Transcript ABC - INF-WLF

informatyka +
1
1
TRÓJKĄT I JEGO
WŁASNOŚCI
Bronisław Pabich
Agnieszka Rogalska
2
WSTĘP
Geometria trójkąta jest tematem objętym programem nauczania matematyki
w szkole ponadgimnazjalnej. Takie pojęcia, jak środek okręgu opisanego
na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości mają wiele interesujących
własności, które w ostatnich latach zostały odkryte przy użyciu
dynamicznych programów geometrycznych, wśród nich również GeoGebry.
Seria lekcji poświęconych zagadnieniom trójkąta jest przygotowana tak, by
uczeń mógł poczuć się odkrywcą nieznanej Ci wiedzy z planimetrii.
Lekcje mają również na celu ukazanie wybranych fragmentów geometrii
trójkąta od strony ich zastosowania w innych dziedzinach życia.
Posługujemy się programem typu OpenSource – GeoGebra – jego
instalacja znajduje się na platformie.
Scenariusz „Trójkąt i jego własności” składa się z pięciu jednostek
lekcyjnych. Można je realizować w dłuższym czasie w zależności od
potrzeb. Wybrano tu kilkanaście problemów geometrii trójkąta, które
pomnażają wiedzę o nim na poziomie ucznia pierwszej klasy liceum.
3
WSTĘP
Polecenia zawarte w lekcjach traktujemy tak jak polecenia w arkuszu
pracy przy wykonywaniu etapów konstrukcji geometrycznych
z GeoGebrą.
Przygotowane pliki GeoGebry zawierają pola wyboru (przyciski) wraz
z opisem.
Wciskając je, uwidaczniamy obiekty geometryczne, na które należy
zwrócić szczególną uwagę.
Dzięki temu można manipulować nimi, dostrzegać własności trójkątów,
odkrywać nowe własności, stawiać hipotezy, dowodzić i formułować
twierdzenia.
W sytuacjach instrukcji zbyt trudnych korzystamy z gotowych plików
programu GeoGebra, które znajdują się na platformie, a które wywołujesz
bezpośrednio w tym pokazie.
Dowody wybranych twierdzeń można obejrzeć jako dokumenty Worda,
klikając w odpowiedni przycisk akcji w pokazie.
4
W pokazie przyjęto następujące oznaczenia:
Link do pliku GeoGebry
Link do dowodu
Link do filmu
Polecenia „Zrób to sam”
5
LEKCJA 1
ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA
I JEGO WŁASNOŚCI
6
WYSOKOŚCI TRÓJKĄTA
W gimnazjum poznałeś pojęcie wysokości trójkąta.
Na ogół mówi się, że wysokość trójkąta to odcinek łączący jego wierzchołek
z jego rzutem prostokątnym na przeciwległy mu bok lub jego przedłużenie.
W literaturze matematycznej rozważa się często tzw. przedłużenie
wysokości trójkąta i wówczas mamy na myśli proste prostopadłe do boku
trójkąta przechodzące przez wierzchołek leżący naprzeciw tego boku.
Zauważmy, że wysokości trójkąta są równoległe do symetralnych jego
boków. Ten fakt ułatwia dowodzenie wielu twierdzeń o wysokościach
i symetralnych boków trójkąta.
7
WYSOKOŚCI TRÓJKĄTA
Każdy trójkąt ma trzy takie wysokości.
Ćwiczenie zamieszczone w pliku GeoGebry w kolejnym slajdzie upewni
Cię w przekonaniu, że przedłużenia tych wysokości przecinają się
w jednym punkcie, zwanym ortocentrum trójkąta (orto [gr] =
prostopadły, centrum [gr] = środek).
8
WYSOKOŚCI TRÓJKĄTA
W dowolnym trójkącie ABC poprowadź prostą prostopadłą do boku BC
przechodzącą przez wierzchołek A tego trójkąta.
Gdy trójkąt jest ostrokątny, wówczas prosta ta przecina bok BC.
Jeśli jednak chwycisz myszą za wierzchołki C lub B i przesuniesz je tak,
by trójkąt był rozwartokątny, to prosta ta pozostaje dalej na ekranie.
Uaktywnij w tej konstrukcji przyciski:
9
WYSOKOŚCI TRÓJKĄTA
Niech punkt A’ będzie punktem wspólnym tej prostej i prostej zawierającej
bok BC trójkąta.
