Física Cuántica

ANTECEDENTES DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

-

LA RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO Y LA HIPÓTESIS DE PLANCK.

-

EL EFECTO FOTOELÉCTRICO Y LA EXPLICACIÓN DE EINSTEIN.

-

LOS ESPECTROS ATÓMICOS Y LA EXPLICACIÓN DE BÖHR.

¿Qué es un cuerpo negro?

• Aquél que absorbe toda la radiación que le llega. • Por ejemplo: una cavidad que absorbe toda la radiación que le llega a través de un agujero.

Radiación del cuerpo negro

Cuando se somete el cuerpo negro anterior a distintas temperaturas, éste

emite

radiación electromagnética, a través del agujero.

Si para distintas temperaturas se representa la intensidad de la radiación emitida por intervalo de longitud de onda emitida en función de la longitud de onda, se obtiene un espectro que sólo es función de la temperatura.

I/ Dl = f( l ) A medida que aumenta la temperatura del cuerpo negro: La emisión incandescente pasa del color rojo a un color blanco propio de l más pequeñas.

En el espectro veremos que la longitud de onda máxima para la que corresponde una intensidad de emisión máxima se desplaza hacia l menores.

Espectro del cuerpo negro

Del espectro se deducen dos leyes empíricas importantes: 1.- Ley de Stefan-Boltzmann: I =

s

T 4 (cte de Stefan-Boltzmann) donde

s

= 5.67 10 -8 2.-

Ley de Wien: l

max T = Cte donde la Cte = 0.2897 cm K wm -2 K -4

I/ Dl

Explicación clásica del espectro del cuerpo negro

ECUACIÓN EMPÍRICA CLÁSICA

I

D l =

c

1 l 5 1

e c

2 l

T

(wm 3 ) c 1 y c 2 son constantes que deben determinarse empíricamente, ajustando la fórmula teórica anterior a los datos experimentales

“Para valores altos de longitud de onda se ajustaba bien, pero para longitudes de onda pequeñas (del orden del ultravioleta) la intensidad irradiada tendía a infinito y no se obtenía el punto máximo.” (CATÁSTROFE ULTRAVIOLETA)

Explicación de Max Planck (1900)

ECUACIÓN DE PLANCK

I

D l =

c

1 l 5

e

l

c

2

T

1  1 (wm 3 ) c 1 y c 2 son constantes que deben determinarse empíricamente, ajustando la fórmula teórica anterior a los datos experimentales

c

1 = 2 

c

2

h c

2 =

hc k

Siendo: c = 3 10 8 m/s (velocidad de la luz) k = 1.38 10 -23 h = 6.63 10 -34 J/K (cte de Boltzmann) J/s ( cte de PlancK) La ecuación concordaba con los datos experimentales, pero para ello tuvo que Introducir una nueva constante “h”, la constante de Planck

Hipótesis de Planck

Para interpretar la fórmula empírica tuvo que suponer que los átomos que constituyen las paredes de la cavidad se comportan como diminutos osciladores electromagnéticos, cada uno de ellos con una frecuencia de oscilación característica.

Los osciladores emitirán energía electromagnética al aumentar la temperatura de la cavidad y dicha energía deberá ajustarse a una ecuación para que la fórmula empírica tenga solución.

-

Sus hipótesis para los osciladores electromagnéticos se resumen en:

a) Cuando un átomo está oscilando, se encuentra en un ESTADO DE ENERGÍA de valor:

E

=

nh

 siendo “  ” la frecuencia del oscilador, “h” la constante de Planck y “n” un número entero que denominamos actualmente número cuántico principal y que solamente puede tomar valores enteros n = 1, 2, 3, 4… b) Los átomos oscilantes no irradian energía continuamente, sino sólo a “saltos o cuantos ”, cuando cambia de un estado de vibración a otro distinto. El valor del cuanto de energía es: D

E

= D

nh

 c) Todo el tiempo que un átomo oscilante permanece en uno de sus estados de energía o ESTADO ESTACIONARIO, ni emite ni absorbe energía.

