Transcript Уравнения высших степеней

Уравнения высших
степеней.
Методы решения уравнений:






Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x))
уравнением f(x) = g(x)
Разложение на множители.
Введение новой переменной.
Функционально – графический метод.
Подбор корней.
Применение формул Виета.
Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x))
уравнением f(x) = g(x).
Метод можно применять только в том случае,
когда y = h(x) – монотонная функция, которая
каждое свое значение принимает по одному
разу. Если функция немонотонная, то
возможна потеря корней.
Решить уравнение
(3x + 2)²³ = (5x – 9)²³
y = x ²³ возрастающая функция, поэтому от
уравнения (3x + 2)²³ = (5x – 9)²³ можно
перейти к уравнению 3x + 2 = 5x – 9, откуда
находим x = 5,5.
Ответ: 5,5.
Разложение на множители.
Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить
совокупностью уравнений
f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0.
Решив уравнения этой совокупности, нужно
взять те их корни, которые принадлежат
области определения исходного уравнения, а
остальные отбросить как посторонние.
Решить уравнение
x³ – 7x + 6 = 0
Представив слагаемое 7x в виде x + 6x,
получим последовательно:
x³ – x –6x + 6 = 0
x(x² – 1) – 6(x – 1) = 0
x(x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = 0
(x – 1)(x² + x – 6) = 0
Теперь задача сводится к решению
совокупности уравнений
x –1 = 0;
x² + x – 6 = 0.
Ответ: 1, 2, – 3.
Введение новой переменной.
Если уравнение y(x) = 0 удалось
преобразовать к виду p(g(x)) = 0, то нужно
ввести новую переменную u = g(x), решить
уравнение p(u) = 0, а затем решить
совокупность уравнений
g(x) = u1; g(x) = u2; … ; g(x) = un ,
где u1, u2, … , un – корни уравнения p(u) = 0.
Решить уравнение
2 x  3x  x  3x  2  0
4
3
2
Особенностью этого уравнения является
равенство коэффициентов его левой части,
равноудаленных от ее концов. Такие
уравнения называют возвратными.
Поскольку 0 не является корнем данного
уравнения, делением на x² получаем
3 2
2
2 x  3x  1   2  0
x x
1
 2 1 
2 x  2   3 x    1  0
x  
x

Введем новую переменную
Тогда
1
y  x  2 2 è
x
2
2
1
y  x
x
1
2
x  2  y 2  2.
x
Получаем квадратное уравнение


2 y 2  2  3 y  1  0, 2 y 2  3 y  5  0
y1  1, y2  2,5.
Так как
1
y  x   2,
x
корень y1 = – 1 можно не рассматривать.
Получим
1
2
x
Ответ: 2, 0,5.
x
 2,5, x  2,5 x  1  0
x1  2, x2  0,5
Решите уравнение
6(x² – 4)² + 5(x² – 4)(x² – 7x +12) + ( x² – 7x + 12)² = 0
Данное уравнение может быть решено как однородное.
Поделим обе части уравнения на (x² – 7x +12)² (ясно,
что значения x такие, что x² – 7x +12=0 решениями не
являются).
x2  4
 t.
Теперь обозначим
2
x  7 x  12
1
1
Имеем 6t 2  5t  1  0, t1   , t 2   .
2
3
x2  4
1
x2  4
1

è

Отсюда
2
2
x  7 x  12
2
x  7 x  12
3
3
1
Ответ: x1  0, x2  1 , x3  1, x4  1 .
4
3
Функционально – графический
метод.
Если одна из функций у = f(x),y = g(x)
возрастает, а другая – убывает, то
уравнение f(x) = g(x) либо не имеет
корней, либо имеет один корень.
Решить уравнение
5
x  5 x  42  0
Достаточно очевидно, что x = 2 – корень
уравнения. Докажем, что это единственный
корень.
Преобразуем уравнение к виду x 5  42  5 x.
5
Замечаем, что функция y  x
возрастает, а функция
y  42 5x
убывает. Значит, уравнение имеет только
один корень.
Ответ: 2.
Подбор корней



Теорема1:
Если целое число m является корнем многочлена с целыми
коэффициентами, то свободный член многочлена делится на m.
Теорема 2:
Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не имеет
дробных корней.
Теорема 3:
n
n1
Пусть a0 x  a1 x  ... an  0 – уравнение с целыми
p
x