Powtórz opisaną czynność dla pozostałych wierzchołków i boków trójkąta
ABC, uzyskując punkty B’ i C’ .
10
ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA
Utwórz odcinki AA’, BB’ i CC’. Są to wysokości trójkąta ABC.
Punkty A’, B’ i C’ będziemy nazywać spodkami wysokości.
Czy spodki wysokości należą zawsze do boków trójkąta?
Zauważ, że niezależnie od położenia wierzchołków trójkąta jego
wysokości zawsze przecinają się w pewnym punkcie.
Punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta. Oznacz go literą H.
(z j. ang. hight = wysokość).
11
TRÓJKĄT O WIERZCHOŁKACH NA BOKACH INNEGO
TRÓJKĄTA
Obierz na każdym z boków trójkąta po jednym dowolnym punkcie
i oznacz je kolejno: K na boku AB, L na boku CB i M na boku AC.
Utwórz trójkąt KLM i zmierz jego obwód. Przesuwaj punkty K, L i M
po bokach trójkąta ABC i obserwuj, jak zmienia się obwód trójkąta
KLM.
Kiedy jest on najmniejszy, kiedy największy?
Skorzystaj ze wskazówki umieszczonej w pliki GeoGebry.
Sformułuj odkrytą własność.
12
TRÓJKĄT SPODKOWY
Uaktywniaj przyciski GeoGebry by obserwować położenie punktów K, L i
M oraz obwód trójkąta KLM.
Czy zauważyłeś, że trójkąt ostrokątny KLM ma najmniejszy obwód
w sytuacji, gdy jego wierzchołki K, L i M są spodkami wysokości tego
trójkąta?
O trójkącie KLM powiemy, że jest trójkątem spodkowym.
Zatem: z wszystkich trójkątów, których wierzchołki znajdują się na
bokach trójkąta ABC najmniejszy ma obwód ten, który jest trójkątem
spodkowym trójkąta ABC.
13
WŁASNOŚCI ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA
Ortocentrum każdego trójkąta ma niezwykle proste, ale bardzo
interesujące własności. Kilka z nich odkrył w latach 50. poprzedniego
stulecia węgierski matematyk George Pólya - wielki popularyzator wiedzy
matematycznej.
Poniższe dynamiczne eksperymenty ułatwią Ci odkrycie tych własności.
14
WŁASNOŚCI ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA
Utwórz dowolny trójkąt ABC. Skonstruuj jego ortocentrum H.
Skonstruuj okrąg opisany na trójkącie ABC. Poprowadź proste
zawierające boki trójkąta i przekształć ortocentrum H w symetrii
względem tych prostych.
Otrzymane punkty oznacz: H1 =SAC(H), H2 = SCB(H), H3 = SAB(H).
Jakie jest położenie tych punktów względem okręgu opisanego na
trójkącie ABC?
15
OBRAZY ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA W SYMETRIACH
Skonstruuj środki A’, B’, C’ boków trójkąta ABC.
Przekształć ortocentrum H w symetrii środkowej względem
punktów A’, B’, C’ .
Otrzymane punkty oznacz:
H’ =SA’ (H), H ‘’= SB’ (H), H’’’ =S.C.’ B(H)
Jakie jest położenie punktów H’, H’’, H’’’
16
OBRAZY ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA W SYMETRIACH
Czy zauważyłeś, że niezależnie od wielkości i kształtu trójkąta ABC obrazy
jego ortocentrum H względem boków trójkąta leżą zawsze na okręgu
opisanym na nim?
Czy to przypadek?
Podobnie, niezależnie od wielkości i kształtu trójkąta ABC obrazy jego
ortocentrum H względem środków boków trójkąta też leżą zawsze na
okręgu na nim opisanym.
Można powiedzieć, że na okręgu opisanym na trójkącie znajduje się
dziewięć tzw. punktów charakterystycznych trójkąta: trzy jego wierzchołki,
trzy obrazy ortocentrum w symetrii względem jego boków i trzy obrazy
ortocentrum względem środków jego boków.
Jak się później dowiesz, nie są to jedyne punkty charakterystyczne
trójkąta, leżące na okręgu opisanym na nim.
17
OBRAZY ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA W SYMETRIACH
Odkryte punkty charakterystyczne trójkąta ABC nie są przypadkowymi
punktami. Utwórzmy kilka odcinków łaczących niektóre z nich.
Rozważ sześciokąt powstały z połączenia wierzchołków trójkąta ABC z H’,
H’’, H’’’. Dorysuj odcinki AH, BH i CH i spójrz na całość jak na rysunek
przestrzenny.
