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“Métodos para la Enseñanza de las Matemáticas”
Institut Universitaire de Formation des Maîtres Midi-Pyrénées, Toulouse, Francia.
La Demostración en los Planes y Programas de
Matemática en Secundaria Nacional: Análisis
y una propuesta para su acercamiento.
Danilo Díaz Levicoy
Cristina Fuenzalida Guzmán
Karen Moraga Reyes
Recorrido
LA DEMOSTRACIÓN EN LOS
PLANES Y PROGRAMAS DE CHILE
Función de la Demostración (Villiers, 1993 )
Verificación
Sistematización
Descubrimiento
Planes y Programas
1°
2°
Geométrica
Algebraica
1.
1.
Lenguaje Algebraico
Factores y productos
1.
Congruencia de figuras planas
•
Experimental (doblaje papel)
2.
•
Demostración
(múltiplos, factores y divisibilidad )
Semejanza de figuras planas
•
3°
1.
Distinción hipótesis y tesis
(Expresiones Algebraicas fraccionarias , divisibilidad,
2.
Sobre la circunferencia y sus ángulos
1.
Funciones cuadráticas y raíz cuadrada
•
Fracciones en Lenguaje Algebraico
productos notables y factorización)
1.
Inducen propiedades mediante
construcción
Inecuaciones Lineales
1.
Ejemplo numérico
2. Conjeturan
3. Demuestran
Más sobre triángulos rectángulos
Teorema Pitágoras
4°
•
Puzles (d. geométrica)
•
Euclides (d. algebraica)
1. Estadística y probabilidad
•
Efecto de estructura
2. Función potencia, logarítmica y exponencial
Demostración
Geométrica
Verificación
Ejemplo A
Doblar una hoja de papel de forma irregular, dos veces de modo de generar un ángulo
recto como lo indica el dibujo. Cualquier corte que pase por ambos dobleces genera un
rombo al extender el papel ¿Por qué?
Ejemplo E
Construyen geométricamente la longitud de las raíces cuadradas de algunos números,
utilizando un referente de unidad arbitrario y aplicando sucesivamente el teorema de
Pitágoras. Ubican los correspondientes puntos en la recta numérica, comparan algunas
medidas entre sí, como
o bien entre
Demostración
Geométrica
Descubrimiento
Ejemplo D
Demostrar que si por el punto medio de la diagonal de un rectángulo se traza una
perpendicular a ésta, se divide al rectángulo en dos trapecios congruentes.
Ejemplo C:
Demostrar que las tangentes a una circunferencia, trazadas desde un mismo
punto tienen la misma longitud.
Demostración
Geométrica
Influencia del
enunciado
Ejemplo B
En el siguiente dibujo, ABCD es un cuadrado y los vértices de la figura
inscrita dividen el lado en la razón 1:4. Demostrar que las figuras que se
generan son cuadrados, y determinar la razón de semejanza entre dos
cuadrados consecutivos.
Demostración
Algebraica
• Demostrar que el cuadrado de un número impar
Lenguaje
Algebraico
es también impar
Trabajo creciente
Durante los Cuatro
años.
• Demostrar que la suma de tres números
Factores y
producto
Fracciones en
lenguaje
algebraico
Inecuaciones
lineales
consecutivos es siempre múltiplo de tres
Demostración
Algebraica
Como demuestran
Generalizar
Desarrollar
expresar
mediante el
lenguaje
algebraico
Logaritmos
trabajo de
la expresión
algebraica
•Verificación.
Investigación de
regularidades mediante
resolución de problemas
8° básico
Analizar
Conclusión
expresiones
equivalentes
4° medio
• Obtener utilizando
potencias las propiedades
de logaritmo
Demostración
Algebraica y
Geométrica
Teorema de Pitágoras
•Verificación (armado de
puzle)
3° medio
•Demuestran utilizando
diversos recursos
argumentativos
•Cálculo de áreas
7° básico
•Euclides
Demostración en Chile
Objetivo transversal
Enseñanza matemática
• Uso algoritmos
• Deficiente formación básica
Transformación isométrica
• Propiedades polígonos
Demostración cuarto medio
Consideraciones Finales
Datos útiles
Herramientas
Conclusión
• Hipótesis
• Yo sé...
