Transcript Nekomutativita & Geometrie

Nekomutativita & Geometrie
Proč potřebujeme nekomutativní
geometrii ?
Geometrický přístup ve fyzikálních
teoriích není jednotný.
Obecná relativita & Teorie pole
OTR
• Časoprostor – dynamický
objekt
• Geometrie (křivost) –
rozložení hmotnosti
• Gravitace
Teorie pole
• Prostor – „pasivní“
jeviště, v němž se vyvíjejí
pole
• Elektromagnetická,
slabá a silná interakce
Narušení harmonie
• Planckova délka L=√(κħ/c3) ~ 10-35 m
• Kvantování gravitace ? Renormalizace !
• Sjednocení za cenu silných fyzikálních hypotéz:
teorie strun (dimenze=11), supersymetrie (2x více částic)
• Experiment – zatím není
Obnovení harmonie
Sjednocení prostřednictvím geometrie ?
• Relativita – jednoduchá interpretace geometrie
• Kvantová teorie – jak zavést geometrii ? Pomocí
algebraických struktur !!
Geometrie & Algebra
Geometrie -vzdálenosti
|| x – y ||
Algebra - operace
αf(x)+βg(x), f(x)g(x)
sup |f’(x)|1 | f(x) – f(y) |
Proč to tak je – ukázka první
• Věta
o střední hodnotě
f ( x)  f ( y )
 f ' ( ),  ( x, y)
x y
f ' ( ) 1 | f ( x)  f ( y) | | x  y |
sup | f ( x)  f ( y) |  || x  y ||
Vzdálenosti a okolí & Operace
• Topologická struktura
X … [lokálně] kompaktní prostor
• Algebraická struktura ... komutativní algebra
[C0(X)] C(X) ... [mizející] spojité funkce f: XC
• Metrická struktura
||f || = supxX |f(x)| norma  metrika  topologie
• Involuce f* = f
• Jednotka [v C0(X)...neexistuje], v C(X)...f(x)  1
Prostory & Algebry funkcí
• Prostor  Komutativní algebra
Kompaktní topologický prostor X  komplexní
komutativní algebra spojitých funkcí na X s normou
||f||=sup {|f(x)| | xX} a obvyklou involucí má strukturu
C*- algebry
Libovolná komutativní C*- algebra A  topologický
prostor, jehož algebra spojitých funkcí je izomorfní s A
(konstrukce: Gelfand – Najmark – Segal)
• ???????  Nekomutativní algebra
Nebude možné sestrojit X tak, aby algebra funkcí na něm
představovala danou nekomutativní algebru, neboť algebra
funkcí je vždy komutativní.
Proč právě
*
C-
algebra ?
• Základní schéma fyzikální teorie
geometrický podklad X algebraické výpočty, derivování
• Klasické teorie
(lokálně) kompaktní Hausdorffův prostor X  komplexní
funkce spojité na X s obvyklou „supremovou“ normou a
obvyklou involucí tvoří komutativní C*- algebru
• Kvantová teorie
Hilbertův prostor  omezené lineární operátory (fyzikální
veličiny) tvoří nekomutativní C*- algebru
*
C-
algebra: výčet struktur
• Algebraická struktura
• Involuce (sdružení)
• Topologická struktura
norma  metrika  topologie
• Dodatečné podmínky
- na algebraické operace (asociativita, jednička)
- na involuci
- na topologickou strukturu (spojitost operací)
• Reprezentace obecně
omezené operátory v Hilbertově prostoru
C*- algebra: algebraická struktura
• Operace (struktura algebry) A
sčítání … vektorový prostor nad C
násobení … (asociativní, obecně nekomutativní) okruh
s jedničkou,
jedničku lze doplnit, pokud ji algebra neobsahuje:
[,a]+[,b] = [+,a+b]
[,a].[,b] = [, b+a+a.b], I = [1,0]
příklad neasociativní a nekomutativní algebry
Lieovy algebry: antikomutativita, Jacobiho identita
C*- algebra: involuce (sdružení)
• Involuce (involutivní algebra, * - algebra)
A  a  a*  A
(a+b)*=a*+b*, (a.b)* = b*. a*, (a*)*= a
a* ... sdružený k prvku a, a = a* … hermiteovský prvek
•
*-
ideál oboustranný
vlastní *-podalgebra B  A
a.b B , b.a B pro libovolné prvky aA, bB
ideál nemůže obsahovat jedničku
• Faktorová algebra A/B
*
C-
algebra: topologická struktura
• Norma a metrika na algebře A  a  ||a||R
||a||  0, rovnost  a = 0
||a+b||  ||a||+||b||, ||a|| = || ||a||, ||a.b||  ||a|| ||b||, ||I||=1
při rozšíření o jedničku právě jedno rozšíření normy
||[,a]|| = sup{||b+ab|| | ||b||1} … opět C*- algebra
• Banachova algebra
úplnost vzhledem k normě, každou normovanou algebru A
lze zúplnit (úplný obal B – Banachova algebra - obsahuje
A jako hustou podalgebru)
• Topologická struktura … indukovaná normou ||.||
báze topologie: U(a,r)={bA | ||b - a|| < r}
*
C-
algebra: spojitost involuce
• Normovaná * - algebra
dodatečná podmínka ||a*|| = ||a||  spojitost involuce
• C*- algebra
Banachova *- algebra A s dodatečnou podmínkou
||a*a||=||a||2  ||a||  ||a*|| a ||a*||  ||a||  ||a*|| = ||a||
• Příklad:
komutativní algebra C (X) funkcí spojitých na kompaktním
Hausdorffově prostoru X
* … komplexní sdružení, ||f ||=sup
xX |f(x)|.
lokálně kompaktní X … C0(X) … funkce zanedbatelné v
nekonečnu … nemá jedničku
*
C-
algebra: příklady
• Příklad: operátory
Nekomutativní algebra B(H) omezených lineárních
operátorů na nekonečněrozměrném Hilbertově prostoru,
* ... adjunkce, ||B||=sup{||B || | H , ||||  1}