Czy dostrzegasz w nim rzut jakiegoś znanego Ci obiektu przestrzennego?
18
OBRAZY ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA W SYMETRIACH
Jak niewątpliwie zauważyłeś, utworzone odcinki zamknęły się w rzut
pewnego prostopadłościanu.
W rzucie tego prostopadłościanu brakuje jednak ósmego wierzchołka.
Gdzie należy go umieścić, by konstrukcja przedstawiała kompletny
rzut tego przestrzennego obiektu?
Spróbuj tak ustawić położenia wierzchołków trójkąta ABC, by rzut tego
prostopadłościanu stał się dokładnie rzutem sześcianu?
Jakim trójkątem wówczas jest trójkąt ABC?
19
OBRAZY ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA W SYMETRIACH
Aby znaleźć ósmy wierzchołek, powinniśmy wykreślić trzy dodatkowe
proste równoległe do wykreślonych już rzutów krawędzi tego
prostopadłościanu.
Ilustruje oto poniższa konstrukcja GeoGebry.
20
OBRAZY ORTOCENTRUM JAKO WIERZCHOŁKI RZUTU
PROSTOPADŁOŚCIANU
Jeżeli masz trudności z odpowiedzią na to pytanie, skonstruuj
równoległą do odcinka WB przechodzącą przez punkt H’’ i równoległą
do odcinka HA przechodzącą przez punkt H’.
Niech punkt U będzie punktem wspólnym tych prostych.
Poprowadź odcinki UH’, UH’’ i UH’’’ .
Czy teraz dostrzegasz pełny kształt rzutu znanego Ci wielościanu?
21
OBRAZY ORTOCENTRUM JAKO WIERZCHOŁKI RZUTU
PROSTOPADŁOŚCIANU
Czy dostrzegasz, jakim szczególnym punktem jest znaleziony ósmy
wierzchołek sześcianu, którego rzut utworzył się na ekranie?
Jeśli nie, to zaobserwuj relację, w jakiej znajduje się ten punkt,
ortocentrum i środek okręgu opisanego.
Czy zauważyłeś, że poszukiwany ósmy wierzchołek rzutu sześcianu
jest obrazem ortocentrum trójkąta ABC w symetrii względem środka
okręgu opisanego na nim?
22
TWIERDZENIA
Obrazy ortocentrum H tego trójkąta w symetrii osiowej
względem prostych zawierających jego boki znajdują się na
okręgu opisanym na tym trójkącie.
Obrazy ortocentrum (punkty odpowiednio H’, H’’, H’’’)
w symetrii względem środków boków BC, CA i AB trójkąta
znajdują się na okręgu opisanym na nim.
23
TWIERDZENIA
Siedem punktów: trzy wierzchołki trójkąta, trzy obrazy
ortocentrum w symetrii względem boków trójkąta oraz
ortocentrum H trójkąta po odpowiednim połączeniu odcinkami
tworzą rzut pewnego prostopadłościanu.
Ósmy wierzchołek w tym rzucie prostopadłościanu jest obrazem
ortocentrum w symetrii względem środka okręgu opisanego na
tym trójkącie.
Gdy trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym, wówczas rzut
prostopadłościanu staje się rzutem sześcianu.
24
LEKCJA 2
ŚRODKOWE TRÓJKĄTA
I ŚRODEK CIĘŻKOŚCI
TRÓJKĄTA
25
ŚRODEK CIĘŻKOŚCI FIGURY PŁASKIEJ
Mechanicy, fizycy, inżynierowie, akrobaci cyrkowi, tancerki, a nawet
kominiarze to zawody wymagające dobrej znajomości pojęcia środka
ciężkości.
Dla figury płaskiej jest to taki jej punkt, który zastępuje masę (ciężar)
całej figury.
Zajmijmy się poszukiwaniem takiego punktu dla trójkąta.
26
ŚRODKOWE TRÓJKĄTA
W dowolnym trójkącie ABC wyznacz środki jego boków.
Oznacz odpowiednio:
środek boku BC jako A’, boku CA jako B’ i wreszcie boku AB jako
C’.
Utwórz odcinki AA’, BB’.
Znajdź punkt przecięcia S tych odcinków.
Poprowadź odcinek CC’.
Czy odcinek CC’ przechodzi przez punkt S?
Sprawdź to po zmianie położenia wierzchołków trójkąta.
