Transcript Zadanie 1

Człowiek – najlepsza inwestycja
WITAM NA KAPITALNYCH
ZAJĘCIACH
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską z Europejskiego
Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
Człowiek – najlepsza inwestycja
Zajęcia wyrównawcze z fizyki - ćwiczenia
BLOK I: Mechanika (Kinematyka i dynamika. Praca, energia i moc. Zasada
zachowania energii. Pole grawitacyjne).
Mechaniczne i termodynamiczne właściwości ciał.
Prowadzący - F3: dr Edmund Paweł Golis
Instytut Fizyki
Konsultacje stałe dla studentów: środa 9-12
pokój 008 budynek B1 parter
oraz uzgadniane indywidualnie poprzez e-mail: [email protected]
lub gg 7974708 lub tel: 601 98 88 95, 601 98 88 98
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską z Europejskiego
Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
•
•
•
Wielkości fizyczne i układ jednostek
Jednostkami podstawowymi w Międzynarodowym Układzie Jednostek Miar (SI) są:
metr (m), kilogram (kg), sekunda (s), amper (A), kelwin (K), mol (mol) oraz kandela
(cd).
Jednostkami uzupełniającymi są: radian (rad), steradian (sr).
Używamy następujących przedrostków do wyrażania wielokrotności i
podwielokrotności jednostek miar:
• Zadanie 1
Dokonaj analizy wymiarowej równania Clapeyrona (równanie stanu gazu doskonałego).
• Zadanie 2
Wyraź wybrane jednostki pochodne za pomocą jednostek podstawowych:
Kinematyka. Tor, droga i przemieszczenie
•
Torem ruchu nazywamy krzywą jaką zakreśla wybrany punkt ciała podczas ruchu.
Krzywa ta jest parametryzowana czasem.
•
Droga jest długością toru między dwoma punktami określonymi przez wybranie chwil
czasowych. Jest więc ona wielkością skalarną. Znaczenie fizyczne pojęcia drogi jest
zbliżone do tego, z jakim spotykamy się w życiu codziennym.
•
W odróżnieniu od drogi, przemieszczenie jest wektorem, określonym przez
położenia punktów krańcowych. Jeżeli ciało, po pokonaniu pewnej drogi, wraca do
punktu startowego, to przemieszczenie jest równe zeru, chociaż droga jest różna od
zera.
•
Zadanie 3
Samochód jedzie z miejscowości A do miejscowości B oddalonej o 10 krn, a
następnie wraca do miejscowości C oddalonej od A o 4 km. Oblicz drogę przebytą
przez samochód oraz jego przemieszczenie. Załóż, że wszystkie miejscowości leżą
na jednej prostej.
•
Zadanie 4
Jaką drogę przebędzie zawodnik po przebiegnięciu 25 okrążeń stadionu? Ile wynosi
jego przemieszczenie? Załóż, że długość bieżni na stadionie wynosi 400 m.
•
Zadanie 5
Zawodnik skaczący wzwyż pokonuje wysokość 2 m. Oblicz minimalną drogę jaką
przebędzie jego but, jeżeli odbije się on w odległości 0,8 m przed poprzeczką, a
opadnie w odległości 0,6 m za poprzeczką na materac, którego grubość, liczona od
podłoża wynosi 0,7 m. Ile wynosi przemieszczenie w tym ruchu? Opisz, jakie
przyjąłeś dodatkowe założenia.
Prędkość
Prędkość jest wielkością wektorową i wyrażamy ją jako stosunek przemieszczenia do
czasu:
Ponieważ przemieszczenie zależy od czasu, więc szczególnego znaczenia nabiera
przedział czasowy, dla którego jest ono obliczane. Zdefiniowana za pomocą
powyższego wzoru prędkość nosi nazwę prędkości średniej w przedziale czasu r.
Dla bardzo małych przedziałów czasowych (tj. w granicy t dążącego do zera)
prędkość staje się niezależna od tego przedziału i nosi nazwę prędkości chwilowej:
Jednostką prędkości jest m/s, lecz w praktyce często używaną jednostką jest km/h
(kilometr na godzinę).
Potoczne pojęcie prędkości
W życiu codziennym pod pojęciem prędkości rozumiemy stosunek drogi do czasu
potrzebnego do jej przebycia.
Jest to więc wielkość skalarna i w celu odróżnienia jej od powyżej zdefiniowanego
wektora prędkości, w fizyce używane są takie nazwy, jak szybkość czy długość
wektora prędkości.
Często prowadzi to do niejasnych sformułowań i zawsze w takim przypadku w
obliczeniach należy kierować się zdrowym rozsądkiem, a jednocześnie starać się
jednoznacznie sformułować odpowiedź.
Średnia szybkość jest więc stosunkiem całkowitej drogi do czasu zużytego do jej
pokonania.
•
Zadanie 6
Z jaką średnią szybkością poruszał się motocyklista, który przebył drogę z miasta A
do miasta B w ciągu 4 godzin, oraz drogę powrotną w ciągu 5 godzin? Odległość
między miastami wynosi 200 km.
•
Zadanie 7
Łódź płynie z miejscowości A do B, tam i z powrotem, przez 3 godziny. Prędkość łodzi
względem wody wynosi 6 m/s; stała prędkość nurtu rzeki wynosi 4 m/s. Oblicz
średnią szybkość łodzi względem brzegów. Ile wynosi odległość od A do B?
