平稳高斯序列超过数点过程与部分和的联合极限分布
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Transcript 平稳高斯序列超过数点过程与部分和的联合极限分布
平稳高斯序列超过数点过程与
部分和的联合极限分布
报告人：胡爱平
平稳高斯序列超过数点过程与部分和
的联合极限分布
一.
已有成果
二. 本文工作
三. 结论介绍
一.已有成果
1978年，Chow与Teugels研究了独立同分布
的随机序列的部分和最大值的极限性质。上
世纪90年代，不少学者便开始了对高斯序列
部分和与最大值的联合极限分布的研究。
例如：Hsing(1995),
Ho
and Hsing(1996),
Ho and McCormick(1999),
McCormick and Qi(2000),
Peng and Nadarajah(2002)
文献结论
对弱相依高斯序列，部分和与最大值是渐近
独立的；
对强相依高斯序列，部分和与最大值的分布
是相依的。
更进一步，2007年，James,
B., James, K.
and Qi, Y 考虑了多维平稳高斯序列部分和与
最大值的联合分布问题。
二. 本文工作
1.本文在较弱的条件下证明了均值为0的高斯三角矩
阵的部分和与超过数点过程是渐近独立的。
2.在弱条件下，标准化平稳高斯序列的超过数点过
程依分布收敛到泊松分布，且与部分和渐近独立。
3.在弱条件下，得到了标准化平稳高斯序列的极值
顺序统计量与部分和的联合极限分布。
三、 结论介绍
1.高斯随机变量矩阵的超过数与部分
和
（假设条件）
{ X ni ,1 i n}是高斯随机变量矩阵，假定：
EX ni 0,1 i n, n 1.
(1.1)
令 n (i, j) EX ni X nj ,1 i, j n.
又假定： max1in 1 n (i, i) ( 1 ), n
log n
n n
且 lim log n
(i, j ) 0
(1.3)
n
n
2
i 1 j 1
n
(1.2)
1.高斯随机变量矩阵的超过数与部分
和
（记号）
对 n 1
，定义
n
Sn X ni , M n max X ni
i 1
本文中定义
1i n
an 2log n , bn an (2an )1 log(4 log n)
( x) exp( exp( x)), x R
( x ) 是标准正态分布函数.
已有结论
定理 A (McCormick
and Qi(2000) 定理2.1)
若（1.1）－（1.3）成立，且对某一分布函数G,
d
a
(
M
b
)
G,
(1.4)
x
R
,
则对
有： n n n
lim P{
n
Sn
n
x, an ( M n bn ) y} ( x)G( y)
其中， n2 var(Sn )
，y是G的连续点。
简化到序列的情形
让 {X n , n 1}
是平稳高斯序列，且标准化，相关
Xn
系数 rn EX1 X n1 ，最大值 M n max
1 i n
n
部分和
中，让
Sn X i ,
Sn
n 。在定理A
，均值
X i ,1 i n.条件（1.3）等价于
i 1
X ni
Xn
log n n
lim
ri 0
n
n i 1
(1.5)
McCormick(1980)引入下面条件
log n n
ri rn (1)
(1.6)
n i 1
如果对某一 k 1, rk 1
，且（1.6）成立的条件下，
McCormick(1980)证明了
Mn Xn
lim P{an (
1 bn ) x} ( x), x R
n
(1 rn ) 2
{X k , k 1}
定理B (McCormick and Qi(2000)) 设
是一平稳高斯序列，且已标准化，如果对某
一 k 1, rk 1 ，且（1.6）成立的条件下，有：
Sn
Mn Xn
lim P{ x, an (
bn ) y} ( x)( y)
n
n
1 rn
(1.7)
1.高斯随机变量矩阵的超过数与部分
和
（假设条件）
{ X ni ,1 i n}是高斯随机变量矩阵，假定：
EX ni 0,1 i n, n 1.
(1.1)
令 n (i, j) EX ni X nj ,1 i, j n.
