Transcript K3_k4_Regresi_Ganda

REGRESI BERGANDA
PENDAHULUAN



Apakah Konsumsi hanya dipengaruhi oleh
Pendapatan saja?
Ada beberapa variabel lain yang berpengaruh,
seperti jumlah anggota keluarga, umur anggota
keluarga, selera pribadi, dan sebagainya.
Bila dianggap variabel lain perlu diakomodasikan
dalam menganalisis konsumsi, maka Regresi
Sederhana dikembangkan menjadi Regresi
Berganda.
MODEL
Yi = 0 + 1X1i + 2X2i + 3X3i + ........+ kXki + ui
i = 1,2,3,......., N (banyaknya observasi)
Contoh Aplikasi:
Yi = 0 + 1X1 + 2X2 + 3X3 + ui
Y:
Konsumsi
X1 : Pendapatan
X2 : Umur
X3 : Jumlah tanggungan
ESTIMASI


Teknik Estimasi: Ordinary Least Square
Estimator:
b = (XTX)-1 XTY
Bentuk tersebut merupakan persamaan matriks,
dimana:
X adalah matriks data variabel bebas
XT adalah bentuk transpose matriks X
(XTX)-1 adalah inverse perkalian matriks XT dan X
Y merupakan vektor data variabel terikat
Pemeriksaan Persamaan Regresi





Standard Error Koefisien
Interval Kepercayaan
Koefisien Determinasi
Nilai-nilai ekstrim
Uji Hipotesis:
–
–
Uji t
Uji F
Uji Hipotesis

Uji-F
Diperuntukkan guna melakukan uji hipotesis koefisien (slop)
regresi secara bersamaan.
H0 : 1 = 2 = 3 = 4 =............= k = 0
H1 : Tidak demikian (paling tidak ada satu slop yang  0)
Dimana: k adalah banyaknya variabel bebas.

Regresi sederhana:
H 0 : 1 = 0
H 1 : 1  0

Pengujian: Tabel ANOVA (Analysis of Variance).
Uji-F

Observasi: Yi = 0 + 1 Xi + ei
Regresi: Ŷi = b0 + b1 Xi (catatan: Ŷi merupakan estimasi dari Yi).

Bila kedua sisi dikurangi

Y maka:
Yi  Y  Y  Y  ei
Selanjutnya kedua sisi dikomulatifkan:
 (Y  Y )   (Y  Y  e )
 (Y  Y )   (Y  Y )   e
2
i
2
i
i
2
i



SST
SST : Sum of Squared Total
SSR : Sum of Squared Regression
SSE : Sum of Squared Error/Residual
2
i
2
i
SSR
SSE
Uji F
Sumber
Regresi
Error
Total


Tabel ANOVA
Sum of Square df Mean Squares
F Hitung
SSR
k MSR = SSR/k
F = MSR
SSE
n-k-1 MSE= SSE/(n-k-1)
MSE
SST
n-1
Dimana df adalah degree of freedom, k adalah jumlah variabel
bebas (koefisien slop), dan n jumlah observasi (sampel).
Bandingkan F Hit dengan Fα(k,n-k-1)
Asumsi-asumsi yang mendasari OLS
Pendugaan OLS akan bersifat BLUE (Best
Linier Unbiased Estimate) jika memenuhi 3
asumsi utama, yaitu:
– Tidak ada multikolinieritas
– Tidak mengandung Heteroskedastisitas
– Bebas dari otokorelasi
Multikolinieritas

Multikolinieritas: adanya hubungan linier
antara regressor.
Misalkan terdapat dua buah regressor, X1
dan X2. Jika X1 dapat dinyatakan sebagai
fungsi linier dari X2, misal : X1 =  X2, maka
ada kolinieritas antara X1 dan X2. Akan
tetapi, bila hubungan antara X1 dan X2 tidak
linier, misalnya X1 = X22 atau X1 = log X2,
maka X1 dan X2 tidak kolinier.
Ilustrasi

Yi = 0 + 1X1 + 2X2 + 3X3 + ui
Y
X1
X2
X3

: Konsumsi
: Total Pendapatan
: Pendapatan dari upah
: Pendapatan bukan dari upah
Secara substansi: total pendapatan (X1) = pendapatan dari
upah (X2) + pendapatan bukan dari upah (X3). Bila model ini
ditaksir menggunakan Ordinary Least Square (OLS), maka i
tidak dapat diperoleh, karena terjadi perfect multicollinearity.
Tidak dapatnya  diperoleh karena ( XT X )-1, tidak bisa dicari.
Data Perfect Multikolinieritas
X1
X2
X3
12
16
48
64
51
65
19
23
29
76
92
116
82
96
118
Nilai-nilai yang tertera dalam tabel menunjukan bahwa Antara X1 dan X2
mempunyai hubungan: X2 = 4X1. Hubungan seperti inilah yang disebut
dengan perfect multicollinearity.
Akibat Multikolinieritas