•
Zadanie 8
Oblicz z jaką prędkością względem brzegu porusza się łódka płynąca po rzece, której
nurt ma stałą prędkość wynoszącą 3 m/s. Prędkość łódki względem wody wynosi
4 m/s i jest skierowana prostopadłe do brzegów rzeki.
Ruch jednostajny prostoliniowy
Ruch jednostajny prostoliniowy jest to taki ruch, w którym wektor prędkości nie
zmienia się:
Droga w ruchu jednostajnym wyraża się wzorem
Wykresem długości wektora prędkości jest pozioma linia prosta. Na wykresie tym
droga jest równa polu pod wykresem.
•
Zadanie 9
Żaglówka porusza się z prędkością 10 m/s skierowaną na zachód. Po 2 godzinach
prędkość żaglówki zmniejsza się do 8 m/s bez zmiany kierunku. Jaką drogę
przebędzie żaglówka po 5 godzinach? Zrób wykres prędkości od czasu i zaznacz na
nim szukaną drogę. Ile wynosi prędkość średnia i wektor przemieszczenia?
•
Zadanie 10
W tym samym momencie z lotniska w Krakowie wyleciały do Poznania helikopter i
samolot. Helikopter leciał prosto do celu, natomiast samolot miał międzylądowanie w
Warszawie. Ile czasu trwało to międzylądowanie, jeżeli obydwa pojazdy doleciały do
Poznania w tym samym momencie? Przyjąć prędkość helikoptera 250 km/h, a
prędkość samolotu 620 km/h. Droga przez Warszawę wynosi 620 km, a trasa
bezpośrednia ma długość 375 km.
•
Zadanie 11
Turysta udaje się z miejscowości A do odległej o 30 km miejscowości B. Ma do
wyboru dwa sposoby przebycia tej drogi. W pierwszym z nich przez połowę drogi
jedzie rowerem, a następnie maszeruje piechotą. Drugi sposób polega na jeździe
rowerem przez połowę czasu, a następnie marsz. Którym sposobem turysta szybciej
dotrze do celu? Jakie są średnie szybkości w obydwu przypadkach? Prędkości
marszu i jazdy na rowerze wynoszą odpowiednio: 6 km/h i 24 km/h.
Ruch jednostajnie zmienny
• Przyspieszenie
Przyspieszenie jest wektorem definiowanym przez stosunek przyrostu prędkości do
czasu, w którym ten przyrost nastąpił:
Jeżeli przyspieszenie nie jest stale, to wzór powyższy definiuje przyspieszenie
średnie, a wartość chwilową przyspieszenia określa pochodna prędkości po czasie:
W ruchu jednostajnym prostoliniowym przyspieszenie jest równe zeru, a w ruchu
jednostajnie zmiennym jest ono stałe. W ruchach niejednostajnie zmiennych zarówno
wartość, jak i kierunek przyspieszenia mogą ulegać zmianie.
Ruch prostoliniowy, jednostajnie zmienny opisują następujące wzory:
gdzie: V0 jest prędkością początkową.
W ruchu przyspieszonym wartość przyspieszenia jest dodatnia, a w ruchu
opóźnionym - ujemna.
•
Zadanie 12
Wyprowadzić wzory na ruch jednostajnie zmienny korzystając z wykresów
przyspieszenia i prędkości od czasu.
•
Zadanie 13
Samochód jadący z prędkością 54 km/h zatrzymuje się po 3 sekundach od chwili
rozpoczęcia hamowania. Ile wynosi droga hamowania? Z jakim opóźnieniem
poruszał się samochód?
Swobodny spadek ciał w polu grawitacyjnym; rzut pionowy
W polu grawitacyjnym wszystkie ciała puszczone swobodnie (przy zaniedbaniu
oporów ruchu) poruszają się ruchem jednostajnie zmiennym z przyspieszeniem
grawitacyjnym g=9,81 m/s2. Ze względu na ruch obrotowy oraz spłaszczenie Ziemi na
biegunach, przyspieszenie to zmienia się od wartości 9,78 na równiku do 9,83 m/s2
na biegunach.
Czas swobodnego spadku ciała z wysokości h obliczamy ze wzoru:
Po wyrzuceniu ciała do góry, początkowo porusza się ono ruchem opóźnionym,
a następnie ruchem jednostajnie przyspieszonym.
W punkcie maksymałnej wysokości (punkt B na rysunku) prędkość ciała wynosi zero i
możemy zapisać:
gdzie tw jest czasem wznoszenia.
Maksymalna wysokość, jaką osiągnie ciało wynosi:
Czas spadku jest równy czasowi wznoszenia, a wartość prędkości końcowej w
momencie upadku wynosi V0.
Puszczając z tej samej wysokości różne ciała, np. kamień, kartkę papieru czy ptasie
piórko, obserwujemy, że spadają one w różny sposób. Jest to spowodowane oporem
powietrza.
Wystarczy jednak powtórzyć eksperyment w rurze próżniowej aby przekonać się,
że w próżni wszystkie ciała spadają tak samo.
•
Zadanie 14
Ania rzuca piką do góry i przed złapaniem jej trzy razy klaszcze w dłonie. Z jaką
minimalną prędkością musi wyrzucić piłkę, aby zdążyć ją złapać? Na jaką wysokość
dotrze piłka? Czas jednego klaśnięcia wynosi 0,5 s.
