Transcript Frekvenční přenos
Základy teorie řízení Frekvenční charakteristika
2010
Opakování – přechodová a impulsní charakteristika
a) Vykreslete přechodovou a impulsní charakteristiku následujících dvou přenosů:
G
1 (
s
)
G
2 (
s
) 3
s
3 2
s
( 2 5
s s
2 1 )
s
1 ( 3
s
1 )( 5
s
1 ) b) Všechny čtyři charakteristiky zobrazte v jednom okně
Řešení – m-file
% Definování přenosu systému G1=tf([2 0],[3 5 1 1]); G2=zpk([-0.5],[-1/3 -1/5],2/3*5); % Hodnoty přechodové a impulsní charakteristiky [y1,t1]=step(G1,1,120,1000); [y2,t2]=step(G2,1,30,100); [y3,t3]=impulse(G1,1,120,1000); [y4,t4]=impulse(G2,1,30,100); %Vykreslení charakteristik subplot(2,2,1) plot(t1,y1) grid("on") title("Prechodova charakteristika G1(S)") xlabel("Cas [s]") ylabel("Napětí [V]") subplot(2,2,3) plot(t2,y2,"r") grid("on") title("Prechodova charakteristika G2(S)") xlabel("Cas [s]") ylabel("Napětí [V]") subplot(2,2,2) plot(t3,y3) grid("on") title("Impulsni charakteristika G1(S)") xlabel("Cas [s]") ylabel("Napětí [V]") subplot(2,2,4) plot(t4,y4,"r") grid("on") title("Impulsní charakteristika G2(S)") xlabel("Cas [s]") ylabel("Napětí [V]")
Řešení příkladu - grafy
Frekvenční přenos
Frekvenční přenos získáme tak, že na vstup systému přivedeme harmonický signál. Typickým harmonickým signálem je sinusový průběh. Na výstupu systému dostaneme podle obr. (po odeznění přechodového jevu) opět sinusový signál ovšem s jinou amplitudou, stejnou úhlovou frekvencí a fázově proti vstupnímu signálu posunutý.
u(t)
u 0
t y(t)
y 0
t
u y
u
0 sin
y 0 sin
t
t
T
u(t)
S T
y(t)
V komplexním tvaru
u y
u e 0 y e 0
Frek. přenos je roven poměru vektorů rotujících v komplexní rovině
G
y u
y 0 e j
ωt
u 0 e j
t
y u 0 0 e j
Pomocí koeficientů dif. rovnice
G
y
0
e j
t
u
0
e j
t
b m a n
m n
...
...
b 1 a 1 jω
jω
b 0 a 0
Frekvenční přenos systému je roven podílu Fourierova obrazu výstupního signálu a Fourierova obrazu vstupního signálu při nulových počátečních podmínkách.
Frekvenční charakteristika v komplexní rovině
Frekvenční charakteristika je grafické vyjádření frekvenčního přenosu G(j ) v komplexní rovině, když za úhlovou frekvenci dosazujeme hodnoty 0 až .
Im
Re
G(j
)
a
jb
A
cos
Re
G(j
)
pro
G(j
)
pro 0,5
j
Im
j
.sin
Im
j
, kde
A
a+jb A
b=A
sin
Re
a=A
cos
a
2
b
2 a
arctg b a
Frekvenční charakteristika
v komplexní rovině Funkce
nyquist
[REALP, IMAGP, W] = nyquist (SYS, W, OUT_IDX, IN_IDX, ATOL)
sys - zadaný systém, ostní parametry nejsou povinné W - hodnoty úhlové rychlosti (vektor hodnot pro které je charakteristika počítána) např.: w=(0.01:0.1:10); OUT_IDX -v případě MIMO(multiple input-multiple output) je to index řádku IN_IDX -to stejné, index sloupce, rovněž nevyužijeme u SISO(single I single O) ATOL - umožňuje interaktivní zobrazení výsledku, zobrazení grafu dle potřeby je-li ATOL zadáno jiné než 0 a existují asymptoty grafu, pak je uživatel dotázán zdali požaduje přiblížení grafu REALP, IMAGP - hodnoty reálné a imaginární části frekvenční charakteristiky
Frekvenční charakteristika - příklad
Pro následující přenos zobrazte frekvenční charakteristiku
G
1 (
s
) 2
s
2 1 , 5 3
s
1 s=tf([1.5],[2 3 1]) % zadani soustavy pomoci prenosu nyquist(s)
Frekvenční charakteristika
◦ ◦ Funkce linspace() % funkce pro generování hodnot s lineárním rozložením logspace() % funkce pro generování hodnot s logaritmickým rozložením w=linspace(0.02,10,100) w=logspace(log10(1.1),log10(100),100) s=tf([1.5],[2 3 1]) % zadani soustavy pomoci prenosu w=linspace(0.02,10,100); nyquist(s,w)
Amplitudo-fázová frekvenční charakteristika
Frekvenční charakteristiku v komplexní rovině můžeme převést na amplitudo-fázovou frekvenční charakteristiku. Pro konkrétní bod charakteristiky (jistá úhlová frekvence) v komplexní rovině můžeme odečíst příslušnou amplitudu A i fázi .
G
.
e j
Tím pádem je možno tuto charakteristiku rozdělit na dvě charakteristiky amplitudovou
A=A(
) a fázovou
=
(
).
Lineárních souřadnic se používá velmi zřídka, neboť mají omezené úzké frekvenční pásmo. Pokud bychom toto pásmo rozšířili, pak by nejdůležitější část charakteristiky s podstatnou změnou amplitudy byla nahuštěna v úzkém rozsahu frekvencí. Proto se s výhodou používají charakteristiky v logaritmických souřadnicích.
U amplitudové frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích je na svislou osu vynášena amplituda frekvenčního přenosu v decibelech [dB].
A
G
v radiánech).
y u 0 0 e j
y u 0 0 A
20 log A
20 log y u 0 0
vynášena na svislou osu v lineárním měřítku (ve stupních nebo
z = 1; p = [-1, -2]; k = 0.5
sys = zpk(z, p, k) bode(sys , 'r')
Frekvenční charakteristika příklady
G
1 (
s
) 8
s
( 1 0 , 8
s
)
G
2 (
s
)
s
( 1 0 , 1
s
8 0 , 16
s
2 )
G
3 (
s
) 1 0 , 1
s
8
s
0 , 16
s
2
Frekvenční charakteristiky členů – proporcionální
Frekvenční charakteristiky členů – integrační
Příklad – mechanická soustava
Chování mechanické soustavy je popsáno rovnicí Vyšetřete chování soustavy a sestavte frekvenční charakteristiky.
m
10,
b
10,
k
1000 2 F
ms
2 1
bs
k
Vlastní frekvence soustavy je 0
k m
m = 10; b = 10; k = 1000; sys = tf (1, [m, b, k]) zpk(sys) pole(sys) frek_vl = sqrt(k/m) %Skokove buzeni figure(1) step(sys) figure(2) nyquist(sys) figure(3) bode(sys) %Harmonicke buzeni T_sim = 40; amp = 1; omega = 10; t = 0:0.01:T_sim; buzeni = amp*sin(omega*t); % Simulace [Y,T]=lsim(sys,buzeni,t); figure(5); %Y = Y *10; plot(t,buzeni,t,Y)