Transcript ppt

Poglavlje 13: Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Odjeljak 13.1 Kartezijev koordinatni sustav u prostoru
a. Pravilo desne ruke
b. Pravokutne (ili kartezijeve) koordinate
c. Formula za udaljenost
d. Jednadžba sfere
e. Simetrija
f. Pravac kroz dvije točke
g. Koordinate polovišta
Odjeljak 13.4 Vektorski produkt
a.
Definicija
b.
Desne trojke vektora
c.
Svojstva
d.
Svojstva vektorskog produkta
e.
Mješoviti produkt
f.
Komponente od a x b
g.
Teoremi
Odjeljak 13.2 Vektori u trodimenzionalnom prostoru
a. Koordinate vektora
b. Geometrijska interpretacija vektora
c. Grafički prikaz a + b
d. Norma, tj. duljina vektora
e. Množenje skalarom
f. Zbrajanje vektora
g. Paralelni vektori
h. Ilustracija paralelnih vektora
i. Jedinični vektori
Odjeljak 13.5 Pravci
a.
Vektorska parametrizacija
b.
Oblici jednadžbe pravca, Presjek pravaca
c.
Udaljenost točke od pravca
Odjeljak 13.6 Ravnine
a.
Jednadžba I
b.
Jednadžba II
c.
Jedinične normale, Paralelne ravnine, Presjek ravnina
d.
Ravnina kroz tri nekolinearne točke
e.
Udaljenost točke od ravnine
Odjeljak 13.3 Skalarni produkt
a. Definicija
b. Svojstva skalarnog produkta
c. Dodatna svojstva
d. Geometrijska interpretacija skalarnog produkta
e. Teorem o kosinusu
f. Okomiti vektori
g. Projekcija i komponente
h. Kutovi s jediničnim vektorima
i. Cauchy-Schwarz-Bunjakovskijeva nejednakost
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Pravokutni koordinatni sustav u prostoru
Pravilo desne ruke: ako savijeni prsti desne ruke pokazuju od pozitivnog dijela
x-osi prema pozitivnom dijelu y-osi (najmanjim kutem), palac pokazuje
pozitivan smjer z-osi.
Točka na x-osi sa x-koordinatom x0 ima koordinate (x0, 0, 0);
točka na y-osi sa y-koordinatom y0 ima koordinate (0, y0, 0);
točka na z-osi sa z-koordinatom z0 ima koordinate (0, 0, z0).
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Kartezijev koordinatni sustav u prostoru
Postoje tri koordinatne ravnine; xy-ravnina, xz-ravnina, yz-ravnina.
Točka P u trodimenzionalnom prostoru ima koordinate (x0, y0, z0) ako
(1) ravnina kroz P paralelna sa yz-ravninom siječe x-os u (x0, 0,0),
(2) ravnina kroz P paralelna sa xz-ravninom siječe y-os u (0, y0,0),
(3) ravnina kroz P paralelna sa xy-ravninom siječe z-os u (0, 0,z0).
Koordinate x0, y0, z0 se zovu pravokutne koordinate od P, ili češće u čast
Descartesu, Kartezijeve koordinate od P.
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Kartezijev koordinatni sustav u prostoru
Formula za udaljenost točaka
Udaljenost d  P1 , P2  između točaka P1  x1, y1, z1  i P2  x2 , y2 , z2  može se dobiti
koristeći dva puta Pitagorin teorem.
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Kartezijev koordinatni sustav u prostoru
Sfera radijusa (polumjera) r sa središtem u P0(a, b, c) je skup točaka P(x, y, z) za koje
je d(P, P0) = r . Za takve je točke [d(P, P0)]2 = r2. Primjenivši formulu za udaljenost
dobivamo
Ovo je jednadžba sfere radijusa r sa središtem u P0(a, b, c). Jednadžba
predstavlja sferu radijusa r sa središtem u ishodištu.
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Kartezijev koordinatni sustav u prostoru
Simetrija
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Kartezijev koordinatni sustav u prostoru
Pravac kroz dvije točke
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Kartezijev koordinatni sustav u prostoru
Dužina
Polovište
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Vektori
Vektor a za nas će biti uređena trojka realnih brojeva:
a = (a1, a2, a3).
Brojeve a1, a2, a3 zovemo komponente ili koordinate vektora a.
Dva vektora su jednaki ako imaju iste koordinate;
(a1, a2, a3) = (b1, b2, b3)
ako i samo ako
a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3.
Zbrajanje vektora
Množenje vektora skalarom
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Geometrijska interpretacija vektora
Orijentirane dužine QR i OP su na različitim pozicijama, ali budući da imaju istu
duljinu, smjer i orijentaciju, predstavljaju isti vektor: vektor a = (a1, a2, a3).
Nulvektor 0 = (0, 0, 0) možemo predstaviti orijentiranom dužinom duljine 0.
Nulvektor nema definiran smjer i orijentaciju.
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Grafički prikaz a + b
Za a = (a1, a2, a3) i b = (b1, b2, b3) definiramo
a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3).
