Transcript Adattípusok, adatsorok jellegadó értékei

Adattípusok, adatsorok
jellegadó értékei
dr. Jeney László
egyetemi adjunktus
[email protected]
Regionális és környezeti elemzési módszerek
I. BME Regionális és környezeti gazdaságtan mesterszak (MSc), levelező
2014/2015, I. félév
BCE Gazdaságföldrajz és Jövőkutatás Tanszék
Mérési skálák
Statisztikai fogalmak

Sokaság:
– A megismerni kívánt, megfigyelt egységek halmaza

Ismérvek:
– A sokaság jellemzésére, részekre bontására alkalmas
vizsgálati szempontok

Területi elemzések: legalább 2 ismérv
– Területi ismérv
– Változók: időbeli, mennyiségi, minőségi ismérvek

Adatok jól csoportosíthatók az
összehasonlíthatóságuk szerint  mérési (vagy
adat) skálák rendszere
A mérési skálák rendszere
Mérési skálák Tulajdonság
Sajátosságok
Jellemző példák
Arány
xa / xb
Megkülönböztetés, Van elméleti
sorrend,
minimum,
különbség, arány
azonos előjelű
Népességszám,
jövedelem,
utasforgalom
Intervallum
xa – xb
Megkülönböztetés, Pozitív és
sorrend,
negatív értékek
különbség
Vándorlási
különbözet
Ordinális
(sorrendi)
xa ≥ xb
Megkülönböztetés, Nehezen
sorrend
mérhető, csak
sorrendbe
állítható
Sorrendek,
rangok, eltérő
funkcionális
szintek
Nominális
xa ≠ xb
Megkülönböztetés
Név, születési
hely, nem
Nem számszerű
Mérési skálák hierarchiája


Mindegyik mérési skála rendelkezik az alatt lévő
tulajdonságaival
A „hierarchia csúcsán” az arányskála áll
– Legteljesebb összehasonlításra ad lehetőséget

Mérési skála meghatározza a matematikaistatisztikai módszereket
– Brazil válogatott nem 63X jobb mint a magyar
– 0 átlagú adatsort nem lehet az átlag %-ában megadni

Többváltozós vizsgálatoknál:
– Többféle mérési skála, de azonos mérési skálájú
adatokra van szükség  adat-transzformáció
Mérési skálák transzformációja

Leggyakrabban:
– Intervallum- vagy arányskálán mért jellemzők
ordinális adatskálára átalakítása (pl. komplex
mutatóknál: rangsorolás)

Azonos értékek: rangszámok is azonosak
– Páratlan számú (pl. 3) adat egyezése: középső
rangszám (8., 9. és 10. helyett 9., 9. és 9.)
– Páros számú (pl. 2) adat egyezése: rangszámok
átlaga (4. és 5. helyett 4,5. és 4,5.)

Nincs holtversenyben elsőség
– 1. és 2. helyett 1,5. és 1,5 (1. és 1. helyett)
Adattípusok
Adatsorok 2 fő típusa: nem
fajlagos és fajlagos mutatók
x
x
y
f

Nem fajlagos (abszolút) mutatók
– Pl. népességszám, GDP, személygépkocsik száma, terület,
városlakók száma
– Jelölése: xi azaz x abszolút mutató értéke adott „i” régióban

Fajlagos mutatók (relatív vagy származtatott mutatók)
– Pl. egy főre jutó GDP, ezer lakosra jutó személygépkocsik,
népsűrűség, városlakók aránya
– Lehet százalékos részesedés is: pl. városlakók aránya
– Jelölése: yi azaz y fajlagos mutató értéke adott „i” régióban
– Általában 2 nem fajlagos mutató hányadosa, pl. GDP és
népesség (ritkán 2 fajlagos mutató hányadosa, pl. megyei
GDP/fő az országos átlagos GDP/fő %-ában)
– Esetükben súlyozni kell (pl. súlyozott átlag, súlyozott szórás)
– A súly a fajlagos mutató képletének nevezőjében van, jelölése fi
azaz f súly értéke adott „i” régióban
8
– Súly gyakran népességszám, de nem mindig
Nem fajlagos – fajlagos mutatók
valamint a súly közötti
átszámítások

Ha a nem fajlagos mutató (GDP) és a súly
(népességszám) ismert
– A fajlagos mutató (GDP/fő): a nem fajlagos mutató
és a súly
x
hányadosa
GDP / fő 

GDP
népességsz ám
Ha a nem fajlagos (GDP) és a fajlagos mutató ismert
(GDP/fő)
– A súly (népesség): a nem fajlagos és a fajlagos mutató
hányadosa
népességsz ám 

