Transcript Fibonacciho postupnosť

Fibonacciho postupnosť
Michal Zajaček
MFF UK
Postupnosti – základné informácie
Zobrazenie z N do R: a : N 
 R
Nekonečná, konečná postupnosť
Def. obor: N, obor. hodnôt:R, členy postupnosti
Graf postupnosti:
Zápis postupnosti
k
všeobecne: {an } n1
Explicitne: napr, {n}, {1/n}, {(-1)n}
Rekurentne: a1 =1
an+1=an2+1, n  N
Postupnosti – pojmy a vety
Limita postupnosti (def., ozn.A)
A R
A  
konverguje
diverguje
•Veta: Konvergentná postupmosť je ohraničená.
•Veta: Monotónna postupnosť má limitu.
•Veta: Ohraničená monotónna postupnosť konverguje.
•Hromadný bod postupnosti, vybraná postupnosť
•Veta: Číslo a je hromadný bod postupnosti an vtedy a len vtedy, ak
existuje vybraná postupnosť bn , ktorá konverguje k a.
•Weierstrassova veta, Bolzano-Cauchyho podmienka konvergencie,
Heineova veta...
• základné rozdelenie: aritmetická postupnosť (diferencia), geometrická
postupnosť (kvocient), aritmeticko-geometrická postupnosť
Zlatý rez
Feidias (495-420 BC)
| AB | | AC |


| AC | | CB |
x
1
 
1 x 1
1 5

2
x  x 1  0
2
  1,618033989
Trochu histórie
Feidias (490-430 BC) – Parthenon-sochy
Platón (427-347 BC) – Timaeus – Platónske telesá
Euclides (3 stor. BC) – Základy
Fibonacci (1170-1250) – Liber Abaci
Luca Pacioli (1445-1517) – De Divina Proportione
(O Božských pomeroch – 1509), knihu ilustroval Leonardo
da Vinci
Johannes Kepler (1571-1630) – drahokam
Charles Bonnet (1720-1793) – fylotaxia
Martin Ohm (1792-1872) – „goldener Schnitt“
Roger Penrose (nar. 1931) – zlatý rez v aperiodických
dlaždičkách - kvázikryštály
Zlatý rez v umení, prírode, architektúre
Zlatý rez v geometrii
Zlatý pomer tvoria uhlopriečka a strana
pravidelného päťuholníka (využitie
Ptolemaiovej vety)
Zlatá špirála
Postupným skladaním štvrťkružníc, ktorých
polomery sú v zlatom pomere
(dĺžky strán opísaných štvorcov tvoria
Fibonacciho postupnosť).
Zlatý kruh
Plochy výsekov zlatého kruhu sú v zlatom
pomere, ak stredový uhol menšieho z nich
je približne 137,50
Zlatý kváder
Pomer strán „zlatého kvádra“ je  1 : 1 : 
resp. 1 :  :  2 . Z jeho šiestich stien sú
štyri „zlaté obdĺžniky“.
fi-1
Zlatý trojuholník
Jedná sa o rovnoramenný trojuholník, pričom keď rozdelíme uhol
pri vrchole C na polovicu a získame bod X, trojuholník CXB je
podobný s pôvodným trojuholníkom
Trojuholníky AXC (tupouhlý) a CBX (ostrouhlý) sa nazývajú
Robinsonove trojuholníky, používajú sa na konštrukciu
Penrosových dlaždíc
Konštrukcia zlatého rezu
Bodom A vedieme kolmicu na úsečku AB
Na nej zostrojíme bod X tak, aby sa veľkosť AB rovnala AX
Zostrojíme bod Z ako stred úsečky AX
Narysujeme úsečku ZB
Na polpriamke ZA zostrojíme bod Y tak, aby sa ZY rovnalo ZB
Na úsečke AB zostrojíme bod C tak, aby sa AC rovnalo AY
Fibonacciho postupnosť
Rekurentne zadaná:
F0  0
F1  1
FN  FN 1  FN  2
Niekoľko členov: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144...
Podiel členov postupne konverguje ku zlatému rezu
Leonardo z Pisy – Fibonacci
(1175-1250)
Jeho otca Giulielma (Viliam) prezývali Bonacci (dobrák) –
Fibonacci
Pomohol presadiť desiatkovú pozičnú sústavu
Zoznámil sa s arabskými číslicami pri obchodných cestách
po stredomorí
1202 – spísal svoje poznatky v knihe Liber Abacci – Kniha
výpočtov (praktické aplikácie novej desiatkovej sústavy v
účtovníctve, pri prevode jednotiek, pri počítaní úrokov a
pod).
Pomocou Fibonacciho postupnosti bola vyriešená úloha o
rozmnožovaní králikov – pomenoval Edouard Lucas (19.
stor.)
Fibonacciho čísla okolo nás
Semienka
slnečnice
(Helianthus
maximus) sú v
kvete uložené v
zlatých špirálach
Fibonacciho čísla okolo nás
Morský mäkkýš (Nautilus) vytvára
špirálovité schránky
Fibonacciho čísla okolo nás
Listy popínavých rastlín rastú tak, že pomery
počtu nových listov k počtu ovinutí stonky tvoria
postupnosť
1 2 3 5 8 13 21 34
, , , , ,
,
,
...
1 1 2 3 5 8 13 21
Jedná sa o postupnosť čiastočných zlomkov
aproximácie pomeru zlatého rezu
Osi po sebe nasledujúcich listov zvierajú vždy uhol
okolo 1370 (zlatý uhol), tým je zabezpečené
najlepšie oslnenie - fylotaxia
Fylotaxia
Náuka o usporiadaní
listov na stonke
Pomer počtu medzier
medzi listami a
počtom otočení
pomyselnej špirály
8:5 topoľ, vŕba, hruška
5:3 dub, čerešňa,
slivka, jabloň
13:8 mandľovník
Fibonacciho postupnosť okolo nás
Veľa kvetín má počet
okvetných lístkov
usporiadaný podľa
Fibonacciho
postupnosti, napr.
väčšina sedmokrások
má 13, 21 alebo 34
okvetných lístkov
Vo vrstvách šupín
jedľovej šišky ich
počty zodpovedajú
Fibonacciho
postupnosti
Fibonacciho postupnosť v Pascalovom trojuholníku