Transcript dosyayı indir

PRİMAL-DUAL
SİMPLEKS ÖRNEK
Primal Problem
Bir marangoz işletmesinde masa ve
sandalye üretilmektedir. Bir masa
yapımı için 30 metre tahta ve 5 saat
işgücüne ihtiyaç vardır. Bir sandalye
yapımı için de 20 metre tahta ve 10 saat
işgücü kullanılmaktadır. Bir masanın
satışından 6 TL, bir sandalyenin
satışından 8 TL kâr elde edilmektedir.
2
Primal Çözüm
Maksimum Z = 6x1 + 8x2
Kısıtlar : 30x1 + 20x2 ≤ 300 (tahta kısıtı)
5x1 + 10x2 ≤ 110 (işgücü kısıtı)
x1, x2 ≥ 0
x1 : Masa miktarı
x2 : Sandalye miktarı
3
Primal Çözüm
Kısıtlar : 30x1 + 20x2 + 0s1 = 300
5x1 + 10x2 + 0s2 = 110
x1, x2, s1, s2 ≥ 0
Amaç Fonk.:
Maksimum Z = 6x1 + 8x2 + 0s1 + 0s2
4
Primal Çözüm
Başlangıç Simpleks Tablosu
cj
A.K.
Temel
6
x1
8
x2
0
s1
0
s2
Çözüm
0
s1
30
20
1
0
300
300/20= 15
0
s2
5
10
0
1
110
110/10= 11
zj
cj - zj
0
6
0
8
0
0
0
0
0
5
Primal Çözüm
Birinci Simpleks Çözüm Tablosu
cj
A.K.
Temel
6
x1
8
x2
0
s1
0
s2
Çözüm
0
s1
20
0
1
-2
80
80/20= 4
8
x2
1/2
1
0
1/10
11
11/(1/2)= 22
zj
cj - zj
4
2
8
0
0
0
8/10
-8/10
88
6
Primal Çözüm
İkinci Simpleks Çözüm Tablosu (Optimum)
A.K.
cj
Temel
6
x1
8
x2
0
s1
0
s2
Çözüm
6
x1
1
0
1/20
-1/10
4
8
x2
0
1
-1/40
3/20
9
zj
cj - zj
6
0
8
0
1/10
-1/10
3/5
-3/5
96
Yorum : Marangoz x1= 4 birim masa ve x2= 9 birim sandalye
üretirse maksimum kârı Zmax = 96 TL olacaktır.
7
Dual Çözüm
Minimum Z = 300y1 + 110y2
Kısıtlar : 30y1 + 5y2 ≥ 6 (masa kısıtlayıcısı)
20y1 + 10y2 ≥ 8 (sandalye kısıt.)
y1, y2 ≥ 0
y1 : 1 metre tahtanın maliyeti
y2 : 1 saat işgücünün maliyeti
8
Dual Çözüm
Kısıtlar : 30y1 + 5y2 – v1 + A1 = 6
20y1 + 10y2 – v2 + A2 = 8
y1, y2, v1, v2, A1, A2 ≥ 0
Amaç Fonk.:
Min Z = 300y1 + 110y2 + 0v1 + 0v2 + MA1 + MA2
9
Dual Çözüm
Başlangıç Dual Simpleks Tablosu
A.
cj
K. Temel
300
y1
110
y2
0 0 M M
Çözüm
v1 v2 A1 A2
M
A1
30
5
-1
0
1
0
6
M
A2
20
10
0
-1
0
1
8
-M
M
-M
M
M
0
M
0
14M
zj
cj - zj
50M
15M
300-50M 110-15M
6/30= 1/5
8/20= 2/5
10
Dual Çözüm
Birinci Dual Simpleks Tablosu
A.
K.
cj
300
Temel y1
110
y2
0
v1
0
v2
M
A1
M
A2
Çözüm
300
y1
1
1/6
-1/30
0
1/30
0
1/5
M
A2
0
20/3
2/3
-1
-2/3
1
4
M
0
60+4M
zj
cj - zj
300 50+20M/3 -10+2/3M -M 10-2/3M
0
60-20M/3 10-2/3M M 5/3M-10
(1/5) / (1/6)= 6/5
4/ (20/3) = 3/5
11
Dual Çözüm
İkinci Dual Simpleks Tablosu (Optimum)
A.
K.
cj
Temel
300
y1
110
y2
0
v1
0
v2
M
A1
M
A2
Çözüm
300
y1
1
0
-1/20
1/40
1/20
-1/40
1/10
110
y2
0
1
1/10
-3/20
-1/10
3/20
3/5
zj
cj - zj
300
0
110
0
-4
4
-9
9
4
M-4
9
M-9
96
Yorum : Bir metre tahtanın maliyeti y1= 0,1 TL ve
bir saat işgücünün maliyeti y2= 0,6 TL’dir.
