Transcript Ristlõike inertsimoment Euler`i piirsaledus terasele S355

TUGEVUSÕPETUS
MASINAELEMENTIDE ja PEENMEHAANIKA ÕPPETOOL
NÕTKE: Dimensioneerimine
Priit Põdra
NÕTKE: Dimensioneerimine
1
1. Algandmed ja ülesande püstitus
Priit Põdra
1.1. Ruut-ristlõikega sammas
F = 40 kN
Dimensioneerida sammas: arvutada
varda vähim sobiv ristlõike
küljepikkus (täpsusega +/- 5 mm)
L = 3000 mm
Arvestama peab surutud
detaili saledusest
tulenevat nõtkeohtu
Priit Põdra
Koormus: F = 40 kN
Ristlõige: ruut seinapaksusega 8 mm
Materjal: ehitusteras S355
Nõutav varutegur (piirkoormuse suhtes):
[s] = 4
Materjali elastsusmoodul: E = 210 GPa
NÕTKE: Dimensioneerimine
3
1.2. Ruut-ristlõige
Varda ristlõige
F = 40 kN
a
b
a
L = 3000 mm
b
8
Arvutada ristlõike
vähim küljepikkus a!
Priit Põdra
NÕTKE: Dimensioneerimine
4
2. Surutud varda suurim saledus
Priit Põdra
2.1. Varda saleduse näitajad (1)
Arvutusskeemid
Varda saledused
x
LE,xy
 xy 
x
F
F
 zx 
iz
LE,zx
iy
Nõtkepikkus xy peatasandis
i y  iz
L
L
Inertsiraadius telje z suhtes
Saledus xy peatasandis
Varda ristlõige
a
b
y
Priit Põdra
z
NÕTKE: Dimensioneerimine
8
b
y
a
Varras nõtkub selles
peatasandis, milles tema
nõtkepikkus (ja saledus)
on suurim
z
6
2.1. Varda saleduse näitajad (2)
Varda kinnitusviisid
m=1
m = 0,5
m=2
m = 0,5
m = 0,7
Varda pikkuse redutseerimistegur m näitab, mitu varda
pikkust L mahub varda telje sinusoidi poolperioodile
Priit Põdra
NÕTKE: Dimensioneerimine
7
2.2. Varda nõtkeohtlik peatasand
Arvutusskeem
x
Kuna
m zx  m xy
Arvutusskeem
i y  iz
, siis
LE,zx  LE,xy
x
F
F
zx  xy
L
L
Piirseisundis varras
nõtkub zx peatasandis
Nõtkrohtlik peatasand
on zx
y
Priit Põdra
mxy = 0,5
mzx = 0,7
NÕTKE: Dimensioneerimine
z
8
2.3. Varda ohtlik saledus
A

Iz
A
A  a 2  b 2  4t a  t 
a 4 b 4 a 4  a  2t 
I  Iy  Iz 


12 12
12
4
Inertsiraadius i on mõõtme a keerukas funktsioon
a
b
t
Varda nõtkepikkus ohtlikus
peatasandis
LE,zx  m zx L  0,7  3  2,1 m
Priit Põdra
LE,zx
iy

a
2,1
4
y
z
Varda ohtlik saledus
   zx 
8
a
i  i y  iz 
Iy
Ristlõike pindala
Ristlõike inertsimoment
b
Ristlõike inertsiraadius

 a  2t  / 12
4t a  t 
4
NÕTKE: Dimensioneerimine
Saledus  on mõõtme a
keerukas funktsioon
9
3. Varda ristlõike mõõtmed
Priit Põdra
3.1. Kriitilise koormuse olemus
Varda KRIITILINE KOORMUS = koormus, mille ületamise korral varda juhuslikule hälbele
tasakaaluasendist teoreetiliselt järgneb stabiilsuse kadumine ja kiire purunemine
x
F
L
Kriitilise koormuse
arvutus põhineb
Euler’i ülesandel
z
Priit Põdra
NÕTKE: Dimensioneerimine
11
3.2. Kriitilise koormuse valemi valik
E 
2 2 E
sy
Euler’i piirsaledus terasele S355
Purunemispinge sCr
Euler’i piirsaledus
terasele S355