•
Zadanie 15
Wyrzucona przez chłopca piłka dociera na wysokość 8 metrów. Po jakim czasie musi
on rzucić drugą piłkę, aby zderzyły się one na wysokości 1 m? Obydwie piłki
wyrzucane są z tą samą prędkością początkową skierowaną pionowo do góry.
•
Zadanie 16
Jaką maksymalną wysokość osiąga ciało, które rzucone pionowo do góry, po czasie
2 s znajduje się na wysokości 2 m? W jakiej fazie ruchu (wznoszenie, opadanie)
znajduje się ciało po owych dwóch sekundach?
Rzut poziomy
Z rzutem poziomym mamy do czynienia wtedy, kiedy ciało rozpoczyna ruch z pewnej
wysokości h, z równoległą do poziomu prędkością początkową V0. Ciało porusza się po
paraboli, a jego ruch można rozłożyć na dwa ruchy prostoliniowe: poziomy i pionowy.
W kierunku poziomym ciało porusza się ruchem jednostajnym z prędkością V0, a w
kierunku pionowym mamy do czynienia z ruchem jednostajnie przyspieszonym z zerową
prędkością początkową.
Czas ruchu jest określony przez ruch pionowy i wynosi, tak jak dla swobodnego
spadku:
Zasięg rzutu jest równy drodze, jaką pokona ciało w ruchu jednostajnym, a zatem:
•
Zadanie 17
Po jakim czasie i pod jakim kątem ciało uderzy w podłoże, jeżeli rzucimy je z poziomą
prędkością początkową 5 mis, z wysokości 3 m?
•
Zadanie 18
Jaką minimalną prędkość poziomą musi Janek nadać piłce, jeżeli chce przerzucić
ogrodzenie o wysokości 2 m, oddalone o 10 m od budynku? Janek stoi przy otwartym
oknie, a jego ramię znajduje się na wysokości 6 m nad ziemią.
Rzut ukośny
Jeżeli ciało rzucimy z prędkością początkową V0 skierowaną pod kątem  do
poziomu, to będzie ono poruszało się po paraboli, a ruch ciała nazywamy rzutem
ukośnym.
Rzut ukośny można rozłożyć na dwa ruchy prostoliniowe: jednostajny w kierunku
poziomym i jednostajnie zmienny w kierunku pionowym. Czas wznoszenia się ciała
obliczamy z zerowania się prędkości pionowej, czyli:
Czas spadku jest równy czasowi wznoszenia, całkowity czas ruchu wynosi t = 2tw
Maksymalna wysokość w rzucie ukośnym jest równa:
a zasięg rzutu wynosi:
•
Zadanie 19
Jaką prędkość należy nadać piłce golfowej, aby upadła w odległości 20 m od miejsca
wybicia i osiągnęła maksymalną wysokość 5 m? Oblicz kąt początkowy tego rzutu.
Ruch po okręgu
W przypadku ruchu po okręgu ciało znajduje się w stałej odległości od punktu
centralnego, a torem ruchu jest okrąg. Podstawowymi wielkościami tego ruchu są:
prędkość kątowa ω, równa stosunkowi zakreślonego kąta do czasu,
przyspieszenie kątowe ε, definiowane ze stosunku przyrostów prędkości kątowej do
czasu
okres ruchu — czas pełnego obrotu; w ruchu jednostajnym:
częstotliwość ruchu — ilość obiegów w ciągu jednej sekundy:
Liniowe i kątowe prędkości i przyspieszenia związane są relacjami wektorowymi
lub skalarnymi (jeżeli kąt między wektorami jest kątem prostym)
W ruchu po okręgu następuje zmiana kierunku wektora prędkości, co jest związane z
pojawieniem się przyspieszenia dośrodkowego, wyrażonego wzorem;
i skierowanego do środka okręgu
•
Zadanie 19
Koło zamachowe o promieniu 20 cm rozpędza się ruchem jednostajnie
przyspieszonym, z przyspieszeniem kątowym 0,25 s-2. Po jakim czasie, dla punktów
na obwodzie koła, wartość przyspieszenia liniowego będzie równa przyspieszeniu
dośrodkowemu? Ile wynoszą te przyspieszenia w tym momencie? Oblicz
przyspieszenie wypadkowe. O jaki kąt koło zdąży się obrócić do tego czasu?
•
Zadanie 20
Ile czasu upływa pomiędzy dwoma kolejnymi momentami spotkań wskazówki
minutowej z godzinową?
Dynamika
Zasady dynamiki sformułowane zostały przez Izaaca Newtona w 1687 roku.
Pierwsza zasada dynamiki
Pierwsza zasada dynamiki mówi, że jeżeli na ciało nie działają żadne siły lub
działają siły równoważące się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się
ruchem jednostajnym po linii prostej.
Oznacza to, że do podtrzymania ruchu jednostajnego nie potrzeba żadnej siły.
W praktyce jednak, prawie każdemu ruchowi towarzyszy opór (tarcie) i siła potrzebna
do podtrzymania ruchu jednostajnego jest silą równoważącą opory ruchu. Tak więc i
w tym przypadku wypadkowa siła działająca na ciało jest równa zeru.
•
Zadanie 21
Jakie masy m1 i m2 należy zawiesić na linach, aby układ przedstawiony na rysunku
pozostawał w spoczynku? Przyjąć:rn3 = 10kg, = 45°, β=30°.
