Transcript Chapitre 4

Chapitre 4
Les séries chronologiques
Chapitre 4 : Les séries
chronologiques
Cela concerne l’étude de l’évolution d’une
variable statistique (Y)
3 buts :
A) Décrire l’évolution
B) Permettre l’explication des fluctuations
C) Faciliter la prévision (le passé peut
expliquer le futur)
Chapitre 4
1. Présentation des Séries chronologiques
1.1 Les principes de base
Définition 1: une SC (ou ST) est une suite
d’observation chiffrée ordonnées dans le
temps.
Ex : la VA des entreprises, etc.
Remarque : la prise en compte du temps n’est pas
forcément évidente (intervalles, durée, etc.)
Définition 2 : y=f(t)
Chapitre 4
1.2 La décomposition du mouvement brut et
les modèles théoriques
Quelques questions :
1) Y croit ou décroit ?
2) Les variations de Y sont-elles courtes et
régulières ?
3) Y a-t-il des fluctuations exceptionnelles ?
Il faut donc déterminer les éléments qui constituent
l’évolution de Y : ce sont les composantes de
l’évolution globale.
Chapitre 4
1.3 Les composantes d’une série
(graphique suivant)
- Le trend ou la tendance : il lisse la série
(Le cycle : fluctuation autour du trend)
- Variations saisonnières
- Variations accidentelles
1
Date
82
19
1 1
Q 198
1 0
Q 198
1 9
Q 197
1 8
Q 197
1 7
Q 197
1 6
Q 197
1 5
Q 197
1 4
Q 197
1 3
Q 197
1 2
Q 197
1 1
Q 197
1 0
Q 197
1 9
Q 196
1 8
Q 196
1 7
Q 196
1 6
Q 196
1 5
Q 196
1 4
Q 196
1 3
Q 196
Q
40
IPI
Une série avec tendance et
saisonnalité (IPI)
160
140
120
100
80
60
La saisonnalité
160
140
120
100
Trimestre
4
80
3
IPI
2
60
1
1960
Année
1965
1970
1975
1980
1985
La tendance
160
140
120
100
80
82
19
1 1
Q 198
1 0
Q 198
1 9
Q 197
1 8
Q 197
1 7
Q 197
1 6
Q 197
1 5
Q 197
1 4
Q 197
1 3
Q 197
1 2
Q 197
1 1
Q 197
1 0
Q 197
1 9
Q 196
1 8
Q 196
1 7
Q 196
1 6
Q 196
1 5
Q 196
1 4
Q 196
1 3
Q 196
1
Q
Date
MA(IPI,4,4)
40
IPI
60
Chapitre 4
1.4 Formalisation des composantes
1.4.1 Le trend et le cycle f t
- Moyennes mobiles
- Ajustement linéaire par les MCO : Y=aT+b
1.4.2 Variations saisonnièresS
t
Mvts réguliers se répétant au cours d’une année. Si p est
la période St=St+p=St+2p=…
1.4.3 Variations accidentelles
t
Evénements de courtes périodes, irréguliers et
imprévisibles

Chapitre 4
Hypothèse :
n

t 1
t
 0
2 types d’aléas :
- Grands nombres de petites causes (hypothèse
vérifiée)
- Petits nombres de grandes causes (hypothèse
non vérifiée)
Chapitre 4
1.5 décomposition du modèle
2 types de modèles : modèle additif vs modèle
multiplicatif
- Modèle additif (cf. Graph) : Les composantes
sont indépendantes les unes des autres
Yt  f t  St   t
- modèle multiplicatif (cf. Graph) : Les
composantes dépendent les unes des autres
Yt  ft  St   t
Yt  ft  St   t
Chapitre 4
1.6 Comment déterminer la nature du
modèle ?
Si pour une observation donnée, la variation
saisonnière S s’ajoute simplement aux
autres composantes c’est le modèle additif
Si pour une observation donnée, la variation
saisonnière S est proportionnelle aux
autres composantes, c’est le modèle
multiplicatif.
Chapitre 4
1.6.1 La méthode de la bande (méthode
graphique)
On fait un graphique représentant la série
chronologique, puis on trace une droite passant
respectivement par les minima et par les
maxima de chaque saison. Si ces deux droites
sont parallèles, nous sommes en présence d’un
modèle additif. Sinon, c’est un modèle
multiplicatif.
Chapitre 4
Chapitre 4
1.6.2 Méthode analytique (test de Buys-Ballot)
On calcule les moyennes et écarts-types pour
chacune des périodes considérées et on calcule
la droite des moindres carrés
  ax  b
Si a est nul, c’est un modèle additif, si a≠0, le
modèle est multiplicatif
Chapitre 4
Exemple avec les données mensuelles précédentes.
1996
1997
1998
1999
2000
2006
1847
2247
2007
2433
2377
3127
2699
3016
2637
3224 3789
2314 1673
3862 3586
2450 1966
3723 4325
2831 2388
4437 5478
3071 2510
4671 5218
3085 2737
4153 3100 2527 3015 1504
1602
4047 2838 2727 2730 1648
1695
4493 3399 3083 3247 1928
2126
4384 3552 3678 3611 2260
2182
4746 4814 3545 3341 2439
2055
Chapitre 4
1) On calcule pour chaque année la
moyenne et l’écart-type de la série
Moyenne Écart-type
1996
1997
1998
1999
2562.8
2650.3
3029.4
3415.8
850.7
782.3
803.6
946.6
2000
3525.3
1023.4
Chapitre 4
2) On calcule les coefficients de a et b par les mco
Cov( , x )
aˆ 
 0,195
V x 
moyenne (X) écart-type (Y) X-xbar (1)
Y-ybar (2)
(1) * (2)
(1) * (1)
2562,8
850,7
-473,92
-30,62 14511,4304 224600,166
2650,3
782,3
-386,42
-99,02 38263,3084 149320,416
3029,4
803,6
-7,32
-77,72
568,9104
53,5824
3415,8
946,6
379,08
65,28 24746,3424 143701,646
3525,3
1023,4
488,58
142,08 69417,4464 238710,416
3036,72
881,32
147507,438 756386,228
0,19501603
Chapitre 4
2. Méthodes empiriques de décompositions d’une série chronologique
Pour décomposer la série Y, il faut des périodes inférieures à l’année (mois ou trimestres). La
démarche est la suivante :
On estime le trend,
2.1 Le trend par moyennes mobiles
2.1.1 Lissage par moyennes échelonnées
Lissage : méthode qui « adoucit » la série.
Moyennes échelonnées : moyenne arithmétique de 3 valeurs en général (Pratique mais
trop simplificateur)
2.1.2 Moyennes mobiles
Méthode empirique la plus utilisée
Le principe : On remplace un certain nombre de données consécutives par leur moyenne
en décalant de périodes en périodes.
Chapitre 4
Exemple : Indice (base 100 en 2002) de l’évolution de la note moyenne
en séries chronologiques
t
somme
échelonnée
d'ordre 3
y
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
118
113
105
103
100
99
98
96
95
65
Moyenne
échelonnée
d'ordre 3
336
112
302
100,7
289
96,3
Somme
mobile
d'ordre 3
Moyenne
mobile
d'ordre 3
336
321
308
302
297
293
289
256
112
107,0
102,7
100,7
99
97,7
96,3
85,3
Chapitre 4
2.1.3 Définitions formalisées
M
p
1

