Transcript GEOMETRİ - bilgimce

Geometri görme ve
çizme işidir.
GEOMETRİ SORULARINI KOLAY ÇÖZMEK İÇİN
YAPILMASI GEREKENLER
• Soruyu içeren konu ve formüller iyi bir şekilde bilinmelidir.
• Önceden yeterince örnek soru çözülmelidir.
• Verilen tüm bilgiler şekle yerleştirilmelidir.
• Açı sorularında ikizkenar üçgen varsa tepe açısı tespit edilerek taban açıları
•
•
•
•
şekilde belirlenmelidir.
İkizkenar üçgen, eşkenar üçgen, ikizkenar yamuk sorularında soruyu kolay
çözebilmek için bu şekillerin tepe açılarından dik inilmelidir.
Bir şekilde 30,45,60,120 dereceleri varsa bunlar mutlaka kullanılmak için
verilmiştir.Böyle sorularda uygun bir köşeden dik indirilerek soru çözülebilir.
İki kenarı paralel olan bir dörtgen sorusunda bir köşeden paralel olmayan
kenara paralel çizilerek soru kolayca çözülebilir.
Öğrenilen konular mutlaka akşam tekrar edilmeli ve hafta sonu da bir tekrar
yapılmalıdır. Böylece konu uzun süre hafızamızda kalacaktır.
Açılar ve Üçgenler
•
•
•
•
•
•
•
•
Açı
Komşu Açılar
Dar Açı
Dik Açı
Geniş Açı
Bütünler Açı
Tümler Açı
Tam Açı
AÇI
• Başlangıç noktaları
A
aynı olan iki ışının
arasında kalan
bölgeye açı denir.
O
x
• [OA U
•
[OB=AOB=BOA=A
x açısına AOB açısının
ölçüsü denir.
B
A
KOMŞU AÇILAR
B
• Başlangıç noktaları ve
•
•
birer kolları ortak olan
iki açıya komşu açılar
denir.
x ve y açıları komşu
açılardır.
AOB ve BOC açıları
komşu açılardır.
x
O
y
C
DAR AÇI
• Ölçüsü 0° ile 90°
K
L
x
M
•
arasındaki açılara dar
açılar denir.
X bir dar açıdır. Ve
ölçüsü;
• 0°<x< 90°
arasındadır.
DİK AÇI
A
• Ölçüsü 90° olan açıya
dik açı denir.
• X bir dik açıdır. Ve ölçüsü;
• x= 90°
.
O
x
B
GENİŞ AÇI
• Ölçüsü 90° ile 180°
•
arasında olan açılara
geniş açı denir.
X bir geniş açıdır. Ve
ölçüsü;
• 90°<x< 180°
arasındadır.
A
x
B
C
BÜTÜNLER AÇILAR
• Ölçüleri toplamı 180°
C
y
A
olan açılara bütünler
açılar denir.
x
O
B
• x ve y bütünler
•
açılardır. Ve ölçüleri
toplamı;
x+y= 180° dir.
ÖRNEK
• Bütünler iki açıdan biri diğerinin iki katı ise
küçük açıyı bulunuz ?
ÇÖZÜM
• Küçük açıya x dersek;
• Büyük açı, küçük açının iki katı olacağından 2x olur.
• Bütünler iki açının toplamlarının 1800 olduğunu
•
•
•
•
•
biliyoruz.O halde;
x+2x=1800
3x=1800
Her iki tarafı 3 e bölersek;
x=600 bulunur.
Bize küçük açı yani x soruluyordu, o halde çözüm x=600
olarak bulunur.
TÜMLER AÇILAR
• Ölçüleri toplamı 90°
olan açılara tümler
açılar denir.
• x ile y tümler açılardır.
•
Ve ölçüleri toplamı;
x + y = 90° dir.
C
F
x
D
y
E
ÖRNEK
• İki tümler açıdan birisi
diğerinin yarısından
300 eksik ise büyük
açıyı bulunuz ?
ÇÖZÜM
• Büyük açıya 2x dersek;
• Küçük açı, büyük açının yarısından 300 eksik olduğundan
•
•
•
•
•
•
•
x-300 olur.
Tümler açıların toplamları 900 idi;
Buradan;
2x+x-300 =900
3x-300 =900
3x=1200
Her iki tarafı 3‘e bölersek;
x=400 bulunur.
Bize büyük açı sorulduğuna göre çözüm 2x=2.400=800
olur.
TAM AÇI
• Ölçüsü 360° olan
açıya tam açı denir.
x
• x = 360°
AÇIORTAY
• Bir açının ölçüsünü iki
A
P
.x
O . x
eşit parçaya bölen
ışına o açının açıortayı
denir.
• M(AOP) = m(POC) ise
C
[OP AOC açısının
açıortayıdır.
AÇIORTAY KURALI 1
• Açıortay üzerinde
alınan herhangi bir
nokta, açının kollarına
eşit uzaklıktadır.
• [AP KAM açısının
açıortayı ise;
lBPl = lPCl dir.
A
B .
K
.C
.
M
P
L
ÖRNEK
• Yandaki şekilde [AD]
•
•
•
açıortay,
lBDl=4x+10
lDEl=3x+20
ise
lDEl=?
A
..
. E
B
.
D
C
ÇÖZÜM
• [AD] açıortay ise, lBDl=lDEl dir.
• O halde;
• 4x+10=3x+20 eşitliğinden;
• x=10 bulunur.
• Buradan;
• lDEl=3x+20=3.10+20=50 bulunur.
AÇIORTAY KURALI 2
B
• Komşu bütünler iki
C
D
b
A
b
.
