Transcript Mocniny, odmocniny

Daniel Traub, T4C
Mocniny, odmocniny
Pravidla pro počítání
Částečné odmocňování
Usměrňování zlomků
Mocnina a historie
• Již u starověkých řeků ( geometrické úlohy)
 Druhá a třetí mocnina
• Heron z Alexandrie –čtvrtá mocnina
• Diofantos z Alexandrie (konec 3. stol. n. l.)
 šestá mocnina
• Vliv indické matametiky
• René Descartes (1596 až 1650), fran. Matem.
 dílo Géométire (1637), zaveden souč. zápis
Umocňování
• Matematická funkce, vyjadřuje opakované násobení.
Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je
samo násebení ke sčítání. Umocňování slouží ke
zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:
Umocňování
• V tomto vzorci se a označuje jako základ mocniny
(mocněnec) a n se nazývá exponent (mocnitel).
Výsledek je n-tá mocnina čísla a, a na n-tou.
Speciálním případem prázdného součinu je a0 = 1
(pro a > 1).
(pro
• Když nelze psát exponent na horní pozici,
používá se často zápis ve tvaru a^b, někdy také
a**b.
Zobecnění funkce
• Výše uvedená definice mocnění jako opakovaného
násobení je použitelná jen pro přirozené
exponenty. Záporné exponenty označují mocninu
převráceného čísla:
• Zobecnění pro racionální exponent:
Zobecnění funkce
• Mocniny s komplexními exponenty jsou
definovány následujícím způsobem: Je-li s
reálnými čísly a, b, r > 0 a φ, pak platí
Pravidla pro počítání
a0 = 1 pro a ≠ 0 (pro 00 viz dále)
Umocňování není obecně komutativní (2³ = 8 ≠ 9 = 3²).
Rychlost růstu
• Mocnina je velice rychle rostoucí funkce, jedna z nejrychleji
rostoucích běžně používaných funkcí.
• List papíru se nechá obvykle přeložit (na polovinu) jen asi
sedmkrát. Výsledkem je 128 (27) vrstev papíru. Pokud by
(teoreticky) takový papír byl přeložen 42krát, vrstva papíru by
měla tloušťku rovnající se vzdálenosti ze Země na Měsíc.
• Každý člověk má dva biologické rodiče, čtyři prarodiče, osm
praprarodičů atd. Pokud sledujeme tento rodokmen dále, dejme
tomu 70 generací, dostaneme se až do doby narození Ježíše Krista.
V tomto případě počet předků každého člověka představuje 270
= 180 591 620 717 411 303 424 lidí. To výrazně přesahuje počet
všech dosud žijících lidí.
0 na 0-tou
• Obecně není výraz 0 na 0ltou definován
• Limita v tomto tvaru je tzv. neurčitý výraz a pro její
vyčíslení je potřeba použít jinou techniku (např.
L'Hôpitalovo pravidlo)
• Dvojí pohled 1) funkce x0, všude (kromě nuly) = 1 , je
možno ji v nule dodef. stejně a klade se 00 = 1.
• 2) funkce 0x, všude (kromě nuly) nulová, takže se v nule
dodefinuje 00 = 0.
• Běžně hlavně první definice, 00 = 1.
• Pro použití první definice několik závažných důvodů, mezi
nejdůležitější patří binomická věta, pro jejíž obecnou
platnost je tato definice vyžadována.
Algoritmus výpočtu druhé
mocniny
• umocníme dvěma první číslici,
• k dvojnásobku čísla zapsaného první číslicí připíšeme druhou číslici a
vzniklé číslo násobíme touto druhou číslicí,
• k dvojnásobku čísla zapsaného prvními dvěmi číslicemi připíšeme třetí
číslici a vzniklé číslo násobíme třetí číslicí,
• dále pokračujeme v načatém algoritmu,
• součin každého dalšího řádku píšeme o dvě místa vpravo.
Příklad: 4 5232
Odmocnina a historie
• Objev Pythagorovy věty pomohl zjistit, že úhlopříčka čtverce není
vyjádřitelná racionálními hodnotami, tj. že její délku není možné