•
Zadanie 22
Chłopiec ciągnie sanki za sznur, który tworzy kąt 30° z podłożem. Jaką siłą musi
działać chłopiec na sanki, aby wciągnąć je na zbocze o kącie 15°? Masa sanek
wynosi 10 kg. Tarcie zaniedbać.
Druga zasada dynamiki
Jeżeli na ciało działa niezrównoważona siła (wypadkowa sił), to ciało porusza się
ruchem przyspieszonym, z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły, a
odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała.
Zazwyczaj zapisujemy ją w postaci wzoru:
Jeżeli działająca siła jest stałą to mamy do czynienia z ruchem jednostajnie
przyspieszonym. Przykładem takiego zjawiska jest ruch w jednorodnym polu
grawitacyjnym.
•
Zadanie 23
Jaką siłą należy działać na masę 1kg, aby w ciągu 1s podnieść ją na wysokość 2m?
•
Zadanie 24
Ile czasu zajmuje zsuwanie się ciała z wysokości 1m umieszczonego na równi
pochyłej o kącie nachylenia 30°? Porównaj ten wynik z czasem swobodnego spadku
z identycznej wysokości. Ciało zsuwa się bez tarcia.
Trzecia zasada dynamiki
Trzecia zasada dynamiki mówi, że każdej sile akcji towarzyszy równa co do wartości,
lecz przeciwnie skierowana siła reakcji.
Na przykład, lokomotywa ciągnąca wagony działa na nie siłą akcji, ale również
wagony działają siłą reakcji hamując ruch lokomotywy.
Stojąc na podłodze działamy na nią siłą ciężkości, z kolei podłoga działa na nas silą
reakcji, gdyż inaczej spadalibyśmy w dół.
Podobnie Ziemia przyciąga Księżyc z taką samą siłą z jaką Księżyc przyciąga
Ziemię.
Można sformułować ogólny wniosek, że siły wewnętrzne wzajemnie się równoważą.
Nie mogą one zatem powodować przyspieszenia układu jako całości, gdyż ich
wypadkowa wartość równa się zeru.
•
•
•
Zadanie 25
Dwie małpy wiszą na tym samym poziomie na dwóch końcach przełożonej przez
idealny blok liny. W pewnym momencie zaczynają się ścigać, wspinając się do góry.
Pierwsza małpa porusza się względem liny z prędkością 3 m/s, a druga z prędkością
dwa razy większą. Która z małp szybciej dotrze do bloczka, jeżeli ich masy są takie
same?
Zadanie 26
Ile wynosi siła wzajemnego oddziaływania między dwoma wagonami tramwaju o
masach odpowiednio równych 10 ton i 8 ton, jeśli na pierwszy wagon działa siła 10 kN?
Oblicz, z jakim największym przyspieszeniem może poruszać się tramwaj, jeżeli
wytrzymałość połączenia między wagonami wynosi 40 kN.
Zadanie 27
Dwa ciała o masach 1kg i 2kg zwisają na linie z dwóch stron nieważkiego bloczka, który
obraca się bez tarcia. Ile wynosi naciąg liny? Jaka siła przenosi się na zawieszenie osi
bloczka?
Prawo powszechnego ciążenia
Siła grawitacyjnego przyciągania się dwóch ciał jest wprost proporcjonalna do
iloczynu mas tych ciał, a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu ich wzajemnej
odległości:
Jest to prawo powszechnego ciążenia, które podał Izaac Newton w 1687 roku.
Stała grawitacji:
została wyznaczona przez H. Cayendisha za pomocą wagi skręceń.
Znajomość rozmiarów Ziemi i przyspieszenia grawitacyjnego pozwała na
wyznaczenie jej masy („ważenie Ziemi”), korzystając ze wzoru:
•
Zadanie 28
Jak zmienia się przyspieszenie grawitacyjne, jeżeli przesuwamy się od środka Ziemi
ku jej powierzchni?
•
Zadanie 29
Wiedząc, że masa Księżyca jest 81 razy mniejsza od masy Ziemi, a przyspieszenie
grawitacyjne na Księżycu jest 6 razy mniejsze niż na Ziemi, oblicz ile razy promień
Księżyca jest mniejszy od promienia Ziemi.
•
Zadanie 30
Zakładając, że masa Księżyca jest 81 razy mniejsza niż masa Ziemi, oblicz, w jakiej
odległości od środka Ziemi, w stosunku do odległości środków Księżyca od Ziemi,
znajduje się punkt „równowagi grawitacyjnej” na linii Ziemia-Księżyc.
Siła tarcia
Siły tarcia występują między stykającym się powierzchniami.
Tarcie statyczne występuje wtedy, gdy stykające się powierzchnie nie poruszają się
względem siebie (np. leżąca na biurku książka, czy toczący się bez poślizgu walec).
Siła tarcia statycznego przybiera taką wartość, aby wypadkowa wszystkich sił
działających na ciało była równa zeru, gdy ciało się nic obraca. Może ono zatem
przyjmować wartości z zakresu:
gdzie: fs jest współczynnikiem tarcia statycznego, a N - siłą nacisku (dzialającą
prostopadle do podłoża).
Siły tarcia statycznego nie można określić bez zdefiniowania wypadkowej
pozostałych sił działających na ciało. Na przykład, na ciało leżące na
wypoziomowanym podłożu działa zerowa siła tarcia. Wystarczy jednak położyć ciało
na równi pochyłej, aby, mimo spoczynku, siła tarcia była różna od zera.