p
p 1
y
i 0
t i
1
MM d’ordre 3 avec t=4 : M 3   y4  y5  y6 
3
1
MM d’ordre 4 avec t=4 : M 4  4  y4  y5  y6  y7 
Remarque : on peut faire autrement : On pondère
par 1, 2 , 2, 2, 1.
M4 
1
y4  2 y5  2 y6  2 y7  y8   1 0.5 y4  y5  y6  y7  0.5 y8 
8
4
Chapitre 4
2.2 Le trend par les MCO
Une autre façon de procéder pour
désaisonnaliser (calculer le trend d’) une
série chronologique consiste à calculer la
droite de régression par les MCO.
Y=aT+b+ε
Chapitre 4
2.3 Les Données CVS
Une fois que le trend est calculé, il faut désaisonnaliser la
séries, i.e corriger des variations saisonnières (CVS)
On note St la saisonnalité de la série obtenue de la façon
suivante :
Pour le modèle additif : St=yt-ft
Pour le modèle multiplicatif : St=yt/ft
Chapitre 4
Les coefficients saisonniers Sj ne sont en fait que les
moyennes des différences saisonnières (St) pour
chacun des trimestres.
Par exemple pour le premier trimestre, nous obtenons :
(0.75+5.38+1.5)/3 =2.54
Nous calculons de cette manière les trois autres et
obtenons les coefficients coefficients saisonniers
suivants :60.21 ; -54.96 et -7.71
Nous supposons que la composante saisonnière est
strictement périodique. L’effet net de la composante
saisonnière sur une période doit être nul car il est
repris dans la tendance générale de la série
chronologique. Ceci nous amène donc à rectifier les
coefficients saisonniers non corrigés en leur
retranchant la moyenne des coefficients saisonniers
pour toutes les périodes (on note ce coefficient
rectificateur ρ).
Chapitre 4
Récapitulatif :
•
Pour chaque ligne, on obtient un St
•
On estime les coefficients saisonniers Sj par la moyenne des St
sur chaque période
•
On corrige les Sj en S’j si la moyenne des Sj est différente de 0
(additif) ou 1 (multiplicatif)
S’j=Sj-ρ (additif)
S’j=Sj/ρ (multiplicatif)
4) On calcule la série ajustée (CVS) :
Y*t=Yt-S’j (additif)
Y*t=Yt/S’j (multiplicatif)
5) On calcule les Variations accidentelles
ε=Y*t-ft (additif)
ε=Y*t/ft (multiplicatif)
Chapitre 4
On peut désaisonnaliser la série
avec les coefficients
saisonniers :
La première ligne est égale à
120-2.52=117.48 ; la
deuxième 18160.19=120.81;etc.
Le graphique suivant reprend la
série chronologique de départ
ainsi que la série
chronologique
désaisonnalisée.
Chapitre 4 : Exercice 1
Cette série suit-elle un modèle additif ou
multiplicatif ?
2002
2003
2004
2005
2006
t1
30
29
31
33
34
t2
38
49
59
70
81
t3
32
35
43
47
52
t4
44
54
65
76
86
Chapitre 4 : Exercice 2
Chapitre 4 : Exercice 3
La série suivante suit un modèle additif
2004
2005
2006
1.
2.
3.
4.
t1
1
1
5
t2
2
3
6
t3
7
11
10
t4
9
12
12
Calculer le trend par les MCO
Calculer les coefficients saisonniers
Etablir la série CVS
Déterminer les variations accidentelles