• Propiedades y/o definiciones
• Si... entonces
• Conclusión
• Luego...
Estructura
Razonamiento
Estructura
Razonamiento
Estructura
Razonamiento
Consideraciones Finales
Para demostrar que un punto dimidia un segmento
1.La definición de la mitad de un Definición : La mitad de un
segmento
segmento es el punto del
segmento que es equidistante de
sus extremos
2.Dos puntos simétricos por una Definición : Diremos que dos
simetría central
puntos A y B son simétricos con
respecto a un punto O, significa
que O es la mitad del segmento
[AB]
3.La mediatriz de un segmento
Definición :Si una recta es la
mediatriz de un segmento,
entonces ella corta al segmento
en la mitad
4.Una mediana de un triángulo
Definición :Una mediana de un
triángulo es una recta que pasa
por un vértice y que corta al
segmento opuesto en la mitad
5.Las diagonales de un
Paralelogramo
Definición :Si un cuadrilátero es
un paralelogramo, entonces sus
diagonales tiene el mismo punto
medio
6.Un diámetro de un círculo
Definición: Si un segmento es un
diámetro de un círculo, entonces
el centro del círculo es la mitad
del segmento.
O∈ [AB] y OA = OB , donde el
punto O es la mitad del
segmento [AB]
Los puntos A y B son simétricos
con respecto al punto O , donde
O es la mitad del segmento [AB]
La recta (d) es la mediatriz del
segmento [AB] y corta a [AB] en
el punto I , donde I es la mitad
del segmento [AB]
La recta (CI) es la mediana desde
C del triángulo ABC y ella corta
[AB] en el punto I, donde I es la
mitad del segmento [AB]
El cuadrilátero ACBD es un
paralelogramo,
Y los segmentos [AB] y [CD] se
cortan en el punto I , donde I es
la mitad de [AB] y [CD]
El segmento [AB] es un diámetro
de circulo 𝜍 de centro O, donde
el punto O es la mitad de [AB].
Sea ABCD un paralelogramo de centro O y sea I un punto del segmento
Ejemplo
[AB], distintos de A y de B. se designa por J el punto del segmento [CD] tal
que CJ = AI. Demostrar que el punto O es la mitad del segmento [IJ]
D
J
C
O
A
I
B
Solución utilizando las configuraciones.
a)Demostrar que el cuadrilátero AICJ es un
paralelogramo
b)Deducir que O es la mitad del segmento
[IJ].
Solución utilizando congruencias.
a)Probar que los triángulos JOC y OAI son
isométricos.
b)Demostrar que ∡ JOI = ∡ COA.
Solución Vectorial
a)Determinar dos vectores iguales
respectivamente a los vectores AI y OA
.Justificar
b)Deducir un vector igual al vector OI.
Concluir
Solución utilizando las transformaciones.
Designamos por S la simetría central de
centro O. Determinar la imagen del segmento
[AB] por S
a)Sea I´ la imagen de I por S, demostrar que I´
y J son confundidos.
b)Deducir que O es la mitad del segmento
[IJ].
Secuencia
TRANSFORMACIONES
ISOMÉTRICAS
Planificación de la Secuencia
Título de la Unidad
Sector
Objetivo Fundamental
Transformaciones isométricas
Tiempo
10 horas
Educación Matemática
Nivel
Primero Medio
Analizar aspectos cuantitativos y relaciones geométricas presentes en la vida cotidiana y en el mundo de las
ciencias; describir y analizar situaciones, con precisión.
OFT
Desarrollo del pensamiento
CMO
1.