GDP
GDP / fő
Ha a fajlagos mutató (GDP/fő) és a súly (népesség)
ismert
G DP  G DP / fő  népességsz
ám
9
– Nem fajlagos mutató (GDP): a fajlagos mutató és a súly szorzata
Adatsorok jellegadó értékei
Adatsorok jellegadó értékei

Középértékek
– Számtani átlag / súlyozott számtani átlag
– Mértani átlag
– Helyzeti középértékek (módusz, medián)

Szélső értékek
– Maximum
– Minimum

Adatsor terjedelme és szórása (átvezet a területi
egyenlőtlenségi mutatók felé)
– Terjedelem-típusú mutatók
– Szórás-típusú mutatók
Középértékek: átlagok

Számtani átlag
– Az eredeti számok helyébe helyettesítve azok összege
változatlan
xi
– n db adat (xi)
x
– Excel  fx= ÁTLAG()
n


Súlyozott számtani átlag
–
–

y f

n db fajlagos adat (y )
y
Súly (f ): a fajlagos mutató nevezőjében szereplő adat
f
i i
i
i
i
Mértani átlag
– Az eredeti számok helyébe helyettesítve azok szorzata
változatlan
n
– n db adat (xi) *
x n
x
i 1
i
 n x1  x2  ...  xi  ...  xn
Helyzeti középértékek

Medián
– Az az érték, aminél kisebb és nagyobb adatok száma egyenlő
(felező pont)
– Extrém adatokat tartalmazó adatsorok esetében érdemes
használni
– Kvantilisek: kvartilis (negyedelő), kvintilis (ötödölő), decilis
(tizedelő), percentilis (századoló)
– Medián/átlag: egyenlőtlenségi mutató (minél kisebb, annál
nagyobb az egyenlőtlenség)
– Excel  fx= MEDIÁN()

Módusz („divatos érték”)
– A legtöbbször előforduló érték
– Lehet többmóduszú (többcsúcsú) adatsor is
– Excel  fx= MÓDUSZ()
A szélső értékek és a terjedelem
típusú egyenlőtlenségi mutatók

Maximum
– Az adatsor legnagyobb értéke (xmax)
– Excel  fx= MAX()

Minimum
– Az adatsor legkisebb értéke (xmin)
– Excel  fx= MIN()

Alapja a terjedelem típusú egyenlőtlenségi mutatóknak
– Range (szóródás terjedelme)
P  xmax  xmin
– Range-arány (adatsor terjedelme)
xmax
K
xmin
– Relatív range
xmax  xmin
Q
x
Súlyozatlan relatív terjedelem
kiszámításának lépései (abszolút
mutatóknál)
1.
2.
3.
4.
5.
Ki kell számítani az adatsor maximumát
(függvényvarázsló: max)
Ki kell számítani az adatsor minimumát
(függvényvarázsló: min)
Ki kell vonni a maximális értékből a minimálist
(ez a terjedelem)
Ki kell számítani az adatsor (sima) átlagát
(függvényvarázsló: átlag)
El kell osztani a terjedelmet az átlaggal
Súlyozatlan relatív terjedelem
kiszámítása Excelben
A
1
B
C
xa
xb
2
1. régió
24
10
3
2. régió
4
10
4
3. régió
0
10
5
4. régió
12
10
maximum
24
10
=MAX(B2:B5)
=MAX(C2:C5)
0
10
=MIN(B2:B5)
=MIN(C2:C5)
6
7
minimum
8
terjedelem
9
átlag
10
relatív terjedelem
24
10
0
=B6-B7
=ÁTLAG(B2:B5)
2,4 =B8/B9
10
=C6-C7
=ÁTLAG(C2:C5)
0
=C8/C9
Súlyozott relatív terjedelem
kiszámításának lépései (fajlagos
mutatóknál)
1.
2.
3.
4.
5.
Ki kell számítani az adatsor maximumát
(függvényvarázsló: max)
Ki kell számítani az adatsor minimumát
(függvényvarázsló: min)
Ki kell vonni a maximális értékből a minimálist
(ez a terjedelem)
Ki kell számítani az adatsor súlyozott átlagát
El kell osztani a terjedelmet a súlyozott átlaggal
Súlyozott relatív terjedelem
kiszámítása Excelben
A
1
2
1. régió
B
C
D
E
F
G
ya
fa
xa
yb
fb
Xb
24
1
24
10
1
10
=B2*C2
=E2*F2
3
2. régió
4
3,5
14
10
3,5
35
4
3. régió
0
4,5
0
10
4,5
45
5
4. régió
12
1
12
10
1
10
6
összeg
10
50
10
100
7
max.
24
8
min.
0
9
terj.
=MAX(B2:B5)
=MIN(B2:B5)
24
10 s. átlag
5
11 rel terj
4,8
=MAX(E2:E5)
10
=MIN(E2:E5)
0
=B6-B7
=E6-E7
10
=D6/C6
=B9/B10
10
rel terj
0
=G6/F6
=E9/E10
A szórás típusú egyenlőtlenségi
mutatók
Szórás-típusú egyenlőtlenségi
mutatók



