns:
VECTORI ÎN PLAN
Verifică dacă ai înţeles!
Grupa 1. Sarcina 5.
Cercetaţi dacă patrulaterul ABCD, unde A(1,3), B(4,7), C(2,8), D(-1,4), este paralelogram.
(Indicaţie: se arata că diagonalele au acelaşi mijloc cu formula (2))
Grupa 2. Sarcina 5.
Fie A(2,-3), B(4,-2), C(-4,6) . Calculaţi coordonatele punctului D astfel încât ABCD să fie
paralelogram.
(Indicaţie: se pune condiţia ca diagonalele să aibă acelaşi mijloc cu formula (2))
Grupa 3. Sarcina 5.
Determinati mijlocul medianei AM a triunghiului ABC, unde A(1,2), B(3,0), C(5,2).
(Indicaţie: se calculează coordonatele lui M şi apoi coordonatele mijlocului lui AM cu formula (2))
Grupa 4. Sarcina 5.
Determinaţi mijlocul segmentului AB, unde A(1,2), B(4,3).
(Indicaţie: se foloseşte formula (2))
M mijlocul segmentului
VECTORI ÎN PLAN
G1.S5. Răspuns:.
M mijlocul lui AC: 𝒙𝑴 =
N mijlocul lui BD: 𝒙𝑵 =
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝒙𝑨 + 𝒙𝑪 =
𝒙𝑩 + 𝒙𝑫 =
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
ş𝒊 𝒚𝑴 =
ş𝒊 𝒚𝑵 =
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝒚𝑨 + 𝒚𝑪 =
𝒚𝑩 + 𝒚𝑫 =
𝟏𝟏
𝟐
𝟏𝟏
𝟐
G2.S5. Răspuns:Fie D(x,y) , diagonalele sunt AC şi BC
M mijlocul lui AC: 𝒙𝑴 = −𝟏 ş𝒊 𝒚𝑴 =
N mijlocul lui BD: 𝒙𝑵 =
𝟏
𝟐
G3.S5. Răspuns: 𝒙𝑴 =
𝟒+𝒙
𝟏
𝟐
N mijloculul lui AM: 𝒙𝑵 =
G4.S5. Răspuns: 𝒙𝑴 =
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
ş𝒊 𝒚𝑵 =
𝟏
𝟐
−𝟐 + 𝒚 , 𝑥 =-6 şi y=5
𝟑 + 𝟓 = 𝟒 ş𝒊 𝒚𝑴 =
𝟏
𝟐
𝒙𝑨 + 𝒙𝑴 =
𝒙 𝑨 + 𝒙𝑩 =
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟎+𝟐 = 𝟏
𝟏+𝟒 =
𝟏+𝟒 =
𝟓
𝟐
𝟓
𝟐
ş𝒊 𝒚𝑵 =
ş𝒊 𝒚𝑴 =
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝒚𝑨 + 𝒚𝑴 =
𝒚𝑨 + 𝒚𝑩 =
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐+𝟏 =
𝟐+𝟑 =
𝟓
𝟐
𝟑
𝟐
VECTORI ÎN PLAN
VECTORI ÎN PLAN
Verifică dacă ai înţeles!
Grupa 1. Sarcina 6.
Centrul de greutate al unui triunghi ABC se află pe axa Ox , A(2,-3), B(-5,1), iar C este situat pe axa
Oy. Să se determine coordonatele punctelor G şi C.
(Indicaţie: Considerăm C(0,y) şi G(x,0). Scrieţi coordonatele lui G în funcţie de coordonatele lui
A,B,C şi aflaţi pe x şi y)
Grupa 2. Sarcina 6.
Să se determine capetele A, B ale unui segment care este împărţit de punctele M(2,2), N(1,5) în trei
părţi egale.
(Indicaţie: M este mijlocul lui [AN] şi N este mijlocul lui [MB]).
Grupa 3. Sarcina 6.
Se dă un triunghi ABC cu A(4,3), B(8,5). Dacă G(10,7) este centrul de greutate al triunghiului să se
afle coordonatele lui C.
(Indicaţie: se alege C(x,y) şi se aplică formula (3)
Grupa 4. Sarcina 6.
Fie A(-2,0),B(4,0), C(0,6) vârfurile unui triunghi. Să se determine coordonatele centrului de greutate
G.
(Indicaţie: Fie G(x,y) şi aplicaţi formula (3) ).
G centrul de greutate al triunghiului ABC
,
VECTORI ÎN PLAN
VECTORI ÎN PLAN
Verifică dacă ai înţeles!
Grupa 1. Sarcina 7.
Se dă un triunghi ABC cu A(-2,0),B(4,0), C(0,6). I punctul de intersecţie al bisectoarelor interioare triunghiului.
Să se determine coordonatele lui I.
(Indicaţie:se calculează lungimile segmentelor [AB], [AC], [BC] cu formulele |AB|=c,|AC|=b, |BC|=a şi se aplică
formula (5).
Grupa 2. Sarcina 7.
Se dă un triunghi ABC cu A(-2,0),B(4,0), C(0,6). .Dacă [CD este bisectoarea unghiului să se determine
coordonatele lui D.
(Indicaţie: se calculează lungimile segmentelor [AC], [BC] cu formulele |AC|=b, |BC|=a şi se aplică formula (4) .)
Grupa 3. Sarcina 7.
Se dă un triunghi ABC cu A(-2,0),B(4,0), C(0,6).. Dacă [BD este bisectoarea unghiului ABC să se determine
coordonatele lui D.
(Indicaţie: se calculează lungimile segmentelor [AB],[BC]cu formulele |AB|=c,|BC|=a şi se aplică formula (4) .
Grupa 4. Sarcina 7.
Se dă un triunghi ABC cu A(-2,0),B(4,0), C(0,6).. Dacă [AD este bisectoarea unghiului BAC să se determine
coordonatele lui D.
(Indicaţie: se calculează lungimile segmentelor [AB],[AC]cu formulele |AB|=c ,|AC|=a şi se aplică formula (4) ).
G1.S6. Răspuns:.
Coordonatele lui G sunt 𝑥 =
2−5+0
3
−3
=
3
şi 0 =
−3+1+𝑦
3
şi y=2
G2.S6. Răspuns:
M este mijlocul lui [AN], 𝟐 =
N este mijlocul lui [MB], 𝟏 =
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝒙𝑨 + 𝟏 ş𝒊 𝟐 =
𝟐 + 𝒙𝑩 ş𝒊 𝟓 =
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝒚𝑨 + 𝟓 deci 𝒙𝑨 =3 şi 𝒚𝑨 =-1
𝟐 + 𝒚𝑩 deci 𝒙𝑩 =0 şi 𝒚𝑩 = 8
G3.S6. Răspuns:
10 =
4+8+𝑥
3
. , 7=
3+5+𝑦
3
𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑎𝑓𝑙ă 𝑥 = 18 ş𝑖 𝑦 = 13
G4.S6. Răspuns:
−2 + 4 + 0 2
0+0+6
𝑥=
= 𝑦=
=2
3
3
3
VĂ MULŢUMIM !
SUCCES!
CLASA a IX-a
matematică-informatică