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Discusión sobre la física y los
modelos de los cuasicristales
Dra. María Elena López Herrera
[email protected]
Proyecto: Cuasicristales
Maestría en Física PUCP
Doctorado en Física PUCP
: Eduardo Cerna y Rolado Alva.
: Eduardo Cerna
Objetivos del proyecto
El objetivo principal es determinar la estructura de
ciertos materiales que presentan un ordenamiento
aperiódico predecible y que pueda ser explicada a partir
de principios y leyes fundamentales de la Física.
Los materiales que presentan un ordenamiento aperiódico
predecible reciben el nombre de cuasicristales y son estudiados
en profundidad hoy en la Física del Estado Sólido.
Importancia del proyecto
Se realizan numerosas investigaciones y diversas aplicaciones
experimentales y tecnológicas.
Steinhardt, P. J. et al. Experimental verifi cation of the
quasi-unit-cell model of quasicrystal structure. Nature 396,
55–57 (1998); correction Nature 399,
84 (1999).
Objetivos
• Como caso particular se busca determinar la estructura
de una familia de cuasicristales que presentan simetría
icosaédrica:
Al-Mn
Al-Mn-Si
Al-Li-Cu *
Al-Pd-Mn *
Al-Cu-Fe
Al-Mg-Zn
Zn-Mg-RE * (RE=La,Ce,Nd,Sm,Gd,Dy,Ho,Y)
Ti-TM (TM=Fe, Mn, Co, Ni)
Nb-Fe
V-Ni-Si
Pd-U-Si
Cd-Yb *
* presentan rompimiento de simetría
http://www.jcrystal.com/steffenweber/qc.html
¿ Qué son los cuasicristales?
¿Cómo se forman?
¿Cuál es su estructura?
¿Cómo son sus patrones de difracción?
¿Cuáles son sus propiedades?
¿Porqué se les diferencia de los demás
materiales?
¿ Cómo se forman los materiales?
Cualquier material está formado por átomos, iones o moléculas,
organizados o enlazados entre si para formar redes
tridimensionales.
Los mecanismos o fuerzas que enlazan a los átomos o moléculas
individuales o a múltiples átomos parar formar un material son los
enlaces químicos primarios: en metales, sólidos iónicos o covalentes o
enlaces secundarios como las fuerzas de van der Waals o enlaces mas
complejos como el enlace hidrógeno o enlaces mixtos .
Imagen STM de una demostración superficial del platino, muestra la
alineación regular de átomos.
Courtesy: IBM Research, Almaden Research Center.
¿ Cómo se forma la estructura de los materiales?
Depende de las condiciones externas, forman redes.
(Influye la composición, tiempo, la termodinámica, etc.)
Hasta 1990 el Estado Sólido consideraba que las redes atómicas,
moleculares o iónicas podían ser: ordenadas (redes cristalinas) y
desordenadas (redes de vidrios, de polímeros, amorfos etc.)
Cuarzo
Cristal
Obsidiana
Vidrio
Pirita Cristal dodecaedro
pentagonal
Cuasicristal
¡Fuera de esta clasificación!
Redes ordenadas cristalinas:
su estructura es periódica
y se puede construir mediante la repetición
de una celda unitaria
respetando ciertas propiedades de simetría
Repetición
de una celda unitaria hasta la
escala macroscópica
Propiedades de simetría en la estructura de los materiales
Las simetrías cristalinas juegan un rol importante en la
determinación de las propiedades de un material.
Estas simetrías son una consecuencia de la disposición de las
unidades fundamentales (átomos, moléculas, celdas unitarias,
conglomerado de átomos, etc.) al interior del material y de las
propiedades electromagnéticas, arreglo de espines y nucleares.