Masa ve sandalye üretimi için kullanılan tahta ve işgücüne
ödenen minimum maliyet Zmin = 96 TL’dir.
12
Primal-Dual Çözüm Karşılaştırma
A.K.
cj
Temel
6
x1
8
x2
0
s1
0
s2
Çözüm
6
x1
1
0
1/20
-1/10
4
8
x2
0
1
-1/40
3/20
9
zj
cj - zj
6
0
8
0
1/10
-1/10
3/5
-3/5
96
A.
K.
cj
Temel
300
y1
110
y2
0
v1
0
v2
M
A1
M
A2
Çözüm
300
y1
1
0
-1/20
1/40
1/20
-1/40
1/10
110
y2
0
1
1/10
-3/20
-1/10
3/20
3/5
zj
cj - zj
300
0
110
0
-4
4
-9
9
4
M-4
9
M-9
96
13
Primal-Dual Çözüm Karşılaştırma
A.K.
cj
Temel
6
x1
8
x2
0
s1
s1
0
s2
Çözüm
6
x1
1
0
1/20
-1/10
4
8
x2
0
1
-1/40
3/20
9
zj
cj - zj
6
0
8
0
1/10
-1/10
3/5
-3/5
96
300
y1
110
y2
0
v1
0
v2
M
A1
M
A2
Çözüm
1
0
-1/20
1/40
1/20
-1/40
1/10
y2
0
1
1/10
-3/20
-1/10
3/20
3/5
zj
cj - zj
300
0
110
0
-4
4
-9
9
4
M-4
9
M-9
96
A.
K.
cj
Temel
y1
300
110
14
Primal-Dual Çözüm Karşılaştırma
A.K.
cj
Temel
6
x1
8
x2
x2
0
s1
0
s2
Çözüm
6
x1
1
0
1/20
-1/10
4
8
x2
0
1
-1/40
3/20
9
zj
cj - zj
6
0
8
0
1/10
-1/10
3/5
-3/5
96
A.
K.
cj
Temel
300
y1
110
y2
0
v1
v1
0
v2
v2
M
A1
M
A2
Çözüm
300
y1
1
0
-1/20
1/40
1/20
-1/40
1/10
110
y2
0
1
1/10
-3/20
-1/10
3/20
3/5
zj
cj - zj
300
0
110
0
-4
4
-9
9
4
M-4
9
M-9
96
15
Primal-Dual Çözüm Karşılaştırma
A.K.
cj
Temel
6
x1
8
x2
0
s1
0
s2
Çözüm
6
x1
1
0
1/20
-1/10
4
8
x2
0
1
-1/40
3/20
9
zj
cj - zj
6
0
8
0
1/10
-1/10
3/5
-3/5
96
A.
K.
cj
Temel
300
y1
y1
110
y2
0
v1
0
v2
M
A1
M
A2
Çözüm
300
y1
1
0
-1/20
1/40
1/20
-1/40
1/10
110
y2
0
1
1/10
-3/20
-1/10
3/20
3/5
zj
cj - zj
300
0
110
0
-4
4
-9
9
4
M-4
9
M-9
96
16
Primal-Dual Çözüm Karşılaştırma
A.K.
cj
Temel
6
x1
8
x2
0
s1
0
s2
Çözüm
6
x1
1
0
1/20
-1/10
4
8
x2
zj
cj - zj
0
1
-1/40
3/20
9
6
0
8
0
1/10
-1/10
3/5
-3/5
96
A.
K.
cj
Temel
300
y1
110
y2
0
0
v1
-1/20
0
v2
1/40
M
A1
A1
1/20
M
A2
A2
-1/40
300
y1
1
110
y2
0
1
1/10
-3/20
-1/10
3/20
3/5
zj
cj - zj
300
0
110
0
-4
4
-9
9
4
M-4
9
M-9
96
Çözüm
1/10
17
Primal’den Dual’e
Fen Motor Şti. gömlek ve piston üretmektedir.
Bir gömlek yapımı için 1 saat torne işine, 1
kg.da çeliğe ihtiyaç vardır. Bir piston üretimi
için de 1,5 saat torna zamanı, 0,5 saat
kaplama, 1 kg.da çelik kullanılmaktadır.
Şirketin haftalık elverişli kaynakları ise; 750
saat torna, 200 saat kaplama kapasitesi ile
600 kg. çeliktir. Bir gömlek satımından
şirketin kârı 3 TL, bir piston satımından ise 4
TL’dir.
