Transcript 基本電學(下)第8章直流暫態現象

基本電學(下)第8章直流暫態現象
8-1電阻與電容電路的暫態現象
學前評量
1、在數學中自然數以什麼符號表示？

t
2、 i (t )  Ie  屬於上昇或下降方程式？
3、R-C在充電瞬間，其充電電流為最大？
4、R-C在充電及放電時，其電流方向為？
電阻與電容電路的暫態現象
由於電容器具有充電及放電的能力，
可將電能儲存在電場中，放電時再轉換成
電能供給負載使用，所以在定時電路其他
自動控制電路應用的很多。在之前介紹電
容器的章節當中，可看出所有充電及放電
的電壓，電流波形曲線，不是上昇曲線就
是下降曲線。
電阻與電容電路的暫態現象
上昇及下降的方程式
如下圖所示為一上昇曲線，可用微分
方程式求出其曲線的方程式，限於讀者之
能力，只能寫出其結果，利用通用公式來
代替上昇曲線方程式。其公式為：

t
i ( t )  I (1  e  )
式中I 為曲線中的最大值， i(t)為任何時間
電阻與電容電路的暫態現象
瞬間值，e為自然數，τ為線路的特性一般
稱為時間常數。如下圖(a)、(b)所示為一衰減曲
線，即下降曲線，同理，亦可用一通用公式代表，
t

其公式：

i ( t )  Ie
電阻與電容電路的暫態現象
R-C充電
1、R-C充電瞬間(t=0)，如下圖所示，在
t=0瞬間開關由位置「0」往「1」時，電
荷移動率最大，充電電流最大，電容視為
E
短路，如下圖所示，故充電電流：
I
R
電阻與電容電路的暫態現象
以致於電阻及電容器的端電壓為
VR  E
VC  0
2、R-C充電過程(t>0)
時間t大於零時，電源向電容充電，電荷增
加，電容端電壓升高，為上昇曲線，且最
終電壓與電源電壓相等，如下圖所示，方
t
t


程式為
vc (t )  E(1  e  )  E(1  e RC )
電阻與電容電路的暫態現象
式中   RC為時間常數，容後說明。
R-C充電的(a)VC 上昇曲線
(b) VR 下降曲線
(c) iC 下降曲線
電阻與電容電路的暫態現象
此時，電阻器端電壓 VR (t ) 相對減，為衰減
曲線。由於電容器儲存電荷的增加，使得
充電電流 iC (t ) 亦為衰減曲線，如上圖所示
故 VR (t ) 和 iC (t )方程式為：
v R (t )  Ee
iC (t )  Ie


t

 Ee
t

 Ie
t

RC
t

RC
電阻與電容電路的暫態現象
3、R-C充電完畢(t>>0)
如上述充電過程繼續執行，最後達到電容
所能儲存的最大電荷數時，稱為充電完畢。
此時電容器端電壓 vC 等於電源電壓 E
充電電流 iC 降為零，即停止充電，電容器
視為開路，使電阻壓降VR 亦為零。其值：
vC
E
iC
vC  E
vR  0
iC  0
電阻與電容電路的暫態現象
R-C放電
1、R-C放電瞬間(t=0)
下圖中開關在位置「1」已充電完畢，即上
極板帶正電荷，下極板帶負電荷，端電壓
vC  E。將開關由位置「1」移到位置「2」
，正負電荷經電阻R開始中和，即產生放電
電流，如下一頁圖所示。由圖可知，此時
電阻與電容電路的暫態現象
vC  E，電阻器與電容器並聯，電壓相等，
但極性與原來充電時相反v R  vC   E
，而放電電流I 與原來充電電流方向亦相反
vC
E
，由歐姆定律知 I     為最 大 值
R
R
負號表示與原來充電電流方向相反。
-R +
VR
ic
+
vC=E
-
電阻與電容電路的暫態現象
R-C放電的(a) VC 下降曲線
(b) VR 下降曲線
(c) iC 下降曲線
電阻與電容電路的暫態現象
3、R-C放電完畢(t>>0)
如上述放電過程繼續執行，最後所有電荷
全部中和，沒有殘存電荷，稱為放電完畢。
此時 vC , v R , ic當然全部歸零。
vC  v R  ic  0
電阻與電容電路的暫態現象
時間常數
在所有公式中，我們可看見  RC
其單位可由R，C 單位求出，使用歐姆定
律 R  v 單位為伏特/安培，而電容器電
i
v
流即 i  C
t
單位為安培-秒/伏特
電阻與電容電路的暫態現象
伏 特 安 培 秒

秒
安培
伏特
則之單位為
因 之單位為秒，且由R和C決定常數，所
以稱為RC常數時間。以後會瞭解，它的數
值決定電容器充放電的快慢。
在下表中是時間t以時間常數  的倍數所
得
e

t

的數值。由此表可求得不同時間
電阻與電容電路的暫態現象
電流之數值。例如在R-C充電時 iC 衰減方
程式中，當t=0時
iC (0)  I
※下表為的
e

t

數值比較
電阻與電容電路的暫態現象
時間t
0
1τ
2τ
3τ
4τ
5τ
6τ
e
0
t

e  1.0
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
e
 0.368
 0.135
 0.0498
 0.0183
 0.00674
 0.00248
電阻與電容電路的暫態現象
而在一個時間常數t=
iC ( )  0.3681
 電流是
因此在一個時間常數後，充電電流降到起
始電流的0.368倍，或初值的36.8%。
同理在上昇方程式中，一個時間常數
為上昇到最大值的63.2%。

電阻與電容電路的暫態現象
由上可知   RC愈大，充放電之時間將
t
愈長，而在數學上 e  於時間無限大時
才會等於零，實際上，由表中可知經過幾
個時間常數，其值已變為很小。通常在五
個時間常數後(t=5 ),可視為已完全充電
及放電完畢。

電阻與電容電路的暫態現象
※複雜網路的R-C暫態
在一多電阻複雜電路中，欲求
R-C充放電電路的暫態方程式
，可先求出戴維寧等效電路，
再依上述方法求之，如下一
頁圖所示。
電阻與電容電路的暫態現象
複雜
電路
a
K
c
b
a
c
Rt h
Et h
b
戴維寧等效
電路