Determina el valor del cuanto de energía que se emite cuando un átomo oscilante pasa de un estado energético con n = 1 a otro estado con n = 3

n 1 = 1 → E 1 = h   1 =  D E = 2h  n 2 = 3 → E 2 = 3h   2 = 3 

Según las hipótesis de Planck no pueden existir los estados de energía con “n” fraccionario.

El efecto fotoeléctrico

• Descubierto por HERTZ en 1887 • La luz aporta energía a los electrones de un metal hasta que es capaz de arrancarlos del mismo:

CÁTODO(-) ÁNODO(+) I AMPERÍMETRO

La solución de Einstein (1905)

• • Albert Einstein propuso una explicación del efecto fotoeléctrico basada en la teoría de Planck.

La luz está compuesta de “fotones” o paquetes de energía, y sólo puede ser absorbida o emitida en estos paquetes y no de forma “continua”.

• Cada paquete tiene una energía dada por la ecuación de Planck

E

=

h



¿La hipótesis de Einstein explica el experimento?

1) La luz está formada por infinidad de fotones de diferentes “tamaños energéticos” que se propagan en el vacío a la velocidad de 300 000 km/s .

2) Cuando la luz interactúa con la materia, cada electrón absorbe

toda la energía de un fotón

.

3) Si la energía del fotón es insuficiente, no se observará el efecto fotoeléctrico, aunque

aumentemos la intensidad luminosa

o estemos iluminando el metal durante mucho tiempo.

4) Si la energía del fotón es la adecuada para que el electrón escape de la atracción del núcleo del metal, se observará el efecto fotoeléctrico de forma inmediata.

5) Cuando se observa el efecto fotoeléctrico un aumento en la intensidad luminosa origina un aumento de la la intensidad de la corriente eléctrica que se produce, pero no modifica la energía cinética de los fotoelectrones. 6) Cada metal necesita una energía diferente para observar en él el efecto fotoeléctrico, denominada ENERGÍA UMBRAL o TRABAJO DE EXTRACCIÓN.

7) Si la energía del fotón incidente es superior a la energía umbral del metal, los fotoelectrones saltarán de la superficie del metal con un exceso de energía cinética.

Al aumentar la frecuencia del fotón, aumentará su energía

E

=

h



a) Si la energía de fotón incidente es MENOR que el valor de la energía umbral el e no saltará aunque se aumente la intensidad luminosa o el tiempo de exposición.

-

b) Si la energía del fotón incidente es IGUAL al valor de la energía umbral, el e saltará de la superficie del metal sin poseer un exceso de energía cinética.

-

c) Si la energía del fotón incidente es MAYOR que el valor de la energía umbral, el e saltará de la superficie metálica con un exceso de energía cinética.

FÓRMULAS

1 )

E INCIDENTE

=

E UMBRAL



E CINÉTICA h

 =

h

 0  1 2

m e

2

v

max

Energía incidente = h



Energía umbral ò W EXTRACCIÓN → W ext =h Energía cinética máxima que adquieren los electrones cuando salen del cátodo



o

cátodo ánodo

I

Si aplicamos un generador de c.c. externo con la polaridad invertida

: ÁNODO CÁTODO

I + A V f

http://www.educaplus.org/play-112-Efecto-fotoel%C3%A9ctrico.html

-

-Si V Si V f f < V V f AC = Potencial de frenado aplicado por un generador externo V AC = d.d.p. de la célula FOTOVOLTAICA la intensidad de corriente irá de ánodo a cátodo = V AC el amperímetro no marcará paso de corriente Por el teorema de las fuerzas vivas deducimos:

2)

e V f

= 1 2

m e v

2 max

ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO

l (  ) 

c

= l   (  ) 

E

=

h

 

E

(  )

Es la clasificación de todas las ondas electromagnéticas atendiendo a su frecuencia (



) o a su longitud de onda (

l

).

c

= l

T

= l

La energía de la radiación aumenta con la frecuencia.

