Transcript Fermi - Diracova raspodjela

Fermi – Dirakova
funkcija raspodjele
Model slobodnih elektrona
Šematski model kristala metala
kao što su Na, Li, K, itd.
Ravnotežni položaji atomskih
centara su u čvorovima kristalne
rešetke i oni su okruženi morem
provodnih (valentnih) elektrona.
Za Na, provodni elektroni su 3s
valentni elektroni slobodnih
atoma. Ostatak atoma sadrži 10
elektrona u slijedećoj
konfiguraciji: 1s22s2p6.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Poređenje klasične i kvantne statistike
• Klasični plin čine molekule tzv. Idealnog plina/gasa
• Elektronski plin su kvazislobodni, valentni provodni elektroni
________________________________________________________
Molekule idealnog gasa su klasične čestice čije se kretanje podvrgava
zakonima klasične fizike pa se njima u statiističkom smislu bavi
Maksvel-Bolcmanova klasična statistika.
Ovdje je svako mikrostanje jednoznačno određeno koordinatama položaja
i impulsa (x, y, z, px, py, pz). Svako takvo stanje je različito ,
a ove koordinate se mijenjaju NEPREKIDNO!
Elektronski plin čine elektroni. Elektroni imaju valna/talasna svojstva. Zato se
njihovo kretanje opisuje Šredingerovom jednačinom, a njihove energije i druge
karakteristike kretanja su KVANTIZIRANE, tj. mogu da poprime samo određene
diskretne vrijednosti.
Poređenje klasične i kvantne statistike
• Pored toga, za elektrone važe Hajzenbergove relacije
neodređenosti zbog čega element faznog prostora ne može biti
manji od h3:
• dx dy dz dpxdpydpz≥ h3:
• ¸tj. najmanje ćelije faznog prostora su veličine dτ = h3:
• 1) Prema tome, prva razlika između klasične M-B statistike i kvantne
F-D statistike je način podjele faznog prostora na elementarne
ćelije:
• Kod klasične statistike nema ograničenja na veličinu elementarne
ćelije. One ovdje mogu biti proizvoljno malene.
• Kod kvantne statistike ćelije faznog prostora ne mogu biti manje
od h3 za šestimenzionalni fazni prostor, odnosno ne mogu biti manje
od h3/V za trodimenzionalni fazni prostor.
Poređenje klasične i kvantne statistike
• Druga razlika je u tome što za elektrone važi Pulijev princip
isključivosti prema kojem se u svakom energetskom stanju mogu
naći samo 2 elektrona različitih spinova, tj. jedinična ćelija ne može
imati više od 2 elektrona.
• Treća razlika između ove dvije statistike je u tome što M-B statistika
individualizira molekule; permutacija dvije čestice klasičnog gasa
daje novo mikrostanje. Kod kvantne statistike se to ne dešava, sve
su čestice međusobno jednake i njihovom permutacijom se zato ne
stvara novo mikrostanje.
• F-D statistika traži funkciju raspodjele koja odgovara
najvjerovatnijem, tj. ravnotežnom stanju elektronskog gasa.
Funkcija raspodjele predstavlja vjerovatnost zaposijedanja
elementarnih ćelija faznog prostora elektronima
Fermijeva funkcija na T=0
i na nekoj konačnoj temperaturi T
f FD 
1
1 e
( E  EF ) / k BT
fFD(E,T)
•
fFD=? na 0°K
•
E<EF
f FD 
1
1 e
( E  E F ) / k BT
1
0.5
i. E>EF
E
E<EF
EF
E>EF
f FD 
1
1 e
( E  EF ) / k B T
0
Fermi-Dirakova funkcija raspodjele na
raznim temperaturama
Slobodni elektronski gas na konačnoj
temperaturi
• Na temperaturi T vjerovatnost zaposijedanja nekog elektronskog
stanja sa energijom E je data Fermijevom funkcijom raspodjele:
f FD 
1
1  e ( E  EF ) / k BT
• Fermijeva funkcija raspodjele određuje vjerovatnost da se nađe neki
elektron sa energijom E.
Raspodjela po brzinama
• Naći raspodjelu po brzinama – vjerovatnost stanja sa brzinom v
1 2
m v , g ( E )dE  CE 1/ 2 dE
2
So need expressions for E 1/ 2 and dE
E
1 2
m
1/ 2
E  mv  E 
v, dE  m vdv
2
2
3/ 2
m
m
g ( E )dE  CE 1/ 2 dE  C (
v)(m vdv)  C
v 2 dv  g (v)dv
2
2
m3 / 2 2
g (v )  C
v  v2
2
Gustina elektrona po jedinici energije
• Gustina stanja dN/dE se često označava kao g(E)