, где p и q – целые числа
коэффициентами. Если число 0
q
p
несократима, является корнем уравнения,
и дробь
q
то p есть делитель свободного члена an , а q – делитель
коэффициента при старшем члене a0 .
Теорема Безу.
Остаток при делении любого многочлена на двучлен
(x – a) равен значению делимого многочлена при x = a.
Следствия теоремы Безу








Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность
этих же чисел;
Разность одинаковых четных степеней двух чисел делится без остатка как
на разность этих чисел, так и на их сумму;
Разность одинаковых нечетных степеней двух чисел не делится на сумму
этих чисел;
Сумма одинаковых степеней двух не чисел делится на разность этих
чисел;
Сумма одинаковых нечетных степеней двух чисел делится без остатка на
сумму этих чисел;
Сумма одинаковых четных степеней двух чисел не делится как на разность
этих чисел, так и на их сумму;
Многочлен делится нацело на двучлен (x – a) тогда и только тогда, когда
число a является корнем данного многочлена;
Число различных корней многочлена, отличного от нуля, не более чем его
степень.
Решить уравнение
x³ – 5x² – x + 21 = 0
Многочлен x³ – 5x² – x + 21 имеет целые коэффициенты.
По теореме 1 его целые корни, если они есть, находятся
среди делителей свободного члена: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21.
Проверкой убеждаемся в том, что число 3 является корнем.
По следствию из теоремы Безу многочлен делится на (x – 3).
Таким образом, x³– 5x² – x + 21 = (x – 3)(x²– 2x – 7).
Ответ:
x1  3, x2,3  1  2 2
Решить уравнение
2x³ – 5x² – x + 1 = 0
По теореме 1 целыми корнями уравнения могут быть только числа ± 1.
Проверка показывает, что данные числа не являются корнями.
Так как уравнение не является приведенным, то оно может иметь дробные
рациональные корни. Найдем их. Для этого умножим обе части уравнения на 4:
8x³ – 20x² – 4x + 4 = 0
Сделав подстановку 2x = t, получим
t³ – 5t² – 2t + 4 = 0.
По тереме 2 все рациональные корни данного приведенного уравнения должны
быть целыми. Их можно найти среди делителей свободного члена: ± 1, ± 2, ± 4.
В данном случае подходит t = – 1. Следовательно x1  0,5.
По следствию из теоремы Безу многочлен 2x³ – 5x² – x + 1 делится на (x + 0,5):
2x³ – 5x² – x + 1 = (x + 0,5)(2x² – 6x + 2)
Решив квадратное уравнение 2x² – 6x + 2 = 0, находим остальные
корни: x2,3 
3 5
.
2
Ответ:
x1  0,5, x2,3 
3 5
.
2
Решить уравнение
6x³ + x² – 11x – 6 = 0
По теореме 3 рациональные корни этого уравнения
следует искать среди чисел
1
3
1
2
1
 1,  2,  3,  6,  ,  ,  ,  ,  .
2
2
3
3
6
Подставляя их поочередно в уравнение,
найдем, что
3
2
x1  1, x2  , x3  
2
3
удовлетворяют
уравнению. Ими и исчерпываются все корни уравнения.
Ответ:
 1;
3
2
;  .
2
3
Формулы Виета.
Для корней x1 , x2 , ..., xn уравнения
имеют место формулы:
a1
x1  x2  ...  xn   ,
a0
a0 x  a1x
n
n1
 ... an  0
a2
x1 x2  x1 x3  ...  x1 xn  x2 x3  ...  xn 1 xn  ,
a0
a3
x1 x2 x3  x1 x2 x4  ...  x1 x2 xn  x2 x3 x4  ...  xn  2 xn 1 xn   ,
a0
.............................................................................................
n an
x1 x2 x3  ... xn  (1)
.
a0
Найти сумму квадратов корней
уравнения x³ + 3x² – 7x +1 = 0
x1  x2  x3  3
По теореме Виета
x1 x2  x1 x3  x2 x3  7
x1 x2 x3  1.
Заметим, что
x1  x2  x3 
2
откуда
 x  x  x  2x1x2  2x1x3  2x2 x3 ,
2
1
2
2
2
3
x  x  x  x1  x2  x3   2x1 x2  x1 x3  x2 x3  
2
1
2
2
2
3
  3  2   7   23.
2
2
Укажите, каким методом можно решить каждое из данных
уравнений. Решите уравнения № 1, 4, 14, 15, 17.
1. 4 x  5 x  6  x  10 x  12  3 x 2 .
3.
2 x  25  5 x  95 .
4. y 3  5 y 2  2 y  16  0.
5. x 3  4 x 2  5 x  2  0.
7. Ïóñòü x1 , x2 , x3
Íàéäèòå :
 êîðíè
6. x 3   x  10.
óðàâíåíèÿ
12.
x 3  6 x 2  15x  1  0.
1
1
1


