Transcript Слайды по лекции

Финансовая
статистика
Литература
1.Статистика финансов, под ред. Салина
В.Н. - М.: Финансы и статистика
2.Четыркин Е.М. «Методы финансовых
и коммерческих расчетов» – М.: Дело
3.Салин В.Н., Ситникова О.Ю. «Техника
финансово-экономических расчетов» М.:Финансы и статистика
Основные понятия и обозначения
1. Стоимостные:



present value (PV) - стоимость (капитал,
денежная сумма) на начало операции,
современная, настоящая стоимость ;
future value – (FV)- стоимость (капитал,
денежная сумма) на конец операции будущая,
наращенная стоимость;
- Доход - изменение капитала за время
финансовой операции,
(FV - PV);
2.Показатели времени операции
Время финансовой операции (период сделки) время от начала до окончания сделки
n - если срок финансовой операции больше
года (измеряется в годах);
t – если срок финансовой операции меньше
года (измеряется в днях);
Y – продолжительность года в днях (месяцах,
кварталах).
3.Показатели эффективности
Процентная ставка
(FV – PV) = I – процент
(FV  PV)
i=
100
PV
Учетная ставка
(FV – PV) = D – дисконт
(FV  PV)
d=
100
FV
Задачи финансовой математики
1.Задача наращения (определения
будущей стоимости);
2.Задача дисконтирования
(определения современной
стоимости);
3. Задача определения ставки
доходности;
4. Задача определения срока
финансовой операции;
Задача наращения
Дано: PV; i (d); n (t)
Определить: FV = ?
Задача дисконтирования
Известно: FV; i (d); n (t)
Определить: PV = ?
Задача определения величины ставки


Дано: PV; FV; n (t)
Определить: i=?; (d=?)
Задача определения срока операции


Дано: PV; FV; i (d)
Определить: n (t) = ?
Задача наращения по простой процентной
ставке (i)
Дано: PV; i; n
Определить: FV = ?
PVi = I
– простые, декурсивные, обычные проценты
(процентные деньги)
за год
Срок 1 год: FV = PV+PV i= PV(1+i)
Срок 2 года: FV = PV+PV i +PV i= PV(1+2i)
…………………
Срок n - лет: FV = PV+PV i ++ PV i = PV(1 + n i)
Формула простых процентов
Срок больше года
FV = PV(1+ni)
(1+ni) – множитель наращения
Срок меньше года
(PV× i /Y)× t = I – проценты за время операции
Будущая стоимость:
PV  i  t
t
FV  PV 
 PV (1  i )
Y
Y
t
где:  срок операциив годах
Y
t
(1  i )  м ножит ельнаращ ения
Y
Задача наращения по простой учетной ставке
(d)
Дано: PV; d; n
Определить: FV = ?
FV = PV + FV d + ……. + FV d=
PV + FV n d
PV
FV =
1  nd
1
 м ножит ельнаращ ения
1  nd
Cрок меньше года
FV  d  t
FV  PV 
Y
PV
FV =
t
1 d
Y
Пример 1.
Дано: PV = 10млн. руб.;
n = 2 года;
а) i = 10% , б) d = 10%
Определить: FV= ?
Решение: а) FV= 10 (1 + 2 х 0,1) = 12млн.р.
б) FV = 10 / (1 – 2 х 0,1) = 12,5млн.р.
Пример 2.
Дано: PV = 10млн. руб.;
n = 10 лет;
а) i = 10% , б) d = 10%
Определить: FV= ?
Решение: а) FV= 10 (1 + 10 х 0,1) = 20млн.р.
б) FV = 10/(1 – 10 х 0,1) = ∞
Задача дисконтирования
по простой процентной ставке
(Математическое дисконтирование)
Дано: FV; i ; n (t)
Определить: PV = ?
Срок большегода:
FV
PV 
1 n i
1
 дисконт ныйм ножит ель
1 n  i
Срок м еньш егода:
FV
PV 
t
1 i
Y
Пример 3.
Дано: FV = 1,5млн. руб.;
t =1 месяц;
а) i = 12% ;
Определить: PV= ?
Решение: а) PV= 1,5: [1 +(1/12) х 0,12] =
1.485148млн.р.
Задача дисконтирования по простой
учетной ставке
(Банковский учет)
Известно: FV; d; n (t)
Определить: PV = ?
Срок больше года
(1-nd)
–
PV = FV(1-nd)
дисконтный множитель
Срок меньше года
PV = FV(1-t/Y d)