• Broj elektrona po jedinici energije, N(E) takođe zavisi od
vjerovatnosti zaposjedanja pojedinog stanja, f(E). Prema tome je:
N(E) = g(E)f(E)
Fermi-Dirac’ova funkcija raspodjele
• Uveli smo funkciju raspodjele vjerovatnosti , f(E), koja opisuje
vjerovatnost da je stanje sa energijom E zaposjednuto
• Za elektrone ova funkcija je Fermi-Dirac ‘ova funkcija raspodjele
Za T = 0 ova funkcija izgleda ovako:
0 , for E  EF
f ( E)  
1, for E  EF
Fermi-Dirac’ova funkcija raspodjele
• Za T > 0 K
f ( E) 
1
e
( E EF ) / k BT
1
• Broj elektrona u jediničnom opsegu energija prema modelu
slobodnih elektrona.
• Obojena oblast prikazuje razliku raspodjele na nula stepeni i na
nekoj konačnoj temperaturi.
n(E,T)
g(E)
T=0
T>0
• n(E,T)
broj
slobodnih
elektrona
u jediničnom
opsegu energija je naprosto
oblast ispod krivulje n(E,T)
n( E, T )  g ( E) f FD ( E, T )
EF
E
• Fermi-Dirakova funkcija raspodjele je simetrična funkcija; na
konačnim temperaturama, broj nivoa ispod EF koji su ispražnjeni
jednak je broju energetskih nivoa iznad EF koji su popunjeni
elektronima.
n(E,T)
g(E)
T=0
T>0
EF
E
Model slobodnih elektrona
Neka čvrsta tijela provode elektricitet.
•
U njima postoje elektroni koji nisu vezani za atome, već su u stanju da se kreću
kroz cijeli kristal.
•
Čvrsta tijela koja su provodnici su metali i poluprovodnici
 ( RT )metals ;106  108   m
 ( RT ) pure  semiconductor
 ( RT )metal
•
Specifični otpor raste sa dodavanjem malih količina nečistoća. Otpornost normalno
opada sa smanjenjem temperature i može da se još smanji dodavanjem male
količine nečistoća.
•
Poluprovodnici postaju izolatori na niskim temperaturama.
slobodni elektroni u metalima
Zajedničke fizikalne karakteristike metala su:
• velika čvrstoća
• velika gustina
• Dobra električna i termička provodnost.
U modelu slobodnih elektrona pretpostavlja se elektronski gas
sastoji od svih valentnih elektrona. Tako se pretpostavlja da će
metali Na, Mg i Al imati 1, 2 i 3 mobilna elektrona po atomu,
respektivno.
Pomoću te jednostavne teorije ‘ modela slobodnih elektrona’
moguće je objasniti ove osobine metala.
slobodni elektroni u metalima
• Prema modelu slobodnih elektrona valentni elektroni su odgovorni
za provođenje elektriciteta i zato ih zovemo provodni elektroni.
• Na11 ￫ 1s2 2s2 2p6 3s1
Valentni elektron (slabo vezan)
Unutrašnji elektroni
• valentni elektron koji se nalazi u trećoj atomskoj ljusci je onaj koji
nosi sposobnost vezivanja sa drugim atomima pa tako i hemijske
osobine Na.
• Kada okupimo Na atome tako da čine natrij metal, to izgleda
ovako:
Na metal
• Na ima BCC strukturu, a rastojanje između najbližih susjeda
je0,37 nm.
– Radijus treće ljuske u Na atoma je 0,19 nm.
• Tako se Na atomi djelimično prekrivaju zbog čega valentrni
elektron više ne pripada samo jednom atomu, već i svim
susjednim jonima u isto vrijeme.
• Valentni elektron zaista pripada cijelom kristalu pošto može da se kreće
od jednog jona do drugog susjednog i onda dalje do susjednog itd.
Ovaj pokretni elektron postaje provodni elektron.
– Uklanjanje valentnog elektrona
ostavlja pozitivno naelektrisani jon.
+
+
+
+
+
+
– Gustina naboja koja se veže za
pozitivne jone je uniformno
raspoređena kroz metal tako da se
provodni elektroni kreću kroz
konstantan elektrostatički potencijal.
Svi detalji kristalne strukture se izgube
kada se napravi ova pretpostavka.
• Prema modelu slobodnih elektrona uzima se da je ovaj potencijal
nula i da se odbojne sile među jonima zanemaruju.
• Stoga se može smatrati da se ovi provodni elektroni kreću nezavisno
u pravougloj jami konačne dubine a rubovi jame odgovaraju rubovima
uzorka.
• Posmatrajmo metal u obliku kocke stranice L,
– Ψ i E možemo naći rješavanjem Schrödinger’ove jednačine:
V