.
x1  x2 x1  x3 x2  x3
8. 2 x 3  x 2  4 x  2  0.
10.
2. x 7  5 x  6  0.
x  22 x  12  x  2x 2  1  2x  12  0.
2
2x 2  7 x  3  3 x  3 x  4 .
9.
9  x 9   5 x  19 .
11. 28x 3  3 x 2  3 x  1  0.
13. 2 x 4  7 x 3  6 x 2  7 x  6  0.
14. Èçâåñòíî , ÷òî óðàâíåíèå ax3  bx2  cx  6  0, ãäå a   , èìååò
ðàçëè÷íûõ öåëûõ îòðèöàòåëüíûõ êîðíÿ. Íàéäèòå a.
15. x 3  2006x  2007  0.
17. 2 x 4  15x 3  40x 2  45x  18  0.
3
16. 24x 4  16x 3  3 x  2  0.
18. x 3  3 x 2  3 x  2  0.
Ответы и указания:
1. Введение новой переменной.
2. Функционально – графический метод.
3. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).
4. Разложение на множители.
5. Подбор корней.
6 Функционально – графический метод.
7. Применение формул Виета.
8. Подбор корней.
9. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).
10. Введение новой переменной.
11. Разложение на множители.
12. Введение новой переменной.
13. Подбор корней.
14. Применение формул Виета.
15. Функционально – графический метод.
16. Разложение на множители.
17. Введение новой переменной.
18. Разложение на множители.
1. Указание. Запишите уравнение в виде
4(x²+17x+60)(x+16x+60)=3x²,
Разделите обе его части на x². Введите переменную
60
ó  x  16  .
x
Ответ: x1 = – 8; x2 = – 7,5.
4. Указание. Прибавьте к левой части уравнения 6y и
– 6y и запишите его в виде
(y³ – 2y²) + (– 3y² + 6y) + (– 8y + 16) = (y – 2)(y² – 3y – 8).
Ответ:
3  41 3  41
 1,
,
.
2
2
6
x1  x2  x3   .
a
14. Указание.
По теореме Виета
Так как x1 , x2 , x3 , a – целые числа, то корнями
уравнения могут быть только числа –1, – 2, – 3.
Ответ: a  1.
15. Ответ: –1.
17. Указание. Разделите обе части уравнения на x²
и запишите его в виде
3
 2 9

2 x  2   15 x    40  0.
x 
x


3
Введите переменную y  x  .
x
Ответ: 1; 1,5; 2; 3.
Самостоятельная работа.
Решите уравнения:
Вариант 1.
Вариант 2.
1). x 3  3x 2  6 x  8  0
1). x 3  3x 2  16x  48  0
2). 6 x 4  13x 3  12x 2  13x  6  0
2). 6 x 4  25x 3  12x 2  25x  6  0
3). 2 x 3  3x 2  32x  15  0
3). x 3  6 x 2  15x  14  0
4). x 3  10x  11  0
4). x 5  3x  4  0
Ответы.
Вариант 1.
Вариант 2.
1).  4;  1; 2.
1).  4;  3; 4.
2
1
2).
; 1 .
3
2
3).  3;  0,5; 5.
1
1
2).  ;  ; 2; 3.
2
3
3). 2.
4).  1.
4). 1.
Библиография.











Колмогоров А. Н. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 2003).
Башмаков М. И. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 1993).
Мордкович А. Г. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Мнемозина, 2003).
Алимов Ш. А., Колягин Ю. М. и др. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.:
Просвещение, 2000).
Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. «Сборник задач по алгебре, 8 – 9»
(М.: Просвещение, 1997).
Карп А. П. «Сборник задач по алгебре и началам анализа, 10 – 11» (М.:
Просвещение, 1999).
Шарыгин И. Ф. «Факультативный курс по математике, решение задач, 10» (М.:
Просвещение. 1989).
Скопец З. А. «Дополнительные главы по курсу математики, 10» (М.: Просвещение,
1974).
Литинский Г. И. «Уроки математики» (М.: Аслан, 1994).
Муравин Г. К. «Уравнения, неравенства и их системы» (Математика, приложение к
газете «Первое сентября», №2, 3, 2003).
Колягин Ю. М. «Многочлены и уравнения высших степеней» (Математика,
приложение к газете «Первое сентября», №3, 2005).