Varians besar (dari taksiran OLS)
Interval kepercayaan lebar (variansi besar 
Standar Error besar  Interval kepercayaan lebar)
R2 tinggi tetapi tidak banyak variabel yang
signifikan dari uji t.
Terkadang taksiran koefisien yang didapat akan
mempunyai nilai yang tidak sesuai dengan
substansi, sehingga dapat menyesatkan
interpretasi.
Kesalahan Interpretasi
“Interpretasi dari persamaan regresi ganda secara implisit
bergantung pada asumsi bahwa variabel-variabel bebas dalam
persamaan tersebut tidak saling berkorelasi. Koefisienkoefisien regresi biasanya diinterpretasikan sebagai ukuran
perubahan variabel terikat jika salah satu variabel bebasnya
naik sebesar satu unit dan seluruh variabel bebas lainnya
dianggap tetap. Namun, interpretasi ini menjadi tidak benar
apabila terdapat hubungan linier antara variabel bebas”
(Chatterjee and Price, 1977).
Ilustrasi
Konsumsi (Y)
Pendapatan (X1)
Kekayaan (X2)
40
50
500
50
65
659
65
80
856
90
110
1136
85
100
1023
100
120
1234
110
140
1456
135
190
1954
140
210
2129
160
220
2267
Ilustrasi

Model:
Y = 12,8 – 1,414X1 + 0,202 X2
SE
(4,696) (1,199) (0,117)
t
(2,726) (-1,179) (1,721)
R2 = 0,982



R2 relatif tinggi, yaitu 98,2%. Artinya?
Uji t tidak signifikan. Artinya?
Koefisien X1 bertanda negatif. Artinya?
Ilustrasi: Model dipecah

Dampak Pendapatan pada Konsumsi
Y = 14,148 + 0,649X1
SE (5,166) (0,037)
t (2,739) (17,659)
R2 = 0,975
R2 tinggi, Uji t signifikan, dan tanda X1 positif.

Dampak Kekayaan pada Konsumsi
Y = 13,587 + 0,0635X2
SE (4,760) (0,003)
t (2,854) (19,280)
R2 = 0,979
R2 tinggi, Uji t signifikan, dan tanda X2 positif.


X1 dan X2 menerangkan variasi yang sama. Bila 1 variabel saja
cukup, kenapa harus dua?
Mendeteksi Multikolinieritas dengan Uji
Formal
1. Eigenvalues dan Conditional Index

Aturan yang digunakan adalah: Multikolinieritas ditengarai
ada didalam persamaan regresi bila nilai Eigenvalues
mendekati 0.

Hubungan antara Eigenvalues dan Conditional Index (CI)
adalah sebagai berikut:
max eigenvalues
CI 
min eigenvalues
Jika CI berada antara nilai 10 sampai 30: kolinieritas moderat.
Bila CI mempunyai nilai diatas 30: kolinieritas yang kuat.
2. VIF dan Tolerance
1
VIFj 
(1  R 2j )
; j = 1,2,……,k
k adalah banyaknya variabel bebas
R 2j adalah koefisien determinasi antara variabel bebas ke-j dengan
variabel bebas lainnya.
2
Jika R j = 0 atau antar variabel bebas tidak berkorelasi, maka nilai VIF = 1.
Jika
R 2j ≠ 0 atau ada korelasi antar variabel bebas, maka nilai VIF > 1.
Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa kolinieritas tidak ada
jika nilai VIF mendekati angka 1
Tolerance

VIF ini mempunyai hubungan dengan
Tolerance (TOL), dimana hubungannya
adalah sebagai berikut:

1
2
TOL j 
 1 Rj
VIF

Variabel bebas dinyatakan tidak multikolinieritas jika
TOL mendekati 1
Mengatasi kolinieritas


Melihat informasi sejenis yang ada
Tidak mengikutsertakan salah satu variabel yang
kolinier
–
–


Banyak dilakukan.
Hati-hati, karena dapat menimbulkan specification bias
yaitu salah spesifikasi kalau variabel yang dibuang
merupakan variabel yang sangat penting.
Mentransformasikan variabel
Mencari data tambahan
Heteroskedastisitas (Heteroscedasticity)