O
a
a
E
•
açının açıortayları
arasında kalan açı 90°
dir.
a+b= 90°
TERS AÇILAR
d1
• Kesişen iki doğrunun
x
z
t
y
d2
•
•
•
•
oluşturduğu açılardan
birbirine komşu olmayan
açılara ters açılar denir.
Ters açıların ölçüleri
birbirine eşittir.
x=y , z=t
x+z = 180°, y+t= 180°
x+t= 180° , z+y= 180°
PARALEL İKİ DOĞRUYU ÜÇÜNCÜ BİR DOĞRU
KESTİĞİNDE OLUŞAN AÇILAR
•
•
•
•
d1
d2
Yöndeş Açılar
İç Ters Açılar
Dış Ters Açılar
Karşı Durumlu Açılar
• NOT: Paralel doğruların
arasında kalan açılar iç
açılar, dışında kalan açılar
da dış açılardır.
x
y
d1
z
a
c
b
d
t
d2
YÖNDEŞ AÇILAR
d1
• Aynı yöne doğru bakan
d2
x
y
d1
z
t
•
•
a
c
b
d
d2
•
açılara yöndeş açılar
denir.
Yöndeş açıların ölçüleri
eşittir.
b ile y, t ile d, c ile z ,a ile
x açıları yöndeş açılardır.
b=y , t=d , c=z , x=a dır.
İÇ TERS AÇILAR
• İç açılardan tam ters
•
•
•
yöne bakan açılara iç
ters açılar denir.
İç ters açıların ölçüleri
birbirine eşittir.
a ile t , z ile b iç ters
açılardır.
a=t ve z=b dir.
d1
d2
x
y
d1
z
a
c
b
d
t
d2
DIŞ TERS AÇILAR
d1
• Dış açılardan tam ters
d2
x
y
d1
z
a
c
t
•
•
b
d
d2
•
yöne bakanlar dış ters
açılardır.
Dış ters açıların
ölçüleri birbirine
eşittir.
x ile d ve y ile c açıları
dış ters açılardır.
x=d ve y=c dir.
KARŞI DURUMLU AÇILAR
d1
• Karşı durumlu açılar
d2
x
•
y
d1
z
t
•
a
c
b
d
d2
•
birbirinin bütünleridir.
Yandaki şekilde a ile z , b
ile t açıları karşı durumlu
açılardır.
Karşı durumlu açıların
ölçüleri toplamı 180° dir.
a+z= 180° , b+t= 180°
ÖRNEK
d1
180-3y
4y
x
• Yandaki şekilde d1 d2 d3 tür.
• Verilenlere göre x=?
126
d3
d2
ÇÖZÜM
• 1260 lik açının bütünleyeni olan
•
•
•
•
•
•
•
•
açı 540 dir.
180-3y ile 54 lik açılar iç ters
açılar olup eşittirler.
Buradan;
180-3y=54 olup y=42 dir.
O halde 4y=4.42=168 olur.
4y ile x de karşı durumlu açılar
olup toplamları 180 dir.
Buradan;
4y+x=180 dir.
168+x=180 eşitliğinden x=12
bulunur.
d1
180-3y
4y
54
126
4y
x
d3
d2
KENARLARI BİRBİRİNE PARALEL AÇILAR 1
d1
• d1 d2 ve d3 d4 ise
d2
x =y dir.
x
d3
y
d4
KENARLARI BİRBİRİNE PARALEL AÇILAR 2
• d1 d2 ve d3 d4 ise
d1
d2
x=y dir.
y
x
d3
d4
KENARLARI BİRBİRİNE PARALEL AÇILAR 3
• d1 d2 ve d3 d4 ise
x=y dir.
d1
d3
y
x
d4
d2
KENARLARI BİRBİRİNE PARALEL AÇILAR 4
• d1 d2 ve d3 d4 ise
d2
d1
x+y= 180° dir.
y
d3
x
d4
KENARLARI BİRBİRİNE PARALEL AÇILAR 5
• d1 d2 ve d3 d4 ise
x=y dir.
d4
d1
x
y
d3
d2
KENARLARI BİRBİRİNE DİK AÇILAR 1
y
x
.
d3
d1
• d1 d2 ve d3
.
d2
d4
• x=y dir.
d4 ise;
KENARLARI BİRBİRİNE DİK AÇILAR 2
• d1
ise;
d2 ve d3
d4
d1
d2
.
• x+y=1800 dir.
y
x
.
d4
d3
KENARLARI BİRBİRİNE DİK AÇILAR 3
• d1
d4
ise;
d2
d1
• x=y dir.
.
d3
d2 ve d3
.
x
y
d4
KURAL 1
• d1
d2 ise;
• x+y+z=a+b+c dir.
• Sağa bakan açıların
toplamı, sola bakan
açıların toplamına
eşittir.
a
d1
x
b
y
c
z
d2
ÖRNEK
d1
d2
20
x
170
70
• d1 d2 ise
x=?
ÇÖZÜM
• d2 doğrusu şekildeki
•
•
•
•
gibi uzatılır.
170 in bütünleri 10
dur.
Buradan;
x+10=70+20
eşitliğinden (Kural 1);
X=80 bulunur.
d1
d2
20
x
170
70
10
Bütünler Açılar
KURAL 2
• d1
d1
x
• x+y+z=3600 dir.
y
d2
d2 ise;
z
ÖRNEK
• d1 d2 ise
x=?
100
d1
120
X
d2
ÇÖZÜM
•
•
•
•
•
Kural 2 den;
100+120+x=360
220+x=360
x=360-220
x=140 bulunur.
Ters açılar
100
100
d1
120
X
d2