Transcript Готовимся к ЕГЭ, В6

Решение заданий В6
Готовимся к ЕГЭ
Указание
В задачах №1 ‒ №15 рассматриваются прямоугольные
треугольники с острыми углами А и В. А это значит, что
sin A > 0, cos A > 0, tg A > 0, ctg A > 0;
sin B > 0, cos B > 0, tg B > 0, ctg B > 0.
B
C
A
7
1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A =
.
25
Найдите cos A.
Решение : согласноосновному
B
тригонометрическому тождеству
cos 2 A  sin2 A  1
cos 2 A  1  sin2 A
2
C
A
49 625 49 576
 7 
2
cos A  1     1 



625 625 625 625
 25 
576 24
cos A 

 0 ,96
625 25
Ответ: 0,96.
√17
2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A =
.
17
Найдите tg A.
Решение : согласноосновному
тригонометрическому тождеству
B
cos 2 A  sin2 A  1
cos 2 A  1  sin2 A
2
 17 
2
  1  1  16
cos A  1  

17 17
 17 
C
A
16
4

17
17
sin A
tgA 
cos A
cos A 
17 4
17  17 1
tgA 
:

  0 ,25
17
17  4
4
17
Ответ: 0,25.
3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A = 7 .
Найдите sin B.
25
Решение : согласноосновному
тригонометрическому тождеству
B
cos 2 A  sin2 A  1
cos 2 A  1  sin2 A
2
49 576
7 
cos 2 A  1     1 

625 625
 25 
C
A
576 24
cos A 

625 25
AC
24
sin B 
 cos A 
 0 ,96
AB
25
Ответ: 0,96.
4. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A = 0,1.
Найдите cos B.
B
Решение:
BC
ВС
cos B 
 sin A 
 0,1
AB
АВ
C
A
Ответ: 0,1.
5. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A = 4 .
Найдите tg B.
√17
Решение :
BC
4
cos B 
 sin A 
AB
17
согласноосновному
тригонометрическому тождеству
B
cos 2 B  sin2 B  1
C
sin2 B  1  cos 2 B
A
2
16 1
 4 
2
sin B  1  

 1
17 17
 17 
1

17
sin B
tgB 

cos B
sin B 
1
17
1
4
1
:
  0 ,25
17 17 4
Ответ: 0,25.
6.В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg A = 7 .
Найдите sin A.
24
Решение :
согласнотригонометрическому тождеству
tgA ctgA  1
1 24

tgA 7
1
ctg2 A  1  2
sin A
B
ctgA 
2
1
 24 

1

 
sin2 A
 7 
576
1
1  2
49
sin A
625
1
 2
49 sin A
sin2 A 
49
49
7
 sin A 

 0 ,28
625
625 25
C
A
Ответ: 0,28.
7. В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg A = 24 .
Найдите cos A.
7
Решение :
согласнотригонометрическому тождеству
1
tg2 A  1 
cos 2 A
B
2
1
 24 
  1 
cos 2 A
 7 
1
576
1 
cos 2 A
49
1
625

49 cos 2 A
cos 2 A 
7
49
49
 0 ,28

 cos A 
625 25
625
A
C
Ответ: 0,28.
8. В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg A = 24 .
Найдите sin B.
7
Решение :
согласнотригонометрическому тождеству
1
tg2 A  1 
cos 2 A
B
2
1
 24 

1

 
cos 2 A
 7 
576
1
1 
49
cos 2 A
625
1

49 cos 2 A
49
49
7
cos A 
 cos A 

 0 ,28
625
625 25
AC
sin B 
 cos A  0 ,28
AB
A
C
2
Ответ: 0,28.
9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg A = 7 .
Найдите cos B.
24
Решение :
согласнотригонометрическому тождеству
tgA ctgA  1
B
1 24

tgA 7
1
ctg2 A  1  2
sin A
ctgA 
2
1
 24 
  1  2
sin A
 7 
576
1
1  2
49
sin A
625
1
 2
49 sin A
49
49
7
 sin A 

 0 ,28
625
625 25
BC
cos B 
 sin A  0 ,28
AB
C
A
sin2 A 
Ответ: 0,28.
10. В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg A = 2.
Найдите tg B.
B
C
Решение :
A
BC
tgA 
2
AC
AC 1
tgB 
  0 ,5
BC 2
Ответ: 0,5.
11. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, sin A =7
Найдите AC.
25
Решение : согласноосновному
тригонометрическому тождеству
B
cos 2 A  sin2 A  1
cos 2 A  1  sin2 A
5
C
2
49 576
 7 
cos 2 A  1     1 

625 625
 25 
A
576 24
cos A 

625 25
AC
24 24
cos A 
 AC  AB  cos A  5 

 4 ,8
AB
25 5
Ответ: 4,8.
12. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 8,
sin A = 0,5. Найдите ВC.
B
8
C
Решение :
BC
sin A 
 BC  AB  sin A  8  0 ,5  4
AB
A
Ответ: 4.
13. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 8,
соs A = 0,5 Найдите AC.
B
8
C
Решение :
AC
cos A 
 AC  AB  cos A  8  0 ,5  4
AB
A
Ответ: 4.
7
14. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5,cos A =
25
Найдите BC.
Решение : согласноосновному
тригонометрическому тождеству
cos A  sin A  1
2
2
B
sin2 A  1  cos 2 A
5
2
49 576
7 
sin A  1     1 

