Transcript Chuyên đề hình học huyện Ninh Giang 2013

RÌn kÜ n¨ng gi¶i to¸n
liªn quan ®Õn diÖn tÝch h×nh tam gi¸c
cho häc sinh líp 5.
Ninh Giang, th¸ng 8 n¨m 2013
Để hướng dẫn học sinh giải thành thạo các bài toán liên quan đến diện
tích hình tam giác, phát triển tư duy hình học cho các em đòi hỏi người giáo
viên phải có những kiến thức cơ bản về phương pháp để trang bị cho học
sinh kiến thức chắc chắn (từ cơ bản đến nâng cao); đồng thời, góp phần
I- LÝ
LỰA
CHUYÊN
ĐỀ:kế hoạch của Sở Giáo dục và
làmDO
tốt công
tácCHỌN
Bồi dưỡng
giáo viên theo
Việc
Đào tạo
học Hải
toánDương
bậc Tiểu học sẽ rèn luyện cho học sinh phương pháp suy
Toán
tính diện
tam
giác được
chương
trình
5 nhằm
giúp
nghĩ,
phương
pháptích
suyhình
luận,
phương
phápđưa
giải vào
quyết
vấn đề;
bồi lớp
dưỡng
cho các
các
tínhxác,
diệnđức
tíchtính
mộttrung
hình thực
tam giác
lớp 5 làm
các
emem
tínhbiết
chính
cẩn bất
thậnkì.vàMuốn
hănghọc
saysinh
lao động;
góp tốt
phần
bài
toán
về trí
diện
tích
giáccách
thì giáo
viên phải
rèn linh
kĩ vềhoạt,
các kĩ
năng
toán,
phát
triển
tuệ,
trí hình
thôngtam
minh,
suy nghĩ
độc lập,
sáng
tạotính
ở học
đo
đạc,hình
ướcthành
lượng,
vẽcác
hìnhem
vàcách
sử dụng
thạovật
quy
tắctượng
tính diện
tích
hình
tam
sinh;
cho
nhìnthành
nhận sự
hiện
trong
thực
tiễn;
giác,
cácgiúp
nhận
được
vàdiện
rút ra
từ quy
tắc
tính
hình mới
tam xã
giác.
việc cắt
từ đó,
cácxét
em
phátsuy
triểnluận
toàn
nhân
cách
con
người
hộiTừ
chủ
ghép
hình để xây dựng công thức tính diện tích hình tam giác sẽ giúp cho học sinh
nghĩa.
RÌn
kÜ
n¨ng
gi¶idễto¸n
phát triển
trí thông
minh,
lực
sáng
đó, kĩcác
năng
cắttính
ghép
Học
sinh tiểu
họcnăng
có thể
tiếp
thutạo.
mộtBên
cáchcạnh
dàng
phép
sốhình,
học, so
sánh
các dãy
hìnhtính,
ở học
sinh
đượccóphát
triển.
thựcdiện
hiệntích
tốt các
giải
cáccũng
bài toán
lời văn
với các con số nhưng khi
"Hình
tam
giác
- Diện
tích hình
giác"
đượch×nh
đưagiác),
vàotam
chương
trình
liªn
quan
®Õn
diÖn
tÝch
gặp một
bài
toán
hình
học
(trong
đó tam
có yếu
tố hình
tam
đa số gi¸c
các
emToán
đều lớp
5nản
cấp chí
Tiểunhất
họclàởcác
3 tiết
bàichính:
toán đòi hỏi suy luận hình học. Điều đó ảnh hưởng rất
Tiết
lớn88:
đếnHình
việctam
họcgiác
phân môncho
hình học
trong
môn Toán
ở
các cấp học trên.
häc
sinh
líp
5.
Tiết 89: Diện tích hình tam giác
Tiết 90: Luyện tập
Nhưng lại được vận dụng "tính diện tích hình tam giác" vào rất nhiều trong những
tiết Luyện tập chung và xuyên suốt cho đến những bài cuối cùng của chương trình
Toán 5. Mặt khác, trong các đề thi học sinh giỏi cấp Tiểu học, các bài toán liên quan
đến diện tích hình tam giác thường xuyên được đề cấp đến và là "điểm chốt" của
phần phát hiện nhân tài.
PhÇn thø nhÊt: §Æt vÊn ®Ò
PhÇn thø nhÊt: §Æt vÊn ®Ò
I- LÝ DO LỰA CHỌN CHUYÊN ĐỀ:
II- PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG:
III- MỤC
TIÊUđề
NGHIÊN
CỨU
- Chuyên
chỉ đề cập
đến nội dung, phương pháp và
rèn phát triển tư duy cho học sinh khi giải toán liên quan đến
Hệ
thống
bài
tập, đưa CỨU
ra nội dung, phương pháp
diện
tích
hình hóa
tam
giác.
IV-- PHƯƠNG
PHÁP
NGHIÊN
nhằm- nâng
cao năng
lựcviên
chuyên
môn cho
cán
bộvà
giáo
Đối tượng
là giáo
các trường
tiểu
học
họcviên
sinh
-năng,
Phương
pháp
nghiên
cứu
tài
liệu
và
rèn
kĩ
phát
triển
tư
duy
học
sinh
khi giải toán kiên
lớp 5
điềugiác.
tra thực trạng
quan đến- Phương
diện tích pháp
hình tam
Phương
chứng,
so sánh
- Giải -quyết
vấn pháp
đề vềđối
phương
pháp
dạy học tích cực sáng
Phương
phápđối
phân
tíchhọc
tổngsinh.
hợpTừ đó, hình thành
tạo, dạy -học
phân hóa
tượng
pháp
thói quen- Phương
tư duy cho
họckiểm
sinh.tra đánh giá
PhÇn thø hai: néi dung
I- THỰC TRẠNG VỀ VIỆC DẠY GIẢI TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC
1.Về phía giáo viên:
Trongphía
thời gian
giảng
dạy, giáo viên chỉ đề cập nội dung
2.Về
sinh:
Khi
dạy
vềhọc
hình
tamcủa
giác
việc
xây
dựngđược
công tốt
thức
còn
Đặc
biệt,
ghi
nhớ
học
sinh
không
nên
giáo
trong sách, về phương pháp chủ yếu là giải bài tập rồi làm rõ
mang
tính
ápnhiều
đặt,học
phải
công
nhận
trong
khi
họcgiải
sinh
viên
gặp
khósinh
khăn
lúng
túng,
chưa
đưa
được
hệ
Do
nhận
thức
các
em
ở
mức
độ
cảm
tính
dẫn
đến
việc
Khiquả.
áp dụng
để làm
một
sốgiải
bàicác
tập bài
ứngtoán
dụng
trong
thực
kết
Phương
pháp
dạy
nâng
cao
đôitế,
khi
chưa
hiểu
vì
sao
lại
làm
thế;
hoặc
có
hướng
dẫn
thì
chỉ
dựa
thống
bài
tập
phát
triển
tưchưa
duy,
chưa
rèn
chođặc
họcnên
sinh
toán
còn
móc
đơn
giản,
tư
duy
chưa
phát
việc
Học
sinhmáy
giải
tư
duy
có
hệ thống,
là
xác
học viên
khá bài
giỏi
lại
gặp
những
khó
khăn,
lúngtriển
túng
đặclựa
biệt
giáo
chưa
đi tập
sâu
nghiên
cứu
để
phân
dạng
bài,biệt
để
vào
gợi
ý của
sách
bài
soạn,
sách
thiết
kếTrong
bài giảng
cònthi
việc
phương
pháp
tư
duy
cho
học
sinh..
hiểu
và
làm
thành
thạo
những
bài
toán
về
diện
tích
hình
tam
định
đường
cao,
diện
tích
hình
tam
giác.
các
đề
là
trong
trường
hợp
tính
diện
tích
hình
tam
giác
khi
ta
chưa
chọn những phương pháp giải hay nhất phù hợp với đặc điểm
mở
rộng
kiến
thức
phátđều
triển
tư
duy
chohình
học
sinh
còn
ít được
giác
còn
hạn
chế,
điều
đó
dẫn
đến
nhiều
học
sinh
không
lícó
học
sinh
giỏi,
hầu
hết
đề
cập
đến
tam
giác
và
diện
biết
cụ
thể
độ
dài
đáy
và
chiều
cao
tương
ứng.