27
ŚRODEK CIĘŻKOŚCI TRÓJKĄTA
Odcinki AA’, BB’ i CC’ nazywamy środkowymi trójkąta
a punkt przecięcia tych odcinków - jego środkiem ciężkości.
Aby zrozumieć jego znaczenie, wykonaj pewien prosty eksperyment.
Wytnij z grubszej sklejki lub pilśni dowolny trójkąt i skonstruuj jego
środek ciężkości.
Obróć ten trójkąt „do góry nogami” i podłuż w wyznaczonym punkcie
środka jego ciężkości zaostrzony przedmiot (długopis, gwóźdź, cyrkiel itp.).
Czy trójkąt ten utrzymuje się stale w równowadze?
Film prezentuje to doświadczenie.
Utworzone przez Ciebie odcinki dzielą
trójkąt ABC na sześć trójkątów.
Utwórz je w GeoGebrze, a następnie
odczytaj ich pola obliczone przez program.
Co zauważasz interesującego?
28
WŁASNOŚĆ ŚRODKA CIĘŻKOŚCI TRÓJKĄTA
Poruszając wierzchołkami trójkąta ABC możesz zaobserwować,
że położenie środka ciężkości na każdej ze środkowych nie jest
przypadkowe.
Zmierz dla przykładu długości odcinków AS i SA’.
Wykorzystując kalkulator oblicz iloraz AS/SA’.
Czy jest on przypadkową liczbą?
Poruszaj wierzchołkami trójkąta i obserwuj, czy ta liczba się zmienia.
Oblicz ilorazy długości pozostałych par odcinków: BS/SB’ i CS/SC’.
Sformułuj odkryte własności trójkąta, jego środkowych i środka ciężkości.
29
ŚRODEK CIĘŻKOŚCI CZWOROKĄTA
Zauważ, że niezależnie od rodzaju trójkąta środek ciężkości zawsze
znajduje się w jego wnętrzu.
Czy tę własność posiadają jednak inne wielokąty?
Sprawdźmy to na przykładzie czworokąta.
Ale jak znaleźć geometrycznie jego środek ciężkości?
Oto film ilustrujący kolejne kroki konstrukcji środka ciężkości czworokąta.
30
ŚRODEK CIĘŻKOŚCI CZWOROKĄTA
Zauważmy, że jeśli czworokąt będzie wklęsły, to jego środek ciężkości
znika, gdyż skonstruowane odcinki S1S2 i S3S4 nie przecinają się.
D
D
TR1
S1
TR2
S2
S1
B
S4
S2A
S1
TR3
S4
C
S3
S3
S2
C
S3
TR4
S4
A
S1S2
B
S3S4
S
31
ŚRODEK CIĘŻKOŚCI CZWOROKĄTA WKLĘSŁEGO
Czy to oznacza, że mimo tego ten czworokąt nie posiada środka ciężkości?
Nie, on znajduje się poza tym czworokątem. Można się o tym przekonać,
wykonując proste doświadczenie:
Dwa widelce umieszczamy jeden w drugim, a następnie zawieszamy je
w równowadze za pomocą prętu.
Mimo że widelce te stanowią figurę wklęsłą, to utrzymują się w równowadze,
a położenie palca podtrzymującego tę konstrukcję wskazuje środek ciężkości
tego wklęsłego układu widelców. Leży on zdecydowanie poza układem.
32
ŚRODEK CIĘŻKOŚCI DOWOLNEGO WIELOKĄTA
Środek ciężkości trójkąta, czworokąta lub innego wielokąta można
odnaleźć również w programie GeoGebra za pomocą jednego
polecenia: ŚrodekCiężkości[nazwa wielokąta]
33
WSPÓŁRZĘDNE ŚRODKA CIĘŻKOŚCI TRÓJKĄTA
Jeśli znamy współrzędne wierzchołków trójka, wówczas współrzędne jego
środka ciężkości są średnimi arytmetycznymi współrzędnych jego
wierzchołków. Sprawdźmy to na przykładzie. Odcięta i rzędna punktu S
Przyjmują wartości:  3  1  5  1
3
1 2  4
1
3
co zgadza się
z obliczeniami GeoGebry.
34
TWIERDZENIA
Środkowe dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie,
który jest środkiem ciężkości trójkąta.
Punkt ten dzieli każdą środkową na dwa odcinki, których stosunek
dłuższego do krótszego wynosi zawsze 2.
