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Du point de vue mathématique, on comprend qu'à
la résolution d'une équation différentielle linéaire,
on va obtenir certains termes qui seront amortis par
des exponentielles négatives, et d'autres pas. Ainsi,
le régime transitoire est donné par les termes de la
solution qui sont amortis exponentiellement. Les
autres termes définissent ce qu'on appelle le
régime permanent.
•
Le circuit est soumis à un
signal périodique en forme
de créneau de période T de
tension Ui
Circuit RC
Réponse à l’échelon en tension
• Loi de Kirchhoff :
Ui = UR +U0 = Ri + u
• Or
i
dq
C du
dt
dt
• D’où :
RC du uUi
dt
• EHA :
RC duu0
dt
• Solution de la forme : u = e rt
1
• Equation caractéristique : RC r +1 = 0 => r = RC
• D’où
u
 t
RC
 Ae
car U -> A en fin de charge
dup 0
• SPEC : Ui = cste donc u p = cste => dt
• D’où
RC dup up Ui
dt
• => Up = Ui
• D’où SGEC :
u Ae
t
RC
Ui
•
Or la tension aux bornes d’un
condensateur est continue :
u(t=0-) = u( t=0+)
Conditions initiales :
u(t=0-) = 0
0
RC
Ui  AUi
u( t=0+) = Ae
 A +Ui = 0 => A = - Ui
D’où :
uUi(1e
t
RC
)
Régime libre et régime forcé : importance des
conditions initiales
• Parallèlement à la distinction régime transitoire et permanent, on
peut en distinguer une seconde : le régime libre correspond à
l'évolution du système laissé à lui-même, sans intervention
extérieure. Du point de vue mathématique, cela revient à laisser
agir les seules conditions initiales, sans membre de droite dans
l'équation différentielle ; la réponse libre du système est la solution
à l'équation homogène, avec conditions initiales.
• Le régime forcé correspond à la réponse du système lorsque ses
conditions initiales sont nulles et qu'il n'y a donc que l'excitation
qui agit sur le système.
• En ce qui concerne le circuit RC , si on a une charge initiale
stockée dans la capacité, on obtient :
avec q0= Cu0
• Ici le régime libre correspond à la décharge du condensateur. La
réponse transitoire s'en trouve modifiée, alors que le régime
permanent est le même, vu qu'il dépend de l'excitation et que
cette dernière est encore un échelon unité.
Tension aux bornes d’une bobine
ULriL di
dt
•
•
•
•
•
UL: tension aux bornes de la bobine en
volts (V).
L: inductance de la bobine en henrys
(H).
r: résistance de la bobine en ohms (W).
i: intensité du courant traversant la
bobine en ampères (A).
di/dt: dérivée par rapport au temps de
l'intensité du courant traversant la
bobine en ampères par seconde (A.s-1).
CIRCUIT RL
Réponse à l’échelon en intensité
• Loi de Kirchhoff :
E = UR +UL= Ri + ri + L di
dt
= (R+r)i +L di
dt
On pose Ro = R + r
D’où E = Ro i +L
di
dt
• EHA :
R0iL di 0
dt
Solution de la forme : i = e at
Equation caractéristique : La + R0 = 0 => a = R0
L
• => i = I0
e
 R0T
L
car en régime permanent
• SPEC : E= cste donc ip = cste
• D’où
R ip = E =>
• SGEC :
ip =
dip 0
=>
dt
E
R
i  I0 e
 R0
t
L
E

R0
i=I0
•
Or l’intensité du courant dans la
bobine est continue :
i(t=0-) = i( t=0+)
Conditions initiales :
i(t=0-) = 0
0
L
E
i( t=0+) = I0e
R0
•
•
•
•
Si on place un interrupteur dans le circuit :
Interrupteur fermé: Le courant s'installe
progressivement: la bobine s'oppose à
l'apparition de celui-ci.
Interrupteur ouvert: Le courant diminue
progressivement: la bobine s'oppose à la
disparition de celui-ci.
Conclusion: Une bobine s'oppose aux
variations de l'intensité du courant dans le
circuit où elle se trouve.
 i( t=0+) =
• =>
• D’où
I0 E
R0
I0 E
R0
i E (1e
R0
R0 t
L
)
CIRCUIT RL
Réponse à l’échelon en tension
• Loi de Kichhoff :
E = UR +UL
=> UL = E – R0i
D’où UL = E –R0
 UL = E
e
E (1e
R0
R0 t
L
R0 t
L
)
Constante de temps
La constante de temps fournit un ordre de grandeur de la durée
de la réponse d'un circuit RL ou RC .
• Circuit RC :
τ=RC
• Circuit RL :
 L
R0
Circuit RC
• Se comportant comme un « circuit
intégrateur ».
• ve(t) : tension d’entrée
• vs(t) : tension de sortie aux bornes de la
capacité
• vR(t) : tension aux bornes de la résistance
• loi des mailles à l’instant t : ve(t )  vR(t )  vs (t ) (1)
• on veut exprimer vR(t) en fonction de vs(t) :
on a :
et :
donc :
dQ (t )
dvs (t )
i (t ) 
C
dt
dt
dvs (t ) 1

