Transcript Связь дифференцируемости функции с непрерывностью

Связь дифференцируемости
функции с непрерывностью
Цель урока
• Установить, является ли дифференцируемая в точке
функция непрерывной в точке?
• и наоборот - является ли непрерывная функция в
точке дифференцируемой в точке?
• То есть, как связаны дифференцируемость функции
с непрерывностью и каково условие непрерывности
функции?
Вспомните:
• Дифференцируемой в точке функцией
называют функцию, имеющую…
• Непрерывной в точке x=a называют
функцию, если существует…
Как по графику функции сделать вывод о
дифференцируемости функции в точке?
• Если в некоторой точке к
графику функции можно
провести касательную, не
перпендикулярную оси
абсцисс, то в этой точке
функция дифференцируема.
• Если в некоторой точке
касательная к графику
функции не существует или
она перпендикулярна оси
абсцисс, то в этой точке
функция
недифференцируема
Функция y= f(x) непрерывна в точке x=a,
если
lim f (x) = f (a)
x→ a
x→ a, x-a →0, т.е. ∆x →0,то
f (x) → f (a), f (x) - f (a) →0,
т.е. ∆f →0
Функция y= f(x) непрерывна в точке x=a ,
если в этой точке выполняется условие:
при ∆x →0, ∆f →0
Связь непрерывности функции с
дифференцируемостью
• Если y= f(x) дифференцируема в точке х, т.е.
имеет производную в данной точке, тогда это
означает, что к графику функции в точке
М(х,f(x)) можно провести касательную,
причем К кас = f '(x), т.е.lim ∆f/∆x= f '(x),т.е.
∆x→0
∆f/∆x≈ f '(x), ∆f≈ f '(x) ∆x, при ∆x →0, то ∆f →0,
т.е. это и есть условие непрерывности
Теорема
(условие непрерывности функции в точке)
Если функция дифференцируема в точке х, то
она и непрерывна в этой точке.
Обратная теорема- неверна.
Если функция непрерывна в точке, то она
не является дифференцируемой в точке.
Примеры
• Функция
дифференцируема на
• Функция не
дифференцируема в
точках х =
• Функция непрерывна на
В точке х=
не является
непрерывной
Итог урока
• Какую функцию называют дифференцируемой в
точке?
• Какую функцию называют непрерывной в точке?
• Как по графику функции сделать вывод о
дифференцируемости функции в точке?
x=a
• Если функция дифференцируема
в точке, является
ли она непрерывной в точке?
• Если функция непрерывна в точке, является ли она
дифференцируемой в точке? Пример.
• Итак, каково условие непрерывности функции в
точке?