35
LEKCJA 3
DWUSIECZNE I SYMETRALNE
TRÓJKĄTA A OKRĄG
DWUNASTU PUNKTÓW
TRÓJKĄTA
36
DWUSIECZNE I SYMETRALNE W TRÓJKĄCIE
W gimnazjum nauczyłeś się konstruować symetralne boków trójkąta
i dwusieczne jego kątów.
Przypomnijmy, że punkt przecięcia się symetralnych wyznacza środek
okręgu opisanego na trójkącie, zaś punkt przecięcia się dwusiecznych
wyznacza środek okręgu wpisanego w trójkąt.
Okazuje się, że pomiędzy symetralnymi i dwusiecznymi zachodzi
interesująca relacja, odkryta w Polsce w 1995 roku, którą teraz Ty będziesz
mógł odkryć.
37
DWUSIECZNE I SYMETRALNE W TRÓJKĄCIE
Rozważ dowolny trójkąt ABC i okrąg opisany na nim.
Możesz zmieniać dowolnie położenie wierzchołków trójkąta ABC.
Zaobserwuj, jak położone są względem siebie: symetralna boku BC
i dwusieczna kąta BAC.
Czy mogą być do siebie równoległe?
Czy przecinają się?
Jeśli tak, to gdzie?
Czy uważasz to położenie za przypadkowe?
Sprawdź czy tę własność spełniają inne symetralne i dwusieczne tego
trójkąta.
38
PUNKTY PRZECIĘCIA DWUSIECZNYCH I SYMETRALNYCH
TRÓJKĄTA
39
PUNKTY PRZECIĘCIA DWUSIECZNYCH I SYMETRALNYCH
TRÓJKĄTA
Skonstruuj trójkąt, którego wierzchołkami są punkty przecięcia się
symetralnych i dwusiecznych trójkąta ABC.
Niech to będzie trójkąt A’B’C’’.
Czym są dwusieczne kątów trójkąta ABC dla trójkąta A’B’C’?
40
TRÓJKĄT O WIERZCHOŁKACH W PUNKTACH PRZECIĘCIA
DWUSIECZNYCH I SYMETRALNYCH TRÓJKĄTA
Rozważ trójkąt A’’B’’C’’, którego wierzchołki są punktami przecięcia
dwusiecznych trójkąta ABC z bokami trójkąta A’B’C’.
Trójkąt ten jest dla trójkąta A’B’C’ trójkątem spodkowym.
41
TRÓJKĄT O WIERZCHOŁKACH W PUNKTACH PRZECIĘCIA
DWUSIECZNYCH I SYMETRALNYCH TRÓJKĄTA
Jakie jest jego położenie względem trójkąta ABC?
Zmierz boki obu trójkątów.
W jakim przekształceniu trójkąt A’’B’’C’’ jest obrazem trójkąta ABC?
Opisz na trójkącie A’’B’’C’’ okrąg i zastanów się, w jakiej relacji pozostają
promienie tego okręgu i okręgu opisanego na trójkącie A’B’C’.
Znajdź środek W jednokładności trójkątów A’’B’’C’’ i ABC.
W trakcie konstruowania prostych AA’’, BB’’ i CC’’,
zaobserwuj, czym są te proste dla trójkąta A’B’C’?
42
TRÓJKĄT O WIERZCHOŁKACH W PUNKTACH PRZECIĘCIA
DWUSIECZNYCH I SYMETRALNYCH TRÓJKĄTA
43
TRÓJKĄT O WIERZCHOŁKACH W PUNKTACH PRZECIĘCIA
DWUSIECZNYCH I SYMETRALNYCH TRÓJKĄTA
Utwórz okrąg o(A’,A’B).
Które jeszcze punkty należą do tego okręgu? Dlaczego?
Zmierz kąty CA’C’’ i C’’AW, a następnie kąty WA’B’’ i B’’A’B.
Co dostrzegasz? Czy ma to jakiś związek z okręgiem o(A’, A’B)?
Sformułuj treść odkrytego przez Ciebie twierdzenia.
Spróbuj je udowodnić?
Zbadaj relacje między dwusiecznymi a bokami trójkąta A’B’C’.
44
TRÓJKĄT O WIERZCHOŁKACH W PUNKTACH PRZECIĘCIA
DWUSIECZNYCH I SYMETRALNYCH TRÓJKĄTA
45
OKRĄG DWUNASTU PUNKTÓW TRÓJKĄTA
A teraz spróbujemy dostrzec zależność pomiędzy punktami przecięcia
się dwusiecznych kątów trójkąta z symetralnymi jego boków
w kontekście poznanych już wcześniej sześciu obrazów ortocentrum
trójkąta w symetriach jego boków i w symetriach względem środków
tych boków.