Variasi Error tidak konstan. Umumnya terjadi pada data cross
section. Misal data konsumsi dan pendapatan, atau data
keuntungan dan asset perusahaan
Pola Data Heteroskedastis
120
100
80
60
40
20
0
0
20
40
60
Data Heteroskedastisitas

Fakta:
–
–
–
hubungan positif antara X dan Y, dimana nilai Y
meningkat searah dengan nilai X.
semakin besar nilai variabel bebas (X) dan
variabel bebas (Y), semakin jauh koordinat (x,y)
dari garis regresi (Error makin membesar)
besarnya variasi seiring dengan membesarnya
nilai X dan Y. Atau dengan kata lain, variasi data
yang digunakan untuk membuat model tidak
konstan.
Pemeriksaan Heteroskedastisitas
1. Metode Grafik
 Prinsip: memeriksa pola residual (ui2)
terhadap taksiran Yi.
 Langkah-langkah:
–
–
–
Run suatu model regresi
Dari persamaan regresi, hitung ui2
Buat plot antara ui2 dan taksiran Yi
Pola Grafik
u i2

Yi
,

Yi
Pengamatan:
1.Tidak adanya pola yang sistematis.
2.Berapapun nilai Y prediksi, residual kuadratnya relatif sama.
3.Variansi konstan, dan data homoskedastis.
Pola Adanya Heteroskedastisitas
ui2
ui2

Yi
Pola sistematis

Yi
Uji Park


Prinsip: memanfaatkan bentuk regresi untuk
melihat adanya heteroskedastisitas.
Langkah-langkah yang dikenalkan Park:
1. Run regresi Yi = 0 + 0Xi + ui
2. Hitung ln ui2
3. Run regresi ln ui2 =  +  ln Xi + vi
4. Lakukan uji-t. Bila  signifikan, maka ada
heteroskedastisitas dalam data.
Ilustrasi
Sales
man
X
Y
Sales
man
X
Y
Sales
man
X
Y
1
2
10
11
15
80
21
32
180
2
3
15
12
17
90
22
33
185
3
4
20
13
18
95
23
34
190
4
5
25
14
19
100
24
37
205
5
7
35
15
20
105
25
39
215
6
8
40
16
22
120
26
40
220
7
10
50
17
23
125
27
42
230
8
11
60
18
25
135
28
43
235
9
12
65
19
27
145
29
44
240
10
13
70
20
30
160
30
45
245
Y = rata-rata bonus (dalam ribuan rupiah)
X = rata-rata sepatu terjual (dalam unit)
Ilustrasi



Y = -3,1470 + 5,5653 X
SE
(0,0305)
R2 = 0,9992
slope signifikan: Bila sepatu terjual naik 1 unit, maka bonus
akan naik Rp.5.563.
Apakah ada heteroskedastisitas ?

Run regresi, didapat:
ln ui2 = 6,0393 – 2,1116 ln Xi
SE
(0,0090)
R2 = 0,9995

Menurut uji t,  signifikan sehingga dalam model penjualan
sepatu vs bonus di atas ada heteroskedastisitas.
Uji Goldfeld – Quandt


Metode Goldfeld – Quandt sangat populer untuk digunakan, namun
agak merepotkan, terutama untuk data yang besar.
Langkah-langkah pada metode ini:
–
–
–
–
–
–
Urutkan nilai X dari kecil ke besar
Abaikan beberapa pengamatan sekitar median, katakanlah sebanyak c
pengamatan. Sisanya, masih ada (N – c) pengamatan
Lakukan regresi pada pengamatan 1, dan hitung SSE 1
Lakukan regresi pada pengamatan 2 dan hitung SSE 2.
Hitung df = jumlah pengamatan dikurangi jumlah parameter
Lakukan uji F sbb.
RSS 2 / df 2

RSS 1 / df 1
Bila  > F tabel, kita tolak hipotesis yang mengatakan data mempunyai variansi
yang homoskedastis
Ilustrasi

Ada 30 pengamatan penjualan sepatu dan bonus. Sebanyak 4
pengamatan yang di tengah diabaikan sehingga tinggal 13
pengamatan pertama (Kelompok I) dan 13 pengamatan kedua
(Kelompok II).