 i (t )
dt
C
vR(t )  Ri(t )
dvs (t )
vR (t )  RC
dt
on obtient :
vR (t ) dvs (t )

RC
dt
• on divise (1) par RC =
:
ve(t ) vR (t ) vs (t )


RC
RC
RC
• finalement on obtient :
ve(t ) dvs (t ) vs (t )


RC
dt
RC
• si RC est très grand, on a vs (t ) très petit devant dvs (t )
dt
RC
• on peut donc faire une approximation :
ve(t ) dvs (t )

RC
dt
• en intégrant on obtient la relation entre la tension de sortie aux
bornes de la capacité et la tension d’entrée :
1
vs (t ) 
ve(t )dt

RC
dvs (t )
v s (t )
Si on se met dans les conditions où
est très petit devant
,
dt
RC
c’est-à-dire pour RC très grand, on voit que la tension de sortie est
en première approximation le signal intégré de la tension d’entrée.
Le circuit RC se comporte comme un « circuit intégrateur ».
Circuit RL
• Se comportant comme un « circuit
dérivateur ».
• ve(t) : tension d’entrée
• vs(t) : tension de sortie aux bornes de la
bobine
• vR(t) : tension aux bornes de la résistance
• loi des mailles à l’instant t : ve(t )  vR(t )  vs (t ) (2)
• on veut exprimer vR(t) en fonction de vs(t) :
on a :
et :
vR(t )  Ri(t )
di (t )
vs (t )  L
dt
 v (t )dt  Li(t )
s
L
 vs(t )dt  RvR(t )
R
vR (t )   vs (t )dt
• donc :
L
L
on obtient :
vR (t )   vs (t )dt
R
• on multiplie (2) par
L
=
R
:
L
L
L
ve(t )  vR (t )  vs (t )
R
R
R
• finalement on obtient :
L
L
ve(t )   vs (t )dt  vs (t )
R
R

L
L
• si
est très petit, on a vs (t ) très petit par rapport à vs (t ) dt
R
R
• on peut donc faire une approximation :
L
ve(t )   vs (t )dt
R
• en dérivant on obtient la relation entre la tension de sortie aux
bornes de la bobine et la tension d’entrée :
L dve(t )
vs (t ) 
R dt
Si on se met dans les conditions où

L
vs (t ) est très petit devant
R
L
vs (t ) dt , c’est-à-dire pour très petit, on constate que la tension
R
de sortie est en première approximation le signal dérivé de la tension
d’entrée.
Le circuit se comporte comme un « circuit intégrateur ».
Circuit RC
• Se comportant comme un « circuit
dérivateur ».
Le circuit RC peut aussi se comporter comme un « circuit dérivateur »,
en prenant cette fois-ci la tension de sortie aux bornes de la capacité :
• ve(t) : tension d’entrée
• vs(t) : tension de sortie aux bornes de la
résistance
• vR(t) : tension aux bornes de la résistance
On suit le même raisonnement que précédemment :
• loi des mailles :
• on a :
ve(t )  vc(t )  vs (t )
vs (t )  Ri(t ) et : dvc (t )  1 i (t )
dt
soit :
dvc (t )
1

vs (t )
dt
RC
C
• ce qui donne :
RCv c (t )   vs (t )dt
• on remplace dans l’équation
RCve(t )  RCvc(t )  RCvs(t ) :
RCv e(t )   vs (t )dt  RCv s (t )
• si
RC est très petit, on a RCvs(t ) très petit devant  vs (t )dt
1
vs (t )dt
• en approximation : ve(t ) 