Tarcie kinetyczne występuje wtedy, gdy stykające się powierzchnie poruszają się
względem siebie i jest skierowane przeciwnie do względnego ruchu (hamuje ruch).
Tarcie kinetyczne zależy od rodzaju powierzchni (poprzez współczynnik tarcia fk) i siły
nacisku (N), i wynosi:
W praktyce, współczynnik tarcia statycznego jest większy niż współczynnik tarcia
kinetycznego (trudniej ciało ruszyć z miejsca niż utrzymać je w ruchu). Jednak w
większości zadań przyjmuje się równość tych współczynników (chyba, że różność
współczynników jest wyraźnie zaznaczona).
•
Zadanie 31
Ciało spoczywa na równi pochyłej o zmiennym kącie nachylenia. Oblicz kąt
graniczny, tj. taki powyżej którego ciało zaczyna się zsuwać. Współczynnik tarcia
wynosi 0,577.
•
Zadanie 32
Chłopiec ciągnie pod górę sanki za sznurek skierowany pod kątem 20° do stoku góry,
który z kolei jest nachylony pod kątem 30° do poziomu. Ile wynosi siła z jaką chłopiec
ciągnie sanki, jeżeli współczynnik tarcia wynosi 0,2, a masa sanek jest równa 20 kg?
Przyjmij, że chłopiec porusza się ruchem jednostajnym.
•
Zadanie 33
Z jakim przyspieszeniem porusza się ciało zsuwające się z równi pochyłej o kącie
nachylenia 45°, jeżeli współczynnik tarcia wynosi 0.4?
Dynamika ruchu obrotowego
W dynamice ruchu obrotowego używamy następujących pojęć:
(*) Uwaga: jeżeli obrót odbywa się nie względem osi symetrii układu, lub ogólniej — osi
głównych, to momentu bezwładności nic można traktować jako wielkości skalarnej posiada on aż 9 składowych,
Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego przyjmuje postać:
(odpowiednik wzoru F = ma) lub w postaci ogólnej:
odpowiednik wzoru
W ruchu obrotowym odpowiednikiem masy jest moment bezwładności. Wartość
momentu bezwładności zależy od rozkładu masy względem osi obrotu. Zmianę tej
wartości przy zmianie osi obrotu najlepiej ilustruje twierdzenie Steinera: I = I0 +md2,
łączące wartości dwóch momentów bezwładności względem równoległych osi obrotu
oddalonych o d, przy czym wskaźnik .„0” odnosi się do osi przechodzącej przez
środek masy.
Poniżej podane zostały wartości I0 dla wybranych ciał względem osi symetrii:
•
Zadanie 34
Z jakim przyspieszeniem toczy się (bez poślizgu) walec po równi pochyłej o kącie
nachylenia 300?
•
Zadanie 35
Przez bloczek o promieniu 10 cm i momencie bezwładności 0,01 kgm2 przerzucono
sznurek, na końcach którego zawieszono masy 1kg i 2kg. Ile wynosi przyspieszenie
układu, jeżeli sznurek nie ślizga się po bloczku? Ile wynoszą siły naciągu sznurka po
obu stronach bloczka?
Praca i moc
Praca jest iloczynem skalarnym siły i przesunięcia:
W przypadku zmiennej siły lub zmiennego kąta , pracę można wyznaczyć z pola
pod wykresem składowej równoległej siły od przesunięcia, co możemy też zapisać w
postaci:
Praca jest formą przekazywania energii. Jeżeli kąt  między siłą a przemieszczeniem
jest mniejszy niż 900 to praca jest dodatnia i energia układu rośnie. Dla kąta
większego od 900— praca jest ujemna i energia układu małeje.
Dla ruchu obrotowego praca jest iloczynem momentu siły i kąta obrotu:
Moc jest stosunkiem wykonanej pracy do czasu:
Moc chwilowa wyraża się wzorem:
Dla ruchu obrotowego wzór ten przyjmuje postać:
Jednostką pracy jest dżul (J), a mocy — wat (W).
•
Zadanie 36
Jaką moc ma silnik tokarki, jeżeli nóż skrawający działa momentem siły równym 70 Nm,
a tokarka wykonuje 6 obrotów na sekundę? Sprawność urządzenia wynosi 70%.
•
Zadanie 37
Chłopiec ciągnie sanki silą skierowaną pod kątem 30° do podłoża, poruszając się
ruchem jednostajnym. Jaką pracę musi on wykonać na drodze 50 m, jeżeli współczynnik
tarcia wynosi 0,4, a masa sanek wynosi 10kg?
•
Zadanie 38
Ile wynosi praca wykonana przez siłę tarcia podczas zsuwania się ciała o masie 2 kg
umieszczonego na wysokości 2 m na równi pochyłej o kącie nachylenia 60°?
Współczynnik tarcia wynosi 0,2.
Energia kinetyczna i potencjalna
Rozpędzając ciało do prędkości V trzeba wykonać pracę, która jest zgromadzona w
postaci tzw. energii kinetycznej, wyrażonej wzorem:
W ruchu jednostajnym energia kinetyczna jest stała - praca wykonana nad układem
jest równa zeru. Również w ruchu jednostajnym po okręgu energia kinetyczna nie
zmienia się, bo wypadkowa siła dośrodkowa jest prostopadła do przesunięcia i nie
wykonuje pracy.