Regresi berdasarkan pengamatan pada kelompok I:
Y = -1,7298 + 5,4199 X
R2 = 0,9979
RSS1 = 28192,66
df1 = 11

Regresi berdasarkan pengamatan pada kelompok II:
Y = -0,8233 + 5,5110 X
R2 = 0,9941
RSS2 = 354397,6
df2 = 11
Ilustrasi
RSS 2 / df 2

RSS 1 / df 1
= 354397,6/11
28192,66/11
= 12,5706
Dari tabel F, didapat F = 2,82 sehingga  > F
Kesimpukan: ada heteroskedastisitas dalam data
Mengatasi heteroskedastisitas
1. Transformasi dengan Logaritma
Transformasi ini ditujukan untuk memperkecil
skala antar variabel bebas. Dengan semakin
‘sempitnya’ range nilai observasi, diharapkan
variasi error juga tidak akan berbeda besar
antar kelompok observasi.
Adapun model yang digunakan adalah:
Ln Yj = β0 + β1 Ln Xj + uj
2. Metode Generalized Least Squares
(GLS)
Perhatikan model berikut :
Yj = 1 + 2 Xj + uj dengan Var (uj) = j2
1
Masing-masing dikalikan  j
 1
 X j   uj 
   
 1    2 
j
 j 
  j   j 
Yj
Maka diperoleh transformed model sebagai berikut :
Yi* = 1* + 2Xi* + ui*
GLS

Kita periksa dulu apakah ui* homoskedastis ?
 ui2
E(ui*2) = E 2
 i

  12 E(u i 2 )  12 ( i 2 )  1
 
i
i

konstan
Transformasi
Oleh karena mencari j2 hampir tidak pernah diketahui, maka
biasanya digunakan asumsi untuk mendapat nilai j2. Asumsi
ini dapat dilakukan dengan mentransformasikan variabel. Ada
beberapa jenis, yaitu:
1
1. Transformasi dengan
Xj
Asumsi:
j2 =
 
E u 2j   2 X 2j
Akibat transformasi, model menjadi:
 1
 0 
X
Xj
 j
Yj
atau dapat ditulis dengan: Yi* = 0 X* + 1 + vi

u
  1   j

X

 j




Transformasi

Apakah sudah homoskedastis? Perhatikan bukti berikut:
E(vi2) =
 u j2 
1
1
2
2
2
2
E 2  
E
(
u
)

(

X
)


j
j
2
X  X 2
X
j
j
 j 
1
2. Transformasi dengan
Asumsi:
Xi
 
j2 = E u 2j   2 X j
3. Transformasi dengan E(Yi)
Asumsi:
j2 =
 
E u 2j   2 [E(Yj )]2
konstan
Otokorelasi


Otokorelasi: korelasi antara variabel itu
sendiri, pada pengamatan yang berbeda
waktu atau individu. Umumnya kasus
otokorelasi banyak terjadi pada data time
series Kondisi sekarang dipengaruhi waktu
lalu. Misal: Tinggi badan, upah, dsbnya.
Salah satu alat deteksi: melihat pola
hubungan antara residual (ui) dan variabel
bebas atau waktu (X).
Mendeteksi Otokorelasi

Pola Autokorelasi

ui
ui

*

*

*

*



*
*
*
*
*
*
*
*
*
Waktu/X
*
**
***
**
* **
*
***
*
Waktu/X


Gambar nomor (1) menunjukan adanya siklus, sedang nomor (2)
menunjukan garis linier. Kedua pola ini menunjukan adanya
otokorelasi.
Uji Durbin-Watson ( Uji d)
Statistik Uji
N
d
2


(
u

u
)
 t t 1
t2
N
2

u
 t
t 1
Dalam Paket Program SPSS/EViews Sudah dihitungkan
Aturan main menggunakan uji DurbinWatson :
Bandingkan nilai d yang dihitung dengan nilai dL
dan dU dari tabel dengan aturan berikut :
–
–
–
–
–
Bila d < dL  tolak H0; Berarti ada korelasi yang positif
atau kecenderungannya  = 1
Bila dL  d  dU  kita tidak dapat mengambil kesimpulan
apa-apa
Bila dU < d < 4 – dU  jangan tolak H0; Artinya tidak ada
korelasi positif maupun negatif
Bila 4 – dU  d  4 – dL  kita tidak dapat mengambil
kesimpulan apa-apa
Bila d > 4 – dL  tolak H0; Berarti ada korelasi negatif
Gambar aturan main menggunakan uji
Durbin-Watson
Tidak tahu
Korelasi positif
0
dL
Tidak tahu
Tidak ada korelasi
dU
Korelasi negatif
4-dU
4-dL
4
Mengatasi Otokorelasi: Metode Pembedaan
Umum (Generalized Differences)

Yt = β0 + β1Xt + ut dan ut = ρ ut-1 + vt

Untuk waktu ke- t-1: Yt-1 = β0 + β1Xt-1 + ut-1

Bila kedua sisi persamaan dikali dengan ρ, maka:
ρ Yt-1 = ρ β0 + ρ β1Xt-1 + ρ ut-1