vyjádřit jako celé nebo lomené číslo. Tento objev způsobil velký
nesoulad v tehdejších řeckých filozofických a matematických
poznatcích. Nemáme bezpečnou zprávu o tom, jak Archimédes (asi
287 – 212 před n. l.) určoval druhé odmocniny ve svých výpočtech.
Používal pravděpodobně, stejně jako Heron, přibližnou hodnotu
podle vzorce
• Tento způsob odmocňování znali prý už Babyloňané. Znak odmocniny
se objevil na konci 15. století. Současný znak se začal používat už
Simon Stevin (1548 – 1620) a Albert Girard (1595 – 1632) na konci
16. století a poupátkem 17. století.
Odmocňování
.
• Odmocňování jako inverzní operace k umocňování
• Nechť n je libovolné přirozené číslo, a nezáporné číslo, pak takové
(jediné) nezáporné číslo b, pro které platí bn = a , se nazývá n – tá
odmocnina čísla a. Zapisujeme
Číslu se říká základ
odmocniny (nebo odmocněnec) a číslu n odmocnitel.
• Je-li
je
• Je-li a > 0 ,je
pro každé
• Speciálně
•
pro n=2 píšeme
jen
•
pro každé reálné číslo a platí
• Neboť pro a >= 0 je
, avšak pro a < 0 je
• Zobecnění: Pro každé sudé přirozené číslo n a každé reálné číslo
a platí
Vzorce pro počítání s
odmocninami
• Pro m,n … přirozená čísla, a >= 0
• Vzorec lze rozšířit na libovolný konečný počet odmocnin s týmž
odmocnitelem:
• Pro m,n … přirozená čísla, a >= 0, b > 0
• Pro n,o … přirozená čísla, a >= 0
Částečné odmocňování
• Ze vzorců
•
plyne
že je
•
Pro každé
• Této úpravě se říká částečné odmocňování a obrácené úpravě
převedení činitele a do odmocněnce.
Algoritmus výpočtu druhé
odmocniny
• odmocněnce rozdělíme na dvojčísli zprava
doleva, při desetinném čísle na dvojčísli od
desetinné čárky doprava i doleva,
• první číslici odmocniny dostaneme odmocněním
prvního dvojčíslí
• od prvního dvojčíslí odečteme druhou mocninu
první číslice odmocniny a k rozdílu připíšeme
další dvojčíslí
• v dělenci zatrhneme poslední místo a zbylé číslo
dělíme dvojnásobkem dosavadního výsledku,
• výsledek dělení zapíšeme do výsledku a
současně ji připíšeme k děliteli
• vzniklé číslo násobíme stejným číslem a
výsledek odečteme od původního čísla (viz
příklad).
Grafy funkcí
• Funkce y = x je inverzní k funkci y = xn, x  <0, +
) a n je sudé.
Usměrňování zlomků
• Některé zlomky obsahují ve jmenovateli odmocniny. Tyto
zlomky můžeme vhodným rozšířením upravit na zlomky
jim rovné, které ve jmenovateli odmocninu nemají. Tato
úprava se nazývá usměrňování zlomků.
• 1) Zlomek typu
kde
rozšíříme číslem
, čímž ve jmenovateli
dostaneme číslo a ;
2) Speciálně zlomek typu
rozšíříme číslem
abychom ve jmenovateli dostali číslo a.
Usměrňování zlomků
• 3) Zlomek typu
rozšíříme dvojčlenem
, takže ve jmenovateli bude pak číslo
Příklady
1
1
3
(x ) * (x )  x * x
3
4
4
6
4
4
17
6
 x 12
Příklady
17
4
6
x
3
x
2
4

6
x
3
x
2
6
*
6
x
2
x
2

x
12
x
5
1

x
12
x
12

x
1
5
Příklady
3  10
2*
6


2 18 

2*
5
1
6
60 + 2 15 
65
2
3  10
*
5
50

6+
5
6+
5

6 2  2 15 + 2 15  5 2
65

Příklady
1+
2+
3
1+
2
3


1+
2+

1+
2+
3
1+
2
3
3+
2+
3
1+
2+
3
6+
3+

6 +3
1+ 2 2 + 2  3
3+
2+
3+
2

2 +2+
*
1+
3 2 +2+3 6
2
6

3+
2+
3+
2
6
*

2
2

Konec
• Zdroje
•
•
•
•
•
•
http://adyhash.jinak.cz/funkce/6.6.htm
http://vedci.wz.cz/historie/20.htm
http://vedci.wz.cz/historie/21.htm
http://cs.wikipedia.org/wiki/Mocnina
http://mfweb.wz.cz/matematika/2.htm
http://adyhash.jinak.cz/funkce/6.4.htm