Transcript Vektorové prostory II
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Matematika I.
KIG / 1MAT1 Přednáška 06 Vektorové prostory II [email protected]
O čem budeme hovořit:
• • • • •
Báze vektorového prostoru Dimenze vektorového prostoru Souřadnice vektoru při dané bázi Změna báze Homomorfismus a izomorfismus vektorových prostorů
Báze vektorového prostoru
Definice báze vektorového prostoru Nechť je dán vektorový prostor [ W; + ]. Budeme říkat, že množina vektorů
u 1 , u 2 , u 3 , …, u n
tvoří bázi tohoto vektorového prostoru, když tyto vektory splňují následující dvě podmínky: jsou to generátory tohoto prostoru , a jsou lineárně nezávislé .
Příklady bází vektorových prostorů
Vektorový prostor uspořádaných čtveřic reálných čísel má prvky tvaru
( u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ) .
Jeho bází je například množina vektorů
(1; 0; 0; 0) , (0; 1; 0; 0) , (0; 0; 1; 0) , (0; 0; 0; 1)
.
Vektorový prostor polynomů nejvýše druhého stupně má prvky tvaru
a 2 . x 2 + a 1 . x + a 0 .
Jeho bází je například množina vektorů
x 2 , x , 1
.
Dimenze vektorového prostoru
Počet prvků v bázích vektorového prostoru
Budeme dále uvažovat jen takové vektorové prostory, které mají konečnou množinu generátorů – říká se jim
konečně generované vektorové prostory.
O takových prostorech lze dokázat následující větu:
Má-li vektorový prostor konečnou množinu generátorů, pak všechny jeho báze mají stejný počet prvků.
Definice dimenze vektorového prostoru
V konečně generovaném vektorovém prostoru podle předchozího platí, že všechny jeho báze jsou stejně početné, a můžeme tedy vyslovit tuto definici:
Počet vektorů v bázi netriviálního konečně generovaného vektorového prostoru budeme nazývat dimenzí vektorového prostoru.
Dimenze triviálního vektorového prostoru je nula.
Příklady dimenzí vektorových prostorů
Triviální vektorový prostor je generován nulovým vektorem. Nemá bázi (proč ?) a jeho dimenze je 0.
Vektorový prostor uspořádaných čtveřic reálných čísel má dimenzi 4
. Bází je například množina vektorů (1; 0; 0; 0) , (0; 1; 0; 0) , (0; 0; 1; 0) , (0; 0; 0; 1) .
Vektorový prostor polynomů nejvýše druhého stupně má dimenzi 3.
Bází je například množina vektorů x 2 , x , 1 .
Souřadnice vektoru při dané bázi
Jednoznačnost souřadnic vektoru
Z definice báze vyplývá, že každý vektor prostoru lze vyjádřit
jednoznačně
jako lineární kombinaci vektorů báze. Proč? Když bude platit
a 1 .u
1 + a 2 .u
2 + … + a n .u
n
získáme, že =
b 1 .u
1 + b 2 .u
2 + … + b n .u
n
,
(a 1 – b 1 ).u
1
a pak
+ (a 2 – b 2 ).u
2 a 1 = b 1
a 2 = b + … + (a 2
a n = b n n .
– b n ).u
n
=
0 ,
Definice souřadnic vektoru
Nechť je dán vektorový prostor [ W; + ]. Nechť množina vektorů
B =
u 1 , u 2 , u 3 , …, u n
tvoří bázi tohoto vektorového prostoru.
Nechť je libovolný vektor
u
W
vyjádřen ve tvaru
u = a 1 .u
1 + a 2 .u
2 + … + a n .u
n .
Koeficienty v této lineární kombinaci se nazývají souřadnicemi vektoru vzhledem k dané bázi B.
Příklad na určení souřadnic vektoru
Vektory
u 1 =
(1; 1; 0) ,
u 2 =
(1; 0; 1) a
u 3 =
(0; 1; 1) jsou bází aritmetického prostoru uspořádaných trojic.
Máme vypočítat souřadnice vektoru
w
= (3; 4; 5) .
Hledejme tedy tři reálné koeficienty aby platilo
x.u
1 + y.u
2 + z.u
3 = w
.
x
,
y
a
z
takové, x.u
1 + y.u
2 + z.u
3 = x.(1; 1; 0) + y.(1; 0; 1) + z.(0; 1; 1) = = (x; x; 0) + (y; 0; y) + (0; z; z) =
=
(x + y; x + z ; y + z)
=
(3; 4; 5) Soustavě vyhovují čísla
x = 1 , y = 2 , z = 3
.
Čísla
1 , 2 , 3
jsou souřadnicemi vektoru
w
při dané bázi.
Změna báze
Výpočet souřadnic vektoru při nové bázi
Vektory
u 1 =
(1; 1; 0) , souřadnice vektoru
w u 2 =
(1; 0; 1) a při této bázi jsou (
u a 3 1 =
jsou bází aritmetického prostoru uspořádaných trojic, ;
a
(0; 1; 1)
2
;
a 3
) .
Vektory
v 1 =
(1; 1; 1) ,
v 2 =
(1; 1; 0) a
v 3 =
(1; 0; 0) jsou jinou bází téhož aritmetického prostoru, vektor
w
má při této bázi jiné souřadnice (
b 1
;
b 2
;
b 3
) .
Vypočtěme je!
Výsledek:
b 1 = a b 2 = a 1 2 + a 3 – a 2 b 3 = a 2 - a 3
Homomorfismus a izomorfismus vektorových prostorů
Definice
Nechť jsou dány vektorové prostory
W 1
a
W 2
. Zobrazení nazýváme
F
vektorového prostoru
W 1
do prostoru
W 2 homomorfismem
, právě když splňuje tyto dvě podmínky:
(
u,v
W 1 ) F(u+v) = F(u) + F(v) (
a
R) (
u
W 1 ) F(a.u) = a.F(u)
Je-li zobrazení
F prosté W 1 na
zobrazení vektorového prostoru prostor
W 2
, nazýváme jej
izomomorfismem .
Určení homomorfismu
Homomorfismus vektorového prostoru
W 1
vektorového prostoru
W 2
určíme obrazy vektorů báze prostoru
W 1 .
do nejsnadněji určíme tak, že Příklad:
F (u 1 ) = v 1
Pak pro libovolné
w
, =
F (u x.u
1 2 ) = v + y.u
2 2
,
F (u 3 ) = v 3 + z.u
3
W 1
.
platí:
F(w) = F( x.u
1 + y.u
2 + z.u
3 ) = = x.F(u 1 ) + y.F(u 2 ) + z.F(u 3 ) = = x.v
1 + y.v
2 + z.v
3
Jak poznáme, že jde o izomorfismus?
Co je třeba znát a umět?
• • • • • •
Znát pojem báze vektorového prostoru, umět nalézt bázi vektorového prostoru, rozumět pojmu dimenze vektorového prostoru, umět pracovat se souřadnicemi vektorů, umět nalézt nové souřadnice vektoru při změně báze, rozumět pojmům homomorfizmus a izomorfozmus vektorových prostorů.