18
Primal Çözüm
Maksimum Z = 3x1 + 4x2
Kısıtlar : x1 + 1,5x2 ≤ 750 (torna kısıtı)
0,5x2 ≤ 200 (kaplama kısıtı)
x1 + x2 ≤ 600 (çelik kısıtı)
x1, x2 ≥ 0
x1 : Haftada üretilecek gömlek miktarı
x2 : Haftada üretilecek piston miktarı
19
Dual Çözüm
Minimum Z = 750y1 + 200y2 + 600y3
Kısıtlar : y1 + y3 ≥ 3 (gömlek kısıtlayıcısı)
1,5y1 + 0,5y2 + y3 ≥ 4 (piston kısıt.)
y1, y2, y3 ≥ 0
y1 : 1 saat torna maliyeti
y2 : 1 saat kaplama maliyeti
y3 : 1 kg. çelik maliyeti
20
Primal’den Dual’e
A.K.
cj
Temel
3
x1
4
x2
0
s1
0
s2
0
s3
Çözüm
3
x1
1
0
-2
0
3
300
4
x2
0
1
2
0
-2
300
0
s2
0
0
-1
1
1
50
zj
cj - zj
3
0
4
0
2
-2
0
0
1
-1
2100
600
y3
0
v1
0
v2
M
A1
A.
K.
cj
Temel
750
y1
200
y2
M
A2
Çözüm
zj
cj - zj
21
Primal’den Dual’e
A.K.
cj
Temel
3
x1
4
x2
0
s1
0
s2
0
s3
Çözüm
3
x1
1
0
-2
0
3
300
4
x2
0
1
2
0
-2
300
0
s2
0
0
-1
1
1
50
zj
cj - zj
3
0
4
0
2
-2
0
0
1
-1
2100
600
y3
0
v1
0
v2
M
A1
A.
K.
cj
Temel
zj
cj - zj
750
y1
200
y2
M
A2
Çözüm
2100
22
Primal’den Dual’e
A.K.
cj
Temel
3
x1
4
x2
0
s1
0
s2
0
s3
Çözüm
3
x1
1
0
-2
0
3
300
4
x2
0
1
2
0
-2
300
0
s2
0
0
-1
1
1
50
zj
cj - zj
3
0
4
0
2
-2
0
0
1
-1
2100
600
y3
0
v1
0
v2
M
A1
A.
K.
cj
Temel
750
y1
200
y2
M
A2
750
y1
2
zj
cj - zj
2100
Çözüm
23
Primal’den Dual’e
A.K.
cj
Temel
3
x1
4
x2
0
s1
0
s2
0
s3
Çözüm
3
x1
1
0
-2
0
3
300
4
x2
0
1
2
0
-2
300
0
s2
0
0
-1
1
1
50
zj
cj - zj
3
0
4
0
2
-2
0
0
1
-1
2100
600
y3
0
v1
0
v2
M
A1
A.
K.
cj
Temel
750
y1
200
y2
M
A2
750
y1
2
600
y3
1
zj
cj - zj
2100
Çözüm
24
Primal’den Dual’e
A.K.
cj
Temel
3
x1
4
x2
0
s1
0
s2
0
s3
Çözüm
3
x1
1
0
-2
0
3
300
4
x2
0
1
2
0
-2
300
0
s2
0
0
-1
1
1
50
zj
cj - zj
3
0
4
0
2
-2
0
0
1
-1
2100
600
y3
0
v1
0
v2
M
A1
A.
K.
cj
Temel
750
y1
2
600
y3
1
zj
cj - zj
750
y1
200
y2
-300
300
-300
300
M
A2
Çözü
m
300
300
2100
M-300 M-300
25
Primal’den Dual’e
A.K.
cj
Temel
3
x1
4
x2
0
s1
0
s2
0
s3
Çözüm
3
x1
1
0
-2
0
3
300
4
x2
0
1
2
0
-2
300
0
s2
0
0
-1
1
1
50
zj
cj - zj
3
0
4
0
2
-2
0
0
1
-1
2100
600
y3
0
v1
0
v2
M
A1
A.
K.
cj
Temel
750
y1
2
600
y3
1
zj
cj - zj
750
y1
750
0
200
y2
150 600
50
0
-300
300
-300
300
M
A2
Çözü
m
300
300
2100
M-300 M-300
26
Primal’den Dual’e
A.K.
cj
Temel
3
x1
4
x2
0
s1
0
s2
0
s3
Çözüm
3
x1
1
0
-2
0
3
300
4
x2
0
1
2
0
-2
300
0
s2
0
0
-1
1
1
50
zj
cj - zj
3
0
4
0
2
-2
0
0
1
-1
2100
A.
K.
cj
Temel
750
y1
200
y2
600
y3
0
v1
0
v2
M
A1
M
A2
Çözü
m
750
y1
1
1
0
2
-2
-2
2
2
600
y3
0
-1
1
-3
2
3
-2
1
zj
cj - zj
750
0
-300
300
-300
300
150 600
50
0
300
300
2100
M-300 M-300
27