Thời
gian
dạy
tâm lí và khả năng tiếp thu của học sinh. Một số giáo viên
chú
ýhình
đến
nên
học
sinh
chưa
hiểu
được
bản
chất
của
công
giải
nổi
dựa
vào
đâu
mà
khi
tính
diện
tích
hình
tam
giác
lại
tích
tam
giác.
Song
số
lượng
học
sinh
làm
được
không
ít, kiến
thức mởmôn
rộng,
nâng
caoápvềdụng
mảng
kiến
quan
trình
độ chuyên
cao
thì lại
các
tínhthức
chấtliên
của
các
thức
và
chưa
nắm
được
mối
quan
hệ
giữa
các
yếu
tố
trong
lấy
độ
dài
đáy
nhân
với
chiều
(cùng
mộtkhoa
đơn
vị đo)
nhiều,
có cạnh
em
được
học
bài
đề cao
thi
rồi
nhưng
lại
quên,
đến
tích
hình
tam
giác
với
HS
còn
hạn
chế
nên
học
sinh
yếu
tốdiện
trong
hình
tam
giác
ởnhư
nội
dung
Sách
giáo
lớp
7
hình
tam
giác,
các
nhận
xét
được
rút
ra
từ
quy
tắc
tính
diện
rồi
chia
cho
2,
haygiải.
khi gặp
cácthành
bài
toán
kháđường
đơn
giản
dựa
không
nhớ
cách
không
được
rèn
luyện
nhiều
kỹ
năng
kỹ xảo,
chưa
có
(như
đường
trung
bình,
đường
trung
trực,
trung
tuyến,
tích
hình
tam
giác.
vào
công
thức
xuôi,
ngược
hoặc
các
bài toán
có
phương
pháp
tư duy
lô tính
gic
để
giải quyết
bài đó
tậpliên
trọng tâm, trực tính
tâm,
Định
lí Pi-ta-go,....)
vàcác
áp dạng
đặt
điều
làcó
quan
đến mối
quan
tỉ hình
lệgiỏi
của
đáy,
chiều
cao diện
và diện
liên nhiên
quan
đến
diện
tích
tam
giác.
hiển
có để
họchệ
sinh
so
sánh
và tính
tíchtích
hình
hình
tam giác thì các em lười suy nghĩ, không tìm được cách
tam giác.
giải hợp lí và thường bỏ qua.
PhÇn thø hai: néi dung
I- THỰC TRẠNG VỀ VIỆC DẠY GIẢI TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC
II- NỘI DUNG LÝ LUẬN LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN
HÌNH TAM GIÁC VÀ DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC:
1. Nhận diện các yếu tố của hình tam giác
và vẽ hình.
Mục tiêu: Giúp học sinh nắm chắc về khái niệm hình tam
giác, các yếu tố của hình tam giác (cạnh, góc, đỉnh, đáy,
đường cao, chiều cao), nhận diện được hình tam giác
dựa vào góc, chỉ ra và vẽ được đường cao của hình tam
giác bất kì khi biết cạnh đáy.
Đối với học sinh giỏi, cần giới thiệu cho các em biết
cách nhận diện hình tam giác dựa theo cạnh: hình tam
giác đều (hình tam giác có 3 cạnh dài bằng nhau), hình
tam giác cân (hình tam giác có hai cạnh dài bằng nhau)
Hình tam giác
A
*Hình tam giác có 3 cạnh, 3 đỉnh, 3 góc.
B
Hình tam giác
có 3 góc nhọn
C
Hình tam giác
có 1 góc tù
và 2 góc nhọn
Hình tam giác
có 1 góc vuông
và 2 góc nhọn
* Hình tam giác có đáy và đường cao.
Dùng công cụ ê-ke để vẽ và xác định đường cao.
A
A
B
H
C
H
A
B
AH là đường cao ứng với đáy BC
C
B
C
AB là đường cao
ứng với đáy BC
2. Diện tích hình tam giác
* Quy tắc, công thức tính diện tích hình tam giác.
Sách giáo khoa Toán 5 trang 87 đã trình bày rõ phần lí thuyết cơ bản,
cách hình thành quy tắc và công thức tính diện tích hình tam giác:
Cụ thể: Cho hai hình tam giác bằng nhau. Lấy một hình tam giác đó, cắt
theo đường cao để thành hai mảnh tam giác 1 và 2. Ghép hai mảnh 1 và 2
vào tam giác còn lại để được hình chữ nhật (như hình vẽ):
E
A
1
1
B
2
2
D
H
C
Dựa vào hình vẽ ta có: Hình chữ nhật ABCD có chiều dài bằng độ dài đáy DC
của hình tam giác EDC, có chiều rộng bằng chiều cao EH của hình tam giác EDC.
Diện tích hình chữ nhật ABCD gấp 2 lần diện tích hình tam giác EDC.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là DC x AD = DC x EH.
Vậy diện tích hình tam giác EDC là
DC x EH
2
Quy tắc:
Muốn tính diện tích hình tam giác ta lấy độ
dài cạnh đáy nhân với chiều cao (cùng một
đơn vị đo) rồi chia cho 2.
Công thức:
ah
S=
2
h
(S là diện tích, a là độ dài cạnh đáy,
a
h là chiều cao, a và h cùng đơn vị đo)
* Tính độ dài cạnh đáy và chiều cao của hình tam giác.
- Tính độ dài cạnh đáy hình tam giác:
Quy tắc: Muốn tính độ dài cạnh đáy của hình tam giác ta lấy hai
lần diện tích chia cho chiều cao tương ứng
Công thức:
a =
S 2
h
(S là diện tích hình tam giác, a là độ dài cạnh đáy, h là chiều cao tương ứng)
- Tính chiều cao hình tam giác:
Quy tắc: Muốn tính chiều cao của hình tam giác ta lấy hai lần
diện tích chia cho độ dài cạnh đáy tương ứng)
Công thức:
h =
S 2
a
(S là diện tích hình tam giác, a là độ dài cạnh đáy, h là chiều cao tương ứng)
3. Các nhận xét được rút ra từ quy tắc tính
diện tích tam giác:
(Thực chất là mối quan hệ tỉ lệ giữa diện tích, đáy,
chiều cao của hình tam giác)
Ví dụ 1
S ABD =
A
AH x BD
2
; S ADC = AH 2x DC
Mà BD = DC nên S ABD = S ADC
B
H
C
D
(BD = DC)
*Vậy hai hình tam giác có chung chiều cao, độ dài cạnh
đáy tương ứng với chiều cao bằng nhau thì diện tích
bằng nhau.
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD. Nối A với C, B với D.
So sánh SADC và SBDC
A
B
SADC=
D
H
K
AH x DC
2
; SBDC= BK 2x DC
C
Mà AH = BK nên SADC = SBDC
* Vậy hai hình tam giác có chung cạnh đáy, chiều
cao tương ứng với cạnh đáy bằng nhau thì diện
tích bằng nhau.
Ví dụ 3: Hình chữ nhật ABCD, E là trung điểm của
DC. Nối A với E, B với E. So sánh SADE và SBCE
A
B
SADE =
AD x DE
2
; SBCE=
BC x CE
2
Mà AD = BC; DE = CE
D
E
C
nên SADE = SBCE
* Vậy hai hình tam giác có độ dài cạnh đáy bằng nhau,
chiều cao tương ứng với cạnh đáy bằng nhau thì diện
tích bằng nhau.
Qua 3 trường hợp vừa nêu, ta có:
Nhận xét 1: Hai (hay nhiều) hình tam giác
có chiều cao bằng nhau (hoặc có chung
chiều cao), độ dài cạnh đáy tương ứng với
đường cao bằng nhau (hoặc có chung đáy)
thì diện tích hai (hay nhiều) hình tam giác
đó bằng nhau.