Simetrías de figuras planas. Construcción de configuraciones geométricas por simetría.
2.
Uso de regla y compás; de escuadra y transportador; manejo de un programa computacional que permita
dibujar y transformar figuras geométricas
Objetivo de aprendizaje 1.
Caracterizan la simetría axial y central.
de la secuencia
2.
Describen los cambios que observan entre una figura y su imagen por simetría.
3.
Justifican una configuración geométrica utilizando simetrías.
4.
Construyen, utilizando escuadra y compás o un programa computacional, figuras simétricas.
5.
Demuestran utilizando simetría central y simetría axial
Transformaciones Isométricas
Situación Nacional
Finalidad de la Secuencia
Temas a tratar
•
Simetría Axial
•
Simetría Central
Propuesta
•
Análisis → Conjetura → Demostración
Organización de la Secuencia
Descubrimiento del Concepto
Descubrimiento de Propiedades
Aplicación de las Propiedades
Demostración
Simetría Axial (Sesión 1)
Contenido
Definición y
propiedades de simetría
axial
Actividad 1
Reproducir, con la ayuda de un espejo semi opaco, las
Objetivos de
Aprendizaje de la
Secuencia
Caracterizan simetría
axial.
siguientes imágenes.
Observando lo anterior, ¿Cómo podrías realizar la imagen
de un punto sin utilizar el espejo?
Simetría Axial (Sesión 1)
Contenido
Actividad 2
Definición y propiedades de
simetría axial
Dada una recta L cualquiera:
Objetivos de Aprendizaje de
1.Construye un punto el plano (A) y haz la simetría axial del punto respecto de L (A’).
Mueve el punto sobre el plano ¿Qué sucede si el punto está sobre el L? Concluye
la Secuencia
Cada punto que está sobre el eje de simetría es invariante
Construyen, utilizando escuadra
y
compás
o
computacional,
un
programa
figuras
por
simetría axial.
2. Dados dos puntos, construye una recta en el plano (L1) y haz la simetría de la recta
respecto de L (L1’). Mueve la recta (L1) sobre el plano a partir de uno de los puntos
que la determinan. ¿Qué sucede cuando (L1) es paralela, secante y perpendicular al
eje? Para cada caso concluye y justifica.
Una recta no paralela al eje de simetría y su imagen, se intersecan en el eje y toda
Describen
los
cambios
que
recta perpendicular al eje es invariante
observan entre una figura y su
imagen por simetría.
3. Sin hacer la construcción ¿en qué condiciones un círculo es invariante al aplicarle
una simetría axial?
Contenido
Construcción de
configuraciones simples
por simetría axial.
Simetría Axial (Sesión 2)
Actividad 3
Determinar si las siguientes figuras tienen ejes de simetría. Utilizando
lápiz y regla no graduada construir los ejes de simetría en el caso que
corresponda. Justificar la construcción mediante las propiedades
Objetivos de
Aprendizaje de la
Secuencia
Justifican una
configuración
geométrica con simetría
axial.
Utilizando escuadra no graduada construir los ejes de simetría del
cuadrado. Justificar la construcción mediante las propiedades
Simetría Axial (Sesión 2)
Contenido
Construcción de
configuraciones simples por
simetría axial.
Objetivos de
Actividad 4
Sea C un circulo de centro O y [AB] una cuerda del circulo. M y M’ son
dos puntos del circulo, talque (MM’)//(AB)
Demostrar que MA=M’B
Aprendizaje de la
Secuencia
Demuestran utilizando
simetría axial
O
M'
M
A
B
Simetría Axial (Sesión 3)
Contenido
Definición y propiedades de
simetría central
Actividad 5
Determina la transformación aplicada a las siguientes figuras.
A
A
B
C
D
A'
B'
B
D
Objetivos de
E
Secuencia
D'
C
C'
B´
C´
A
E
A´
E'
C
E´
D´
D
D'
C'
D'
B
E'
B'
C'
A
B'
A'
central.