W ruchu obrotowym energia kinetyczna wyraża się wzorem:
W jednorodnym polu grawitacyjnym praca wykonana przy podnoszeniu ciała na
wysokość h wynosi:
i wielkość
nosi nazwę energii potencjalnej
•
Zadanie 39
Jaką prędkość osiągnie ciało o masie 1 kg, które pod działaniem stałej siły 20 N jest
podnoszone na wysokość 2 m? Prędkość początkowa ciała jest równa zeru.
•
Zadanie 40
Jaką silą należy działać na walec o masie 2 kg toczący się bez poślizgu, aby
rozpędzić go od prędkości 0 do 10 m/s na drodze 10 m?
•
Zadanie 41
Ciało o masie 5 kg zsuwa się z wysokości 1 m po równi pochyłej o kącie nachylenia
300. Ile wynosi energia kinetyczna tego ciała u podstawy równi, jeżeli współczynnik
tarcia wynosi 0,2? Jak wygląda bilans energetyczny układu?
Zasada zachowania energii mechanicznej
Pole sił jest zachowawcze, jeżeli praca wykonana w tym polu nie zależy od drogi.
Można też powiedzieć, że praca na dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru.
Przykładem pola zachowawczego jest pole grawitacyjne, czy też pole elektrostatyczne.
Energia mechaniczna jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej.
Zasada zachowania energii mechanicznej mówi, że w polu sił zachowawczych
energia mechaniczna układu nie ulega zmianie.
•
Zadanie 42
Z jakiej minimalnej wysokości musi stoczyć się kulka (bez poślizgu), aby wykonać
„diabelską pętlę” o promieniu 20 cm ustawioną na końcu równi?
Rozmiary kulki są zaniedbywalnie małe w stosunku do rozmiarów pętli.
•
Zadanie 43
Piłeczka pingpongowa uderzając w podłoże traci 20% swojej energii kinetycznej.
Oblicz wysokość na jaką dotrze piłeczka po jednokrotnym, dwukrotnym lub
trzykrotnym odbiciu od podłoża, jeżeli została zrzucona z wysokości 1 m.
Jaki ciąg tworzą te wysokości? Ile wynosi droga jaką przebędzie piłeczka do
momentu zatrzymania się?
Pęd, zasada zachowania pędu
Drugą zasadę dynamiki dla stałej masy możemy zapisać:
gdzie wyrażenie
nosi nazwę pędu
Równanie
jest bardziej ogólne i obowiązuje również dla układów o zmiennej masie, dla których
nie obowiązuje równanie F = ma.
Jeżeli działająca siła jest równa zeru, to:
Równanie to jest zapisem zasady zachowania pędu, która brzmi:
jeżeli na ciało (układ ciał) nie działa żadna siła, lub działają siły równoważące się, to
pęd ciała (układu ciał) nie zmienia się.
Pęd ciała ma zasadnicze znaczenie w fizyce. Rozpędzone ciało ma potencjalną „siłę
uderzenia”, która zależy nie tylko od jego prędkości, ale również od masy ciała.
Porównaj, na przykład, skutki zderzenia samochodu osobowego z muchą oraz
ciężarówką poruszającą się z tą samą prędkością co mucha.
Drugą zasadę dynamiki zapisujemy również w postaci:
co oznacza że popęd siły (Ft) jest równy zmianie pędu (p).
•
Zadanie 44
Pod działaniem siły 25 N na drodze 2 m ciało osiągnęło pęd 10 kg mis. Jaka jest
masa tego ciała?
•
Zadanie 45
Ile wynosi średnia siła działająca na ścianę podczas zderzenia z piłką o masie 0,5 kg,
jeżeli pada ona z prędkością 5 m/s, odbija się z prędkością 4 m/s, a czas zderzenia
wynosi 0,25 s?
•
Zadanie 46
Pocisk rzucony jest z prędkością 5 m/s pod kątem 60° do poziomu, rozrywa się w
najwyższym punkcie lotu na dwie równe części tak, że jedna połówka zatrzymuje się,
a następnie opada pionowo w dół. Ile wynosi zasięg rzutu drugiej połówki liczony od
punktu wystrzelenia pocisku?
Zderzenia
Zderzenia dzielimy na zderzenia sprężyste i niesprężyste.
Różnią się one zachowaniem energii kinetycznej: energia kinetyczna jest zachowana
tylko w zderzeniach sprężystych.
W zderzeniach niesprężystych część energii mechanicznej ulega rozproszeniu i
wzrasta energia wewnętrzna ciał, która to energia zazwyczaj w postaci ciepła jest
oddawana do otoczenia. Szczególnym przypadkiem zderzeń niesprężystych są
zderzenia całkowicie niesprężyste, w których ciała łączą się ze sobą po zderzeniu.
We wszystkich zderzeniach działają tylko siły wewnętrzne, dla których wypadkowa
jest równa zeru, co prowadzi do spełnienia zasady zachowania pędu.
Zazwyczaj wszystkie zderzenia obserwowane w życiu codziennym są w jakimś
stopniu niesprężyste, gdyż podczas występujących odkształceń tracona jest część
energii mechanicznej. Jednakże, w niektórych zderzeniach uważamy, że straty
energii są tak małe, że można je traktować jako zderzenia sprężyste (np. zderzenie
piłeczki pingpongowej ze stołem, zderzenie kul bilardowych). Przykłady zderzeń
niesprężystych to: zderzenia samochodów, zderzenie kul ołowianych lub pokrytych
plasteliną
•
•
Zadanie 47
Rozpatrz centralne zderzenie sprężyste dwóch identycznych kul, z których jedna
przed zderzeniem spoczywa.