Cristal octaédrico
Pirita: Macla de cristales cúbicos en una matriz fósil
Propiedades de simetría y leyes físicas de
conservación
La simetría en física incluye todos los rasgos de un sistema
físico que exhibe propiedades de la simetría, es decir que bajo
ciertas transformaciones, aspectos de esos sistemas son
incambiables, de acuerdo a una observación particular (son
invariantes).
Simetría como invariancia es definida matemáticamente por
transformaciones que dejan magnitudes sin cambio.
Simetrías en la estructura de los materiales
Existen 3 tipos de isometrías:
De traslación
De rotación
Axial o de reflexión (espejo) y central
(imagen opuesta).
En la mayoría de materiales existen los tres tipos o a veces
alguna se pierde o se presenta combinada con las otras. Sirven
para identificarlos o caracterizarlos.
Simetrías en la estructura de los materiales
Simetría de traslación:
Tˆ  aiˆ  bˆj  ckˆ  Tˆ  rˆj
¡Simetría presente en cuasicristales!
Simetrías en la estructura de los materiales
Simetrías de rotación
Eje de orden 2:
Eje de orden 4:
Eje de orden 3:
Eje de orden 6:
180= 360/2
90= 360/4
120= 360/3
60= 360/6
Diamante (carbono puro)
Imagen propiedad de
Amethyst Galleries, Inc. USA
Granate - 6x5x4 cm.
Zillerthal (Suiza)
Eje de orden 5: 60= 360/5
¿Simetría prohibida ? en cuasicristales
Simetrías en la estructura de los materiales
Simetría axial o de reflexión (espejo) y
central (imagen opuesta).
La molécula de la efedrina, precursor
químico para la síntesis de la
anfetamina.
Se trata de un compuesto quiral, por lo
que puede presentar configuración de
isómero óptico levógiro (levo-efedrina) o
dextrógiro (dextro-efedrina).
http://www.bruker-axs.de/index.php?id=464
Estructuras moduladas:
Efedrina a baja temperatura
¿Simetría presente en cuasicristales?
Redes ordenadas o redes cristalinas:
La estructura es identificada por difracción de rayos X.
Los patrones presentan el mismo tipo de periodicidad y las
mismas propiedades de simetría.
http://catedras.quimica.unlp.edu.ar/qg/Solidos_c7.pdf
Redes desordenadas:
redes de vidrios, de polímeros, amorfos etc.
Presentan simetrías locales y/o globales:
Una simetría global es una simetría que conserva todos los
puntos en el tiempo- espacio bajo consideración, a diferencia
de la simetría local que solo conserva a un subconjunto de
puntos (átomos, iones, moléculas, celdas, etc.)
Estructurascuasicristalinas
¿Cómo se producen?
Como todos los materiales en forma natural y en forma
artificial.
Son formadas por átomos, moléculas o conglomerados
atómicos o moleculares…
¿Cómo se identifican?
Este tipo de ordenamiento estructural no se puede describir
con el formalismo habitual de una red de Bravais cristalina,
pero puede estudiarse matemáticamente y predecir su
estructura aperiódica recurriendo a las propiedades de
simetría conocidas y principios físicos fundamentales.
Cuasicristales artificiales
Los cuasicristales icosaédricos fueron sintetizados por primera
vez por el grupo de Dan Shechtman del National Bureau of
Standards en 1984.
El nuevo material consistía en una aleación de aluminio y
manganeso (AlxMn(1-x)) enfriado muy rápidamente que poseía
orden a largo alcance como los cristales ordinarios y sin embargo
contaba también con varios ejes de simetría de orden 5.
D. S. Schechtman, I. Blech, D. Gratias and J. W. Cahn. Phys. Rev. Lett. 53, (1984), 1981.
Cuasicristales icosaédricos
Presentan redes y patrones de
difracción aperiódicos y redes
predecibles
Electron diffraction patterns of quasicrystalline aluminum-manganese.
(Izquierda) D. Shechtman, Physical Review Letters, vol. 53, no. 20, Nov. 1984;
(Derecha) Encyclopædia Britannica, Inc.