Nem fajlagos (abszolút) mutatók (xi): (súlyozatlan)
szórás
Fajlagos mutatók (yi): súlyozott szórás
A valódi egyenlőtlenségeket a relatív szórással mérhetjük
– Nem fajlagos: (súlyozatlan) relatív szórás (szórás az átlag %ában)
– Fajlagos mutatók: súlyozott relatív szórás (súlyozott szórás a
súlyozott átlag %-ában)
20
(Súlyozatlan) szórás: nem fajlagos
mutatók esetében


Adatsorok egyes értékeinek (xi) az átlagtól való
négyzetes eltérésének az átlaga
Képlete
– Xi = abszolút mutató i régióban
– n = elemszám


2


x

x
 i
i
n
Kiszámítása
– Excel:  fx= SZÓRÁSP() ( és nem SZÓRÁS)
– Angol nyelvű Excel  fx= STDEVP()

Értékkészlete: 0 ≤ σ ≤ ∞
– Minél nagyobb az értéke, annál nagyobb az egyenlőtlenség

Mértékegysége: mint az eredeti értékek (Xi)
mértékegysége
21
(Súlyozatlan) relatív szórás: nem
fajlagos mutatók esetében



A valódi egyenlőtlenségeket a relatív szórással mérhetjük
Relatív szórás: abszolút mutatók esetében
Képlete:
– σ = Xi adatsor szórása
– x = Xi adatsor átlaga

Kiszámítása

v   100
x
– a szórás értékeket elosztjuk az átlaggal és megszorozzuk 100-zal
(a szórás értékeit az átlag százalékában fejezzük ki)

Értékkészlete: 0 ≤ v ≤ ∞
– Minél nagyobb az értéke, annál nagyobb az egyenlőtlenség

Mértékegysége: %
22
Súlyozott szórás: fajlagos mutatók
esetében



Fajlagos mutatók (yi) esetében
Adatsorok egyes értékeinek (yi) az átlagtól való
négyzetes eltérésének az átlaga
2
Képlete


y

y
fi
 i
– yi = fajlagos mutató i régióban

– fi = súly (fajlagos mutató nevezője)

i
Értékkészlete: 0 ≤ σ ≤ ∞
f
i
i
– Minél nagyobb az értéke, annál nagyobb az
egyenlőtlenség

Mértékegysége: mint az eredeti értékek (yi)
mértékegysége
23
Súlyozott szórás kiszámításának
lépései
1.
2.
3.
4.
Kiszámítom a fajlagos mutató súlyozott átlagát
Minden térség esetében kiszámítom a vizsgált fajlagos
mutató értékeinek eltérését a súlyozott átlagtól (Excel
 $)
Minden térség esetében a kapott különbségeket
négyzetre emelem (Excel  jobb oldali Alt+3 együtt,
majd 2 = ^2)
Minden térség esetében a kapott értékeket megszorzom
a térséghez tartozó súllyal
– 2–4. lépések egy oszlopban is megoldhatók
5.
6.
7.
Az így kapott szorzatokat összegzem
Ezt az összeget elosztom a súlyok összegével
24
Ennek a hányadosnak a négyzetgyökét veszem (^0,5)
Súlyozott relatív szórás: fajlagos
mutatók esetében

A valódi egyenlőtlenségeket a relatív szórással mérhetjük
– Fajlagos mutatók esetében: súlyozott relatív szórással

Képlete:
– σ = yi adatsor súlyozott szórása
– y = yi adatsor súlyozott átlaga

Kiszámítása

v  100
y
– A súlyozott szórás értékeket elosztjuk a súlyozott átlaggal és
megszorozzuk 100-zal (a súlyozott szórás értékeit a súlyozott
átlag százalékában fejezzük ki)

Értékkészlete: 0 ≤ v ≤ ∞
– Minél nagyobb az értéke, annál nagyobb az egyenlőtlenség

Mértékegysége: %
25
Súlyozott relatív szórás
kiszámítása Excelben
A
1
B
C
D
E
F
G
y
f
x
átl elt
négyzet
súlyozás
361
361 =F2*C2
2
1. régió
24
1
24 =B2*C2
19 =B2B$7
=E2^2
3
2. régió
4
3,5
14
–1
1
3,5
4
3. régió
0
4,5
0
–5
25
112,5
5
4. régió
12
1
12
7
49
49
6
összeg
10
50
7
s. átlag
8 s. szórás
5 =D6/C6
=SZUM(D2:D5)
526
=SZUM(G2:G5)
52,6 =G6/C6
7,25
=G7^0,5
9 s. relatív 145,05
szórás =B8/B7*1
00
26