Pravilo trokuta i pravilo paralelograma
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Norma
Norma (duljina) vektora a = (a1, a2, a3) je broj
Svojstva norme:
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Višekratnik vektora
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Paralelni vektori
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Primjer paralelnih vektora
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Jedinični vektori
Vektore duljine 1 zovemo jediničnim vektorima. Za svaki nenul vektor a postoji
jedinstveni jedinični vektor ua s istim smjerom i orijentacijom kao a. To je
Vektori
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).
su jedinični vektori koji su posebno korisni u računu jer se svaki vektor a može na
jednostavan način prikazati kao jedinstvena linearna kombinacija ovih vektora:
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Skalarni produkt
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Skalarni produkt
Svojstva skalarnog produkta
Ako skalarno pomnožimo vektor sa samim sobom dobivamo kvadrat njegove
norme:
Dokaz
a  a  a1a1  a2a2  a3a3  a12  a22  a32  a
2
Skalarni produkt proizvoljnog vektora s nulvektorom je nula:
Dokaz
(a1)(0) + (a2)(0) + (a3)(0) = 0,
Main Menu
(0)(a1) + (0)(a2) + (0)(a3) = 0.
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Skalarni produkt
Daljnja svojstva (komutativnost, kvaziasocijativnost,
distributivnost prema zbrajanju).
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Skalarni produkt
Geometrijska interpretacija skalarnog produkta
Počinjemo od trokuta sa stranicama duljine a, b, c. Ako je θ jednak ½π,
Pitagorin teorem nam daje c2 = a2 + b2. Teorem o kosinusu je generalizacija za
proizvoljni kut θ,
c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ.
Skica dokaza teorema: Iz slike je y2 + x2 = a2 i y = a cos θ. Zato je
c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Skalarni produkt
Duljine stranica su ||a||, ||b||, ||a − b||. Teorem o kosinusu daje
||a − b||² = ||a||2 + ||b||2 − 2 ||a|| ||b|| cos θ.
No iskoristimo li da je ||a||2 = a  a
i slično za ostale dobivamo:
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Skalarni produkt
Dva vektora su okomiti ako je kut među njima pravi ili ako je jedan od vektora
nulvektor. Stoga su dva vektora okomiti ako i samo ako im je skalarni produkt
jednak nula. Zapisano simbolima:
Jedinični vektori i, j, k su međusobno okomiti:
i · j = i · k = j · k = 0.
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Skalarni produkt
Ortogonalna projekcija i komponente
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Skalarni produkt
Kutovi s vektorima i, j, k (kutovi smjera)
i, j, k komponente jediničnog vektora su kosinusi smjera.
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Skalarni produkt
Cauchy-Schwarz-Bunjakovski nejednakost
Budući je
a · b = ||a|| ||b|| cos θ,
gdje je θ kut između a i b, uzmemo li apsolutne vrijednosti i iskoristimo
| cos θ| ≤ 1, dobivamo nejednakost
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Vektorski produkt
smjer
orijentacija
duljina
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Vektorski produkt
Desna trojka vektora
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Vektorski produkt
Svojstva desnih trojki vektora
I. Budući je (a × b) · (a × b) = ||(a × b)||2 > 0, (a, b, a × b) je desna trojka.
II. Ako je (a, b, c) desna trojka, onda su i (c, a, b) i (b, c, a) desne trojke.
III. Množenjem bilo kojeg od triju vektora pozitivnim skalarom trojka ostaje desna: ako
je (a, b, c) desna trojka i α > 0, onda su (αa, b, c), (a, αb, c), i (a, b, αc) također desne
trojke.
Množenjem bilo kojeg od triju vektora negativnim skalarom trojka postaje lijeva: ako
je (a, b, c) desna trojka vektora i α < 0, onda (αa, b, c), (a, αb, c), i (a, b, αc) nisu
desne trojke (tj. to su lijeve trojke).
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Vektorski produkt
Svojstva vektorskog produkta
Vektorski produkt je antikomutativan:
Skalare možemo izlučiti:
Vrijede obje distributivnosti:
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Vektorski produkt
Mješoviti produkt ili umnožak
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Vektorski produkt
Komponente od a × b
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Vektorski produkt
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Pravci
Vektorska jednadžba
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Pravci
Parametarska jednadžba pravca
Kanonska ili simetrična jednadžba
Presjek pravaca, paralelni pravci
Dva različita pravca
l1 : r(t) = r0 + td,
l2 : R(u) = R0 + uD
sijeku se ako i samo ako postoje brojevi t i u takvi da je
r(t) = R(u).
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Pravci
Udaljenost od točke do pravca
Neka je P0 točka na pravcu l i neka je d vektor smjera od l. Ako su P0 i Q
kao na slici, lako vidimo da je
d  P1 , l   d  P1 , Q   P0 P1 sin 
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Ravnine
Skalarna jednadžba ravnine
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Ravnine
Vektorska jednadžba ravnine
Jednadžbu ravnine možemo zapisati u vektorskom obliku . Neka je
N  Ai  Bj  Ck,
r0  OP   x0 , y0 , z0  ,
r  OQ   x, y, z 
Budući da je
r0 = x0i + y0j + z0k
i
r = xi + yj + zk,
(13.6.1) se može zapisati u obliku
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Ravnine
Jedinične normale
Ako je N vektor normale (tj. okomit) na danu ravninu, tada su svi ostali vektori
normale na danu ravninu paralelni s N i zato skalarni višekratnici od N
Posebno, postoje dva jedinična vektora normale:
uN 
N
N
i
and
 uN 
N
N
Presjek ravnina
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Ravnine
Ravnina određena trima nekolinearnim točkama
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Ravnine
Udaljenost točke od ravnine
Main Menu
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.