Transcript kolejki cz.1

ANALITYCZNE MODELE
SYSTEMÓW
KOLEJKOWYCH
Systemy
kolejkowe
prof. dr hab. Grażyna Karmowska
PRZYKŁADOWE SYSTEMY KOLEJKOWE
SYSTEM
RODZAJ
OBSŁUGI
ZGŁOSZENIA
STANOWISKA
OBSŁUGI
Sklep
Sprzedaż
towaru
Klient
Sprzedawca /
kasa
Port
Wyładunek
Statek
Miejsce
wyładunku
Lotnisko
Lądowanie
Samolot
Pas startowy
Park
maszynowy
Naprawa
maszyny
Uszkodzona
maszyna
Konserwator
Centrala
telefoniczna
Połączenie Klient
telefoniczne
Linia
telefoniczna
Gabinet
lekarski
Porada
lekarska
Pacjent
Lekarz
Studio
fryzjerskie
Strzyżenie
Klient
Fryzjer
RODZAJE POPULACJI,
Z KTÓRYCH MOGĄ POCHODZIĆ
KLIENCI
• POPULACJA SKOŃCZONA
O systemie ze skończoną liczbą klientów mówi
się wtedy, kiedy od liczby klientów
obsługiwanych i oczekujących na obsługę
zależy w istotny sposób rozmiar populacji nie
będącej w systemie
(np. system – sala wykładowa; klienci –
przepalające się żarówki; stanowisko obsługi –
pan Zbyszek wymieniający żarówki)
RODZAJE POPULACJI,
Z KTÓRYCH MOGĄ POCHODZIĆ KLIENCI
• POPULACJA NIESKOŃCZONA
System z nieskończoną liczbą klientów to taki
system, w którym liczba klientów poza
systemem (tzn. mogących potencjalnie
wejść do systemu) nie zależy od liczby
klientów obsługiwanych i oczekujących na
obsługę
(np. system - sieć telefoniczna na Wydziale o
dużej możliwości łączenia rozmów; klienci –
pracownicy Wydziału)
ORGANIZACJA KOLEJKI
Określony zestaw reguł, zgodnie z którym ustala się:
liczbę kolejek,
kolejność obsługiwanych klientów:
FIFO – First In First Out (pierwszy przyszedł,
pierwszy obsłużony);
LIFO – Last In First Out (ostatnie zgłoszenie
obsłużone jako pierwsze);
- losowa kolejność obsługi;
- priorytet niektórych zgłoszeń.
rozmiar dopuszczalnej kolejki:
ograniczona;
nieograniczona.
 możliwość niedokończenia obsługi przez stanowisko
obsługi
 możliwość opuszczenia systemu po oczekiwaniu w
kolejce przez pewien czas
 możliwość opuszczania systemu bez czekania
Problem „ogonków”
Zakładamy, że mamy pewne „urządzenie”
mogące świadczyć określone usługi w stosunku
do zgłaszających się jednostek
(np. centrala telefoniczna, kasa, okienko
pocztowe itp.)
Problem „ogonków”
Każda jednostka zgłaszająca się do urządzenia U w celu
otrzymania określonej usługi musi stanąć w ogonku,
jeśli w toku obsługiwania znajduje się już inna
jednostka.
Dopiero gdy obsłużona jednostka opuści urządzenie,
następna jednostka czekająca w ogonku będzie mogła
być obsłużona.
Tego rodzaju urządzenie nazywamy jednym
kanałem obsługi.
WE
WY
„OGONEK”
OBSŁUGA
Problem „ogonków”
OBSŁUGA
WE
OGONEK
OBSŁUGA
WY
OBSŁUGA
Urządzenie wielokanałowe
Jednostka czeka na obsługę w kolejce tylko wtedy, gdy
wszystkie kanały są już zajęte obsługiwaniem innych
jednostek.
Może się zdarzyć, że przy małej ilości zgłoszeń powstanie
kolejka czekających kanałów obsługi.
Problem „ogonków”
klienci
Stanowiska
obsługi
Równoległe stanowiska obsługi
Opuszczenie
systemu
Problem „ogonków”
klienci
Stanowisko
obsługi
klienci
Stanowisko
obsługi
Opuszczenie
systemu
Szeregowe stanowiska obsługi
Analiza funkcjonowania
urządzeń obsługujących
• określona ilość kanałów
• nie można z góry określić momentu
czasu przybycia jednostki
• A0(t) prawdopodobieństwo, że między
momentami przybycia dwóch kolejnych
jednostek upłynie okres czasu t lub
krótszy
• X – okres czasu upływający między

