Transcript Document

PSO 與 LMI
以滑車倒單擺模糊控制器為例
電子系 洪惠陽
1
大綱
前言
 模糊系統架構
 粒子群尋優演算法 (PSO)
 滑車倒單擺系統
 平行分散補償法(PDC)設計模糊控制器
 系統鑑別
 以LMI為基礎模糊控制
 結論

2
前言

3
本論文目的探討不穩定非線性系統TakagiSugeno(T-S)模型。利用平行分散補償(PDC)
，設計可以穩定並控制系統後。再取得非
線性系統的輸入與輸出資料後，利用粒子
群尋優演算法做系統鑑別，將鑑別T-S值以
LMI的限制條件設計模糊控制器，並顯示模
擬情形。
Rule Based模糊系統架構
4
Rule Based模糊系統
T-S模糊系統

日本兩位學者 Takagi 及 Sugeno 在1985年提出了一
種新的模糊模型，這個模型可以將一個非線性的系
統，藉由模糊理論中 IF-THEN 的規則關係，表達
出非線性系統中局部線性的輸入-輸出關係。
Rule i :
If x1 is Mi1 and xn is Min
then x(t )  Ai x  Bi u, i [1 r]
6
求出T-S模糊系統
非線性系統
系統鑑別法
數學動態方程式
模糊模式 (T-S糢糊模式)
模糊控制器
7
粒子群尋優演算法 (PSO)

8
1995年Kennedy和 Eberhart觀察鳥群飛行和
魚群游水群聚習性，發展出的演算法。其
概念是模擬鳥兒覓食，會各自往不同方向
尋找食物，逐漸向最佳覓食地點靠近。
PSO慣性權重法
Vid  w  Vid  c1  Rand ()  ( Pbest  xid )  c2  Rand ()  ( g best  xid )
xid  xid  Vid
9
10
滑車倒單擺系統
系統參數
設定數值
單位
滑車質量 M
8
Kg
單擺質量m
2
Kg
單擺長度 2l
1
m
重力g
9.8
m / sec
x1 t   x2 t 
g sinx1 t   dml x22 t  sin2 x1 t  2  d cosx1 t ut 
x 2 t  
4l 3  dml cos2 x1 t 
d = m+M
11
平行分散補償法設計模糊控制器

12
本篇論文非線性系統為滑車倒單擺，然而
滑車倒單擺本身為一個不穩定系統，所以
會先以PDC方法設計使系統達到穩定狀態。
平行分散補償法設計模糊控制器

PDC主要的設計理念係針對每一條模糊模式規
則中加入一個補償，即一個回授增益值，但
Rule 1、Rule2 模糊控制器共用相同的回授增
益值。 Rule 1:
If x1  t  is NB then u (t )   F1 x(t )
Rule 2 :
If x1  t  is PB then u (t )   F1 x(t )
Rule 3 :
If x1  t  is ZO then u (t )   F2 x(t )
13
平行分散補償法設計模糊控制器
NB
ZO
PB
1
If x1  t  is NB then x(t )  A1 x(t )  B1u (t )
0.8
Degree of membership
Rule 1:
Rule 2 :
If x1  t  is PB then x(t )  A1 x(t )  B1u (t )
0.6
Rule 3 :
0.4
If x1  t  is ZO then x(t )  A2 x(t )  B2u (t )
0.2
0
-80
14
-60
-40
-20
0
x1
20
40
60
80
平行分散補償法設計模糊控制器
err
To Workspace2
carp
Chirp Signal
K*u
S-Function
Gain
Scope3
K*u
Fuzzy Logic
Controller
Gain1
N
Fitness function :
 (err )
k 0
15
Scope4
平行分散補償法設計模糊控制器
Best: 1039.0578
2200
Best Score
2000
Score
1800
1600
1400
1200
1000
0
100
200
300
400
500
600
Generation
700
800
900
1000
PDC尋優 最佳適應函數值
F1為[-210.257799069273 5719.1960176148]
F2為[-138.714876697664 -41.2847882130749]
16
PDC模擬情形
0.6
0.1
0.5
0
-0.1
0.4
-0.2
rad
rad/sec
0.3
0.2
-0.3
-0.4
0.1
-0.5
0
-0.6
-0.1
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
x1=30度時滑車倒單擺角度
17
30
-0.7
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
x1=30度時滑車倒單擺角速度
30
PDC模擬情形
0.9
0.2
0.8
0
0.7
0.6
-0.2
0.5
rad/sec
rad
-0.4
0.4
-0.6
0.3
0.2
-0.8
0.1
-1
0
-0.1
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
x1=50度時滑車倒單擺角度
18
30
-1.2
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
x1=50度時滑車倒單擺角速度
30
系統鑑別