Ví dụ 4: Hình chữ nhật ABCD. E là trung điểm của DC, H
là trung điểm của BC. So sánh SHDC và SADE
A
D
E
B
SHDC =
H
SADE =
C
HC x CD
2
AD x DE
2
=
2 x HC x DE
2
=
HC x CD
2
Vậy SHDC = SADE
Nhận xét 2: Khi diện tích hai hình tam giác
không đổi, độ dài cạnh đáy tăng (hoặc giảm)
bao nhiêu lần thì chiều cao tương ứng giảm
(hoặc tăng) bấy nhiêu lần.
1
Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD vuông ở C và D, có AD = BC.
2
Nối A với C, B với D. Hãy so sánh diện tích tam giác ADC
và BDC
B
SADC =
AD xDC
2
; SBDC =
BC xDC
2
A
D
C
1
1
Mà AD =
BC nên SADC =
S
2 BDC
2
Nhận xét 3: Khi độ dài cạnh đáy của hai
hình tam giác bằng nhau thì tỉ số diện tích
hai hình tam giác bằng tỉ số hai chiều cao
tương ứng với đáy.
1
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC, EC =
BE.
2
So sánh SACE và SABE
A
SABE = AH x BE ; SACE =
2
B
H
E
C
AH x CE
2
1
1
Mà EC = BE nên SACE =
SABE .
2
2
Nhận xét 4: Khi chiều cao của hai hình tam
giác bằng nhau thì tỉ số diện tích hai hình
tam giác bằng tỉ số độ dài hai cạnh đáy
tương ứng .
* Các nhận xét được rút ra từ mối quan hệ tỉ lệ giữa
diện tích, đáy, chiều cao của hình tam giác:
1) Khi h1 = h2 , a1 = a2 thì S1 = S2
a1 h2

2) Khi S1 = S2 thì
a2 h1
3) Khi
a1 = a 2
S1 h1

thì
S 2 h2
4) Khi h1 = h2 thì
S1 a1

S 2 a2
* Các quy tắc, công thức và những nhận xét trên là
công cụ quan trọng để giải các bài toán về diện tích hình
tam giác. Nhưng khi vào các bài toán cụ thể, phải biết
vận dụng linh hoạt các công thức tính, các nhận xét đó
và phải biết vẽ hình phụ trợ để giải được các bài toán từ
đơn giản đến phức tạp.
* Để học sinh nắm chắc quy tắc, công thức tính diện
tích hình tam giác, cách tính các yếu tố (đáy, chiều cao) và
các nhận xét được rút ra từ diện tích tam giác vô cùng đa
dạng và phong phú, đòi hỏi học sinh phải sử dụng thành
thạo và linh hoạt các kiến thức, các yếu tố có liên quan
đến tam giác, diện tích tam giác để giải các bài toán liên
quan đến diện tích hình tam giác. Giáo viên cần hệ thống
hóa bài tập, rèn kĩ năng giải toán và phát triển tư duy cho
học sinh.
Một số vướng mắc thường gặp:
1.
Khi
dạy
về
tố
trong
tam
giác,
giáo
viên
truyền
đạt
5.
4.
3.Việc
Nếu
Thời
Trong
như
lượng
quá
ápcác
trình
dành
đặt
kiến
bồi
cho
dưỡng
thức
mảng
sách
học
kiến
giáo
sinh
thức
giỏi,
khoa
vềtam
hình
nếu
là
có
không
tam
sẵn
giác
và
sử
gần
và
2.
giải
các
bàiyếu
toán
tính
diện
tích
hình
giác
(bài
toán
khái
về
đỉnh,
cạnh
đáy
và
đường
cao,
cao
chủ
yếu
diện
như
dụng
hoàn
tích
và tam
không
toàn
giác
tuân
nhớ
làtắc)
thủ
các
rất thì
ítsách
tính
(chỉ
chất
hướng
có
3và
tiết),
dẫn
định
các
giáo
lí chiều
hình
bài
viên
tập
học
thì
luyện
đã
chưa
học
tập
diễn
tínhniệm
xuôi
theo
quy
học
sinh
áp
dụng
quy
tắc
và
thực
qua
giới
thiệu
cho
họcđạt
sinh
dựa
vào
hình
vẽ
mà
chưa
nêu
trong
giải
phổ
cho
thông
sách
họcgiáo
thì
sinh
việc
khoa
hiểu
truyền
đều
nguồn
chỉ
gốc
áp
kiến
dụng
kiến
thức
quy
thức
cho
tắc,
đó
học
là
công
sinh
thếđộ
thức
nào?
không
Và tại
hiệnviệc
được
như
mẫu.
Song
với
những
bài
toán
tính
dàitính
cạnh
được
bản
chất
của
nó.
Đặc
biệt
chưa
xácviệc
định
rõsinh
mối
quan
hệ tư
là
sao
chính
giải
lại
được.
xác.
như
Hơn
vậy?
Điều
nữa,
Chúng
đó
rất
nếu
ta
khó
áp
chưa
khăn
đặt
có
các
trong
phương
định
lí,học
kiến
pháp
bồi
dưỡng
thức
rèn
kĩ
ở tổng
Trung
năng
đáy
hoặc
chiều
cao
(bài
toán
tính
ngược),
thường
ràng
buộc
giữa
đáychưa
và
đỉnh
trong
tam
giác
nên
việc
xác
định
hợp
duy
học
kiến
cơ
sở
học
thức
đểsinh,
dạy
sao
học
cho
sinh
vừa
nắm
sức
tiểu
chắc
học
mối
thì
sinh,
quan
không
đảm
hệphù
bảo
tỉ lệhợp
chuẩn
giữa
đáy,
kiến
lúngcho
túng
và
không
giải
được
(đặc
biệt
đối
với
những
học
sinh
đường
cao,
cách
vẽ phân
đường
cao
bằng
việc
dùng
ê-ke
học khó
sinh
thức
chiều
kĩcao,
năng
màtích
lại
hình tam
hóa
giác
được
dẫn
đối
đến
tượng
họchọc
sinh
sinh.
gặp
tiếp thu
bàidiện
chậm).
gặp
lúngcác
túng.
khănnhiều
khi giải
bài toán nâng cao. Chúng ta cần đặc biệt chú ý
đến phương pháp rèn kĩ năng tư duy cho học sinh trong giai
Ví dụ: Học sinh đặt ê-ke để vẽ đường cao và đánh dấu
đoạn cuối cấp khi mà tư duy trừu tượng của các em mới dần
kí hiệu chân đường cao như sau:
hình thành và phát triển.
Một số vướng mắc thường gặp:
6. Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, có khi chúng ta
lại áp đặt các định lí, kiến thức ở Trung học cơ sở để dạy
học sinh tiểu học.
Ví dụ: Cho tam giác ABC. Trên
AB lấy trung điểm M, trên AC
lấy trung điểm N. Nối BN, CM
cắt nhau tại I (hình vẽ bên). Hãy
so sánh diện tích hình tam giác
BIM và CIN.
A
N
M
I
B
C
Với các dữ kiện M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC, áp đặt Định lí về
đường trung bình trong tam giác (Chương trình Toán Trung học cơ sở) nên khi nối
M với N, giáo viên khẳng định hiển nhiên MN song song với BC và kết luận tứ giác
MNCB là hình thang.
Vì vậy, học sinh thường giải bài toán như sau:
SMBC = SNBC(Vì chung đáy BC và chiều cao đều là chiều cao hình thang MNCB)
Hai tam giác MBC và NBC có phần chung BIC nên SBIM = SCIN
Khi hướng dẫn học sinh giải bài tập cần thực hiện
các bước như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán:
Bài toán cho biết gì? (Giả thiết),
Bài toán hỏi gì? (Kết luận).
Vẽ hình minh họa và quan sát hình vẽ.
Bước 2: Lập kế hoạch giải bài toán
(Dựa vào công thức, các nhận xét được rút ra từ quy tắc
tính diện tích hình tam giác để phân tích bài toàn và tìm
hướng giải bài toán).
Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải bài toán
(Trình bày bài giải)
Bước 4: Tự kiểm tra đánh giá kết quả
PhÇn thø hai: néi dung
I- THỰC TRẠNG VỀ VIỆC DẠY GIẢI TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC
II- NỘI DUNG LÝ LUẬN LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN
HÌNH TAM GIÁC VÀ DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC:
III- CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
1. Nhận diện các yếu tố của hình tam giác
và vẽ hình.
