Transcript Логические операции

Логические
операции
Логическое отрицание
(инверсия)
•
•
•
Логическое отрицание
(инверсия) образуется из
высказывания с помощью
добавления частицы "не" к
сказуемому или использования
оборота речи "неверно, что …".
Операция унарная.
Обозначается - Ā
(или знаком
).
¬A
•
Читается "не А".
Например:
А = «мы пойдем в кино»
Ā = «мы не пойдем в кино»
Таблица истинности:
А
A
0
1
1
0
Вывод: инверсия
высказывания истинна, когда
высказывание ложно, и ложна,
когда высказывание истинно.
Логическое отрицание
(инверсия)
• Мнемоническое правило: слово “инверсия” (от
лат. inversio - переворачивание) означает, что
белое меняется на черное, добро на зло,
красивое на безобразное, истина на ложь, ложь
на истину, ноль на один, один на ноль.
• Операцию инверсии можно графически
проиллюстрировать с помощью теории
множеств и диаграмм Эйлера-Венна.
• В теории множеств логическому отрицанию
соответствует операция дополнения к
множеству.
•
•
Примечание 1. Логики предпочитают иметь дело с выражениями
“неверно, что”, поскольку тем самым подчеркивается отрицание всего
высказывания.
Примечание 2. Дважды или четырежды отрицавшееся высказывание
имеет то же самое значение истинности, что и соответствующие не
Васильев
Дмитрий
отрицавшееся высказывание, трижды
отрицавшееся
– что и
отрицавшееся один раз.
А
A
0
1
1
0
А
Ā
Логическое сложение
(дизъюнкция)
•
•
•
•
•
Логическое сложение
(дизъюнкция) образуется
соединением двух высказываний
в одно с помощью союза "или".
Операция бинарная.
Обозначается A v B (плюсом)
Читается "А или В"
Например:
Таблица истинности:
А
B
AVB
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
А = «мы пойдем в кино»
В = «мы пойдем в театр»
A v B = «мы пойдем в кино или театр»
Вывод: дизъюнкция двух
высказываний истинна тогда, когда
хотя бы одно высказывание
истинно .
Логическое сложение
(дизъюнкция)
• Мнемоническое правило: дизъюнкция
- это логическое сложение, и мы не
сомневаемся, что Вы заметили: 0 + 0 =
0, 0 + 1= 1, 1 + 0 = 1, но в логике: 1 V 1
= 1.
• Операцию дизъюнкции можно
графически проиллюстрировать с
помощью кругов Эйлера-Венна.
• В теории множеств соответствует
операции ОБЪЕДИНЕНИЯ множеств.
• . В диаграмме заштрихуем те
множества, которые одновременно
соответствует значениям исходных
множеств и А, и В.
А
B
AVB
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Логическое умножение
(конъюнкция)
•
•
•
•
•
Логическое умножение
(конъюнкция) образуется
соединением двух высказываний
в одно с помощью союза "и".
Операция бинарная.
Обозначается A & B (А  В) (.)
Читается "А и В"
Например:
Таблица истинности:
А
B
ALB
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
А = «идет дождь»
В = «асфальт мокрый»
A /\ B = «идет дождь и асфальт мокрый»
Вывод: конъюнкция двух
высказываний истинна тогда и
только тогда, когда оба
высказывания истинны, и
ложна, когда хотя бы одно
высказывание ложно.
Логическое умножение
(конъюнкция)
• Мнемоническое правило:
конъюнкция - это логическое
умножение, и мы не
сомневаемся, что
0 х 0 = 0, 0 х 1= 0, 1 х 0 = 0,
1 х 1 = 1.
• Операцию конъюнкции можно
графически проиллюстрировать с
помощью кругов Эйлера-Венна.
• В теории множеств соответствует
операции ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
множеств.
А
B
ALB
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Логическое следование
(импликация)
•
•
•
•
•
Следование (импликация)
образуется соединением двух
высказываний в одно с помощью
слов «если…то".
Операция бинарная.
Обозначается A → B (А=>В)
Читается “если А то В"
Например:
А = «каждое слагаемое делится на 3»
В = «сумма делится на 3»
A → B = «если каждое слагаемое делится
на 3 , то и сумма делится на 3»
Таблица истинности:
А
B
AB
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Вывод: Импликация ложна тогда
и только тогда, когда А истинно
и В ложно, т.е из истины следует
ложь.
Логическое следование
(импликация)
В теории множеств соответствующей
операции нет.
Тем не менее попробуем отобразить ее с
помощью диаграммы Эйлера-Венна.
Выберем из таблицы истинности те строки,
значение которых 1. Таких строк три.
В диаграмме заштрихуем следующие области:
(А=0)  (В=0)
(А=0)  (В=1)
(А=1)  (В=1)
А
B
AB
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Равносильность
(эквиваленция)
•
•
•
•
•
Равносильность
(эквиваленция) двух
высказываний в одно образуется
с помощью слова «тогда и
только тогда".
Операция бинарная.
Обозначается A  B
Читается "А тогда и только
тогда В"
Например:
А = «число делится на 2 без остатка»
В = «число четное»
AB = «число делится на 2 без остатка
тогда и только тогда, когда число
четное»
Таблица истинности:
А
B
AB
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Вывод: Высказывания
эквивалентны, когда их значения
истинности одинаковы
Равносильность
(эквиваленция)
В теории множеств соответствующей
операции нет.
Тем не менее попробуем отобразить ее
с помощью диаграммы Эйлера-Венна.
Выберем из таблицы истинности те
строки, значение которых 1. Таких строк
две.
В диаграмме заштрихуем следующие
области:
А
B
AB
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Запомни!
СВОЙСТВА ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Т
О
Г
Д
А
Инверсия истинна
Дизъюнкция ложна
-----------------------------Конъюнкция истинна
И
Т
О
Л
Ь
К
О
Дизъюнкция истинна
-----------------------------Конъюнкция ложна
Т
О
Г
Д
А,
Импликация ложна
Эквивалентность истинна
К
О
Г
Д
А
высказывание ложно
ложные
оба высказывания ------------истинные
Истинно хотя бы одно
высказывание -ложно
из истинного следует
ложное высказывание
оба высказывания ложны
или
оба высказывания истинны
Васильев Дмитрий