又假定： max1in 1 n (i, i) ( 1 ), n
log n
n n
且 lim log n
(i, j ) 0
(1.3)
n
n
2
i 1 j 1
n
(1.2)
1.高斯随机变量矩阵的超过数与部分
和
（定义）
定义1：由{X ni ,1 i n}的超过数形成的点过程定
义如下：
n
i
N n ( B) I ( X ni un , B), B是（0，1]上的
n
i 1
Borel集。
1.高斯随机变量矩阵的超过数与部分
和
（定义）
定义2：矩形 S Rd (d 1的整数)上的点过程序列 {N n }
d
N
依分布收敛到点过程N(记为 n N ）：
对任意整数k和有界Borel集 Bi S ，使得
N (Bi ) 0, a.s., i 1,2, , k 随机向量 ( Nn ( B1 ), , Nn ( Bk ))
依分布收敛到 ( N ( B1 ),
, N ( Bk )) 。
定义3：如果对任意正整数k,随机向量 ( Nn ( B1 ), , Nn ( Bk ))
和 Yn 是渐近独立的，则称点过程 N 和 Yn 是
渐近独立的。
n
超过多水平形成的点过程的定义
定义4：{i ,1 i n} 超过水平 un(1) , un(2) ,
过程如下：
s
n
, un( s )
形成的点
i
Nn ( B) I (i un( j ) ,( , j ) B), B为（0，1】 R
n
j 1 i 1
中的任一Borel集。
1.高斯随机变量矩阵的超过数与部分
和
（本文结论）
定理1.1 N n 如前所定义，若条件(1.1)-(1.3)满足，
d
且 Nn
N ，N是定义在(0,1]上的点过程。
Sn
则 Nn 与
是渐近独立的。
n
证明思路：需证明存在与 Sn 独立的过程 N n ，
使得 Nn ( B) Nn (B) p (1) ，B为(0,1]上的任一
Borel 集。
定理1.2 N n 如前所定义，若条件(1.1)-(1.3)满足，且
d
， N是定义在（0，1】 R 上的点过程。则
Nn
N
Nn 与
Sn
n
是渐近独立的。
McCormick(1980)引入下面条件
log n n
ri rn (1)
(1.6)
n i 1
如果对某一 k 1, rk 1
，且（1.6）成立的条件下，
McCormick(1980)证明了
Mn Xn
lim P{an (
1 bn ) x} ( x), x R
n
(1 rn ) 2
2.平稳高斯序列超过数点过程与部分
和
让 {X n , n 1} 是平稳高斯序列，且已标准化，本节讨论
高斯序列关于样本均值标准化后的超过数形成的点
过程与部分和的有关问题。
X X
对 n 1 ，定义 i n,i i
,1 i n.
1 rn
由 {i ,1 i n} 形成的超过数点过程定义如下：
n
i
N n ( B) I (i un , B), B 为(0，1]中的
n
i 1
Borel集。
2.平稳高斯序列超过数点过程与部分
和（本文结论）
定理2.1让 {X n , n 1} 是平稳高斯序列，且标准化，
rn EX1 X
M n max X n
相关系数
，最大值
n 1
n
部分和
Sn X i ,
i 1
，且相关系数满足
log n n
lim
ri 0
n
n i 1
(1.5)
1 i n
2.平稳高斯序列超过数点过程与部分
和（本文结论）
定理2.1（续） 对 k 1, rk 1。令 N n
1
n
是对水平 un a x bn 形成的超过数点过程，
则 Nn
弱收敛到(0,1]上的P0isson点过程，
S n 是渐近独立
x
N
强度为
，且
与
n
e
n
的。
定理2.1的证明
S
N
n
运用定理1.1的结论来证明
与
n
n
近独立的。由于 n ,i
是渐
0。我们不能直接将
i 1
定理的结论用于 {i } ，从而定义：
Xn
X n,i n,i
,1 i n.