B
C
Caracterizan simetría
E
D
Aprendizaje de la
A´
Determina que características tiene la transformación desconocida. A
partir de ello haz la construcción de un punto.
Simetría Axial (Sesión 3)
Contenido
Definición y propiedades de
simetría central
Actividad 6
Dada un punto P cualquiera en el plano:
1.Construye un punto en el plano (A) y haz la simetría central del punto respecto de P (A’).
Objetivos de Aprendizaje
El centro de Simetría es el único punto invariante
de la Secuencia
Construyen,
escuadra
programa
y
Mueve el punto sobre el plano ¿Qué sucede si posamos el punto sobre P? Concluye.
utilizando
compás
o
un
computacional,
figuras por simetría central.
2. Dados dos puntos, construye una recta en el plano (L1) y haz la simetría central de la recta
respecto de P (L1’). Mueve la recta (L1) sobre el plano a partir de uno de los puntos que la
determinan. ¿Qué sucede con (L1’)? Concluye y justifica.
Una recta y su imagen por simetría central son paralelas
3. Dada dos rectas secantes cualquiera. Nombra A al punto de intersección. Haz la simetría
del punto y la simetría de las rectas. ¿Que puedes decir de la imagen del punto A?
Describen los cambios que
observan entre una figura y su
imagen por simetría central
La imagen de la intersección es la intersección de imágenes
Simetría Axial (Sesión 4)
Contenido
Construcción de
configuraciones simples por
simetría central
Actividad 7
1. ABCD es un paralelogramo de centro O. Una recta D corta a (AB) en M y (CD) en N.
Construir, con regla no graduada, el paralelogramo MNPQ de centro O.
Q
Objetivos de
P
Aprendizaje de la
Secuencia
2. Al círculo C se le ha aplicado una simetría central, que transforma A en A’ y C en C’. Sea L
la recta tangente a C en A. Construye la imagen de L. Utiliza sólo regla y escuadra no
Justifican una configuración
geométrica por simetría
central.
graduadas. Justifica tu respuesta.
Simetría Axial (Sesión 4)
Contenido
Actividad 7… Continuación
Construcción de
configuraciones simples por
3. Al cuadrilátero ABCD se le ha aplicado una simetría central, que transforma A en A’.
simetría central
Utiliza sólo regla y escuadra no graduadas para construir el centro de simetría.
Objetivos de
Aprendizaje de la
Secuencia
Justifican una configuración
O
geométrica por simetría
central.
D’
Simetría Axial (Sesión 4)
Contenido
Construcción de
configuraciones simples por
simetría central
Actividad 8
La figura siguiente representa un paralelogramo ABCD. Las rectas D y D’ pasan por los
puntos B y D y son paralelas. Demostrar usando Simetría Central que BMDN es un
paralelogramo
Objetivos de
D
Aprendizaje de la
B
Secuencia
Justifican una configuración
D'
A
M
geométrica por simetría
N
central.
D
C
Evaluación
Construye el centro de la siguiente circunferencia utilizando sólo regla y escuadra no
graduada. Justifica tu respuesta
Objetivo
Aplicar las propiedades de
simetría axial para realizar
la construcción
Evaluación
Sea el paralelogramo ABCD de centro O. Utilizando sólo regla no graduada construir la
simetría del punto M con respecto al punto O. Justificar la respuesta.
Objetivos
Aplicar las propiedades de
simetría central para realizar la
construcción
Evaluación
Sean C y C’ dos círculos concéntricos distintos de centro O, una recta D corta a C en A y B y
corta a C’ en A’ y B’. Demostrar que AA’=BB’
Objetivos
Demostrar utilizando
C'
C
B
Simetrías
B'
O
A'
A
Sesión
ÁNGULOS INSCRITOS EN LA
CIRCUNFERENCIA
Problema
Parte 1
El próximo mes de enero se realizará la 32° versión del Festival Internacional de la Canción de Viña del Mar. Una de
las artistas invitadas es Shakira. Ella a solicitado que la iluminación del escenario sea de muchos focos de 40° de luz
(el valor de grado de luz se refiere al cono más grande de luz que el foco produce) donde cada foco ilumine el
escenario de 15 metros de longitud y llegue desde todos lados.