Simetrías características de los cuasicristales icosaédricos
Cuasicristales
Se producen a partir de aleaciones
metálicas
Diferentes aleaciones de dos ó mas
metales producen cuasicristales
con una gran variedad de
estructuras y simetrías.
http://encyclopedia2.thefreedictionary.com/Quasicrystal
Forma poliédrica externa de un
cuasicristal Al-Cu-Fe que exhibe
simetrías icosaédricas.
Cuasicristales
Se producen por enfriamiento rápido o
controlado en condiciones apropiados
En 1982, Dan Shechtman encontró que haciendo enfriamiento
rápido en una aleación de Al con uno o más elementos de
transición tales como Mn, Fe, Cr se formaban cuasicristales,
compuestos que exhiben simetrías icosaédrica o decagonal (que
no están presentan los sólidos descritos anteriormente).
Aleaciones metálicas: cuasicristales
(a) Cuasicristal de Al-Li-Cu
(b) Cuasicristal de Al-Pd-Re
Cuasicristales fabricados en distintos laboratorios
¿Estructuras, redes cuasicristalinas?
Si bien no hay ninguna ley física que prohíba que objetos
aislados como moléculas o virases o la pirita peruana tengan la
simetría del pentágono, ésta se consideraba aparentemente
incompatible con la periodicidad de los cristales.
Cuasicristales
Presentan redes y patrones de difracción con
simetrías icosaédricas o decagonales
Después de los 90 tuvieron que ser incluidos en la
clasificación de sólidos
Cristal
Cualquier sólido que tiene
esencialmente un diagrama de
difracción discreto.
Cristal aperiódico
Cristal en el cual la periodicidad
tridimensional puede ser
considerada ausente.
Cuasicristales en la naturaleza
http://mural.uv.es/ferhue/4o/fes/Cuasicristales_FHG.pdf
Estructura del cuasicristal
a escala molecular
Patrón de difracción
Cuasicristales en la naturaleza
En 2009, un hallazgo de minerales [Natural Quasicrystals] en las
montañas de Koryak (Rusia) supuso el descubrimiento del otro
cuasicristal natural. Fue una muestra de que los cuasicristales pueden
formarse y mantenerse en el tiempo.
Modelos teóricos para comprender
el comportamiento de los cuasicristales
A pesar que sus propiedades están aún bajo estudio, los
cuasicristales han cobrado ya una gran importancia, pues su
estudio ha contribuido a ampliar nuestra comprensión de
las leyes que controlan el crecimiento y la estructura de la
materia en su estado sólido.
Modelos teóricos para comprender
el comportamiento de los cuasicristales
Los modelos teóricos propuestos están relacionados con el modo de
obtención a partir de aleaciones (relacionados con mezclas
metálicas) y por enfriamiento rápido (relacionados con obtención de
los vidrios u amorfos).
Hay modelos teóricos que son más o menos aceptados que explican
bastante bien las propiedades de los cuasicristales conocidos a la
fecha, relacionados con su proceso de formación.
MODELO DE PENROSE
Propone que los cuasicristales se componen de dos o
más celdas unitarias distintas que se acoplan en virtud de
una serie de reglas geométricas específicas. (Modelo
matemático en 2D y luego extendido a 3D)
Da cuenta de algunas propiedades básicas de estos
materiales. Falla al explicar las reglas de teselación durante
los procesos de crecimiento.
Forma de Cuasicristales en aleaciones del aluminio con los metales de
la transición tales como hierro o cobre.
http://euler.phys.cmu.edu/widom/research/qc/quasi.html
MODELO DE PENROSE
Roger Penrose descubrió tres sistemas de azulejos aperiódicos en 1973 y 1974.