Sekarang kita kurangkan dengan persamaan Model
Yt - ρ Yt-1 = (β0 - ρ β0) + β1(Xt - ρ Xt-1) + (ut - ρ ut-1)

Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai:
Yt* = β0 (1 - ρ) + β1Xt* + vt
Dimana:
Yt* = Yt - ρ Yt-1 dan Xt* = Xt - ρ Xt-1
Idealnya kita
harus dapat
mencari nilai ρ.
Tapi dalam
banyak kasus,
diasumsikan
ρ = 1,
sehingga:
Yt* = Yt - Yt-1
Xt* = Xt - Xt-1
Pemilihan Model

1. R2 Adjusted
Perhatikan Model:
(i) LABA = 5053,712 + 0,049 KREDIT; R2 = 80,6%
(ii) LABA = 45748,484 + 0,0106 ASET + 0,0081 KREDIT; R2= 87,4%.

Model manakah yang lebih baik ditinjau dari koefisien
determinasi-nya?.
Sekarang kita perhatikan kembali formula untuk menghitung R2
SSR
SSE
R 
 1
 1
SST
SST
2
2
u
 i
 Y
i
Y

2
R2 Adjusted



SST sama sekali tidak dipengaruhi oleh jumlah variabel bebas,
karena formulasinya hanya memperhitungkan variabel terikat
SSE dipengaruhi oleh variabel bebas, dimana semakin banyak
variabel bebas, maka nilai SSE cenderung semakin kecil, atau
paling tidak tetap. SSE kecil, maka nilai SSR akan besar.
Akibat kedua hal tersebut, maka semakin banyak variabel
bebas yang dimasukkan dalam model, maka nilai R2 akan
semakin besar.
R2  1
2
u
 i /(n  k )
 (Y
i
 Y ) /(n  1)
Pemilihan Model
2. Akaike Information Criterion (AIC)
AIC  e
2k/n
2
u
 i
n
e
2k/n
SSE
n
 2k 
 RSS 
ln AIC     ln

 n 
 n 
Bila kita membandingkan dua buah regresi atau lebih, maka model yang
mempunyai nilai AIC terkecil merupakan model yang lebih baik.
Ilustrasi



LABA = 5053,712 + 0,049 KREDIT; SSE = 3,28E+12
LABA = 58260,461 + 0,013 ASET; SSE = 2,1E+12
LABA = 45748,484 + 0,0106 ASET + 0,0081 KREDIT; SSE =
2,17E+12
 2k 
 RSS   2x2
 3,28E 12 
ln AIC(i)     ln


ln
 


  24,9868
50
 n 
 n   50 


 2k 
 RSS   2x2
 2,1E  12 
ln AIC(ii)     ln


ln
 


  24,5409
50 
 n 
 n   50 

 2k 
 RSS   2x3
 2,17E 12 
ln AIC(iii)     ln

  ln
  24,6137
n
n
50
50
 

 



Pemilihan Model
3. Schwarz Information Criterion (SIC)
SIC  n
k/n
2
u
 i
n
n
k/n
SSE
n
k
 RSS 
ln SIC    ln n  ln

n
 n 
Sama dengan AIC, model yang mempunyai nilai SIC terkecil merupakan
model yang lebih baik.
Ilustrasi
k
 RSS   2 
 3,28E  12 
ln SIC (i)    ln n  ln

ln
50

ln
  

  25,06
50
n
 n   50 


k
 RSS   2 
 2,1E  12 
ln SIC (ii)    ln n  ln
    ln 50  ln
  24,62
n
 n   50 
 50 
k
 RSS   3 
 2,17E  12 
ln SIC (iii)    ln n  ln

ln
50

ln
  

  24,73
50
n
 n   50 


Standarisasi Variabel
Kegunaan untuk perbandingan kontribusi antar variabel bebas
untuk menerangkan variabel terikat
Yi  Y
SY
Akibat standarisasi:
Yi* 
*
Yi  Y
= Yi 
Y 
SY
*
i
S Y2*

Y


i
Y

S
2
Y
2
Xi  X
X 
SX
*
i
Y  Y 
/(n  1)
i
n SY

0
0
n SY
n  1SY2 /(n  1)
S
2
Y
(nilai tengah = 0)
 1 (varian = 1)
Standarisasi Variabel



Model regresi yang menggunakan variabel
yang telah distandarisasi tidak akan
mempunyai intersep
Notasi yang diberikan untuk koefisien
tersebut adalah BETA.
Standarisasi variabel lebih berguna untuk
analisis pada model regresi berganda.