RC
dve(t )
• en dérivant :
vs (t )  RC
dt
On voit que la tension de sortie est en première approximation le
signal dérivé de la tension d’entrée.
Le circuit se comporte comme un « circuit dérivateur ».
Circuit RL
• Se comportant comme un « circuit
intégrateur ».
De la même façon le circuit RL peut se comporter comme un « circuit
intégrateur » :
• ve(t) : tension d’entrée
• vs(t) : tension de sortie aux bornes de la
résistance
• vL(t) : tension aux bornes de la bobine
• loi des mailles : ve(t )  vL(t )  vs (t )
di (t )
• on a : vL (t )  L
dt
• donc : dvs (t )  R vL (t )
dt
L
et :
dvs (t )
di (t )
R
dt
dt
R
R
R
• on remplace dans
ve(t )  vL(t )  vs (t ) :
L
L
L
R
dvs (t ) R
ve(t ) 
 vs (t )
L
dt
L
dvs (t )
R
R
• si
est très petit, on a
:
vs (t ) très petit devant
dt
L
L
• en approximation :
• en intégrant :
R
dvs (t )
ve(t ) 
L
dt
R
vs (t )   ve(t )dt
L
On voit que la tension de sortie est l’intégrale de la tension d’entrée.
Le circuit se comporte comme un « circuit intégrateur ».
Rappel :
  2  f
La relation entre le signal de sortie et le signal d’entrée est appelé :
Fonction de transfert :
S
H(jω)
E
S
 H(jω)  exp(j(   ))
s
e
E
Il apparaît :
Le Gain en tension :
G ( )  H ( j )
Le Déphasage :
 ( )  arg(H ( j ))
On appelle représentation de BODE de la fonction de transfert l'association des graphes :
• Gain en amplitude : GdB () = 20 log G()
• Phase : ()
La gamme de fréquence étant souvent élevé on utilise une échelle logarithmique.
On appelle bande passante bande de fréquences dans laquelle l'amplitude est
supérieure à un pourcentage de sa valeur maximale. En général, U>Umax/ .
2
Plus simplement, c’est la gamme de fréquence pour laquelle on considère qu’ un signal
est transmis.
Ve  Vr  Vs  1 I  RI
jCω
Vs  1 I
jCω
Vs
1/jCω
jCω


Ve 1/jCω  R jCω
1
H
1  jRCω
H
1
1  ( RC )²
Phase    arg(H )   arg(1  jC )
cos  1

sin  Rc
Gain
G  H 
   arctg( RC )
G
1
1  ( RC )²
  arctg( RC )
Gmax
Gmax/ 2
Bande
Passante
c
Le circuit RC intégrateur se comporte comme un filtre passe-bas, puisqu’il ne
transmet le signal que dans une bande de fréquence
 ()
GdB ()


Phase
Gaindb
3
/2
Rappels : G 
1
1  ( RC )²
  arctg( RC )
Que se passe-t-il quand  prend les valeurs
suivantes ?
=0
=c=1/RC
∞
Gmax=1 Gdb# -20*log(RC)
G#1/(RC)
-/2
coupe
court
G(cG
)=1/
∞
0 -/4
0 c=1/RC
=-3
db
=0 db(intégrateur)
Gdb max
-∞G
G0
circuit
(filtre passif)

G
0
Gmax=1

Equivalence
Gdb max =0
0
coupe
circuit
Gdb=-3
-/4
Gdb
(filtre passif)
c=1/RC
∞
G(c)=1/ 2
G#1/(RC)
G0
Gdb# -20*log(RC)
Gdb
-∞
-/2
(intégrateur)
court
circuit
L’étude du gain et de la phase du circuit intégrateur par
l’intermédiaire de la fonction complexe et de la phase permet
de déterminer :
• Le type de filtre : passe-bas
• La fréquence de coupure de la bande passante à 3 dB : f c 
1
2RC
Filtre passe-bas
1
fc 
2RC
Lorsque RC est grand, on a fc  0
Le filtre RC en fonctionnement intégrateur ne laisse passer que
la composante continue du signal.
Filtre passe-haut
Lorsque RC est petit, on a fc  ∞
1
fc 
2RC
Le filtre RC en fonctionnement dérivateur supprime la
composante continue du signal.
Filtre passe-bas
1
fc 
2 L
Lorsque L/R est grand, on a fc  0
R
Le filtre RC en fonctionnement intégrateur ne laisse passer que
la composante continue du signal.
Filtre passe-haut
Lorsque L/R est petit, on a fc  ∞
1
fc 
2 L
Le filtre RC en fonctionnement dérivateur supprime la
composante continue du signal.
R
Applications du circuit ‘‘ Intégrateur’’
• Oscilloscope : donne la composante
continue d’un signal alternatif
• Amplis Hi-Fi : filtre passe-bas qui
supprime les hautes fréquences