Łącznie z wierzchołkami trójkąta jest 12 takich punktów. Wszystkie leżą
na okręgu opisanym na trójkącie.
Sprawdź to, poruszając wierzchołkami trójkąta. Spróbujmy dopatrzeć
się zależności położeń tych punktów i punktów przecięcia się
symetralnych z dwusiecznymi.
46
TWIERDZENIA
Dwusieczne kątów i symetralne przeciwległych im boków
przecinają się w punktach na okręgu opisanym na tym trójkącie.
Punkty te są wierzchołkami nowo utworzonego trójkąta, którego
wysokości pokrywają się z dwusiecznymi poprzedniego trójkąta.
Trójkąt spodkowy nowo utworzonego trójkąta jest jednokładny
z trójkątem bazowym w skali 1/2.
Punkty przecięcia się symetralnych boków trójkąta z dwusiecznymi
jego kątów są środkami łuków o końcach będących obrazami
ortocentrum w symetrii względem boków trójkąta i środków tych
boków.
47
LEKCJA 4
TRÓJKĄTY RÓWNOBOCZNE
ZBUDOWANE NA BOKACH
DOWOLNEGO TRÓJKĄTA
48
TWIERDZENIE NAPOLEONA BARLOTTIEGO
Historia matematyki zna takie sytuacje, w których kilku matematyków,
zajmując się niemal tym samym problemem, odkryło niezależnie od
siebie wiele znaczących równych twierdzeń dotyczących trójkąta.
Tak się stało w wieku XVII i XVIII, kiedy któryś z matematyków utworzył
na bokach dowolnego trójkąta trójkąty równoboczne.
Okazało się wówczas, że w takiej konfiguracji można było dość szybko
dostrzec kilka interesujących własności. Odkrycie innych wymagało
już dokładniejszego przyjrzenia się trójkątowi.
W kolejnych slajdach będziesz miał możliwość poznania tych bardzo
popularnych własności trójkąta.
49
TWIERDZENIE NAPOLEONA BARLOTTIEGO
Na bokach dowolnego trójkąta ABC skonstruowane są trójkąty
równoboczne.
Chwyć myszą za jeden z wierzchołków trójkąta ABC, by się o tym
przekonać.
Jakim trójkątem jest trójkąt PQR?
Odpowiedz na to pytanie poruszając wierzchołkami A, B, C w poniższej
konstrukcji GeoGeobry.
50
TWIERDZENIE NAPOLEONA BARLOTTIEGO
Czy możesz tak ustalić położenie punktów A, B i C, aby cztery
z pięciu trójkątów widocznych na ekranie pokryły się?
Co dzieje się wówczas z piątym trójkątem?
51
TWIERDZENIE NAPOLEONA BARLOTTIEGO
Czy dostrzeżona przez Ciebie własność pozostaje prawdziwa, gdy trójkąty
BCL, ABK i ACM będą skonstruowane „do wnętrza” trójkąta bazowego
ABC?
Dla zbadania tego problemu wykonaj własną konstrukcję. W tworzeniu jej
użyj makrokonstrukcję trójkąta równobocznego oraz makrokonstrukcję
ortocentrum trójkąta.
Poniżej znajduje się link do filmu opisującego sposób tworzenia
tych makrokonstrukcji w GeoGebrze.
52
TWIERDZENIE NAPOLEONA BARLOTTIEGO
Twierdzenie to odkrył znany z historii wódź francuski Napoleon Bonaparte.
Przez dorysowanie trójkątów równobocznych na bokach dowolnego
trójkąta można jeszcze odkryć kilka innych własności. Na kolejnym
slajdzie zobaczysz przygodę matematyczną zwaną problemem
Torricellego  Fermata.
W tym celu na bokach dowolnego trójkąta ABC, w którym żaden z kątów
wewnętrznych nie przekracza miary 120º skonstruuj trójkąty równoboczne.
53
TWIERDZENIE TORRICELLEGO
Chwyć myszą za jeden z wierzchołków trójkąta ABC by się o tym
przekonać.