• Příklad a protipříklad: matice
Nekomutativní algebra čtvercových matic Mn(C),
T* = (TT)kompl.sduž
a) ||T|| ... odmocnina z největší vlastní hodnoty matice T*T
b) ||T|| = sup{Tij} ... nesplňuje podmínku C*- algebry
Obě normy definují stejnou topologii na Mn(C).
*
C-
algebra: spektrum
• Spektrum prvku (a) = {C | (a-I)-1 neexistuje}
• Rezolventní množina prvku, rezolventa
r(a)={C | (a-I) je invertibilní}, rezolventa a = (a-I)-1
• Spektrální poloměr (a) = sup{ || |   (a) }
• v C*- algebře
r(a) je otevřená, (a) je neprázdná uzavřená
r(a)    (a-I)-1A analytická funkce
(a)=||a|| … jediná norma jednoznačně daná alg. strukturou
hermiteovské prvky … (a)  (-||a||, ||a||)
pozitivní prvky … hermiteovské a (a)  [0, ), a=b*b
*
C•
*-
algebra: morfismy
morfismy
lineární zobrazení algeber : A  B splňující navíc
(a.b) = (a) . (b), (a*) = (a)* pro libovolné a,b  A
• Spojitost a norma
morfismy C*- algeber jsou automaticky spojité
||(a)||  ||a|| pro libovolné a A , rovnost … izometrie
•
*-
izomorfismy
bijektivní *- morfismy, -1 automaticky *- morfismus
izometrické *- izomorfismy … stejná topologická i
algebraická struktura algeber A a B
*
C-
algebra: reprezentace
• Reprezentace C*- algebry A
dvojice (H , ) … H Hilbertův prostor
*- morfismus : A  B(H)
 je *- izomorfismus  je izometrie … věrná reprezentace
• Ireducibilní reprezentace
H nemá netriviální invariantní podprostory vůči akci (A )
• Cyklický vektor reprezentace
  H … (A )() = { (a)() | a  A } je hustá v H
příklad: A = Mn(C), (T)() = T.  , každý vektor   0 je
cyklický
Stavy na
*
C-
algebře
• Stav na C*- algebře
lineární funkcionál f : A  C, pozitivní ... f(a*a)  0
||f || = sup{|f(a)| | ||a||  1}, pro algebru s jednotkou f(I)=1
 spojitost f a vlastnost ||f || = f(I) = 1
S(A) ={f | f stav na A}... konvexní, tf1+(1-t)f2 SA , 0t1
• Čisté a smíšené stavy
čisté stavy…extremální body množiny S(A)
nejsou tvaru tf1+(1- t)f2 , 0 < t < 1
(např. vrcholy trojúhelníka)
Proč to tak je – ukázka druhá
• ||f||=1 ? To je přece zřejmé! Kolika kroků je ale
třeba, než to ověříme?
• pozitivní prvek pA … p=a*a ... hermiteovský,(p)[0,)
 f(p)0  f[r(b*b)I- b*b] 0  r(b*b)f(I) - f(b*b) 0
• [a,b]  f(a*b)... pozitivní seskvilineární forma 
|f(a*b)|2  f(a*a) f(b*b) 
|f(b)|2  f(I)f(b*b)  f(I)2 r(b*b)  f(I)2 ||b||2  |f(b)|  f(I)||b||
• přechod k supremům … ||f || = sup{|f(a)| | ||a|| 1}
sup |f(b)|  f(I) sup||b||  ||f ||  f(I), pro stavy ||f||  1
• naopak platí ||I||=1  f(I)  ||f || , tj. pro stavy 1  ||f||
• opravdu ... nakonec je || f || = 1
Stavy na