Hình tam giác
1) Hình tam giác có 3 cạnh, 3 đỉnh, 3 góc.
A
B
C
Hình tam giác ABC có:
Ba cạnh: cạnh AB, cạnh BC, cạnh AC
Ba đỉnh: Đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C
Ba góc:
Góc đỉnh A cạnh AB và AC (góc A)
Góc đỉnh B cạnh BA và BC (góc B)
Góc đỉnh C cạnh CA và CB (góc C)
2) Xác định đường cao và đáy của hình tam giác
2.1. Hình
tam giác có ba góc nhọn:
A
Hình tam giác ABC:
I
K
AH là đường cao ứng với đáy BC
BI là đường cao ứng với đáy AC
C
B
CK là đường cao ứng với đáy AB
H
2.2. Hình tam giác có một góc tù và hai góc nhọn:
M
H
E
P
N
Hình tam giác MNP:
ME là đường cao ứng với đáy PN
NH là đường cao ứng với đáy MP
PG là đường cao ứng với đáy MN
G
2.3. Hình tam giác có một góc vuông và hai góc nhọn:
H
B
E
G
Hình tam giác EGH:
HE là đường cao ứng với đáy EG
GE là đường cao ứng với đáy EH
EB là đường cao ứng với đáy HG
A
K
B
Chú ý:
- Cả ba cạnh của hình tam giác
đều có thể chọn làm cạnh đáy của
hình tam giác đó.
I
C
H
M
H
E
P
N
G
H
B
E
G
- Đường cao của hình tam giác là
đoạn thẳng hạ từ một đỉnh và
vuông góc với cạnh đối diện (cạnh
đối diện gọi là cạnh đáy). Độ dài
đường cao là chiều cao của hình
tam giác.
- Như vậy, trong mỗi hình tam
giác có 3 cạnh đáy, 3 chiều cao,
mỗi cạnh đáy có một chiều cao
tương ứng, không thể chọn cạnh
đáy và chiều cao tùy ý.
•Mở rộng: Đường cao của nhiều hình tam giác có chung
một đỉnh
* Hình (1) gồm 3 tam giác chung đỉnh A: ABC, ACD và
ABD đều có chung đường cao AH.
* Hình (2) gồm 6 tam giác chung đỉnh A: ABM, AMN, ANC,
ABN, AMC và ABC đều có chung đường cao AH.
A
A
B
H
Hình (1)
C
D
B
M
H
Hình (2)
N
C
* Hình (3) gồm 2 tam giác vuông chung đỉnh A: ABC,
ABD và 1 tam giác có một góc tù ADC có chung đường
cao AB (là một cạnh của góc vuông đỉnh B).
* Hình (4) gồm 3 tam giác có một góc tù chung đỉnh
A: ABD, ADC và ABC có chung đường cao AH (nằm ngoài
các tam giác đó).
A
A
B
D
Hình (3)
C
H
B
Hình (4)
D
C
* Đường cao của nhiều hình tam giác
không chung đỉnh.
A
M
D
H
Hình (1)
N
K
B
C
B
A
H
M
E
C
K
N I
Hình (2)
D
HS cần chỉ ra được đường cao
và dùng ê-ke vẽ được đường cao hình tam giác.
B
H
AH là đường cao
ứng với đáy BC
A
A
A
C
H
B
AH là đường cao
ứng với đáy BC
C
C
B
AB là đường cao
ứng với đáy BC
Thực tế trong quá trình hướng dẫn học sinh vẽ đường cao trong
tam giác, học sinh rất lúng túng khi đặt thước ê-ke để vẽ đường cao.
Chúng ta cần mô tả ê-ke, chỉ rõ cho học sinh đâu là góc vuông của ê-ke,
đâu là cạnh góc vuông của ê-ke. Khi vẽ đường cao trong tam giác cần
đặt ê ke vào hình vẽ sao cho một cạnh góc vuông của ê-ke trùng với
cạnh đáy của tam giác, cạnh góc vuông còn lại đi qua đỉnh của tam giác.
Vừa mô tả bằng hình vẽ trực quan, vừa mô tả bằng đồ dùng dạy học:
Cần tránh để HS đặt thước ê-ke để vẽ đường cao như các
trường hợp sau:
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Vẽ đường cao tương ứng với các cạnh đáy cho mỗi tam giác sau:
A
A
A
C
B
C
C
B
Bài 2: Cho hình vẽ sau:
a. Nêu tên những tam giác có chung
chiều cao BG.
b. Nêu tên những tam giác có chung
chiều cao DH.
c. Nêu tên các tam giác có chung cạnh
đáy AC.
B
B
A
H
E
G
C
D
2. Hình thành quy tắc, công thức tính
diện tích hình tam giác:
2.1. Quy tắc, công thức tính diện tích
hình tam giác:
Bước 1: Dựa vào cách tính diện tích của các hình đã học
(hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi), kết
hợp sử dụng đồ dùng trực quan hoặc suy luận tư duy qua cắt
ghép trên giấy nháp, học sinh tự tìm cách tính diện tích hình
tam giác.
Ở bước này, đối với học sinh khá giỏi, giáo viên nên để tự
học sinh khám phá và tìm ra kiến thức; đối với học sinh trung
bình và yếu, giáo viên nên gợi ý, hướng dẫn học sinh học
sinh để tất cả học sinh đều tự mình tìm ra kiến thức và chiếm
lĩnh được kiến thức.
Cách 1: Thực hiện như sách giáo khoa Toán 5 trang 87
- Cắt lấy 2 hình tam giác bằng nhau, dùng ê ke vẽ đường cao của
mỗi hình tam giác (như hình vẽ)
1
1
2
2
Cách 2: Từ một hình tam giác, cắt và ghép lại được một hình chữ nhật:
1
2
1
2
Cách 3: Ghép hai hình tam giác bằng nhau thành một hình bình hành, cạnh
đáy của hình tam giác là cạnh đáy của hình bình hành thì chiều cao tương
ứng của hình tam giác cũng là chiều cao của hình bình hành.
Bước 2: Giáo viên thực hiện lại thao tác một cách làm
dễ hiểu và nhanh nhất để tìm ra quy tắc tính diện tích
hình tam giác
Bước 3: Lập công thức tính diện tích hình tam giác
a h
S=
2
h
S là diện tích, a là độ dài đáy, h là
chiều cao (a và h cùng đơn vị đo)
a
A
* Với hình tam giác vuông:
Diện tích hình tam giác vuông bằng
tích của hai cạnh góc vuông (cùng đơn vị
đo) chia cho 2.
B
C
2.2. Cách tính độ dài cạnh đáy và chiều cao
của hình tam giác.
Xuất phát từ công thức tính diện tích hình tam giác HS đã học:
a h
S=
2
(Trong đó S là diện tích hình tam giác, a là độ dài cạnh đáy, h là
chiều cao tương ứng với đáy; a, h cùng đơn vị đo)
GV hướng dẫn HS cách tính độ dài cạnh đáy và chiều cao của hình tam
giác như sau:
* Tính độ dài cạnh đáy hình tam giác:
Quy tắc: Muốn tính độ dài cạnh đáy của hình tam giác ta lấy hai lần
diện tích chia cho chiều cao tương ứng
Công thức:
S 2
a=
h
(S là diện tích hình tam giác, a là độ dài cạnh đáy, h là chiều cao
tương ứng)
* Tính chiều cao hình tam giác:
Quy tắc: Muốn tính chiều cao của hình tam giác ta lấy hai lần diện
tích chia cho độ dài cạnh đáy tương ứng.
Công thức:
S 2
h=
a
(S là diện tích hình tam giác, a là độ dài cạnh đáy, h là chiều cao
tương ứng)
3. Rèn kĩ năng giải toán cho học sinh.
Dạng 1: Chia hình cho trước thành các phần theo tỉ số
diện tích.
Dạng 2: Vận dụng quan hệ tỉ lệ giữa các yếu tố trong
tam giác để giải bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác
Dạng 3: Giải bài toán liên quan đến diện tích hình
tam giác bằng phương pháp cắt, ghép hình.