Пример4
Дано: FV = 5млн.р.; d = 18%; n = 0,5года
Определить: PV = ? D = ?
Решение:
PV = 5(1 - 0,5 х 0,18) = 4,55млн.р.
D = 5 – 4,55 = 0,45млн.р.
Задача определения ставки
Дано: PV; FV; n (t)
Определить: i (d) = ?;
Процентная ставка
Ср о к б о льш ег о да:
FV  PV
i
PV  n
Ср о к м еньш ег о да:
FV  PV
i
Y
PV  t
Учетная ставка
Сро к больш ег о да:
FV  PV
d 
FV  n
Сро к м еньш ег о да:
FV  PV
d 
Y
FV  t
Пример 4. PV = 5млн.р.; FV = 7млн.р.;
n=0,5 года;
Определить эффективность вложения,
если iбанк = 70%
Решение:
75
i
 0,8 (80%)
5  0,5
80%  70%;
Определение срока операции
Дано: PV; FV; i (d)
Определить: n (t) = ?
Срок больше года
Прост аяпроцент наяст авка:
FV
1
FV  PV
PV
n

PV  i
i
Прост аяучет наяст авка:
PV
1
FV  PV
FV
n

FV  d
d
Срок меньше года (t)
Прост аяпроцент наяст авка:
FV
1
FV  PV
PV
t
Y 
Y
PV  i
i
Прост аяучет наяст авка:
PV
1
FV  PV
FV
t
Y 
Y
FV  d
d
Пример 5. PV = 10млн.р.; FV=15 млн.р.;
а)i = 20%;б)i = 200%;
Определить: n (t)= ?
15
1
а ) n  10
 2,5 г ода
0,2
15
1
б )t  10
 0,25г ода
2,0
15
1
t  10
12  3 м еся ца
2,0
Проблемы практики расчетов
Определение срока для операций
меньше года (t/Y):
Точные проценты – t и Y исчисляются точно по


календарным дням

Банковские проценты – t - точно по
календарным дням; Y – условно (360 дней в году);

Коммерческие проценты -
t и Y принимаются
условно – 30 дней в месяце и 360 дней в году.
Пример 6.
Дано: PV = 10т. руб.;
срок операции 1год. Год не
високосный;
i = 10%
Определить: FV= ? (тремя способами)
Решение:
а) точные проценты
FV= 10 (1 + (365/365) х 0,1) = 11т.р.
б) банковские проценты
FV = 10(1+(365/360) х 0,1) = 11,0139т.р.
в)коммерческие
FV= 10 (1 + (360/360) х 0,1) = 11т.р
Процентные начисления с
использованием постоянного
делителя (дивизора)
P V  i  t i P V  t  P V  t



I
360
360
PV  t  процент ноечисло;
360
 дивизор
i
360/i
Пример 7
Постоянные суммы и сроки их хранения:
 200т.р. – 25.05. – 07.07. (43 дня)
 250т.р. – 07.07.-10.11.(126 дней)
 170т.р. – 10.11. – 01.12. (21 день)
 Процентные числа: 200х43=8600

250х126=31500

170х21= 3570
 Дивизор:360/0,08=4500
 I = (8600+31500+3570) / 4500 = 9,70т.р.
 FV = 170 + 9,70 = 179,70т.р.
Эквивалентность простых
процентных и учетных ставок
1
1  ni 
1 - nd
Простая процентная ставка
эквивалентная простой
учетной ставке
d
i=
1 - nd
Простая учетная ставка
эквивалентная простой
процентной ставке
i
d=
1 + in
Пример 8.
Дано: t = 3 месяца; (коммерческие проценты)
а) d = 100%;
б) i = 120%
Сравнить эффективность операций.
Решение.
1,0
i = ---------------------- х 100 = 133,3%
1 – (3/12) х 1,0
133,3% > 120%
Пример 9.
Дано: PV1=100т.р.; n1 = 0
FV2=200т.р.; n2 = 1
i = 10%
Что предпочтительнее ?
Решение.
200
PV2 
 181,8
1,1
181,8  100
Сложные проценты
Задача наращения по сложной
процентной ставке
Период начисления один год
Срок больше года
1 год - FV = PV+PV i = PV(1+i)
2 года - FV = PV(1+i)+PV (1+i)i = PV(1+i)(1+i) =
= РV(1+i)2
3 года - FV = PV(1+i) 2 +PV(1+i) 2 i = PV(1+i)(1+i)(1+i)=
= РV(1+i) ³
n лет - FV = PV(1+i)(1+i)……….(1+i) =РV(1+i)n
Задача наращения по сложной
процентной ставке
Период начисления один год
Срок больше года