*
C -algebře
• topologie na S(A)
slabá topologie …
nejhrubší topologie, ve
které jsou spojité lineární
funkcionály â: S(A)  C
a  â izomorfsimus
A  S(A)  S(A)dual
*-
• kompaktnost
S(A)…lokálně kompaktní
a Hausdorffův
I A S(A)…kompaktní
- topologie
Konstrukce GNS – reprezentace
• Reprezentace asociované se stavy
f  S(A ) … (Hf , f)
Nf = {aA | f(a*a) = 0} Nf ... uzavřený levý ideál v A
z f(a*a) = 0 neplyne a=0 … nutno faktorizovat
skalární součin v A /Nf … (a+ Nf , b+Nf)  f(a*b)  C
nezávisí na volbě reprezentantů a, b
0 (a)(b + Nf ) = a.b + Nf … omezený lineární operátor na
A /Nf … nezávisí na volbě reprezentanta b
zúplnění … Hf = úplný obal A /Nf … Hilbertův prostor
f (a) B(Hf) … jediné rozšíření operátoru 0 (a) na
omezený lineární operátor v Hilbertově prostoru Hf
Konstrukce GNS – reprezentace
• GNS – trojice … (f , Hf , f )
vektor f = I + Nf  Hf je cyklický … množina f (a)(f )
je hustá v Hf a platí (f , f (a)(f )) = f(a) pro lib. a  A
||f || = || f || = 1
• Ireducibilita
reprezentace GNS je ireducibilní  lib.   0 je cyklický
 stav f je čistý, komutant množiny (A) ... {I | C}
• Ekvivalence reprezentací
GNS trojice je určena až na unitární transformaci
U : Hf  Hf , f = Uf , f (a) = Uf (a) U-1
Konstrukce GNS – reprezentace
• Izometrická reprezentace C*- algebry
Pro každou C*- algebru A s jedničkou existuje izometrická
reprezentace : A  B(H) na jistém Hilbertově prostoru.
H =  Ha … a  A probíhá nenulové prvky algebry A
(a , Ha , a) … GNS trojice odpovídající funkcionálu fa
pozitivnímu s vlastností fa (a*a) = ||a||2
(a)() = {a (b)(a ) | 0  a  A } ,  = {a | 0  a  A }
Existenční věta – nepraktická – prostor H „příliš velký“,
reprezentace „příliš reducibilní“ .
Komutativní geometrie
• Komutativní GNS – konstrukce
Každá komutativní C*- algebra A s jedničkou je
izometricky *- izomorfní algebře C (X) spojitých funkcí na
kompaktním Hausdorffově prostoru X.
• Charaktery
Ireducibilní reprezentace komutativní C*- algebry jsou
jednorozměrné (ve vícerozměrných H vždy existují
netriviální invariantní podprostory – vlastních vektorů)
existují lineární funkcionály f : A  C které jsou
homomorfismy tj. f(a.b) = f(a) f(b)  f(I)=f(I2)  f(I)=1
Proč to tak je – ukázka třetí
• Jak víme, že ireducibilní reprezentace (H, )
jsou jednorozměrné ?
• Reducibilita operátoru (a) ... neexistence netriviálního
invariantního podprostoru, tj. neexistence projektoru P, pro
který P(a) = (a)P a (E-P)(a)= (a)(E-P) a PH a (E-P)H
jsou invariantní podprostory v H
• Reprezentace je ireducibilní  komutant množiny (A )