Utwórz trzy odcinki, z których każdy łączy jeden z wierzchołków trójkąta
ABC z wierzchołkiem trójkąta skonstruowanego na boku przeciwległym
temu wierzchołkowi. Poruszaj dowolnym z wierzchołków trójkąta ABC
i obserwuj zachowanie się utworzonych odcinków.
Czy odcinki te przecinają się?
Czy zawsze?
Który z nich jest najdłuższy?
Czy proste zawierające te odcinki przecinają
się ze sobą?
54
TWIERDZENIE TORRICELLEGO
55
TWIERDZENIE TORRICELLEGO
Oznacz przez T punkt, w którym przecinają się odcinki AL, BM i CK.
Punkt ten nazywamy punktem Torricellego (Jan Evangelista Torricelli
1608-1647).
56
TWIERDZENIE TORRICELLEGO
Zmierz kąty, jakie tworzą te odcinki między sobą. Co dostrzegasz?
Na każdym z trzech skonstruowanych trójkątów równobocznych opisz
okrąg.
Czy tak skonstruowane okręgi przecinają się?
Czy zawsze? Jeżeli tak, to gdzie znajduje się ich wspólny punkt?
57
PUNKT TORRICELLEGO
Rozważ odcinek łączący środki dwóch skonstruowanych okręgów
opisanych i odcinek łączący wierzchołek nowo powstałego trójkąta
równobocznego, na którym jest opisany trzeci okrąg z wierzchołkiem
trójkąta ABC, który nie należy do tego trójkąta równobocznego.
Jak te odcinki są położone względem siebie? Sprawdź swoje
przypuszczenia.
58
PUNKT TORRICELLEGO
Punkt T zwany punktem Torricellego ma jeszcze jedną szczególną własność.
Poniższa konstrukcja pozwoli Ci ją odczytać.
Porównaj ze sobą wartość sumy odległości punktu T od wierzchołków
trójkąta i tę samą sumę dla dowolnego punktu P różnego od T.
Poruszaj punktem P i znajdź takie jego położenie, by PA + PB + PC było
minimalne.
59
PUNKT FERMATA  TORRICELLEGO
Problem poszukiwania punktu P, dla którego PA + PB + PC jest
minimalne postawił francuski matematyk Pierre Fermat.
Okazuje się, że punkt Torricellego jest równocześnie punktem Fermata.
Pierre Fermat (1601-1665) rozwiązał swój problem w bardzo oryginalny
sposób. Potem dostrzeżono, że jego rozwiązanie pokrywa się z punktem
Torricellego.
Jeśli chcesz poznać rozwiązanie Fermata, obejrzyj film
Znajdź w Internecie biografię Pierre’a Fermata.
Dowiedz się również, co to są problemy optymalizacyjne.
60
Czy problem Fermata należy do nich?
TWIERDZENIA
Jeżeli na bokach dowolnego trójkąta skonstruujemy trójkąty
równoboczne, to trójkąt, którego wierzchołkami są ortocentra tych
trójkątów jest też równoboczny.
Autorem tego twierdzenia jest znany z historii Napoleon Bonaparte oraz
włoski matematyk Adriano Barlotti, który w 1955 roku uogólnił to
twierdzenie.
Spróbuj przenieść analogicznie to twierdzenie na kwadraty i sześciokąty
foremne zbudowane na bokach dowolnego trójkąta czworokąta lub
sześciokąta. Czy są one prawdziwe?
61
TWIERDZENIA
Jeżeli na bokach dowolnego trójkąta, w którym żaden z kątów nie
przekracza miary 120º skonstruujemy trójkąty równoboczne, wówczas
odcinki łączące dowolny wierzchołek trójkąta bazowego
z wierzchołkiem trójkąta dorysowanego na boku przeciwległym temu
wierzchołkowi są równej długości.
Proste w których te odcinki zawierają się, przecinają się zawsze
w jednym punkcie zwanym punktem Torricellego  Fermata i tworzą
między sobą kąt 120º (60º).
Okręgi opisane na dorysowanych trójkątach przecinają się również
w punkcie Torricellego  Fermata, przy czym odcinek łączący środki
dwóch z nich jest prostopadły do odcinka łączącego trzeci
wierzchołek trójkąta z punktem Torricellego.
62
LEKCJA 5
PROSTA I OKRĄG EULERA
63
LEONARD EULER
Wspomniane w poprzednich lekcjach punkty charakterystyczne trójkąta
mają jeszcze wiele rozmaitych własności. Kilka z nich zawdzięczamy
odkryciom dokonanym przez wybitnego matematyka szwajcarskiego,
który część swego życia spędził w ówczesnej Rosji, a następnie w Berlinie.