1 год - FV = PV+PV i = PV(1+i)
2 год - FV = PV(1+i)+PV (1+i)i = PV(1+i)(1+) = PV(1+i)( 2
3 год - FV = PV(1+i) 2 +PV(1+i) 2 i = PV(1+i)³
n лет -


(1+i)n
FV = PV(1+i)n
- множитель наращения
Период начисления меньше года
(m-кратное начисление процентов)
Jm – номинальная ставка, начисляемая m-раз в
год
Продолжительность операции один год:
на конец первого периода начисления –
FV = PV+PVj/m= PV(1+j/m)
через m-периодов
FV = PV(1+j/m)m
Продолжительность операции n - лет:
FV = PV(1+j/m) (m х n)
Эффективная процентная
ставка
n
iэ)
mn
(1+j/m)
(1 +
=
m
(1 + iэ) = (1+j/m)
iэ =
m
(1+j/m) –1
Вычисление номинальной ставки,
начисляемой m-раз в год на основе
эффективной ставки.


jm = m 1 + iэ 1
m
Пример 1.
Дано: PV = 10т.р.
а) i=10% б) J2 = 10%; в) J4 = 10%;
г) J12 = 10%;
Определить: FV = ?; iэ = ?
Решение.
а) FV = 10(1+0,1) = 11,0т.р
Пример 1. Продолжение
б) FV = 10(1+0,1/2) 2 = 11,025т.р.
iэ = (1+(0,1)/2) 2 –1 = 1,025 (10,25%)
в) FV = 10(1+ (0,1)/4) 4 = 11,038т.р.
iэ = (1+ (0,1)/4) 4 –1 = 1,038 (10,38%)
г) FV = 10(1+ (0,1)/12) 12 = 11,047т.р.
iэ = (1+(0,1)/12) 12 –1 = 1,047 (10,47%)
Непрерывное начисление
процентов
Множитель наращения:
для одногогода:
m
lim
m 
1  j   e
m

для n  лет : lim
m 
1  j 
m

m n
e
 n
Где: δ - сила роста (номинальная ставка)
℮ - основание натуральных логарифмов (2,718…)
Будущая стоимость:
 n
FV  PV  e
Пример 4.
Дано: PV = 10т.р. ; δ = 10%
Определить: FV = ?; iэ = ?
Решение.
FV = 10 ℮ 0,1 = 10 х (2, 718…)0,1 =11,052т.р.
iэ = (2, 718…)0,1 –1 = 0,1052 (10,52%)
Наращение по сложной учетной ставке
Срок операции больше года
m  1 FV  PV
(1  d )
n
m 1
f m  номинальная учетная ставка, начисляемая m  раз в год
FV  PV
f m n
m
(1  )
Задача дисконтирования по
сложной процентной ставке
(математическое дисконтирование)
FV
FV
PV =
; PV =
n
mn
j
(1+ i)
(1+ m)
1
1
;

n
m

n
j
(1+ i) (1+ m)
дисконт ныйм ножит ель
Пример 2.
Дано: а)PV = 10т.р.; n=0
б)20т.р.;n=4
i=10%
Определить: Что предпочтительнее?
Решение:
б) FV = 20/(1+0,1) 4 = 13,66т.р
Задача дисконтирования по
сложной учетной ставке
(банковский учет)
Срок операции больше года
Начисление ставки один раз в год:
PV =
n
FV(1-d)
m-кратное начисление ставки
fm – учетная ставка, начисляемая m – раз
в год
PV =
(m
х
n)
FV(1-f/m)
Эффективная учетная ставка
(1-dЭ) = (1-f/m) m
dЭ = 1- (1-f/m) m
Пример 3.
Дано: FV = 20т.р.; n = 5 лет; f4 = 5%
Определить: PV = ?; dэ = ?
Решение:
PV = 20 х (1 – (0,05/4) 4x5 = 15,552т.р.
dэ = 1 - (1 – (0,05/4) 4 = 0,049 → 4,9%
Определение величины
сложных ставок
Определение сложной
процентной ставки
При наращениираз в году:
1
n
FV


i
 1
 PV 
При наращениинесколько раз в год:
 FV 
jm  m  

 PV 
1
n m

 1

Определение сложной
учетной ставки
При дисконт ировании раз в году:
1
 PV  n
d  1 