L/2
0
2
2m
2  E
Pošto je
V 0
L/2
• Uzimajući periodične granične uslove Ψ’ovi se dobiju kao progresivni
talasi.
 ( x  L, y  L, z  L)   ( x, y, z)
• Rješenja Schrödinger’ovih jednačina su ravni talasi,
1 ik r 1 i ( kx xk y y kz z )
 ( x, y, z ) 
e 
e
V
V
Konstanta normiranja
• Gdje je V volumen kocke, V=L3
Na  p
2
Na  p
k
2 

where
,
k






k
2
2
p
p
Na
L
• Tako talasni vektor mora da zadovoljava
2
kx 
p ;
L
ky 
2
q
L
;
kz 
2
r
L
gdje p, q, r imaju vrijednost bilo kojeg cijelog broja; +ve, -ve ili nula.
• Talasnoj funkciji Ψ(x,y,z) odgovara energija
2
k2
E
2m
E
2
2m
(k x 2  k y 2  k z 2 )
• I impuls
p  (k x , k y , k z )
• Energija je u potpunosti kinetička
2 2
1 2
k
mv 
2
2m
m2 v 2 
2
k2
p k
• Broj dozvoljenih vrijednosti od k u sfernoj ljusci kprostora radijusa k je:
2
Vk
g (k )dk  2 dk ,
2
– Gdje je g(k) gustina stanja po
jedinici veličine k.
Broj dozvoljenih stanja
po jedinici energije
• Svako k stanje predstavlja dva moguća stanja elektrona, jedan za
spin gore, drugi za spin dole.
g ( E )dE  2 g (k )dk
2
2
k
E
2m
2
dE
k

dk
m
V
m
2mE dk
k
k
g ( E )  2 2 g (k2 )
2
2
2
dEk
dk
g ( E )  2 g (k )
dE
k
2mE
g (E) 
2
V
2 2
3/ 2 1/ 2
(2
m
)
E
3
Osnovno stanje slobodnog
elektronskog gasa
• Electroni su fermioni (s=±1/2) i slijede Paulijev princip isključivosti:
svako energetsko stanje može primiti samo dva elektrona.
• Najniže energetsko stanje N slobodnih elektrona se stoga dobije
popunjavanjem N stanja najniže energije.
• Sva stanja su popunjena do energije EF, koja je poznata kao
Fermi energija, a koja se dobije integracijom gustine stanja po svim
energijama, dakle od 0 do EF, Taj integral mora boiti jednak
ukupnom broju raspoloživih stanja N.
• Znamo da je:
N
EF

0
g (E) 
g ( E )dE 
EF
V
2 2
V
 2
2
3/ 2 1/ 2
(2
m
)
E
3
(2m)
3
3/ 2
E dE 
1/ 2
0
• Kad se to riješi po EF (Fermi energiju), dobijemo;
 3 N 
EF 


2m  V 
2
2
2/3
V
3 2
3/ 2
(2
mE
)
F
3
• Zaposjednuta stanja su unutar Fermijeve sfere u k-prostoru koji je
prikazan na slici ispod; radijus je Fermijev talasni broj kF.
 3 N 
EF 


2m  V 
2
kz
2
2/3
2
Fermijeva
površina
E=EF
kF
ky
kx
kF 2
EF 
2me
Iz ove dvije jednačine može se
naći kF kao,
1/ 3
 3 N 
kF  

V


2
Površina Fermi sfere predstavlja granicu između zaposjednutih i
nezaposjednutih i nezaposjednutih k stanja na apsolutnoj nuli za slobodni
elektronski gas.
• Tipične vrijednosti za jednovalentni natrijum su; za Na je atomska
gustina i prema tome valentna elektronska gustina N/V je 1.402x1028
m-3 tako da je
EF  3.40 1019 J  2.12eV
kF  0.746 A1
EF  kBTF
• Fermijeva temperatura degeneracije TF je
EF
4
TF 
 2.46 10 K
kB
• Samo na ovako visokim temperaturama čestice klasičnog gasa
mogu dostići kinetičku energiju reda Fermijeve energije EF .
• Samo na temperaturama iznad TF će se slobodni elektronski gas
ponašati kao klasični gas.
• Impuls fermijona je:
PF  kF
PF  meVF
PF
6
1
VF 
 0.86 10 ms
me
• Ovo su vrijednosti impulsa i brzine elektrona u stanjima na Fermi
površini u Fermi sferi.
• Tako Fermi sfera igra značajnu ulogu u ponašanju metala.
Tipične vrijednosti jednovalentnog metala natrijuma
 3 N 
EF 


2m  V 
2
2
 2.12eV
1/ 3
 3 N 
kF  

V


2
2/3
 0.746 A1
PF
VF 
 0.86 106 ms 1
me
EF
TF 
 2.46 104 K
kB
Modeli slobodnih elektrona
•
Klasični model:
•
Kvantnomehanički model:
•
Metal čine nizovi pozitivnih jona sa
elektronima koji slobodno putuju kroz
nizove jona
•
Elektroni su u potencijalnoj jami
beskonačnih zidova. Oni ne
napuštaju metal, ali se slobodno
kroz njega kreću
– Elektroni se tretiraju kao idealni
neutralni gas, a njihova ukupna
energija zavisi od temperature i
primijenjenog polja
– U odsutnosti električnog polja
elektroni se kreću sa nasumično
raspoređenim termičkim brzinama
– Kada se primijeni električno polje,
elektroni dobijaju rezultujuću brzinu
drifta čiji je pravac suprotan od
polja
– Elektronski energetski nivoi su
diskretni (kvantizirani) i jasno
definisani tako da srednja
energija elektrona nije jednaka
(3/2)kBT
– Elektroni zauzimaju energetske
nivoe prema Paulijevom
principu isključivosti
– Elektroni dobijaju dodatnu
energiju kada se primijeni
električno polje.