Transcript itt
MATEMATIKAI PARADOXONOK
KPSZTI 2011. NOV. 11.
A PARADOXON ÉRTELMEZÉSE • Önellentmondás: – hétköznapi: „Most hazudok.” (még jobb: „Most őszinte voltál?” – bár ez nem ellentmondás, csak eldönthetetlen) – halmazelméleti: katona borbély – Mérő László: „Eben a mondatban harom hiba van.” • Meghökkentő eredmény – Logikai: Minden krétai hazudik – mondja egy krétai.
– Infinitezimális: nyílvessző és a céltábla – Statisztikai/valószínűségi: ezekről lesz szó
10 paradoxon
1.
Születésnap 2. Simpson
3.
Szerencsejátékok
4. Monty Hall 5.
6.
Választási
Jákob és Lábán 7. Bertrand
8.
9.
Titkárnő-házasodási
Kockázási
9 paradoxon – 9 matekóra
• Egyszerűek: alap matek • Meglepőek • Célközönség: mérnökpalánták
TITKÁRNŐ PARADOXON
(1966)
A feladat
titkárnői álláshirdetésre sok a jelentkező nincs idő mindegyiket meghallgatni Hány jelöltet elég behívni interjúra, hogy a lehető legjobbat vegye föl a cég?
Konkrét feladat
10 jelentkező 5 jelöltet már elutasítottunk megállapodás: a következőt felvesszük, aki jobb minden korábbinál Mekkora ilyen?
a valószínűsége, hogy lesz
DOLLY
Ő a legjobb Baj lehet: korán döntünk (ál Dolly) pl. a 7. jobb, mint az első 5, de Dolly – aki még jobb – csak a 8. lesz A korai döntést ki kell zárni
Hányadik Dolly?
p
( 6 )
p
( 7 ) 1 10 5 6 1 10 itt kezdjük kizárni ál Dollyt
p
( 8 ) 5 7 1 10
p
( 9 )
p
( 10 ) 5 8 1 10 5 9 1 10
összesen
p
p
( 6 )
p
( 7 )
p
( 8 )
p
( 9 )
p
( 10 ) 5 10 1 ( 5 1 6 1 7 1 8 1 ) 9 0 , 373 37% annak a valószínűsége, hogy a felét elutasítva és a következő legjobbat választva az
összes
közül a legjobbra találunk.
A feladat módosítása és általánosítása Ha az első 2 titkárnő elutasítása után döntünk:
p
( 2 ) 2 10 1 ( 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 ) 9 36 , 6 % Ha n jelölt közül az első k elutasítása után döntünk:
p
(
k
,
n
)
k n
( 1
k
k
1 1 ......
1
n
2
n
1 1 )
Hány jelöltet utasítsunk el?
n 10 10 10 10 10 10 10 k 1 2 3 4 5 7 9 p 28,3 % 36,6 % 39,9 % 39,8 % 37,3 % 26,5 % 10 %
A
p(k,10)
grafikon
Van-e maximuma a p(k,n) függvénynek?
Van (emelt szintű matek):
p
1 37 %
e
éspedig
k n
1 37 %
e
esetén.
A megoldás
100 jelentkező közül az első 37-et kell elutasítani, majd ezt követően az első olyat felvenni, aki jobb az első 37-nél VAGY ha nincs ilyen, akkor a 100.-at
Gyakorlati alkalmazhatóság
• Nyilván nem így választunk titkárnőt (nem hívunk be mindenkit, nem mondunk rögtön nemet, önéletrajz stb.) • Matterhorn esete
Házasodási probléma (1984)
A feladat átfogalmazása: az első valahány kérő után igent mondunk (magyar szakirodalom: Szindbád-probléma) Baj: nem tudjuk előre a kérők számát
Udvarló-idő függvény
Feltételezett görbe esetén: görbe alatti terület 37 % - ánál kell most is dönteni
SIMPSON PARADOXON
(1951)
1. Diszkriminációs probléma Egy nagyvállalatot diszkriminációval vádolnak feminista szervezetek, miszerint kisebb százalékban vettek fel nőt, mint férfit.
Védekezésképpen a cég nyilvánosságra hozza két áruházuk kimutatását, melyben az áll, hogy több nőt vettek fel, mint férfit.
Győr-soproni nők és férfiak férfiak jelentkezők felvettek % Győr 500 Sopron 120 Összes 620 200 10 210 40% 8% 34% jelentkezők felvettek 100 100 200 nők 50 10 60 % 50% 10% 30%
Mitől paradoxon?
Külön-külön: nők > férfiak („elnőiesedik a szakma”) Együtt: férfiak > nők (feminista érv) Mikor léphet föl?