Se ilustra su primer sistema.
http://www2.spsu.edu/math/tile/aperiodic/penrose/penrose1.htm
Existía ya desde 1974 un ejemplo en 2D de una estructura formada por rombos
de dos tamaños que poseía orden traslacional a largo alcance y ejes de
rotación de orden 5, conocida como el embaldosado (entejado, teselado) o
patrón de Penrose en honor del matemático británico que la descubrió.
MODELO DE PENROSE
Se ve fácilmente que el cociente
Los teselados o tejados de Penrose se del área de la cometa al dardo
conoce generalmente como la cometa (Kite) es el cociente de oro, que se
señala como  arriba de la figura
y el dardo (Dart).
y que juega un rol importante en
http://mathworld.wolfram.com/PenroseTiles.html
el teselado.
MODELO DE PENROSE
El tipo de orden traslacional presente en esta teselación
se conoce como orden cuasiperiódico, inicialmente
sugerido por Leonardo Fibonacci en la edad media para
describir la reproducción idealizada de una colonia de
conejos.
Dos cantidades a y b están en proporción
áurea si se cumple:
MODELO DE PENROSE
http://www.jcrystal.com/steffenweber/qc.html
Ejemplo en 1D de una red cuasiperiódica
secuencia de Fibonacci (vivió entre 1170 y 1240)
MODELO DE PENROSE
Relacionado con esta secuencia de Fibonaci se plantearon
modelos definidos en un hiperespacio 6D (por la presencia
de las 02 celdas diferentes) y considerando que las
estructuras cuasicristalinas correponden a proyecciones de
ese espacio 6D al espacio real 3D.
In the plane, the AlNiCo quasicrystal, which consists of overlapping decagons, is
aperiodic. But the stacked planes have periodic structure. Images by Steinhardt and
Jeong, Nature 382, 433-5. http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/quasicrystalstates.html
MODELO DE PENROSE
Los tejados de Penrose son capaces de reproducir
cualitativamente el tipo de orden encontrado en los
cuasicristales, el problema pareció reducirse a encontrar la
decoración atómica adecuada para las tejas (Similar al caso
de cristales)
Pero se encuentra que en este caso no es tan sencillo.
Se demuestra que existen serias objeciones al patrón de Penrose
cuando se le asocia un buen modelo atómico (tejas conteniendo
átomos).
Modelo de vidrio aplicado a cuasicristales
Se apoya en las interacciones locales de modo aleatorio
del agregado de átomos o moléculas.
Todos los agregados tienen la misma orientación aunque
debido a la aleatoriedad del crecimiento, la estructura
contiene muchos defectos.
La premisa de partida de este modelo es que las
estructuras
de
aleaciones
icosaédricas
son
intrínsicamente defectuosas.
Modelo de vidrio aplicado a cuasicristales
Aquí el papel del azar es doble. Por una parte elimina las
reglas de ajuste de Penrose, aportando una explicación más
plausible del punto de vista físico acerca del crecimiento
cristalino (modelo físico). Por otra parte el desorden introducido
por el crecimiento al azar daría lugar al ensanchamiento
observado en los picos de los diafragmas de difracción, aunque
sobrestime el efecto.
Configuraciones atómicas típicas de cuasicristales decagonales
son generadas por simulaciones de Monte Carlo. Las estructuras
que resultaron inspiraron el modelo de AlCoCu decagonal
mostrado
en
esta
figura.
http://euler.phys.cmu.edu/widom/research/qc/quasi.html
Modelo de la teselación aleatoria
Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que
cubre o pavimenta completamente una superficie plana que
cumple con dos requisitos los cuales son que no queden
huecos y no se sobrepongan o traslapen las figuras
Las teselaciones se crean usando
isométricas T sobre una figura inicial.
Una teselación vista en
el pavimento de una calle
transformaciones
Sequia La Libertad: 30/01/11
Superficie de cuasicristal vista
en un ME
Modelos para comprender
el comportamiento de los cuasicristales
Pero se busca un modelo físico para explicar el fenómeno
de los cuasicristales a partir de leyes fundamentales, siendo
el único capaz de describir las posiciones atómicas de
todas los sistemas cuasicristalinos conocidos y de predecir
la existencia de otras estructuras aún no descubiertas.