Dạng 1: Chia hình cho trước thành các phần theo
tỉ số diện tích.
Trường hợp 1: Kẻ đoạn thẳng đi qua đỉnh tam giác chia
hình tam giác thành các phần theo tỉ số diện tích.
A
Bài toán 1: Cho tam giác ABC. Qua
đỉnh A, em hãy kẻ các đoạn thẳng để
chia tam giác ABC ra thành 2 phần
có diện tích bằng nhau.
B
C
A
B
D
C
Từ bài toán 1 các em dễ dàng kẻ được các đoạn thẳng
qua đỉnh tam giác chia tam giác thành nhiều phần có diện
tích bằng nhau.
Chẳng hạn:
A
A
B
Hình 1:
C
- Hình (1) kẻ thêm 2 đoạn
thẳng qua đỉnh A chia
tam giác ABC thành 3
phần có diện tích bằng
nhau.
B
Hình 2:
C
- Hình (2) kẻ thêm 2 đoạn
thẳng qua đỉnh A và đỉnh
B chia tam giác ABC
thành 3 phần có diện tích
bằng nhau..
Từ bài toán 1 các em dễ dàng kẻ được các đoạn thẳng
qua đỉnh tam giác chia tam giác thành nhiều phần có diện
tíc bằng nhau.
Chẳng hạn:
A
A
P
B
C
- Hình (1) kẻ thêm 3 đoạn
thẳng qua đỉnh A chia tam
giác ABC thành 4 phần có
diện tích bằng nhau.
B
M
C
- Hình (2) kẻ thêm 3 đoạn
thẳng qua đỉnh A , đỉnh B
và đỉnh C chia tam giác
ABC thành 4 phần có
diện tích bằng nhau..
Bài toán 2: Cho tam giác ABC, qua đỉnh A kẻ một đoạn
thẳng cắt cạnh BC tại điểm D sao cho diện tích tam giác
2
ABD bằng
diện tích tam giác ABC.
3
A
A
B
C
B
D
C
* GV nhấn mạnh: Đối với bài toán kẻ đoạn thẳng đi qua một
đỉnh của tam giác chia tam giác thành các phần có diện tích
bằng nhau hoặc theo tỉ lệ nào đó ta cần dựa vào tỉ lệ diện tích để
chia độ dài cạnh đối diện với đỉnh đó thành các phần theo tỉ lệ
diện tích đã cho.
Từ cách vẽ như vậy, chúng ta có thể ra các đề toán rèn kĩ
năng phát hiện những tam giác có diện tích bằng nhau cho
học sinh.
Ví dụ: Cho tam giác ABC (hình vẽ), điểm M trên BC, MB=MC,
điểm P trên AM, AP=PM. Viết tên các cặp tam giác có diện tích
bằng nhau.
(Đề khảo sát HSG lớp 5 vòng 2 huyện Ninh Giang,
năm học 2012-2013):
A
P
B
M
C
Trường hợp 2: Kẻ đoạn thẳng đi qua hai cạnh của
tam giác chia hình tam giác thành các phần theo tỉ số
diện tích.
Bài toán 1: Cho tam giác ABC. Hãy kẻ một đoạn thẳng cắt hai cạnh AB và
AC chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau.
A
- GV hướng HS suy nghĩ: Chia tam giác
ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau
1
hay diện tích mỗi phần bằng
diện tích tam
2
giác ABC).
B
C
GV hướng dẫn HS:
Vì đoạn thẳng cắt hai cạnh của tam giác nên ta phân tích tỉ số 1 thành tích
2
1 2 3 4 6
của hai thừa số. Ta có:
 x  x  ......
2
3 4
6 8
- Trên một cạnh của tam giác ta lấy một điểm có tỉ lệ tương ứng với thừa số
thứ nhất. Trên một cạnh kia của tam giác ta lấy một điểm có tỉ lệ tương ứng
với thừa số thứ hai.
2
VD: Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho: AD =
AB
3
3
Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AC.
4
Nối D với E ta có S = S
ADE
DBCE
A
D
B
E
C
Thật vậy: Nối B với E, ta có:
SADE = 2 SABE (có đáy AD =
3
đỉnh E xuống đáy AB)
SABE = 3 SABC (có đáy AE=
4
đỉnh B xuống đáy AC)
Suy ra: SADE = 2 x
3
Vì SADE =
1
2
3
4
SABC
SABC =
3
4
1
2
2
3
AB, chung chiều cao hạ từ
AC, chung chiều cao hạ từ
SABC
Nên SDBCE =
1
2
SABC
Suy ra SADE = SDBCE.
Do vậy đoạn thẳng DE thoả mãn yêu cầu của bài.
A
D
E
C
B
* Lưu ý HS: Ngoài cách vẽ trên ta còn có nhiều cách vẽ khác, tương ứng với
1
2
1 2 3 4 6
2 3 4 6 8
một cách phân tích tỉ số thành tích của hai thừa số.(  x  x  ......)
Bài toán 2: Cho tam giác ABC. Hãy kẻ một đoạn thẳng cắt hai cạnh của
1
tam giác để được hai hình sao cho diện tích hình này bằng diện tích hình kia.
5
Tương tự bài 1 ta có:
1
Diện tích hình này bằng 5 diện tích hình kia
hay diện tích hình này bằng
1
6 diện
tích ban đầu.
1 1 1
Ta có: 6  2 x 3
1
- Trên AB lấy điểm D sao cho AD = 2 AB
1
- Trên AC lấy điểm E sao cho AE = 3 AC
Nối D với E, DE thoả mãn yêu cầu của bài.
A
E
D
B
C
* GV nhấn mạnh: Đối với dạng toán kẻ một đoạn thẳng cắt hai
cạnh của tam giác để chia tam giác đó thành hai phần có tỉ lệ diện
x x
x
tích
( đã biết), ta cần phân tích tỉ số
thành tích của hai phân
y y
y
x a c
số (vì đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác). Ví dụ:  x
y b d
a
Trên cạnh thứ nhất của tam giác ta xác định một điểm theo tỉ lệ
b
c
Trên cạnh thứ hai của tam giác ta xác định một điểm theo tỉ lệ
d
Nối hai điểm đó lại ta được đoạn thẳng chia tam giác thành
x
hai phần có tỉ lệ diện tích theo tỉ số
y
(Ứng với mỗi cách phân tích như trên ta lại có một cách kẻ
khác nhau).
Dạng 2: Vận dụng quan hệ tỉ lệ giữa các yếu tố
trong tam giác để giải bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác
Mức độ 1: Đạt yêu cầu chuẩn kiến thức - kĩ năng
*Tiết học lí thuyết - ngay sau khi hình thành quy tắc tính diện
tích hình tam giác, chúng ta hướng dẫn HS vận dụng công thức
tính diện tích hình tam giác để giải bài tập theo các dạng và rèn kĩ
năng giải toán như SGK
*Tiết luyện tập chung về tính diện tích
- Bài tập vận dụng công thức tính ngược về diện tích hình tam
giác Rèn cho HS kỹ năng tính độ dài cạnh đáy và tính chiều cao
của hình tam giác.
* Bài tập củng cố, bồi dưỡng kiến thức dành cho học
sinh đại trà trong các tiết học buổi 2:
GV ra bài tập tương tự các bài tập nêu trên và phát triển thêm:
A
Bài 1: Cho tam giác ABC có đáy BC dài
8cm. Kéo dài BC về phía C một đoạn CD
dài 4cm thì diện tích tam giác tăng thêm
12cm2 (như hình vẽ). Tính diện tích hình
tam giác ABC
B
H
C
- Để tính diện tích hình tam giác ABC khi mới biết đáy BC dài
8cm thì cần biết chiều cao AH của tam giác.
- Nhận xét chiều cao tam giác ABC (ứng với đáy BC) và chiều
cao tam giác tam giác ACD) ứng với đáy CD: Hai tam giác ABC và
ACD có chung chiều cao hạ từ A (Chiều cao AH).
- Để tính được chiều cao AH, dựa vào quy tắc tính chiều cao và
các dữ kiện đã cho ở hình tam giác ACD (Hình tam giác ACD đã
biết diện tích và đáy thì tính được chiều cao).