625 625
 25 
2
576 24
sin A 

625 25
BC
24 24
sin A 
 BC  AB  sin A  5 

 4 ,8
AB
25 5
C
Ответ: 4,8.
A
15. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 7, tg A = √33
Найдите AC.
4
Решение :
согласнотригонометрическому тождеству
1
tg A  1 
cos 2 A
2
B
2
 33 

  1  12
 4 
cos A


33
1
1 
16
cos 2 A
49
1

16 cos 2 A
16
16 4
 cos A 

49
49 7
AC
4
cos A 
 AC  AB  cos A  7   4
AB
7
7
A
C
cos 2 A 
Ответ: 4.
Указание
В задачах №16 ‒ №29 рассматриваются равнобедренные
треугольники АВС с острыми углами А и В, где СН – высота,
медиана, биссектриса этого треугольника.
А это значит, что
АС = ВС; АН = ВН = 0,5АВ; ∠ A = ∠ В;
sin A = sin B > 0; cos A = cos B > 0;
tg A = tg В > 0; сtg А = ctg B > 0,
ACH = BCH – п/у.
C
A
Н
B
16. В треугольнике ABC АC = ВС = 8, cos A = 0,5.
Найдите AВ.
Решение :
C
1
cos А 
АН 1
8
2

  АН   4
АН АН
8
2
2
cos А 

АС
8
АВ  2АН  2  4  8
8
A
Н
B
Ответ: 8.
17. В треугольнике ABC АC = ВС = 5, sin A = 7 .
Найдите AВ.
25
C
Решение :
согласно основному
тригонометрическому тождеству
5
cos А  sin А  1
2
2
cos 2 А  1  sin 2 А
2
49
576
 7 
2
cos А  1  

 1
625 625
 25 
A
576 24
cos А 

625 25  АН  24 
5
25
АН АН
cos А 

АС
5
АН 
Н
24  5 24

 4,8
25
5
АВ  2АН  2  4,8  9,6
Ответ: 9,6.
B
18. В треугольнике ABC АC = ВС = 7, tg A = 33 .
Найдите AВ.
4√33
Решение :
согласно тригонометрическому тождеству
1
tg A  1 
;
2
cos A
2
33

4 33
33
4
C
2
 33 
1

 1 
2
 4 
cos
A


33
1
1 
16
cos 2 A
49
1

A
16 cos 2 A
16
4
cos 2 A 
 cos A 
AH 4
49
7

  АН  4
AH AH
7
7
cos A 

AC
7
АВ  2АН  2  4  8
7
Н
Ответ: 8.
B
19. В треугольнике ABC АC = ВС = 25, AB = 40.
Найдите sinA.
C
Решение :
АН  0,5 АВ  0,5  40  20
В п / у ΔАСН по теореме Пифагора
25
A
СН 2  АС 2  АН 2  252  202  225
Н
40
СН  225  15
B
sin А 
CH 15 3

  0,6
AC 25 5
Ответ: 0,6.
20. В треугольнике ABC АC = ВС = 5, cos A = 7 .
Найдите высоту CH.
25
Решение :
согласно основному
C
тригонометрическому тождеству
cos 2 А  sin 2 А  1
sin 2 А  1  cos 2 А
5
2
49
576
 7 
sin 2 А  1  

1



25
625 625


A
Н
B
576 24

625 25  CН  24 
5
25
CН CН
sin А 

АС
5
24  5 24
СН 

 4,8
25
5
sin А 
Ответ: 4,8.
21. В треугольнике ABC АC = ВС, AB = 16, tg A = 0,5.
Найдите высоту CH.
C
Решение :
АН  0,5 АВ  0,5  16  8
CH CH

CH 1
8
AH
8

  CH   4
1
8
2
2
tgA 
2
tgA 
A
Н
16
B
Ответ: 4.
22. В треугольнике ABC АC = ВС, высота СН = 4,
sin A = 0,5. Найдите AC.
Решение :
C
CH
4

4
1
AC AC

  AC  4  2  8
1
AC 2
sin A 
2
sin A 
4
A
Н
B
Ответ: 8.
23. В треугольнике ABC АC = ВС, высота СН = 20,
cos A = 0,6. Найдите AC.
Решение :
согласно основному
тригонометрическому тождеству
C
cos 2 А  sin 2 А  1
sin 2 А  1  cos 2 А
sin 2 А  1  0,6  1  0,36  0,64
2
4
5
A
CH
20
sin A 

20 4
20  5
AC AC

  AC 
 25
4
AC 5
4
sin A 
5
sin А  0,8 
Ответ: 25.
20
Н
B
24. В треугольнике ABC АC = ВС, высота СН = 4,
tg A = 0,5. Найдите AB.
Решение :
C
4
A
Н
CH
4

4
1
AH AH

  AH  4  2  8
1
AH 2
tgА 
2
AB  2AH  2  8  16
tgА 
B
Ответ: 16.
28. В треугольнике ABC АC = ВС, высота СН = 7, AB = 48.
Найдите sinA.
Решение :
АН  0,5 АВ  0,5  48  24
В п / у ΔАСН по теореме Пифагора
C
AC 2  АH 2  CН 2  242  72  625
7
A
Н
48
AC  625  25
B
CH
7
28
sin А 


 0,28
AC 25 100
Ответ: 0,28.
29. В треугольнике ABC АC = ВС, высота СН = 4, AB = 16.
Найдите tgA.
C
Решение :
АН  0,5АВ  0,5  16  8
CH 4 1
tgА 
   0,5
AH 8 2
4
Н
A
16
B
Ответ: 0,5.