Transcript Grafų tyrimo elementai

Grafų tyrimo elementai
c
Dvi viršūnės yra gretimos, jei jas jungia briauna.
Šiuo atveju: b ir c gretimos, a ir d gretimos, e ir d
nėra gretimos.
b
a
d
Briaunos yra incidenčios, jei turi bendrą viršūnę.
Šiuo atveju: {b, c} ir {b, d} incidenčios, o {b, d} ir
{a, e} – ne.
e
f
Grafo G = (V, B) aplinka vadinama visų jai gretimų viršūnių aibė (prisiminkite
gretimumo aibes):
Γ(v) = {w  V: {v, w}  B}.
Skaičius p(v) = | Γ(v) | yra vadinamas viršūnės v laipsniu.
Šiuo atveju p(a) = 3, p(b) = 3, p(c) = 1, p(d) =2, p(e) = 1, p(f) =0
c
b
a
d
Patikrinkime: grafas turi 5 briaunas.
e
f
p(a) = 3, p(b) = 3, p(c) = 1,
p(d) =2, p(e) = 1, p(f) = 0.
(3+3+1+2+1+0)/2 = 10/2 =5
Grafo viršūnių
laipsnių suma yra
lyginis skaičius!
Grafo viršūnių su
nelyginiu laipsniu
skaičius yra
lyginis.
c
Grafo viršūnė v yra izoliuotoji, jei p(v) =0.
b
Šiuo atveju f yra izoliuotoji viršūnė.
a
d
Viršūnę vadiname nusvyrusiąją, jei p(v) =1.
Šiuo atveju c ir e yra nusvyrusios.
Grafas yra homogeninis, jei visų viršūnių
laipsniai lygūs.
Grafas yra vadinamas ciklu, jei visų viršūnių
laipsniai lygūs 2.
e
f
G1:
p(f) = 2, p(x) = 3, p (h) = 2, p(z)= 3. Nėra homogeninis
G2:
p(f) = 2, p(x) = 3, p (h) = 2, p(z)= 2, p(r) = 3. Nėra homogeninis
Tuščiasis
c
Grafo maršrutu vadinama bet kuri poromis
gretimų jo briaunų seka.
Maršruto užrašymas:
a) e, {e, a}, a, {a, d}, d, {b, d}, b, {a, b}, a;
b) e, a, d, b, a.
b
a
d
e
f
Maršrutas vadinamas atviruoju, jeigu jo galinės viršūnės skirtingos. Priešingu
atveju jį vadinsime uždaruoju.
Maršrutas, kurio visos briaunos skirtingos, vadinamas grandine.
Atviroji grandinė vadinama keliu.
Uždaroji grandinė vadinama ciklu.
Maršrutas: a, b, c, f, e, a, d, b, a, d.
Nėra maršrutas: e, a, d, c, b.
c
Nėra grandinė: a, b, c, f, e, a, d, b, a, d;
Yra grandinė: a, b, c, f, e, a, d, b;
b
a
d
e
Kelias: a, b, c, f, e, a, d, b;
Ciklas: a, b, c, f, e, a
Kai kuriuos, pvz, Eulerio ir Hamiltono ciklus, nagrinėsime atskirai.
f
c
Grafas vadinamas jungiuoju, jeigu bet kurias jo
viršūnes galima sujungti keliu.
Pavaizduotas grafas nėra jungus: nėra kelio,
jungiančio viršūnę f su kitomis viršūnėmis.
e
e
f
b
a
d
a
d
Grafo maksimalius jungiuosius pografius
vadinsime jungiosiomis komponentėmis
c
b
f
Šis grafas turi
dvi jungiąsias
komponentes
Pastabos
• Bet kuris n-tosios eilės grafas turi ne daugiau kaip n jungiųjų komponenčių;
• Jei n-osios eilės grafas turi n jungiųjų komponenčių, tai jos yra izoliuotosios
grafo viršūnės;
• Antrosios eilės jungusis grafas turi vieną briauną;
• Trečiosios eilės jungusis grafas turi dvi arba tris briaunas.
b
a
c
b
b
b
b
c
a
a
c
a
c
a
c
Metrinės charakteristikos
Kelio ilgiu vadinamas įeinančių į jį
briaunų skaičius.
Atstumu tarp grafo viršūnių
vadinamas trumpiausio jas
jungiančio kelio ilgis.
b
a
d
e
f
Šiuo atveju: iš viršūnės e į viršūnę c galima keliauti įvairiai:
a) e, f, a, d, b, c; kelio ilgis lygus 5;
b) e, f, a, b, d, a, c; kelio ilgis lygus 6;
c) e, f, a, b, c; kelio ilgis lygus 4;
d) e, f, a, c; kelio ilgis lygus 3.
Taigi, atstumas nuo viršūnės e iki viršūnės c lygus 3.
Pastaba: nesvarbu, kokį kelią rinksimės važiuojant iš Vilniaus į Kauną:
ar autostradą, ar per Trakus, ar per Šiaulius. Atstumas tarp miestų nuo
to nepasikeis. Skirsis tik nuvažiuotų kilometrų skaičius (kelio ilgis).
c
Metrinės charakteristikos
Kelio ilgiu vadinamas įeinančių į jį
briaunų skaičius.
Atstumu tarp grafo viršūnių
vadinamas trumpiausio jas
jungiančio kelio ilgis.
b
a
d
e
f
c
Metrinės charakteristikos
b
a
d
e
f
Grafo grandinė
vadinama skermenine,
jei jos ilgis lygus grafo
skersmeniui ir nėra
trumpesnio jos galus
jungiančio kelio.
c
Metrinės charakteristikos
Rasime pavaizduoto grafo metrines charakteristikas.
Pildome atstumų lentelę
a
b
c
d
e
f
max
pastabos
a
X
1
1
1
2
1
2
centras
b
1
X
1
1
3
2
3
c
1
1
X
2
3
2
3
d
1
1
2
X
3
2
3
e
2
3
3
3
X
1
3
f
1
2
2
2
1
X
2
b
a
d
e
centras
Spindulys = 2,
Skersmuo = 3
Centrai a ir f
f
Atsakymas: 3, 2, 6, 5, 2
c
Skaidumas
b
a
d
e
f
Siejančioji briauna arba tiltas - briauna, kurią pašalinus gautas grafas turi
daugiau jungiųjų komponenčių negu grafas G.
Šiuo atveju tai {c, d}, {a, f} ir {e, f}
c
b
c
Grafo blokas maksimalus grafo pografis
be sujungimo taškų.
d
f
a
e
f
a