-

A partir del ultravioleta medio hacia frecuencias mayores

(l

menores)

,

la radiación es IONIZANTE, peligrosa por tanto para las células vivas.

Ejercicios: 1.- ¿Cuál es el tamaño energético de un cuanto o fotón de luz amarilla de 510 nm?

Datos: c, h, carga del electrón y la equivalencia nm-m. (Sol: 2.44eV).

2.- Uno de los procesos que tiene lugar en la capa de ozono de la estratosfera es la rotura del enlace de la molécula de oxígeno por la radiación ultravioleta del Sol. Para que este proceso tenga lugar hay que aportar a cada molécula 5 eV. Calcula la longitud de onda mínima que deben tener los fotones que conforman dicha radiación UV.

Datos: c, h y la carga del electrón. (Sol: 249 nm) 3.- Los fotones de un haz de luz monocromática tienen una longitud de onda de 550 nm y una intensidad luminosa de 10 w/m 2 . Determina el número de fotones de este haz de luz que en un segundo atraviesan una sección de 1 m 2 .

Datos: c, h, equivalencia nm-m. (Sol: 2.765 10 19 ).

4.- Sabiendo que el valor de la longitud de onda umbral de la plata es de 262 nm. Determina la energía cinética de los electrones emitidos si se ilumina la superficie con una radiación incidente de 200 nm.

Datos: c, h, equivalencia nm-m. (Sol: 2.35 10 -19 J).

Ejercicios: 5.- El trabajo de extracción del litio es 5.38 eV. Deduce el valor de la frecuencia y la longitud de onda umbral para que pueda producirse efecto fotoeléctrico. ¿Qué tipo de radiación produce emisión fotoeléctrica en el litio?.

Datos: c, h, carga del electrón y la equivalencia nm-m. (Sol: 1.30 10 15 Hz;; 230 nm).

6.- Una célula fotoeléctrica se ilumina con luz monocromática de 250 nm. Para anular la fotocorriente producida es necesario aplicar una d.d.p. o potencial de frenado de 2 V. a) b) Calcula: La longitud de onda máxima de la radiación incidente (o longitud de onda umbral) para que se produzca el efecto fotoeléctrico en el metal. (Sol: 418.21 nm) El trabajo de extracción del metal. (Sol: 2.973 eV) Datos: c, h, carga del electrón y la equivalencia nm-m 7.- El cátodo de una célula fotoeléctrica tiene una longitud de onda umbral de 542 nm. Sobre su superficie incide un haz de luz de longitud de onda 160 nm. Calcula: a) La velocidad máxima de los fotoelectrones emitidos desde el cátodo. (Sol: 1.38 10 6 m/s).

b) La diferencia de potencial que hay que aplicar para anular la corriente producida en la fotocélula. (Sol: 5.39 V) Datos: c, h, carga electrón, masa electrón, equivalencia nm-m.

Espectros atómicos

Es un concepto usado en física y química para referirse a: Espectro de absorción , radiación electromagnética absorbida por un átomo. Espectro de emisión , radiación electromagnética emitida por un átomo en estado gaseoso.

El espectro del átomo de hidrógeno

Violeta Rojo 1 l =

R

   1

n

1 2  1

n

2 2   

ECUACIÓN EMPÍRICA DE BALMER R=109 677.6 cm -1 n 1 (cte de Rydberg) y n 2 son NÚMEROS ENTEROS n 1 < n 2

Postulados de Böhr (1913)

1. El electrón gira alrededor del núcleo en “

órbitas circulares permitidas”

en las que se mueve a velocidad constante, sin emitir radiación alguna.