 FV 
При дисконт ировании несколько раз в год:
1   PV 
f m   1  

m   FV 

1
nm



Определение срока финансовой
операции
Определение срока финансовой операции
при наращении по сложной процентной
ставке
При наращ ении раз в году:
log FV
PV
n
log1  i 
При наращ ениинесколько раз в год:
log FV
PV
n
m
j


log1 

m


Эквивалентность процентной и
учетной сложной ставки
(начисление один раз в году)
1  ic 
n
 1
dc
ic 
1  dc
1  d c 
n
ic
dc 
1  ic
Эквивалентность процентной и
учетной сложной ставки
(m-кратное начисление)
m
1
1  j  
m
m


1  f 
m

fm
jm
jm 
f

m
fm
jm
1
1
m
m
Эквивалентность простых и сложных
процентных ставок, (m-кратное
начисление)
jm 

1  niП   1  
m

jm 

1  
m

iП 
n
n m
nm
1
Эквивалентность простых и сложных
процентных ставок
(m-кратное начисление)
jm  m 

nm

1  n  iП  1
Учет
инфляции при определении
эффективности финансовых операций
(Iцен – 100) = Y(%) – уровень инфляции за
период
FVноминальн.  PV 1  Y 
PV
FVноминальн.
1

1  Y 
PV
1 год - FVреальн. 
(1+ Y)
PV
n л л - FVреальн. 
n
(1+ Y)
1

коэф.
ум.
стоимости
денег
n
(1+ Y)
за n  периодов.
Исчисление будущей стоимости с учетом
инфляции
n
(1+ i)
FV  PV
n
(1+ Y)
Ставка фактической
доходности
n
(1+ i)
( 1  iф) 
n
(1+ Y)
i-Y
iф 
1+ Y
n
Пример 4
PV= 100т.р.
i = 90%; Yгод = 50%
1 + 0,9
FV  100
 126,67
1 + 0,5
26,67
i
 0,2667 27%
100
Пример 4. Продолжение
0,9 - 0,5
iинф 
 0,27
1 + 0,5
Планирование погашения задолженности
Расчеты по погашению
потребительского кредита
Возврат единовременным платежом
FV  PV 1  ni
Планирование погашения задолженности
Возврат несколько раз в году
FV  PV 1  ni
FV
g
 ðàçîâûé ïëàòåæ
n
Пример: PV=1.5млн.р.
n = 2 года; j2= 10%;p =2
4
0,1 

FV  1500 1 
  1823òûñ . ð.
2 

1823
g
 456òûñ . ð.
22
Наращенная стоимость этих платежей
FVf  456 1  0,05  456 1  0,05 
4
456 1  0,05  456 1  0,05 
2
4

1 0,05 1
456
 456 4.31  1965
0,05
3
Погашение долга равными суммами
основного долга (1500:4=375)
Год
1
2
3
4
итого
Остаток на
начало года
1500
1125
750
375
Погашение
долга
375
375
375
375
Процент
75
56,25
37.5
20.625
Срочная
выплата
450
431.25
412.5
395.625
Пример: PV=1.5млн.р.
n = 2 года; j2= 10%;p =2
j
 mn
4
0.1
1

(1
+
)
1

(1
+
)
2
m
2
а 4;10 


j
0.1
2
2
m
R
R PVf
1500
PVf   a j ; 

 423
2 mn; m 2 a4;5 3,5459
Погашение долга равными платежами
Год
1
2
3
4
итого
Остаток на
начало года
1500
1152
768.33
384
Погашение
долга
348
365.4
383.67
384.58
Процент
75
57.6
39.33
38.4
Срочная
выплата
423
423
423
423