Zadanie 48
W klocek o masie 1 kg zawieszony na nici uderza centralnie pocisk o masie 10 g i
prędkości 300 m/s, i grzęźnie w nim. O jaki kąt odchyli się klocek, jeżeli odległość od
punktu zawieszenia do środka masy klocka wynosi 1 m?
Siła sprężystości
R. Hooke podał prawo opisujące wydłużenie ciała pod wpływem przyłożonej siły
zewnętrznej (z pewnego ograniczonego zakresu wartości):
gdzie: Fz — siła zewnętrzna. s — pole przekroju poprzecznego, I0 — długość
początkowa, l — wydłużenie, E — tzw. moduł Younga. Często prawo to zapisujemy
w postaci:
gdzie: x = l, siła sprężystości F = - Fz, stała sprężystości: k = ES/lo.
Znak „—„ oznacza, że siła sprężystości jest przeciwnie skierowana do wydłużenia.
Równanie ruchu ciała poddanego działaniu siły sprężystości (czyli tzw. oscylator
harmoniczny) ma postać:
•
Zadanie 49
Dwie identyczne sprężyny o stałej sprężystości k łączymy szeregowo lub równolegle.
Ile wynoszą nowe stałe sprężystości w tych połączeniach?
•
Zadanie 50
Siła 10 N rozciąga sprężynę zwiększając jej długość o 5 cm. Oblicz pracę potrzebną
do rozciągnięcia sprężyny o kolejne 5 cm.
Wahadła
Wahadło matematyczne jest to punkt materialny (obiekt fizyczny obdarzony masą o
zerowych wymiarach), zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici. Jest to więc
idealizacja matematyczna obiektów rzeczywistych, takich jak np. kulka zawieszona
na nici (w tym przypadku często używany jest termin wahadło proste).
Ruch wahadła powoduje składowa siły ciężkości:
dla małych kątów (< 10o):
i równanie ruchu przyjmuje postać:
Znak „—„ oznacza zwrot siły przeciwny do wychylenia.
Wahadło fizyczne jest to bryła sztywna zawieszona powyżej środka masy i mogąca
obracać się swobodnie wokół punktu zaczepienia.
Równanie ruchu wahadła ma postać:
Zwrot momentu siły jest przeciwny do wychylenia, więc:
Oznaczając
dostajemy równanie oscylatora o okresie:
Tak jak poprzednio, rozwiązanie to jest słuszne tylko dla małych kątów .
•
Zadanie 51
Kulkę zawieszoną na nitce umieszczono w windzie. Porównaj okres wahań kulki w
windzie stojącej i poruszającej się w dół z przyspieszeniem g/2.
•
Zadanie 52
Oblicz okres małych drgań wahadła matematycznego o długości 50 cm,
umieszczonego w wagonie pociągu poruszającego się po poziomym torze z
przyspieszeniem 4 m/s2.
Termodynamika
Ciśnienie cieczy i gazów, siła wyporu
Ciśnienie jest to stosunek siły (parcia) do powierzchni:
Jednostką ciśnienia jest paskal (Pa = N/m2).
Warstwa cieczy (lub gazu) na głębokości h wywiera tzw. ciśnienie hydrostatyczne
wyrażane wzorem:
Prawo Pascala: w ośrodku ciekłym lub gazowym ciśnienie rozchodzi się we
wszystkich kierunkach jednakowo.
Prawo to stanowi podstawę działania prasy hydraulicznej, zbudowanej z dwóch
połączonych cylindrów o różnych przekrojach. Równość ciśnień powoduje
proporcjonalny do powierzchni wzrost siły parcia:
Prawo Archimedesa: na ciało zanurzone w cieczy działa do góry siła wyporu równa
ciężarowi wypartej cieczy.
Ciała pływają, jeżeli ich średnia gęstość masy jest mniejsza niż gęstość cieczy.
Przy obliczaniu średniej gęstości należy uwzględnić wszystkie luki wypełnione
powietrzem wewnątrz ciała.
Zasada ta jest wykorzystywana na przykład w łodziach podwodnych, w których
podczas wynurzania wypompowywana jest woda z tzw. komór balastowych, dzięki
czemu zmniejsza się średnia gęstość łodzi.
•
Zadanie 53
Pompka podnośnika hydraulicznego ma rączkę w postaci dźwigni dwustronnej, ze
stosunkiem długości ramion 5:1. Stosunek promieni cylindrów podnośnika wynosi
1:3. Jaką siłą należy działać, aby podnieść paletę z cegłą o masie 900 kg?
•
Zadanie 54
Naczynie w kształcie walca o promieniu 10 cm pływa po wodzie. Oblicz głębokość
zanurzenia naczynia, jeżeli wlano w niego 1litr wody (ρw= 1g/cm3), a masa pustego
naczynia wynosi 2kg.