Modelo decaedral recursivo (DR)
Este modelo concentra su atención en las fuerzas
que existen entre los átomos de cualquier material
y describe como estas generan las diversas formas
de agregación de la materia, ya sean cristales,
cuasicristales o amorfos.
Modelo decaedral recursivo (DR)
http://www.esrf.eu/exp_facilities/BM2/BM2.html
Empaquetamiento de unidades triacontahedral en arreglos 1/1 (a) y 2/1 (b)
aproximadamente cúbicos con parámetros de red b = 1.57 nanómetro y nanómetro
y b = 2.53 nanómetro respectivamente. (c) las diversas capas y su decoración
atómica (los átomos de Yb están en amarillo, Cd en gris).
Modelo decaedral recursivo (DR)
La estructura del cuasicristal icosaédrico
CdYb (Cd Cadmio, Yb Yterbio) se ha
solucionado usando los datos de la difracción de
rayos X recolectados en el ¨the D2AM
beamline¨.
Ilustración de la determinación experimental de las características del cuasicristal CdYb.
El lado izquierdo muestra la distribución de los clusters respecto del centro (cluster o racimo
central: puntos negros) en un plano de simetría 5. El disco amarillo es un rastro de un cluster
de clusters que se muestran en el lado derecho. Ellos forman una unidad más grande según
lo destacado por el círculo azul, mostrado en ambos lados de la figura. El borde del panel
izquierdo es cercano a 34 nanómetros.
http://www.esrf.eu/exp_facilities/BM2/BM2.html
Modelo planteado en este proyecto
Estructura de la familia de los
cuasicristales icosédricos AlMnPd
Para generar nuestro modelo se han partido de las
ideas
básicas
encontradas
en
los
demás
planteamientos.
Se acepta que hay dos celdas unitarias (celdas aguda y obtusa)
Modelo planteado en este proyecto
Rectángulo áureo 1
Rectángulo áureo 2
Rectángulo áureo 3
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
1
0
1.618
0
1.618
1
1.618
1
0
-1
0
1.618
0
1.618
-1
-1.618
1
0
-1
0
-1.618
0
-1.618
-1
-1.618
-1
0
1
0
-1.618
0
-1.618
1
1.618
-1
0
Resultan de definir un icosaedro
formado por los vértices que forman
tres rectángulos áureos mutuamente
ortogonales, siendo el centro de
intersección el centro del icosaedro y
los vértices de los rectángulos
también los vértices del icosaedro.
Modelo planteado en este proyecto
Con los clústeres básicos romboedro obtuso, romboedro
agudo se formaron los clústeres dodecaedro estrella,
icosaedro rómbico, triacontaedro rómbico.
Modelo planteado en este proyecto
Simulación computacional en
FORTRAN 95 y MATLAB 7.0.1
Triacontaedro rómbico rojo y
capa de 20 triacontaedros
Triacontaedro rómbico celeste y rojo
que comparten una celda obtusa y,
la segunda capa de 20
triacontaedros
Modelo planteado en este proyecto
Red de 132 icosaedros rómbicos, 40 triacontaedros
rómbicos y 63 dodecaedros estrella
Permite observar el rompimiento de la simetría en
el interior de los clusteres de la zona central
Modelo planteado en este proyecto
Rompimiento de la simetría: Los puntos interiores del icosaedro y
triacontaedros rómbicos no presentan simetría de orden 5
Rompimiento de simetría observado en un cuasicristal
decagonal comparado con el rompimiento de simetría
en el icosaedro rómbico cuyos puntos interiores
forman un tetraedro irregular.
Modelo buscado en este proyecto
Clústeres con su decoración atómica
La tarea continúa………