2   2  210 109


6
355 10
 108,0  108
FCr  As y
Euler’i valem
 2E
FCr  A 2

sy
Johnson’i
valem
Tüsedad
vardad
Tüsedate varraste korral nõtke
oht puudub ning tugevusarvutus
tuleb teha survele
Priit Põdra
Euler’i valem
´”Keskmised”
vardad
E
Varda saledus 
Saledad vardad
Johnson’i valem
Kui
  E
, siis
NÕTKE: Dimensioneerimine

2 

FCr  As y 1  s y
2
4 E 

12
3.3. Nõtke praktiline piirkoormus
Katsetest on teada, et vardad nõtkuvad Euler’i ja Johnson’i
kriitilistest koormustest väiksemate koormuste mõjudes
Nõtke praktiline piirkoormus
FLim
FCr

n
Selle koormuse mõjudes varras
teoreetiliselt puruneb nõtkel
Kriitilise koormuse
alanemise tegur
sCr
Selle koormuse mõjudes varras
tegelikult puruneb nõtkel
Purunemispinge
Kriitilise koormuse alanamise tegur
Euler’i valem
Kui
Kui
  E
, siis
, siis
n  1,92
5 3
3
n 
 3
3 8E 8E
American Institute of Steel Construction
(AISC) praktilised soovitused
sy
  E
Johnson’i
valem
  E
Priit Põdra
  E
E
Varda saledus
 Dimensioneerimine
NÕTKE:
Kirjanduses esineb metoodikaid,
kus kriitilise koormuse alanemise
tegurit ei kasutata
13
3.4. Nõtketegur
Nõtketegur
s Lim FLim 1 FCr



sy
As y n Aσ y
Jõud, mille korral varras puruneb nõtkel
FLim
FCr

 As y
n
x
F
Tegur, mis näitab kuimitu korda on nõtkepurunemisele
vastav survepinge väiksem materjali voolepiirist survel
  E
, siis
1  2 E 1 2E

Kui   E , siis  
2
n s y
n 2 2
Kui
Priit Põdra
  10
, siis
 1



L
Kui
1
2  1 
2
  1  s y 2   1  2
n
4 E  n  2E
Nõtketeguri  väärtus:
• on piirides 0 <   1
• sõltub saledusest
• sõltub materjalist
NÕTKE: Dimensioneerimine
z
14
3.5. Varda dimensioneerimise metoodika
Varda ohtlik saledus

a
2,1
4
PROBLEEMID:
• Varda saledus  on mõõtme a keerukas funktsioon
• Kuna ei ole teada saleduse  väärtus, siis ei ole ka
teada kumba valemit kasutada piirkoormuse FLim
(või piirpinge sLim) arvutamiseks

 a  2t  / 12
4t a  t 
4
Lihtsam on ristlõike sobivad mõõtmed arvutada ”proovimise” teel
x
1. Valida ristlõike mõõde a
F
2. Arvutada varda saledus  ja nõtketegur 
3. Arvutada nõtke varutegur S
L
Ei
Ei
4. Kas tugevustingimus kehtib?
5. Kas tugevusvaru on vähim?
z
Priit Põdra
NÕTKE: Dimensioneerimine
15
3.6. Ristlõike mõõtmete esimene määrang
Kuna
0    1 , siis ristlõike mõõtmete suurusjärgu ligikaudseks
määramiseks võib eeldada, et   0,5
Ristlõike ligikaudne pindala
Nõtke piirkoormus
FLim  As y
Ristlõike pindala
a
a
b
8
Ristlõike küljepikkus
A
9,02
t 
 0,8  3,61  4,0 cm
4t
4  0,8
a
y
z
Priit Põdra
A  a 2  b 2  4t a  t 
b
t
F S 
40  103  4
6
2
2
A



901
,
4

10
m

9
,
02
cm
s y s y 0,5  355 106
FLim
Nüüd tuleb kontrollida varda stabiilsust, kui a = 4 cm
NÕTKE: Dimensioneerimine
16
3.7. Varda kontroll nõtkele, kui a = 4 cm (1)
Ristlõike inertsimoment
Varda inertsiraadius
a 4  a  2t 
4 4  4  2  0,8
I

 18,56  18,6 cm4
12
12
4
4
i
I
18,6

 1,350  1,35 cm
A
10,2
Ristlõike pindala
A  4t a  t   4  0,8  4  0,8  10,24  10,2 cm2
Varda ohtlik saledus
Euler’i piirsaledus terasele S355: E  108