Gaz doskonały - równanie stanu
Gazem doskonałym nazywamy zbiór punktów materialnych oddziaływujących tylko
poprzez zderzenia sprężyste. Większość gazów odpowiednio rozrzedzonych jest
dobrym przybliżeniem gazu doskonałego. Energia wewnętrzna gazu doskonałego
jest funkcją tylko temperatury i wynosi:
gdzie cv jest ciepłem właściwym przy stałej objętości, T - temperaturą w skali
bezwzględnej (wyrażoną w kelwinach (K)):
Stan układu opisuje zestaw zmiennych termodynamicznych, takich jak: p, V. T.
Wielkości te są związane tzw. równaniem stanu. Przykładem takiego równania jest
równanie stanu gazu doskonałego (równanie Cłapeyrona):
gdzie n = m/ jest liczbą moli gazu, R=8,31 J/(mol K) jest stałą gazową,  - masa molowa
Prawą stronę równania stanu można również zapisać w postaci:
gdzie R = NA*k, k = 1,38 *10-23 J/K (stała Boltzmanna), NA =6,02*1023 - liczba
Avogadro - liczba cząsteczek w jednym molu, N - liczba cząsteczek gazu.
Czasami wygodnie jest korzystać z równania stanu gazu doskonałego zapisanego w
postaci:
gdzie ρ jest gęstością masy.
Dla układu o stałej masie można też zapisać:
•
Zadanie 55
Pęcherzyk powietrza wynurzając się z dna jeziora zwiększa swoją objętość 3 razy.
Oblicz głębokość jeziora, jeżeli temperatura wody przy dnie wynosi 7°C, a na
powierzchni 17°C. Ciśnienie atmosferyczne wynosi 1000 hPa.
•
Zadanie 56
Butlę o pojemności 20 litrów napełniono tlenem w temperaturze 17°C do ciśnienia
107 Pa. Ile gazu ulotniło się z butli wskutek wady zaworu, jeżeli ponowne
sprawdzenie ciśnienia w temperaturze 27°C dało wynik 8*106 Pa?
Przemiany gazowe
Przemiana izotermiczna
W przemianie izotermicznej stała jest temperatura (T=const.) i równanie stanu dla
stałej masy gazu doskonałego przyjmuje postać:
W układzie współrzędnych (V, p) wykresem izotermy jest hiperbola:
W przemianie izotermicznej energia wewnętrzna gazu jest stała, a praca wykonana
przez gaz jest równa ciepłu dostarczonemu do układu, czyli:
Przemiana izobaryczna
Przemiana zachodząca pod stałym ciśnieniem (p=const.), nazywana jest przemianą
izobaryczną. Opisywana jest ona równaniem stanu:
którego wykresem w układzie współrzędnych (T, V) jest linia prosta.
Praca w tej przemianie jest równa:
a ciepło:
gdzie cp jest ciepłem właściwym przy stałym ciśnieniu
•
Zadanie 57
W środku zamkniętego naczynia cylindrycznego wypełnionego gazem o objętości 2 dm 3,
pod ciśnieniem 105 Pa, znajduje się tłok o masie 1 kg i przekroju 5 cm2.
O ile przesunie się bez tarcia tłok, jeżeli cylinder porusza się wzdłuż swojej osi z
przyspieszeniem 10 m/s2? Proces zachodzi w stałej temperaturze.
•
Zadanie 58
Cylindryczne naczynie, w którym znajduje się 0,1 kg azotu, jest zamknięte od góry
ruchomym tłokiem, poruszającym się bez tarcia. Aby podgrzać gaz o 10 K trzeba
dostarczyć 1050 J ciepła. Oblicz ciepło właściwe azotu przy stałym ciśnieniu, pracę
wykonaną przez gaz oraz zmianę jego energii wewnętrznej.
Przemiana izochoryczna
Proces termodynamiczny, w trakcie którego objętość jest zachowana (V=const.) nosi
nazwę przemiany izochorycznej. Opisuje go równanie:
W przemianie tej ciśnienie jest wprost proporcjonalne do temperatury.
Ze względu na brak zmiany objętości praca w przemianie izochorycznej jest równa
zeru. Ciepło i zmiana energii wewnętrznej są sobie równe i wynoszą:
gdzie cv jest ciepłem właściwym przy stałej objętości.
Przemiana adiabatyczna
Jeżeli nie występuje wymiana ciepła z otoczeniem, to mamy do czynienia z tzw.
przemianą adiabatyczną. Równanie stanu tej przemiany przyjmuje postać:
Na wykresie p od V „adiabata” jest bardziej stroma niż „izoterma”:
Dla gazu doskonałego słuszne są związki:
Zadanie 59
Ile ciepła należy dostarczyć, aby gaz zamknięty w naczyniu o objętości 4 dm3
zwiększył swoje ciśnienie o 106 Pa? Załóż, że stosunek ciepeł właściwych przy
stałym ciśnieniu i stałej objętości wynosi 1,4.
Zadanie 60
Oblicz pracę, jaką wykona 1 mol gazu doskonałego ogrzanego pod stałym ciśnieniem
o 1 K. Na tej podstawie wykaż, że cpmol – cvmol = R
DZIĘKUJĘ ZA WSPÓLNE ZAJĘCIA
ŻYCZĘ SUKCESÓW W NAUCE
dr Edmund Paweł Golis
Instytut Fizyki
Konsultacje stałe dla projektu;
od Poniedziałku do Piątku w godz. 8 15- 9 00
pokój 008 budynek B1 parter
oraz uzgadniane indywidualnie tel: 601 98 88 95
e-mail: [email protected] lub gg 7974708