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PSO 與 LMI
以滑車倒單擺模糊控制器為例
電子系 洪惠陽
1
大綱
前言
模糊系統架構
粒子群尋優演算法 (PSO)
滑車倒單擺系統
平行分散補償法(PDC)設計模糊控制器
系統鑑別
以LMI為基礎模糊控制
結論
2
前言
3
本論文目的探討不穩定非線性系統TakagiSugeno(T-S)模型。利用平行分散補償(PDC)
,設計可以穩定並控制系統後。再取得非
線性系統的輸入與輸出資料後,利用粒子
群尋優演算法做系統鑑別,將鑑別T-S值以
LMI的限制條件設計模糊控制器,並顯示模
擬情形。
Rule Based模糊系統架構
4
Rule Based模糊系統
T-S模糊系統
日本兩位學者 Takagi 及 Sugeno 在1985年提出了一
種新的模糊模型,這個模型可以將一個非線性的系
統,藉由模糊理論中 IF-THEN 的規則關係,表達
出非線性系統中局部線性的輸入-輸出關係。
Rule i :
If x1 is Mi1 and xn is Min
then x(t ) Ai x Bi u, i [1 r]
6
求出T-S模糊系統
非線性系統
系統鑑別法
數學動態方程式
模糊模式 (T-S糢糊模式)
模糊控制器
7
粒子群尋優演算法 (PSO)
8
1995年Kennedy和 Eberhart觀察鳥群飛行和
魚群游水群聚習性,發展出的演算法。其
概念是模擬鳥兒覓食,會各自往不同方向
尋找食物,逐漸向最佳覓食地點靠近。
PSO慣性權重法
Vid w Vid c1 Rand () ( Pbest xid ) c2 Rand () ( g best xid )
xid xid Vid
9
10
滑車倒單擺系統
系統參數
設定數值
單位
滑車質量 M
8
Kg
單擺質量m
2
Kg
單擺長度 2l
1
m
重力g
9.8
m / sec
x1 t x2 t
g sinx1 t dml x22 t sin2 x1 t 2 d cosx1 t ut
x 2 t
4l 3 dml cos2 x1 t
d = m+M
11
平行分散補償法設計模糊控制器
12
本篇論文非線性系統為滑車倒單擺,然而
滑車倒單擺本身為一個不穩定系統,所以
會先以PDC方法設計使系統達到穩定狀態。
平行分散補償法設計模糊控制器
PDC主要的設計理念係針對每一條模糊模式規
則中加入一個補償,即一個回授增益值,但
Rule 1、Rule2 模糊控制器共用相同的回授增
益值。 Rule 1:
If x1 t is NB then u (t ) F1 x(t )
Rule 2 :
If x1 t is PB then u (t ) F1 x(t )
Rule 3 :
If x1 t is ZO then u (t ) F2 x(t )
13
平行分散補償法設計模糊控制器
NB
ZO
PB
1
If x1 t is NB then x(t ) A1 x(t ) B1u (t )
0.8
Degree of membership
Rule 1:
Rule 2 :
If x1 t is PB then x(t ) A1 x(t ) B1u (t )
0.6
Rule 3 :
0.4
If x1 t is ZO then x(t ) A2 x(t ) B2u (t )
0.2
0
-80
14
-60
-40
-20
0
x1
20
40
60
80
平行分散補償法設計模糊控制器
err
To Workspace2
carp
Chirp Signal
K*u
S-Function
Gain
Scope3
K*u
Fuzzy Logic
Controller
Gain1
N
Fitness function :
(err )
k 0
15
Scope4
平行分散補償法設計模糊控制器
Best: 1039.0578
2200
Best Score
2000
Score
1800
1600
1400
1200
1000
0
100
200
300
400
500
600
Generation
700
800
900
1000
PDC尋優 最佳適應函數值
F1為[-210.257799069273 5719.1960176148]
F2為[-138.714876697664 -41.2847882130749]
16
PDC模擬情形
0.6
0.1
0.5
0
-0.1
0.4
-0.2
rad
rad/sec
0.3
0.2
-0.3
-0.4
0.1
-0.5
0
-0.6
-0.1
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
x1=30度時滑車倒單擺角度
17
30
-0.7
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
x1=30度時滑車倒單擺角速度
30
PDC模擬情形
0.9
0.2
0.8
0
0.7
0.6
-0.2
0.5
rad/sec
rad
-0.4
0.4
-0.6
0.3
0.2
-0.8
0.1
-1
0
-0.1
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
x1=50度時滑車倒單擺角度
18
30
-1.2
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
x1=50度時滑車倒單擺角速度
30
系統鑑別
為了尋找非線系統之準確T-S模型,我們必須
先取得非線性系統的輸入與輸出資料,再利
用PSO做系統鑑別。
aa.mat
bb.mat
To File
To File1
carp
Chirp Signal
S-Function
Fuzzy Logic
Controller
19
Scope3
T-S模糊模式鑑別
Rule 1:
NB
If x1 t is trimf y1, 90 90 0
then x(t ) A1 x(t ) B1u (t )
Rule 2 :
PB