dwoma kolejnymi przybyciami
A0(t)=P(X t) dystrybuanta przybyć
Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących
W0(t) prawdopodobieństwo zdarzenia polegające na
tym, że między dwoma kolejnymi przybyciami
upłynie okres czasu dłuższy niż t (w okresie czasu
równym t nie przybędzie do urządzenia ani jedna
jednostka)
W0(t)=1- A0(t)=1- P(X t) =P(X>t)
dA0 (t )
a (t ) 
dt
dW0 (t )
  a (t )
dt
gęstość prawdopodobieństwa
Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących
t
A0 (t )   a(t )dt
0
t

a
t
W0 (t )  1   a(t )dt   a(t )dt
Średni okres czasu T jaki mija między dwoma
kolejnymi przybyciami:

T   W0 (t )dt
0
Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących

T   ta(t )dt
0



dW0 (t )
T   t
dt  tW0 (t )   W0 (t )dt
dt
0
0 0
Zakładamy, że to wyrażenie =0,
Stąd średni czas między dwoma kolejnymi
przybyciami:

T   W0 (t )dt
0
Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących
Średnia stopa przybyć
1

T
Założenia dotyczące przybyć jednostek w celu uzyskania
usługi rozpatrywanego urządzenia:
a) Ilość przybyć w dowolnym czasie jest niezależna od
ilości przybyć w innym okresie czasu;
b) Prawdopodobieństwo określonej ilości przybyć zależy
tylko od długości odcinka czasu, nie zależy od jego
początku i końca;
c) Wyklucza się możliwość dwóch lub więcej przybyć w
jednym i tym samym momencie czasowym;
prawdopodobieństwo jednego przybycia w okresie
czasu t równe jest t
Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących
W0 (t )  e t
rozkład Poissona
dW0 (t )
 t
a(t )  
 e
dt

t 
(t ) 
n
Wn
n!
e
 t
prawdopodobieństwo, że w czasie t
zdarzy się n przybyć
Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących
B0(t) prawdopodobieństwo czasu obsługi jednej jednostki.
(po analogicznych przekształceniach jak poprzednio
otrzymujemy)
Średni czas trwania obsługi jednej jednostki U

U   tb(t )dt
0
Jeżeli V0(t) jest prawdopodobieństwem tego, że obsługa
jakiejś jednostki będzie trwała dłużej niż t , to:

U   V0 (t )dt
0
Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących
Średnia stopa obsługi
1

U
Oznacza ile średnio jednostek obsługiwanych jest na
jednostkę czasu.
V0 (t )  e  t
rozkład wykładniczy
dV0 (t )
b(t )  
 e  t
dt
Założenia dotyczące strumienia jednostek wychodzących z
obsługi są analogiczne do założeń poprzednich.
Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących
Prawdopodobieństwo tego, że w ogonku będzie n jednostek

Pn  Pn 1

dla n  0,1,2,...

 Pn  1
n 0

Pn   

n
 
1  
 
Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących



Intensywność obsługi klienta
Ponieważ:


P0  1   1   0    


Przeciętna stopa przybywania jest mniejsza niż przeciętna
stopa obsługi.
Długość ogonka – ilość jednostek oczekujących +
jednostka znajdująca się w obsłudze


n 0
 
E (n)   nPn 