je tvořen jen násobky identického operátoru E.
• Pro komutativní algebru A je (A ) podmnožinou
komutantu  reprezentace je reducibilní s výjimkou, kdy
je triviální. A to je právě pro dim H =1.
Komutativní geometrie
• Topologie na množině charakterů Â
topologie definovaná bodovou konvergencí:
{f}  f  {f(a)}  f (a)
báze V={gÂ | g(a1)U1,..., g(ak) Uk, ajA, UjC}
prostor charakterů Â … lokálně kompaktní a Hausdorffův,
A obsahuje I Â je kompaktní (a=I, 1C  V=Â )
• C*-algebra funkcí na Â
â: Â  f  â(f) = f(a)  C, ||â|| = sup{|f(a)| | a A}= ||a||
• A  Â  C(Â)  A izometrický izomorfismus
Proč to tak je – ukázka čtvrtá
• Jak souvisí kompaktnost prostoru charakterů
s jednotkou algebry ?
• Obecně – prostor charakterů s topologií bodové
konvergence je Hausdorffův (různé body lze oddělit
disjunktními okolími) a lokálně kompaktní (každý bod má
okolí s kompaktním uzávěrem)
• Jednotka v algebře  kompaktnost: Z každého
otevřeného pokrytí celého prostoru ze vybrat konečné
podpokrytí.
Proč to tak je – ukázka čtvrtá
• Jak oddělit body ?
• pro g, h  Â , g  h ,
existuje a A : g(a)h(a),
pak v C…disjunktní okolí
Ug,Uh,g(a)Ug,,h(a)Uh
• Wg ={fÂ | f(a1)U1 , ... ,
f(ak)Uk , f(a)Ug }
Wh ={fÂ | f(b1)V1 , ... ,
f(am)Vm , f(a)Uh }
gWg , hWh 
Wg  Wh = Ø
Komutativní geometrie-jinak
• Ekvivalentní konstrukce
 … prostor maximálních ideálů algebry A
jádra ireducibilních reprezentací … maximální ideály v A
f Â … A = Ker f  C  Ker f … maximální ideál v A
nechť I … maximální ideál, pak přirozená reprezentace
A v A/I je ireducibilní  jednorozměrná  A/I  C
faktorový homomorfismus A A/I lze ztotožnit s fÂ
přičemž I = Ker f
Prostor maximálních ideálů s Jacobsonovou topologií je
homeomorfní s  opatřeným Gelfandovou topologií.
Komutativní geometrie-příklad
• Příklad
Y … (lokálně) kompaktní Hausdorffův prostor
A = C(Y) … C*- algebra komplexních funkcí na Y
a : C(Y)  y  a(y)  C
norma ||a||=sup{|a(y)| | yY}, involuce ... a*(y) = a(y)
 ={ ŷ... homomorfismus | ŷ : C(Y)  a  ŷ (a)=a(y)C}
Ker ŷ = {a  C(Y) | a(y) = 0} ... maximální ideál v C(Y)
homeomorfismus ...  : Y  y  ŷ  Â
Prostor Y a prostor charakterů C*- algebry jeho funkcí jsou
topologicky ekvivalentní
Nekomutativní geometrie-příklad
• GNS-reprezentace
algebry matic M2(C)
komutativní podalgebra
A = {T | diag (, )}
charaktery f(T)=,g(T)=
rozšíření na M2(C)
F: M2(C)  C, F(I)=1 
F11+F22=1
g(T)=a11 , f(T)=a22
Proč to tak je – ukázka pátá
• Jak víme, že F11+F22 = 1 ?
• Lineární zobrazení je určeno obrazy báze.
1 0 
F
0 0
  F (11)