If x1 t is trimf y1, 0 90 90
then x(t ) A1 x(t ) B1u (t )
Rule 3 :
ZO
If x1 t is trimf y1, 90 0 90
then x(t ) A2 x(t ) B2u (t )
20
T-S模糊模式鑑別
21
T-S模糊模式鑑別的參數
22
T-S模糊模式鑑別
Best: 5.3969
5.47
Best Score
5.46
5.45
Score
5.44
5.43
5.42
5.41
5.4
5.39
0
20
40
60
80
100
120
Generation
140
最佳適應函數值
23
160
180
200
T-S模糊模式鑑別結果
24
0
1
A1
0.035436
0
0
B1
-0.075823
1
0
A2
-15.641
0
0
B2
-0.0050909
以LMI為基礎模糊控制
對於閉迴路模糊系統 ,假如可以找到一個
共同的正定矩陣 ,以滿足下列兩不等式:
A B F
T
i
i
i
P PAi Bi F 0
GijT P PGij 0
i jr
Gij
A B F A
i
i
j
2
則模糊系統 具有全面性的漸近穩定。
25
j
B j Fi
寬鬆穩定條件
(Relaxed Stability Conditions)
GiiT P PGii (s 1)Q 0
Gij G ji
G G ji
P P ij
Q 0
2
2
T
這裡我們假設
26
X P 1
M i Fi X
Y XQX
寬鬆穩定條件
(Relaxed Stability Conditions)
0.006719900734361 0.000038312452858
P
0.000038312452858
0.000400945867722
0.000400713584042
eig ( P)
0.006720133018041
F1 -221.9936 -4.8466
F2 -223.0332 -26.0198
27
衰退速率的穩定條件
(Decay Rate Conditions)
28
衰退速率的穩定條件
(Decay Rate Conditions)
4.6890 0.0764
P 1.0e+005 *
0.0764 0.2796
F1 -235.7095 -51.1624
F2 -246.5177 -90.4311
29
寬鬆穩定條件
(Relaxed Stability Conditions)
1.2
0.5
1
0
0.8
-0.5
rad
rad/sec
0.6
0.4
-1
0.2
-1.5
0
-0.2
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
50度時寬鬆條件角度輸出響應圖
30
30
-2
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
50度時寬鬆條件角速度輸出響應圖
30
寬鬆穩定條件
(Relaxed Stability Conditions)
1.4
0.5
1.2
0
1
-0.5
rad/sec
rad
0.8
0.6
-1
0.4
-1.5
0.2
-2
0
-0.2
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
70度時寬鬆條件角度輸出響應圖
31
30
-2.5
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
70度時寬鬆條件角速度輸出響應圖
30
衰退速率的穩定條件
(Decay Rate Conditions)
0.9
0.5
0.8
0.7
0
0.6
-0.5
rad/sec
rad
0.5
0.4
0.3
-1
0.2
0.1
-1.5
0
-0.1
-2
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
30
50度時衰退速率條件角度輸出響應圖
32
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
30
50度時衰退速率條件角速度輸出響應圖
衰退速率的穩定條件
(Decay Rate Conditions)
1.4
0.2
1.2
0
1
-0.2
0.8
rad/sec
rad
-0.4
0.6
-0.6
0.4
0.2
-0.8
0
-1
-0.2
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
30
70度時衰退速率條件角度輸出響應圖
33
-1.2
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
30
70度時衰退速率條件角速度輸出響應圖
寬鬆與衰退速率輸出響應圖比較
relax
decay
0.5
1.4
relax
decay
1.2
0
1
-0.5
rad/sec
rad
0.8
0.6
-1
0.4
-1.5
0.2
-2
0
-0.2
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
70度時角度輸出響應圖比較
34
30
-2.5
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
70度時角速度輸出響應圖比較
30
結論
35
對於一個不穩定非線性控制系統,我們利用平行
分散補償(PDC) 設計一個穩定控制器,而PDC回
授增益值則是由粒子群尋優演算求得最佳值,取
得該系統足夠的輸入,輸出資料後。接著,利用
這些資料於粒子群尋優演算中進行Takagi-Sugeno
(T-S) 模型的參數鑑別。
最後以鑑別後所得到T-S參數,並用線性矩陣不等
式(LMI)的限制條件下,設計模糊控制器,而最後
結果顯示,以各種不同LMI條件控制非線性系統
皆能達到穩定狀態。在衰退速率(Decay Rate)的條
件限制下,比放寬的穩定(Relaxed Stability)條件限
制下,達到穩定時間要來的迅速。