Ha egy csoportot kétféleképpen is felbontunk (Győr-Sopron, ill. férfiak-nők) két vagy akár több részre Leírás: Simpson (1951) Valóság: Berkeley-egyetem (70-es évek) női egyenjogúsági kérdés
Mi az oka?
Most: egyenetlen volt a jelentkezés Győr : 250 hely, 600 jelentkező 2,4 szeres túljelentkezés A jelentkezők 17%-a nő Sopron: 20 hely, 220 jelentkező 11 szeres túljelentkezés A jelentkezők 45%-a nő: „bátrabbak” voltak a soproni nők
2. H1N1 probléma Nem oltatta be magát Beoltatta magát összesen nem fertőződött % férfiak 500 nők 120 Összes 620 200 10 210 40% 8% 34% összesen nem fertőződött % 100 100 200 50 10 60 50% 10% 30%
Mitől paradoxon? Nyilván nem reprezentatív a minta: férfi (500) > nő (120), aki nem oltatta be magát beoltott (620) > nem beoltott (200) Férfinak és nőnek egyaránt megéri, de „embernek” nem! (Orosz Gyula)
Példagyár A összes rész X n 200 Y 120 10 Összes n+120 210 % nem A összes rész % * 8% * * 100 100 200 50 50% 10 60 10% 30%
Mekkora lehet n?
200
n
0 , 5 0 , 3 210 120
n
Ahonnan 400 <
n
< 580 adódik.
Koordináta-rendszer Meredekség: felvételi arány
SZÜLETÉSNAP PARADOXON
Alapfeladat:
Hány fős társaság esetén lesz valószínűbb az, hogy a társaságból két embernek ugyanazon a napon van a születésnapja?
Tippelj!
1. segédfeladat:
Hány fő esetén lesz biztos, hogy lesz két olyan ember, akinek egy napon van a születésnapja? (Számoljunk 365 nappal!) Skatulyaelv alapján nyilván:
366 fő
esetén
2. segédfeladat:
Egyszerűsítsük le a feladatot
egy hét
re: Hány fő esetén lesz biztos, hogy a hét ugyanazon napjára (hétfő, kedd stb.) esik két ember születésnapja?
Hasonlóan, nyilván:
8 fő
esetén
7 7
3. segédfeladat
Mi a valószínűsége annak, hogy 6 fő közül 2-nek ugyanarra a napra (a hét ugyanazon napjára) esik a születésnapja?
Értelmezés
:
legalább
2-nek
Megoldás
kedvező eset: összes – rossz
összes : 7 6 (bárki bármelyik nap születhet) rossz : 7 6 5 4 3 2 1 (mindenki más napon születik)
p
( 6 ) 7 6 7 6 5 4 3 2 1 7 6 117649 5040 117649 96 %
Táblázat a p(n) függvényhez
n
8
7 6 5 4 3 2
p
(
n
) 1 7 !
( 7
n
)!
7
n
1
0,99 0,96 0,85 0,65 0,39 0,14
A p(n) grafikon
4. segédfeladat
Vissza az eredeti
éves
feladathoz: Hány fős társaság esetén lesz 96% a valószínűsége annak, hogy a társaságból két embernek ugyanazon a napon van a születésnapja? (Számoljunk 365 nappal!)
Összes – rossz
rossz : 365 364 ...
( 365
n
1 ) (mindenki más napon születik) összes eset : 365
n
(bárki bármelyik nap születhet)
p
365
n
365 364 ...
( 365
n
1 ) 365
n
1 365 364 ...
( 365
n
1 ) 365
n
1 365 !
( 365
n
)!
365
n
96 %
Ábrázolás helyett táblázat
p
(
n
)
1
365
!
(
365
365
n n
)!
bonyolult
n 100 65 57 48 40 37 25 23
Próbálgatás
p
1 365 !
( 365
n
)!
365
n
0,9999997 0,998 0,99 0,96 0,89 0,85 0,57 0,51
Megoldás
éves
feladat: 48 fő esetén lesz 96 % a valószínűsége annak, hogy ketten ugyanazon a napon születtek
hetes
feladat: 6 fő esetén lesz 96 % ez a valószínűség
A
p(n)
grafikon
Mitől paradoxon?
Nagy n re: p(n) közelítőleg konstans • p = 100%: n = 366 esetén • p = 99%: n = 57 esetén (84%-kal kisebb!) Kis n re: p(n) függvény nagyon meredek • Az eredeti feladat (p > 50%) megoldása is meglepő: 23 fő (ellenőrizhető egy osztályban vagy egy konferencián)
VÁLASZTÁSI PARADOXONOK
1. Családi kirándulás
Az apának van kedve kirándulni, de ideje nincs, a gyereknek fordítva, az anyának kedve és ideje is van.