D
Với học sinh khá giỏi: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải
khác theo hướng sau:
A
- Nhận xét về chiều cao của hai
hình tam giác
- HS nắm được mối quan hệ
giữa hai hình tam giác ABC và
ACD có chung chiều cao hạ từ
D
B
C
H
đỉnh A. Như vậy áp dụng nhận
xéttỉ4số
vềgiữa
diệnsốtích
tamcạnh
giác,
học
Như vậy: - Trước hết cần xác định
đo hai
đáy
của hai
sinh giải được một cách dễ dàng.
tam giác:
1
1
-Tỉ số của cạnh đáy CD và cạnh đáy
BC xét
là: 44:
: 8Khi
= chiều
(hay CD=
(Nhận
cao củaBC)
2
2
hai hình tam giác bằng nhau thì tỉ
- Tiếp theo, xác định được tỉ số số
diện
tíchtích
tam hai
giáchình
ACD tam
và ABC:
diện
giác
1
1đáy
bằng
tỉ
số
hai
độ
dài
cạnh
SACD =
S
(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh A và đáy CD=
BC)
2 ABC
2
tương ứng)
Từ đó tính diện tích tam giác ABC:
1
12 :
= 24 (cm2)
2
Bài 2: Cho tam giác ABC có đáy BC dài 8cm. Kéo dài BC
về phía C một đoạn CD dài 4cm. Biết diện tích tam giác
ABC là 24 cm2. Tính diện tích phần tăng thêm.
A
D
B
H
C
Đây là dạng bài tập hay gặp trong các đề thi khảo sát đầu vào lớp 6
A
Đề bài: Cho tam giác ABC có cạnh BC dài 30cm.
Chiều cao AH bằng 2 độ dài đáy BC.
3
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Kéo dài BC về phía C một đoạn CM (như hình
vẽ). Tính độ dài đoạn CM, biết diện tích tam giác
ACM bằng 20% diện tích tam giác ABC
B
H
C
M
(Đề khảo sát đầu vào lớp 6 năm học 2013-2014)
Đề bài: Cho hình thang ABCD (như hình vẽ),
đáy lớn bằng 3,6cm, đáy nhỏ bằng 2 đáy
3
lớn, chiều cao AH = 2cm.
A
B
a) Tính diện tích hình thang ABCD.
b) Tính độ dài DH, biết diện tích tam giác ADH
bằng 25% diện tích tam giác AHC.
D
(Đề khảo sát đầu vào lớp 6
năm học 2011-2012)
H
C
Bài 2: Cho hình vẽ bên
A
+ AC
= 20cm;
Biết AB =
5,2cm;
AC = 6,5cm;
N
KM = KN = 4cm. Tính diện tích
M
B
K
hình tam giác ABC.
Bước 1: Tìm hiểu cái đã cho và cái cần tìm:
(Đề kiểm tra định kỳ cuối kỳ I
Bước 2: Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán bằng sơ đồ:
năm học 2012-2013, Huyện Ninh
AB = 5,2cm
Giang)
SABK
KM = 4cm
SABC
SACK
AC = 6,5cm
KN = 4cm
Bước 3: Trình bày bài giải
Bước 4: Tự kiểm tra lại kết quả
C
Mức độ 2: Nâng cao kiến thức
Vận dụng linh hoạt các kiến thức để giải một số dạng
toán tổng hợp liên quan đến diện tích hình tam giác
(Phương pháp phân tích tổng hợp, rèn kĩ năng giải toán
và phát triển tư duy dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi)
1. Tính diện tích hình tam giác khi phải giải bài toán phụ
để tìm chiều cao hoặc độ dài cạnh đáy.
Bài 1: Cho tam giác ABC có góc vuông tại A, AB = 5cm,
AC = 6cm. Trên AB lấy điểm M sao cho AM = 1cm. Từ M kẻ
đường thẳng song song với AC cắt BC tại N. Tính diện tích
tam giác BMN.
B
Bước 1: Vẽ hình. Xác định cái đã cho
và cái cần tìm theo mẫu sau:
Bước 2. Phân tích bài toán, suy luận
để tìm lời giải:
Bước 3: Trình bày bài giải
Bước 4: Kiểm tra lại kết quả
M
A
N
C
Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích là
48cm2. Cạnh AB = 16cm, AC = 10cm.
Kéo dài AB về phía B một đoạn BM, kéo
dài AC về phía C một đoạn CN, sao cho
BM = CN = 2cm. Nối M với N. Tính diện
tích hình tứ giác BCNM.
A
Phân tích bài toán để tìm lời giải:
Vận dụng linh hoạt các bài toán tính ngược (Tính độ dài đáy khi
biết diện tích tam giác và chiều cao tương ứng, hoặc tính chiều
cao khi biết diện tích tam giác và độ dài đáy tương ứng) để suy
luận tìm hướng giải.
Sau đây là một hướng giải:
Chẳng hạn: Kẻ đường cao BH, NK như hình vẽ. Dựa vào cái đã
cho, tính được lần lượt theo thứ tự suy luận như sau:
Tính HB
Tính AN và SANB
Tính NK
Tính SAMN
Tính SBCNM
2. Tính diện tích hình tam giác dựa vào nhận xét 1: Hai
(hay nhiều) hình tam giác có chiều cao bằng nhau, độ
dài cạnh đáy tương ứng với đường cao bằng nhau thì
diện tích hai (hay nhiều) hình tam giác đó bằng nhau.
E
Bài 3: Cho tam giác ABC có diện
tích là 12cm2. Kéo dài AB về phía A
một đoạn AE, AC về phía C một đoạn
CG và BC về phía B một đoạn BH, sao
cho AE = AB; AC = CG; BC = BH. Tính
diện tích hình tam giác EGH
A
H
B
C
G
Dựa vào nhận xét 1 đã nêu, nhìn hình vẽ và các dữ kiện bài toán đã cho, ta
dễ dàng chứng minh được các cặp hình tam giác có diện tích bằng nhau. Đó
là:
SABC = SAEC; SAEC = SGEC;
SABC = SABH; SABH = SAEH;
SABC = SAEC = SGEC = SABH = SAEH = SGBC =
SABC = SGBC; SGBC = SGBH;
3. Tính diện tích hình tam giác dựa vào nhận xét 2: Khi
diện tích hai hình tam giác không đổi, độ dài cạnh đáy
tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì chiều cao tương ứng
giảm (hoặc tăng) bấy nhiêu lần.
Bài 4: Cho hình thang vuông ABCD,
1
vuông tại A và D. Đáy AB =
CD. Trên
2
AD lấy M sao cho AM = MD. Tính diện
tích tam giác MCD biết diện tích tam giác
ABD bằng 15cm2
A
M
D
Hai tam giác ABD và MCD có:
Đáy DC = AB x 2.
Chiều cao AD = MD x 2.
Suy ra diện tích ABD = diện tích MCD.
Vậy diện tích MCD là 15 cm2
B
C
4. Tính diện tích hình tam giác dựa vào nhận xét 3: Khi
độ dài cạnh đáy của hai hình tam giác bằng nhau thì tỉ
số diện tích hai hình tam giác bằng tỉ số hai chiều cao
tương ứng với đáy.
Bài 5: Cho hình thang vuông ABCD (vuông tại A và D). Độ
2
dài đáy AB bằng
độ dài đáy CD. Kéo dài hai cạnh bên
3
AD và BC về phía A và B cắt nhau tại K. Tính diện tích tam
giác KDC, biết diện tích hình tam giác KBD là 90cm2
5. Tính diện tích hình tam giác dựa vào nhận xét 4: Khi chiều
cao của hai hình tam giác bằng nhau thì tỉ số diện tích hai
hình tam giác bằng tỉ số hai độ dài cạnh đáy tương ứng .
A
Bài 6: Cho tam giác ABC có diện tích
450 m2. Trên BC, AC lấy hai điểm M, N
1
2
sao cho CM = BC, NC = AC. Tính
2
3
diện tích tam giác MNC?