為了尋找非線系統之準確T-S模型，我們必須
先取得非線性系統的輸入與輸出資料，再利
用PSO做系統鑑別。
aa.mat
bb.mat
To File
To File1
carp
Chirp Signal
S-Function
Fuzzy Logic
Controller
19
Scope3
T-S模糊模式鑑別
Rule 1:
NB
If x1  t  is   trimf  y1,  90 90 0
then x(t )  A1 x(t )  B1u (t )
Rule 2 :
PB
If x1  t  is   trimf  y1,  0 90 90
then x(t )  A1 x(t )  B1u (t )
Rule 3 :
ZO
If x1  t  is   trimf  y1,  90 0 90
then x(t )  A2 x(t )  B2u (t )
20
T-S模糊模式鑑別
21
T-S模糊模式鑑別的參數
22
T-S模糊模式鑑別
Best: 5.3969
5.47
Best Score
5.46
5.45
Score
5.44
5.43
5.42
5.41
5.4
5.39
0
20
40
60
80
100
120
Generation
140
最佳適應函數值
23
160
180
200
T-S模糊模式鑑別結果
24
0
1

A1  

0.035436
0


0

B1  

-0.075823
1
 0
A2  

-15.641
0


0

B2  

-0.0050909


以LMI為基礎模糊控制

對於閉迴路模糊系統 ，假如可以找到一個
共同的正定矩陣 ，以滿足下列兩不等式：
A  B F 
T
i
i
i
P  PAi  Bi F  0
GijT P  PGij  0
i jr
Gij 
A  B F  A
i
i
j
2
則模糊系統 具有全面性的漸近穩定。
25
j
 B j Fi 
寬鬆穩定條件
(Relaxed Stability Conditions)
GiiT P  PGii  (s  1)Q  0
 Gij  G ji 
 G  G ji 

 P  P ij
  Q  0
2
2




T
這裡我們假設
26
X  P 1
M i  Fi X
Y  XQX
寬鬆穩定條件
(Relaxed Stability Conditions)
 0.006719900734361 0.000038312452858
P

0.000038312452858
0.000400945867722


0.000400713584042
eig ( P)  

0.006720133018041


F1  -221.9936 -4.8466
F2  -223.0332 -26.0198
27
衰退速率的穩定條件
(Decay Rate Conditions)
28
衰退速率的穩定條件
(Decay Rate Conditions)
 4.6890 0.0764
P  1.0e+005 * 

0.0764 0.2796
F1  -235.7095 -51.1624
F2  -246.5177 -90.4311
29
寬鬆穩定條件
(Relaxed Stability Conditions)
1.2
0.5
1
0
0.8
-0.5
rad
rad/sec
0.6
0.4
-1
0.2
-1.5
0
-0.2
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
50度時寬鬆條件角度輸出響應圖
30
30
-2
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
50度時寬鬆條件角速度輸出響應圖
30
寬鬆穩定條件
(Relaxed Stability Conditions)
1.4
0.5
1.2
0
1
-0.5
rad/sec
rad
0.8
0.6
-1
0.4
-1.5
0.2
-2
0
-0.2
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
70度時寬鬆條件角度輸出響應圖
31
30
-2.5
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
70度時寬鬆條件角速度輸出響應圖
30
衰退速率的穩定條件
(Decay Rate Conditions)
0.9
0.5
0.8
0.7
0
0.6
-0.5
rad/sec
rad
0.5
0.4
0.3
-1
0.2
0.1
-1.5
0
-0.1
-2
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
30
50度時衰退速率條件角度輸出響應圖
32
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
30
50度時衰退速率條件角速度輸出響應圖
衰退速率的穩定條件
(Decay Rate Conditions)
1.4
0.2
1.2
0
1
-0.2
0.8
rad/sec
rad
-0.4
0.6
-0.6
0.4
0.2
-0.8
0
-1
-0.2
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
30
70度時衰退速率條件角度輸出響應圖
33
-1.2
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
30
70度時衰退速率條件角速度輸出響應圖
寬鬆與衰退速率輸出響應圖比較
relax
decay
0.5
1.4
relax
decay
1.2
0
1
-0.5
rad/sec
rad
0.8
0.6
-1
0.4
-1.5
0.2
-2
0
-0.2
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
70度時角度輸出響應圖比較
34
30
-2.5
0
5
10
15
Time(sec)
20
25
70度時角速度輸出響應圖比較
30
結論


35
對於一個不穩定非線性控制系統，我們利用平行
分散補償(PDC) 設計一個穩定控制器，而PDC回
授增益值則是由粒子群尋優演算求得最佳值，取
得該系統足夠的輸入，輸出資料後。接著，利用
這些資料於粒子群尋優演算中進行Takagi-Sugeno
（T-S） 模型的參數鑑別。
最後以鑑別後所得到T-S參數，並用線性矩陣不等
式(LMI)的限制條件下，設計模糊控制器，而最後
結果顯示，以各種不同LMI條件控制非線性系統
皆能達到穩定狀態。在衰退速率(Decay Rate)的條
件限制下，比放寬的穩定(Relaxed Stability)條件限
制下，達到穩定時間要來的迅速。