Hogyan döntsenek „demokratikusan”?
anya apa gyerek
együtt
Kiértékelés
kedv idő igen igen nem igen nem igen
igen igen kirándulás igen nem nem igen vagy nem?
Bíró-paradoxon
• kollektív döntések meghozatala esetén • probléma: mi szerint összegezzünk?
– premisszák (kedv, idő) – konklúziók (voks)
2. Elnökválasztás
3 jelölt (A, B, C) közül választunk 7 szavazó • • • 4 ABC, 3 BCA szavazat • Kérdés: lehetséges-e, hogy bizonyos pontozásnál A nyer, B nyer, C nyer, A és B holtversenyben nyer?
Megoldás
1. hely 2. hely 3. hely A A nyer 10 pont 3 pont 2 pont 46 B nyer 10 pont 5 pont 2 pont 46 C nyer nem lehetséges A és B 10 pont 4 pont 2 pont 46 B 42 50 46 C 17 23 20
Mitől paradoxon?
• majdnem tetszőleges sorrend előállítható • utólag befolyásolhatjuk a választás eredményét, ha nem tisztázzuk előre a pontozást • megnyugtató: C nem nyerhet
3. Osztálytitkár
3 jelölt (A, B, C) közül választanak 30 szavazó 10 ABC, 10 BCA, 10 CAB szavazat Kérdés: hogyan összegezzünk?
Többségi szavazás
10 ABC 10 BCA 10 CAB
Többségi szavazat
A > B igen nem igen
igen
B > C igen igen nem
igen
C > A nem igen igen
igen
Condorcet-paradoxon
• Körbeverési jelenség: kő-papír-olló • Nem tranzitív: A > B, B > C, de C > A!
• Pontrendszer: mindenkinek ugyanannyi pontja lenne
MONTY HALL PARADOXON
(1975)
Mit rejt a három ajtó?
A tévés játék megfogalmazása 1.
2.
3.
4.
Van három ajtó, kettő mögött kecske van, egy mögött a főnyeremény: egy autó A játékos választ egyet a három ajtó közül A műsorvezető még mielőtt azt kinyitná, kinyit egy másik ajtót, amely mögött kecske van Megkérdezi a játékost: akar-e változtatni első választásán, és egy másik ajtót választani?
Kérdés Érdemes-e változtatni az eredeti választáson?
1.
2.
Paradoxonnak tűnik: Nem befolyásolhatja az eredményt, ha változtatok (előtte is, utána is 1/3 a valószínűség) Most 1/2, előtte 1/3 volt a valószínűség
Az 1. ajtót választjuk 1. ajtó 2. ajtó 3. ajtó K K A váltunk nem váltunk nyerünk vesztünk K A K nyerünk vesztünk A K K A K K nyerési valószínűség vesztünk nyerünk 2/3 1/3
Megoldás • Érdemes tehát változtatni: – 2/3 valószínűséggel nyerünk • Egyszerűbben: Hogyan nyerhetünk?
– Ha nem váltunk: el kell találni az autót (1/3) – Ha váltunk: valamelyik kecskét kell eltalálni (2/3)
A feladat módosítása
…
100 ajtó van, Monty kinyit 98-at Nyilván most is érdemes váltani (99/100)
2 játékos, 3 ajtó • • • • Mindkettő választ egy-egy (különböző) ajtót (mondjuk egymás után) Az, amelyik kecskét választott, kiesik (ha mindkettő kecskét választott, a játékvezető tetszőlegesen dönt, ki esik ki) A kecskés ajtót Monty kinyitja Érdemes-e váltania a bennmaradt játékosnak?
Az első 2 ajtóra tippelünk A 1. ajtó K K K B 2. ajtó K K A 3. ajtó A A K Ha a bennmaradó vált nem vált nyer veszít veszít nyer A K K nyerési valószínűség veszít 1/3 nyer 2/3
Megoldás • Nem érdemes váltani – Így nyerünk 2/3 valószínűséggel • 1.
2.
Egyszerűbben: Most mindkét játékosnak kecskére kell tippelnie, hogy a váltás megérje: 1/3 A vegyes tipp esélye 2/3
Forrás
• Drösser, Christoph: Csábító számok (Athenaeum, 2009) • Ferguson, Thomas S.: Who Solved the Secretary Problem? (Statistical Science, 1989. Vol. 4. No. 3.) • Orosz Gyula: Valószínűség-számítási érdekességek (Fazekas Mihály Gimnázium honlapja, Matematika portál) • Székely J. Gábor: Paradoxonok a véletlen matematikájában (Typotex, 2004) • Wikipedia-szócikkek (Monty Hall, Simpson)
Dolgozat és prezentáció
www.phbences.hu
oktatás oldal, matematika Használják egészséggel, közkincs!