LE,zx
i

210
 155,5  156
1,35
Kriitilise koormuse alanemise tegur
Kuna
  156  E  108 , siis
n  1,92
Väsimusarvutustes tuleb lähtuda Euler’i valemist
Priit Põdra
NÕTKE: Dimensioneerimine
17
3.7. Varda kontroll nõtkele, kui a = 4 cm (2)
Nõtketegur
1 2E
1
1082



 0,124  0,12
2
2
n 2
1,92 2  156
Tugevuskontroll nõtkele
S
As y
F
0,12  10,2  104  355 106

 1,08  1,1  S   4
3
40  10
F
F  40 kN
L3m
L
Nõtke varutegur
x
40
Varras ristlõike küljepikkusega
4 cm EI OLE piisavalt stabiilne
40
8
Priit Põdra
Ristlõike küljepikkust tuleb
suurendada
NÕTKE: Dimensioneerimine
z
18
3.8. Varda kontroll nõtkele, kui a = 6 cm (1)
Ristlõike inertsimoment
Varda inertsiraadius
a 4  a  2t 
6 4  6  2  0,8
I

 76,76  76,8 cm4
12
12
4
4
i
I
76,8

 2,150  2,15 cm
A
16,6
Ristlõike pindala
A  4t a  t   4  0,8  6  0,8  16,64  16,6 cm2
Euler’i piirsaledus terasele S355: E  108
Varda ohtlik saledus

LE,zx
i

210
 97,67  97,7
2,15
Kriitilise koormuse alanemise tegur
Kuna
3
3
5
3


5
3

97
,
7
97
,
7
  97,7  E  108 , siis n  
 3  

 1,913  1,91
3
3 8E 8E 3 8  108 8  108
Väsimusarvutustes tuleb lähtuda Johnson’i valemist
Priit Põdra
NÕTKE: Dimensioneerimine
19
3.8. Varda kontroll nõtkele, kui a = 6 cm (2)
Nõtketegur

1 
97,7 2 
 
  0,309  0,31
 1 
2 
 1,91  2  108 
Nõtke varutegur
Tugevuskontroll nõtkele
S
As y
F

4
0,31 16,6  10  355 10
 4,56  4,5  S   4
3
40  10
6
x
F
F  40 kN
L3m
L
1
2
  1  2
n  2E
60
Varras ristlõike küljepikkusega
6 cm ON piisavalt stabiilne
60
8
Priit Põdra
Ristlõike küljepikkust võiks
vähendada
NÕTKE: Dimensioneerimine
z
20
3.9. Varda kontroll nõtkele, kui a = 5,5 cm (1)
Ristlõike inertsimoment
Varda inertsiraadius
a 4  a  2t 
5,5 4  5,5  2  0,8
I

 56,97  57,0 cm4
12
12
4
4
i
I
57,0

 1,949  1,95 cm
A
15,0
Ristlõike pindala
A  4t a  t   4  0,8  5,5  0,8  15,04  15,0 cm2
Euler’i piirsaledus terasele S355: E  108
Varda ohtlik saledus

LE,zx
i

210
 107,6  108
1,95
Kriitilise koormuse alanemise tegur
Kuna   108  E , siis n  1,92
Väsimusarvutustes tuleb lähtuda Euler’i valemist
Priit Põdra
NÕTKE: Dimensioneerimine
21
3.9. Varda kontroll nõtkele, kui a = 5,5 cm (2)
Nõtketegur
1 2E
1
1082



 0,260  0,26
2
2
n 2
1,92 2  108
Tugevuskontroll nõtkele
S
As y
F

4
0,26  15,0  10  355 10
 3,46  3,4  S   4
3
40  10
6
F
F  40 kN
L3m
L
Nõtke varutegur
x
55
Varras ristlõike küljepikkusega
5,5 cm EI OLE piisavalt stabiilne
55
8
Priit Põdra
Ristlõike küljepikkust peab
suurendama
NÕTKE: Dimensioneerimine
z
22
4. Tulemus
Priit Põdra
Materjal: ehitusteras S355
Varutegur: [s] = 4
Stabiilne varras
Tegelik olukord
Piirseisund nõtkel
F = 180 kN
F = 40 kN
Varda piirkoormus
FLim  FS  40  4,5  180 kN
Varras on stabiilne, kui
ristlõike küljepikkus on 6 cm
L = 3000 mm
8
60
L = 3000 mm
60
Varda varutegur nõtkel S = 4,5
Priit Põdra
NÕTKE: Dimensioneerimine
24