2. Las órbitas permitidas están “CUANTIZADAS” y en ellas el momento cinético toma valores LIMITADOS :

rm e v e

=

n h

2  " n" es el número cuántico principal " r" = radio de la órbita circular 3. El electrón puede saltar de una órbita permitida a otra, absorbiendo o emitiendo fotones:

E



E o

=

h

 Fotón absorbido → salto a órbita superior. E>E o Fotón emitido → salto a órbita inferior E

h 

El átomo de Bohr (II)

h 

El átomo de Bohr (III)

Energía órbitas Radio órbitas

8. A partir del tercer postulado de Böhr en el supuesto de la absorción de un fotón, obtener la ecuación empírica de Balmer .

Datos: eV=1.6022 10 -19 J; h=6.6261 10 -34 Js; c=2.9979 10 8 ms -1

(IR) (IR)

VISIBLE n = 6 5 4 3 410.2 434.1 486.1 656.3

Ejercicios: 9.- ¿Cómo puede deducirse la energía de ionización (o el potencial de ionización) de un elemento en estado gaseoso a partir del modelo de Böhr?.

10.- Al excitar un átomo de hidrógeno, su electrón pasa a otro nivel energético al absorber 12 eV. Calcula la frecuencia y la longitud de onda de la radiación emitida cuando el átomo vuelve a su estado fundamental. (Sol: 2.9 10 15 Hz;; 103 nm).

Datos: c, h, carga del electrón y la equivalencia nm-m 11.- ¿Cuál es la longitud de onda más corta de la serie de Balmer?.

La longitud de onda más corta es la que corresponde a la mayor transición posible, es decir, el salto desde n 2 = ∞. (Sol: 364 nm) Datos: R, equivalencia nm-m 12.- Determina la longitud de onda correspondiente a la tercera raya espectral de la serie Paschen y calcula luego su frecuencia. (Sol: 1094 nm;; 2.74 10 14 Hz) Datos: R, c; equivalencia nm-m

PRINCIPIOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

Dr Quantum - Experimento Doble Ranura.wmv

LA HIPÓTESIS DE “DE BROGLIE” EL PRINCIPIO DE INDETERMINACIÓN DE “HEISENBERG” LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE “SCHRÖDINGER”

Hipótesis de De Broglie.

La dualidad onda-corpúsculo.

Igualando las expresiones de Planck (E=h  ) y Einstein (E=mc 2 ), obtendremos la ecuación que relaciona la longitud de onda de un fotón con su momento lineal .

(1924)

l =

h mc

De Broglie SUGIRIÓ que si una onda (como la luz) tenía propiedades corpusculares, un corpúsculo (como un electrón) debería tener propiedades ondulatorias.

TODA PARTÍCULA MATERIAL CON VELOCIDAD v TENDRÁ UNA LONGITUD DE ONDA ASOCIADA

.

l

ASOCIADA

=

h m partícula

v

partícula

13. Si las distancias interatómicas en las estructuras cristalinas que se utilizan como redes de difracción, son del orden de 1 a 3 Å, ¿se observará el fenómeno de la difracción en: a) Los rayos-X de

l = 0.071 nm.

b) c) Los electrones con una energía cinética de 600 eV Los neutrones con una energía cinética de 0.0568 eV?

DATOS: h = 6.6 10 -34 Js 1 eV = 1.6 10 -19 J m e = 9.1 10 -31 kg m n = 1.7 10 -27 1 Å = 1 10 -10 m kg 1 nm = 1 10 -9 m Nota aclaratoria:

l

ASOCIADA

=

h m part v part

=

h p part E c

= 1 2

m part v

2

part

= 1 2

m

2

part v

2

part m part

= 1 2

p

2

part m part p part

= 2

m part E c

l

ASOCIADA

=

h

2

m part E c

A PARTIR DE LA HIPÓTESIS DE DE BROGLIE DEMUESTRA EL SEGUNDO POSTULADO DE BÖHR

Las órbitas circulares permitidas están CUANTIZADAS porque en ellas la onda asociada al electrón origina una ONDA ESTACIONARIA cuando:

L

=

n

l

ASOCIADA

2 

r

=

n h m e v e rm e v e

=

n h

2 

El experimento de Davisson Germer

Midiendo la longitud de onda asociada a los electrones difractados, VERIFICARON la hipótesis de DE BROGLIE, tres años después de la formulación de la misma.