Ciekawostką jest fakt, że matematyk ten od 50. roku stracił całkowicie
wzrok.
Mimo tego faktu jego niesamowita pamięć i zdolność obliczania
w pamięci skomplikowanych obliczeń pozwoliła mu rozwiązać wiele
problemów z matematyki, które pieczołowicie spisywali jego synowie.
Leonard Euler, bo o nim mowa, dzięki słynnym mostom królewieckim,
stworzył podwaliny teorii grafów. W trójkącie odnalazł własności znane
pod nazwą prostej i okręgu Eulera.
64
PROSTA LEONARDA EULERA
Rozważmy dowolny trójkąt ABC.
Wyznaczmy punkty charakterystyczne trójkąta, do których zaliczamy:
ortocentrum (H), środek ciężkości (M), punkt przecięcia się
środkowych, środek okręgu opisanego i wpisanego.
Chwyć myszą dowolny wierzchołek trójkąta i zaobserwuj, jak
w trakcie zmiany jego położenia zmienia się położenie tych punktów
względem trójkąta i względem siebie.
Czy ortocentrum H może zająć położenie jednego z wierzchołków
trójkąta?
Gdzie wówczas znajduje się punkt O? Jaki to trójkąt ?
65
PROSTA LEONARDA EULERA
Zwróć szczególną uwagę na punkty H, M i O.
Czy może się zdarzyć, by któreś trzy z nich były współliniowe?
Jeżeli tak, to jakie jest ich uporządkowanie na tej wspólnej prostej?
Który z tej trójki punktów znajduje się pomiędzy pozostałymi?
66
PROSTA LEONARDA EULERA
Utwórz odcinki MH i MO.
Zmierz je i zaobserwuj, jaka relacja zachodzi między ich długościami
w trakcie zmiany położenia wierzchołków trójkąta ABC.
67
OKRĄG LEONARDA EULERA
Rozważ w dowolnym trójkącie ABC środki A’, B’ i C’ jego boków
i skonstruuj okrąg przechodzący przez te punkty.
Jakim szczególnym punktem trójkąta jest środek E tego okręgu?
Dla ułatwienia skonstruuj odcinek OH, gdzie O jest środkiem okręgu
opisanego na trójkącie ABC, zaś H jego ortocentrum
Poprowadź wysokości AH1, BH2 i CH3, gdzie punkty H1, H2 i H3 są ich
spodkami.
Gdzie znajdują się te punkty?
Czy jest to fakt przypadkowy?
Poruszaj dowolnym z wierzchołków trójkąta ABC i zaobserwuj, czy to, co
dostrzegłeś jest prawdziwe w przypadku innych trójkątów?
68
OKRĄG LEONARDA EULERA
Skonstruuj środki P, Q i R odcinków HA, HB i HC,
gdzie H jest ortocentrum trójkąta ABC.
Gdzie znajdują się te trzy nowopowstałe punkty?
Czy ten fakt jest przypadkowy?
Znowu zmień położenie wierzchołków trójkąta
i zaobserwuj, czy własności dostrzeżone przez Ciebie zmieniły się?
69
OKRĄG LEONARDA EULERA
Zmierz promień okręgu opisanego (np. OA) i promień okręgu o środku E (np. EC).
Co tym razem dostrzegasz?
Zbadaj, czy środek okręgu Eulera leży na prostej Eulera.
Sformułuj w postaci twierdzenia odkryte fakty i spróbuj je uzasadnić.
70
TWIERDZENIA
Środek okręgu opisanego na dowolnym trójkącie, środek ciężkości i
ortocentrum tego trójkąta leżą na wspólnej prostej zwanej prostą
Eulera, przy czym środek ciężkości leży zawsze pomiędzy pozostałymi
punktami i jego odległość od ortocentrum jest dwukrotną odległością
od środka okręgu opisanego.
71
TWIERDZENIA
Środki boków dowolnego trójkąta i spodki jego wysokości
należą do wspólnego okręgu, zwanego okręgiem Eulera - Feuerbacha.
Do okręgu tego należą również środki odcinków łączących
ortocentrum trójkąta z każdym z jego wierzchołków.
Środek tego okręgu znajduje się w środku odcinka łączącego
ortocentrum ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie, a długość
jego promienia jest połową długości promienia okręgu opisanego na
trójkącie.
72
ZAMKNIĘTE
OTWARTE
73