N
B
M
Cách2:Nối
1: AM
Cách
Nối BN
SBNC
S
SABC và BNC
SABC
SMNC
S
SBNC và MNC
SBNC
C
Bài 7: Cho tam giác ABC. Trên cạnh
AB lấy điểm M sao cho AM gấp rưỡi
MB; trên cạnh AC lấy điểm N sao cho
AN bằng một nửa AC. Biết diện tích
tam giác AMN là 36 cm2. Tính diện
tích tứ giác BMNC.
A
M
36 cm2
C
B
(Đề thi Olympic học sinh tiểu học
tỉnh Hải Dương năm học 2010-2011)
Nối BN
SABN
S
SAMNvà AMN
SABN
SABC
S
SABN và ABN
SABC
N
SBMNC
A
Bài 6: Cho tam giác ABC có diện tích
450 m2. Trên BC, AC lấy hai điểm M, N
N
1
2
sao cho CM = BC, NC = AC. Tính
2
3
diện tích tam giác MNC?
Bài 7: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB
lấy điểm M sao cho AM gấp rưỡi MB; trên
cạnh AC lấy điểm N sao cho AN bằng một
nửa AC. Biết diện tích tam giác AMN là 36
cm2. Tính diện tích tứ giác BMNC.
(Đề thi Olympic học sinh tiểu học
tỉnh Hải Dương năm học 2010-2011)
B
C
M
A
M
B
N
C
Đây là hai bài toán ngược nhau
giữa
cái đã cho và cái cần
S
a
1
1
4) Khi h = h2 thìtư duy tương tự như nhau. GV
tìm. Song về cơ1bản cách
S 2 a2
chỉ cần thay đổi vị trí của điểm M, N để HS luyện kỹ năng
tính toán phát triển tư duy rất tốt.
Bài 8: Cho tam giác ABC. Trên
cạnh AC lấy điểm M sao cho MC
gấp đôi MA. Nối B với M, gọi D là
trung điểm của BM. Nối A với D.
Tính diện tích tam giác ABC biết
diện tích tam giác ADM là
4,5cm2.
(Đề Olympic học sinh tiểu học
cấp huyện, thị xã, thành phố
năm học 2011-2012_ Tỉnh Hải Dương)
Tương tự bài 6
Bài 9: Cho tam giác ABC có diện tích là 48cm2. Trên AC
2
lấy điểm M sao cho AM = MC. Nối B với M. Kéo dài BM
3
1
một đoạn MD = BM. Tính diện tích tứ giác ABCD.
2
D
A
M
B
C
- Đối với bài toán yêu cầu tính diện tích một tam giác
chưa
biết các
cụ thể
số đo
dài
và đoạn
chiềuthẳng,
cao tương
(*(ta
Lưu
ý: Trong
bài toán
chođộ
tỉ số
độđáy
dài các
giúp học
ứngdễvới
nó)ranhưng
quan
với
các
giáctỉ số
sinh
nhận
cách so có
sánhmối
để xác
địnhhệ
tỉ số
diện
tíchtam
dựa vào
độ
dài đáy
tỉ sốxét
chiều
caoquan
của tam
tôi các
thường
dùng
khác
thì hoặc
ta phải
mối
hệgiác,
giữa
yếu
tố điểm
của
chấm
vạch rõ
số phần
bằng
ở đáy hay
đường cao của tam giác
các tam
giác
đó để
tìmnhau
ra cách
tính.
như hình vẽ trên)
1
Bài 10: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm M sao cho MC =
MA,
2
1
trên BC lấy điểm N sao cho NC = NB. BM cắt AN tại O. Tính diện
2
tích tam giác ABC, biết diện tích tam giác ABO là 12cm2.
A
12cm2
B
O
N
M
C
* Lưu ý: Trong giảng dạy các bài toán 5, 6,7, 8,9,10 GV chỉ cần
thay vị trí các điểm M,N theo tỉ lệ khác nhau để HS thực hành
rèn kỹ năng giải toán nhanh và phát triển tư duy cho HS rất
hiệu quả..
6. Một số bài toán sử dụng linh hoạt 4 nhận xét ở trên để giải.
6.1.Tính độ dài đoạn thẳng và so sánh độ dài đoạn thẳng
Bài 11: Cho hình tam giác ABC có diện tích 90cm2, cạnh BC
dài 24cm. Trên cạnh BC có điểm M sao cho diện tích tam giác
ABM bằng 30cm2. Hỏi M cách B bao nhiêu xăng- ti -mét?
A
B
C
M
Bài 12: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy điểm M sao cho
1
MA = MB. Trên AC lấy N sao cho NC =
NA; MN cắt
2
BC tại D. So sánh BC và CD
A
M
N
D
B
C
Lưu ý: Trong trường hợp cần so sánh độ dài hai đoạn thẳng
hay tính độ dài một đoạn thẳng nào đó trong hình, ta cần so
sánh diện tích hai hình tam giác có chung đỉnh và hai cạnh
đáy là hai cạnh cần so sánh.
6.2.So sánh diện tích các hình tam giác
Bài 13: Cho hình thang ABCD
B
A
có đáy bé là AB, đáy lớn DC.
Phương
pháp
Hai đường chéo
AC và
BDso
cắtsánh “phần bù”
O
trong
giải
toán
hình
học
nhau tại O.
Chứng tỏ rằng SAOD = SBOC
SADC = SBDC
D
SABD = SABC
C
SAOD = SBOC
Bài 14: Cho tam giác ABC. D là
điểm chính giữa của BC, E là điểm
chính giữa của AC. AD cắt BE tại I.
a) Hãy so sánh diện tích tam giác
IAE và diện tích tam giác IBD.
b) Hãy so sánh diện tích tam giác
IAB và diện tích tứ giác EIDC.
Phân tích bài toán
Ta có:
SIAE + SABI = SABE;
SIBD + SABI = SABD
Hai tam giác ABE và ABD có phần chung là tam giác ABI.
Để so sánh SIAE và SIBD , cần so sánh SABE và SABD
Bài 13:
Bài 14:
So sánh diện tích tam giác hình tam giác thường xuất hiện nhiều ở hình
thang với nhiều tình huống khác nhau. Điều quan trọng là học sinh cần chỉ ra
được hình nào chắc chắn chứng tỏ được là hình thang thì mới được vận
dụng tương tự như bài toán 1.
Trong thực tế giảng dạy, rất nhiều học sinh khi chưa nắm được bản chất
vấn đề này thì nhìn hình vẽ bài 2 và hiển nhiên cho rằng ED song song
với AB nên tứ giác ABDE là hình thang rồi so sánh SABD = SABE một cách
dễ dàng tương tự như bài toán 1 như vậy là chưa chính xác.
. Là giáo viên trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi chúng ta cần
phân biệt rõ vấn đề vừa nêu để học sinh không mắc sai lầm trong việc so
sánh diện tích hai hình tam giác.
Thay đổi vị trí các điểm trên mỗi cạnh tam giác, ta có
một số bài toán:
Kết luận:
- Hai hình có diện tích bằng nhau mà có chung nhau một phần diện tích
thì phần diện tích còn lại của hai hình đó sẽ bằng nhau.
- Hai hình có diện tích không bằng nhau mà có chung nhau một phần
diện tích thì phần diện tích còn lại của hình lớn sẽ lớn hơn phần diện tích
còn lại của hình có diện tích bé hơn.
Luyện giải một số bài toán dạng 3:
Bài 15: Cho hình chữ
nhật ABCD. Điểm M nằm
trên đoạn thẳng AB, MC
cắt BD ở O (như hình vẽ
bên). So sánh diện tích
tam giác MODvà BOC.
A
M
B
Bài 16: Cho tam giác ABC.
Trên BC lấy hai điểm M, N
sao cho BM = MN = NC. Từ
M kẻ đường song song với
AB, từ N kẻ đường
songsong với AC chúng
cắt nhau tại H. So sánh
SAHB và SAHC.
A
O
H
D
C
B
M
N
C
Luyện giải một số bài toán dạng 3:
Bài 17: Cho tam giác ABC. Lấy điểm M trên BC sao
cho BM=MC, trên Ac lấy điểm N sao cho AN = NC.
MN cắt BN tại E.
a) So sánh diện tích hai tam giác AEN và BEM.
b) Cho diện tích tam giác AEN bằng 12cm2. Tính diện
tích tam giác ABC.