El principio de indeterminación de Heisenberg (1925

) • No se puede determinar

simultáneamente y con precisión

, ciertos pares de variables físicas, como son, por ejemplo, la posición y el momento lineal de una partícula subatómica. • El producto de las IMPRECISIONES O ERRORES que cometemos al medir simultáneamente el momento lineal y la posición de una partícula subatómica, viene dado por la ecuación: D

p

D

x

 2

h

 Esto implica que las partículas subatómicas, en su movimiento, precisión

NO

tienen asociada una trayectoria definida como lo tienen en la física newtoniana, porque la posición y el momento lineal no se pueden conocer simultáneamente con

14. El angstron (Å) es una unidad de longitud típica de los sistemas atómicos que equivale a 10 -10 m. La determinación de la posición de un electrón con una precisión de 0,01 Å es más que razonable. En estas condiciones, calcular la imprecisión de la medida simultánea de la velocidad del electrón. (Dato: la masa del electrón es 9,1096 · 10 -31 Kg).

Según el principio de indeterminación de Heisenberg, se tiene: D

x

D (

m

v ) 

h

2  D (

m

v) 

h

2  D

x

 6 .

626 10  34 2  10  12

m Js

 1 .

055 10  22

kgms

 1 Si se supone que la masa del electrón está bien definida y es m = 9.1096 · 10 -31 Kg D v  D (

m m

v )  1 .

055 9 10 .

1096  22 10

kgms

 31

kg

 1  1 .

16 10 8

ms

Se observa que la imprecisión es muy elevada  1

Ejercicios: 15.- Un electrón tiene una longitud de onda asociada de 250 nm. ¿A qué velocidad se mueve?. (Sol: 2 912 m/s). Datos: h, m e 16.- ¿Con qué diferencia de potencial tendríamos que acelerar un electrón para que su longitud de onda asociada fuese de 10 nm?. (Sol: 0.015 V). Datos: h; m e ; e.

17.- Considera una partícula

a

y un protón con la misma longitud de onda asociada. Suponiendo que las partículas se mueven a velocidades cercanas a la velocidad de la luz, calcula la relación que existe entre: a) b) Las velocidades entre ambas partículas. (Sol: v p = 4v

a

) Las energías totales relativistas si la velocidad del protón es 0.4c. (Sol: E Datos: m(

a

)=4m(p) p = 0.27E

a

) 18.- Considera las longitudes de onda de De Broglie de un electrón y de un protón. Razona cuál es menor si tienen la misma energía cinética.(5p). (Sol:

l

p =0.023

l

e ) Dato: m(p)=1831m(e) 19.- Una partícula de 2

m

g se mueve con una velocidad de 5 cm/s. Calcula la indeterminación mínima de su posición teniendo en cuenta que la indeterminación de su velocidad es de un 0.002%. (Sol: 5,28 10 -20 m). Dato: h

La ecuación de Shrödinger (1925)

Estudió el trabajo de L. de Broglie y propuso una ecuación de onda que permitía describir el comportamiento de la onda asociada al electrón.

Interpretación correcta de la función de onda:

“El cuadrado de la función de onda ( punto”.

y 2 ) en un punto dado del espacio nos determina la probabilidad de encontrar al electrón en dicho

CONSECUENCIAS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

• No se pueden

DEFINIR TRAYECTORIAS PRECISAS

ÓRBITAS de un electrón.

U • Hablaremos de regiones alrededor del núcleo donde exista UN

A ALTA PROBABILIDAD

(superior al 90%) de hallar al electrón.

• A dichas regiones se las denomina

ORBITALES.

• El concepto de ÓRBITA es sustituido por el de ORBITAL, como representación gráfica de dicha región espacial.