¿Cuál es la forma que debe tener del riel que sostiene los focos?
Parte 2
Shakira quiere que la aparición en el espectáculo sea de la siguiente manera:
Ella saldrá en una plataforma desde el centro del escenario que irá ascendiendo hasta el centro de la circunferencia
descrita por los focos de luz. Durante esta aparición se requiere una iluminación focalizada.
¿Cuál debe ser el ángulo de iluminación del foco que ilumine todo el escenario desde el centro de la
circunferencia?
Organización
Matemática
Tarea
1.
Determinar el lugar geométrico que sostiene a los focos de luz
Parte 1
El próximo mes de enero se realizará
la
32°
versión
del
Festival
C
Técnica
Internacional de la Canción de Viña
del Mar. Una de las artistas invitadas
es Shakira. Ella a solicitado que la
iluminación del escenario sea de
muchos focos de 40° de luz (el valor
de grado de luz se refiere al cono más
grande de luz que el foco produce)
40°
donde cada foco ilumine el escenario
de 15 metros de longitud y llegue
desde todos lados.
¿Cuál es la forma que debe tener del
riel que sostiene los focos?
A
B
Tarea
Organización
Matemática
Parte 2
1.
Determinar la medida del ángulo del centro
Técnica
C
Shakira quiere que la aparición en
el espectáculo sea de la siguiente
manera:
40°
Ella saldrá en una plataforma desde
el centro del escenario que irá
C
O
ascendiendo hasta el centro de la
circunferencia descrita por los focos
80°
de luz. Durante esta aparición se
requiere
una
iluminación
40°
focalizada.
¿Cuál debe ser el ángulo de
iluminación del foco que ilumine
todo el escenario desde el centro
de la circunferencia?
A
B
Tecnología
Organización
Matemática
Teorema 1
La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central que
Parte 2
abarca el mismo arco.
Shakira quiere que la aparición en
el espectáculo sea de la siguiente
manera:
Ella saldrá en una plataforma desde
el centro del escenario que irá
ascendiendo hasta el centro de la
circunferencia descrita por los focos
de luz. Durante esta aparición se
requiere
una
iluminación
focalizada.
¿Cuál debe ser el ángulo de
iluminación del foco que ilumine
todo el escenario desde el centro
de la circunferencia?
Organización
Matemática
Tecnología
Parte 1
Teorema 2
El próximo mes de enero se realizará
la
32°
versión
del
Festival
Internacional de la Canción de Viña
del Mar. Una de las artistas invitadas
es Shakira. Ella a solicitado que la
iluminación del escenario sea de
muchos focos de 40° de luz (el valor
de grado de luz se refiere al cono más
grande de luz que el foco produce)
donde cada foco ilumine el escenario
de 15 metros de longitud y llegue
desde todos lados.
¿Cuál es la forma que debe tener del
riel que sostiene los focos?
La medida de los ángulos inscritos que interceptan el mismo arco son
iguales
Sabemos que
son ángulos
inscritos que subtienden el mismo arco.
Por teorema 1
Evaluación
Formativa
1. Dada la siguiente figura, en
donde
, O centro
de la circunferencia y C, E, B
y D, E, A están alineados.
2. Según la figura dada a
continuación, C es el círculo
de centro O y diámetro [BF]
3. Dada la siguiente figura,
[AB] diámetro del semi
círculo que intercepta a [AI]
en M.
Determinar la medida de
¿Cuál es la naturaleza del triángulo ABF?
Justifica tu respuesta
Demostrar que las rectas (MB) y (IH) son paralelas.
Muchas Gracias