0 1 
F
 0 0
  F (12)


0 0
F
1 0 
  F ( 21)


0 0
F
 0 1
  F ( 22)


1
F (I )  F 
0

0

 F (11)  F ( 22)  1

1
Nekomutativní geometrie-příklad
• Ireducibilní reprezentace
přísluší čistým stavům f: M2(C)  C a g: M2(C)  C
• Faktorizující ideály
g(T1*T1)=0, f(T2*T2)=0
N1 ={T1M2(C)| a11=a21=0}, N2 ={T22M2(C)|a12=a22=0}
 0 a12 
 T 2
T 1  
 0 a 22 
 a11 0 

 
 a 21 0 
Nekomutativní geometrie-příklad
• Asociované Hilbertovy prostory
H1 =M2(C)/N1 = {T1 | a11= x1 , a21= x2 , a12= a22 =0}  C2
H2 =M2(C)/N2 ={T2 | a11= a21= 0 , a12= y1 , a22 = y2}  C2
Skalární součin
(X , X’) = x1* x1’+ x2* x2’
(Y , Y’) = y1* y1’+ y2* y2’
 x1 0   x1 
 0 y1   y1 
     X T 2  
     Y
T 1  
 x2 0   x2 
 0 y2   y2 
Nekomutativní geometrie-příklad
• Reprezentační morfismy a cyklické vektory
1: H1  T1  1(T1)  H1 , 1 … x1 = 1, x2 = 0
2: H2  T2  2(T2)  H2 , 2 … x2 = 0, x2 = 1
 a11 x1  a12 x 2 0 
  TX
 1(T )T 1  TT 1  
 a 21 x1  a 22 x 2 0 
 0 a11 y1  a12 y 2 
  TY
 2(T )T 2  TT 2  
 0 a 21 y1  a 22 y 2 
Nekomutativní geometrie-příklad
• Ekvivalence
C*-algebra M2(C) má jedinou ireducibilní reprezentaci.
Tato reprezentace je dvojrozměrná.
Reprezentace C*-algebry M2(C) odpovídající čistým
stavům f a g jsou ekvivalentní.
U 1
U 2
0
 
1

0
 
1

11 0 
0 0




 
 2





0  0 0 
1 0 
1 0 0 
0 1 




 
 1





0  0 1 
0 0
Ne-Komutativní omluva závěrem
• Fyzikům (a některým matematikům)
Vím, že jste zklamaní, že jste dnes neviděli žádnou přímou
fyzikální aplikaci. Algebra M2(C) však má velmi blízko ke
spinorům.
• Matematikům (a některým fyzikům)
Vím, že to bylo příliš triviální. Opomíjet triviální příklady
je však špatný zvyk, který nás vzdaluje od pochopení.