(Đề khảo sát chọn học sinh giỏi lớp 5- Huyện Ninh Giang
năm học 2012-2013)
A
12cm
N
E
B
M
C
Một số đề thi Olympic học sinh tiểu học
Bài 18: Cho tam giác ABC. N là điểm chính giữa cạnh AC. Tứ giác
BMNE là hình thang có hai đường chéo cắt nhau tại điểm O (như hình
vẽ)
a, So sánh diện tích hai tam giác BOM và EON.
b, Biết diện tích tam giác ABC là 64cm2. Tính diện tích tam giác CEM?
(Đề thi Olympic HS tiểu họcTỉnh Hải Dương năm học 2011 - 2012 )
A e
b)a)
Nhận xét:
a. Hai tam giác ENB và EMB có phần chung là
tam giác EOB.
- Để so sánh so sánh diện tích hai tam giác
BOM và EON ta so sánh diện tích hai tam giác
ENB và EMB
n
o
b
m
C
Bài 19: . Cho hình vẽ:
a) Biết diện tích hình vuông ABCD là 0,64dm2. Tính diện tích hình tròn.
b) So sánh diện tích tam giác DNC và diện tích tam giác BMN.
(Đề thi Olympic học sinh tiểu họcTỉnh Hải Dương năm học 2012 - 2013)
B
C
Nhận xét:
- Hai tam giác ABC và AMB có phần chung là tam
giác ABN. Suy ra diện tích ANC = diện tích BMN.
- Diện tích ANC = diện tích DNC. Suy ra diện tích
DNC = diện tích BMN.
Dạng 3: Giải bài toán liên quan đến diện tích hình tam
giác bằng phương pháp cắt, ghép hình.
Bài 20: Cho hình tam giác vuông
ABC, biết AB = 4 cm, AC = 3 cm.
Hãy tính độ dài cạnh BC?
Cách 1: Ghép 4 hình tam giác
vuông bằng nhau thành một hình
vuông rỗng ở giữa và cạnh hình
vuông ghép được chính là cạnh cần
tìm của hình tam giác. Hình vuông
rỗng ở giữa có cạnh bằng hiệu độ
dài hai cạnh góc vuông của tam giác
vuông đã cho.
Từ đó tính được diện tích hình
vuông lớn, rồi tính được cạnh hình
vuông lớn hay chính
B
3cm
A
?
4cm
C
Cách 2: Ghép 4 hình tam giác
vuông bằng nhau thành một hình
vuông rỗng ở giữa và cạnh hình
vuông ghép được chính là tổng hai
cạnh góc vuông đã cho của hình tam
giác. Hình vuông rỗng ở giữa có
cạnh bằng cạnh cần tìm của hình
tam giác.
Tính được diện tích hình vuông
lớn, rồi tính được diện tích hình
vuông rỗng ở giữa. Từ đó tính được
cạnh hình vuông rỗng ở giữa hay
chính à cạnh cần tìm của hình tam
giác.
Bài 21: Một hình vuông có cạnh 5 cm. Nối các điểm chính giữa các
cạnh và các đỉnh hình vuông như hình vẽ. Tính diện tích phần tô
đậm?
Bài giải
A
B
A
B
(2)
(1)
(3)
(4)
D
Hình (1)
C
D
C
Hình (2)
Hình (3)
Cắt 4 hình tam giác (1), (2), (3), (4) ở hình (1) được 4 tam giác bằng nhau. Ta ghép
lại như hình (2) được hình chữ thập gồm 5 hình vuông bằng nhau (hình 3).
Diện tích hình chữ thập chính là bằng diện tích hình vuông ban đầu.
Tính diện tích hình chữ thập: 5 x 5 = 25 (cm2)
1
Diện tích phần tô đậm bằng 5 diện tích hình chữ thập.
Tính diện tích phần tô đậm :25 : 5 = 5 (cm2)
* HS rút ra nhận xét :
- Khi chia một hình thành các phần nhỏ để cắt thì tổng tổng diện tích
các hình vừa chia bằng diện tích hình ban đầu.
- Khi cắt một hình thành các mảnh nhỏ để ghép được một hình mới thì
tổng diện tích các hình mới thu được bằng diện tích hình ban đầu.
PhÇn thø ba: kÕt luËn
I- ĐÁNH GIÁ CHUNG
Chuyên đề "Rèn kĩ năng giải toán liên quan đến diện tích hình tam giác cho
học sinh lớp 5" đã đề cập đến nội dung, phương pháp và rèn kĩ năng, phát
triển tư duy cho học sinh khi giải toán liên quan đến diện tích hình tam giác.
Chuyên đề đã hệ thống hóa bài tập, đưa ra nội dung, phương pháp nhằm nâng
cao năng lực chuyên môn cho cán bộ giáo viên và rèn kĩ năng, phát triển tư duy
học sinh khi giải toán liên quan đến diện tích hình tam giác và giải quyết được
vấn đề về phương pháp dạy học tích cực sáng tạo, dạy học phân hóa đối tượng
học sinh. Áp dụng chuyên đề trên,chất lượng của học sinh được nâng cao rõ rệt.
Gặp những bài toán từ đơn giản đến phức tạp, các em đã biết áp dụng những
quy tắc đã học, những nhận xét được kết luận về mối quan hệ giữa các yếu tố
trong tam giác để giải toán. Bài làm của các em lý luận chặt chẽ, chính xác. Từ
một bài toán cụ thể, các em có những hướng suy nghĩ khác nhau. Từ những
hướng suy nghĩ đó các em tìm ra được nhiều cách giải cho một bài toán. Đặc
biệt, trong những tiết học bồi dưỡng toán có liên quan đến những bài toán về
diện tích tam giác các em học rất hào hứng.
PhÇn thø ba: kÕt luËn
I - ĐÁNH GIÁ CHUNG
II - KHUYẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT
1
- Đối với
giáo
viên:
2
với giáo
các trường
1 -- Đối
Đối với
viên: tiểu học:
Áp
chuyên
đề "Rèn kĩđề
năng giảibồi
toán
liên quan
đến diện
tích
- Tổdụng
chức
dưỡng
chokỹ
giáo
viên
Chuyên
đềgiờ
chỉ dạy
đưachuyên
ra các dạngnhằm
toán cơ bản
để rèn
năng
giải toán
hình
tam
giác toán
cho học
sinh
5", ta córèn
thể vận
dụng
vào
đóliên
để viết
năng
lực
cũng
nhưlớp
biện
năng
giảinên
toán
quan
cho HS
vàgiải
mỗi dạng
chỉ nêu
ví
dụ pháp
minh họakĩ
điển
hình
mỗi
giáo
viên
tích
lũy
kinh
nghiệm
trong
giảng
dạy,
hỗ
trợ
đắc
lực
cho
công
tác
tự
đến
diện triển
tích hình
giácbài
nhằm
nâng
chấtcho
lượng
bồi bồi
cần phát
thêmtam
nhiều
tập để
rèncao
tư duy
họccông
sinh.tác
Chuyên
dưỡng
của cá
nhân. Giáo viên cần chú ý rèn cho học sinh ngay từ bài
dưỡng
viên.
đề cũnggiáo
không
đưa ra phần trình bày bài giải, các đồng chí cần đặc biệt
học đầu tiên khi học về hình tam giác và xuyên suốt chương trình Toán
chú ý cách trình bày bài giải cho học sinh sao cho bài giải trình bày
tiểu học. Throng thực tiễn dạy toán, không phải bài toán nào cũng ở
ngắn gon, rõ ràng và lô-gic.
dạng tường minh chỉ cần dựa vào công thức là tính ngay được kết quả.
Để đáp ứng được nhu cầu học tập của học sinh, chúng ta phải sưu tầm,
thiết kế những bài toán nâng cao hơn, khái quát hơn thường những bài
toán được “ngụy trang" bởi những điều kiện chưa tường minh. Bởi vậy
sẽ không tránh khỏi những vướng mắc, khó khăn nếu giáo viên không
có phương pháp giúp học sinh nắm vững mối quan hệ giữa các yếu tố
trong một tam giác.