n
n
定理2.1的证明
易验证条件（1.1）－（1.3）满足，且由于
S
X
，有
n
X
S
n
i 1
ni
n
n
ni
i 1
n
var( X ni )
n
n
i 1
从而对 {X ni ,1 i n}
便可。
直接运用定理1.1的结论
3.极值顺序统计量与部分和的联合分
布
设{X n , n 1} 是前面所定义的高斯序列，记
表示 X , X , , X
中的第k个最大
M n( k )
值。
我们首先对极值顺序统计量在样本均值处中
M X
, , ,
心化。令
是
的
1 r
第k个最大值。
1
(k )
n
2
n
(k )
n
n
n
1
2
n
极值顺序统计量与部分和的联合分布
（结论）
推论3.1
除了条件（1.6）外，假定对 i 1, ri 1,
则对 k 1的整数，有
(k )
x j
k 1
(
e
)
Mn Xn
x
lim P an (
bn ) x exp e
1
n
j!
j 0
2
(1 rn )
(k )
x j
k 1
Sn
(
e
)
Mn Xn
x
lim P an (
bn ) x, y exp e
( y )
1
n
n
j!
j 0
(1 r ) 2
n
推论3.1的证明
证明：N n 如前所定义，从定理2.1，对每一固
x
d
定 xR
，Nn
，N是一强度为
e
N
的泊松过程。由于N ((0,1]) 依分布收敛到 N ((0,1])
n
(k )
x
{
它是均值为 e 的泊松随机变量，且 n un (x)} {Nn ((0,1]) k 1},
则
(k )
Mn Xn
lim P an (
b
)
x
n
1
n
(1 rn ) 2
lim P{N n ((0,1]) k 1} P{N ((0,1]) k 1}
n
x j
(
e
)
exp{e x }
j!
j 0
k 1
推论3.1的证明
第二个结论成立是由于定理2.1中得出的独立
性。
超过多水平形成的点过程的定义
定义4：{i ,1 i n} 超过水平
过程如下：
s
n
un(1) , un(2) ,
, un( s )
形成的点
i
Nn ( B) I (i un( j ) ,( , j ) B), B为（0，1】 R
n
j 1 i 1
中的任一Borel集。
几个极值统计量与部分和的联合分布
为了从前面所定义的点过程推出极限分布，
令
其中
易知，
n
1
1
Tn, j Nn ((0,1] ( j , j ]) I (i un( j ) )
2
2
i 1
( j)
n
u
un ( x j )
n( j ) un( j ) Tnj j 1
极值顺序统计量与部分和的联合分布
（结论）
假定推论3.1中的条件满足， s 2
是整数，对任意s个实数 x1 x2 xs ，
我们有
x
x
k
( j)
推论3.2
Mn Xn
lim P{ (an (
bn ) x j )} ( xs )
1
2
n
(1 rn )
j 1
s
j
s
ki j 1, j 2,
,s
i 2
(e
i
e
ki !
i 1
)i
, (4.1)
i 2
且向量
{
M n( j ) X n
(1 rn )
1
2
bn , j 1,
, s}与
Sn
n
是渐进独立的。
推论3.2的证明
证:只需证（3.1）。由于从定理2.2知，
Sn
Nn与 是渐进独立的。
n
事实上，从定理2.2，对任意整数 k
1
(e x1 )k1
lim P{ (Tnj ki )} ( xs )
n
k1 !
i 1
j 1
s
j
0, k2 0,
, ks 0, 有
(e xi e xi1 )ki
,(3.1)
ki !
i 2
s
推论3.2的证明
证明类似Leadbetter
又由于
et al.(1983)定理5.6.1.
s
(k )
s
Mn Xn
lim P (an (
bn ) x j ) P{ (Tnj j 1)}
1
n
j 1
2
j 1
(1
r
)
n
从而（3.1）成立。
极值顺序统计量与部分和的联合分布
（结论）
特别地，对s=2,有下面的结论：
推论3.3
假定推论3.1中的条件满足，那么对
x1 x2 , y R, 有
(1)
(2)
Mn Xn
Sn
Mn Xn
lim P an (
bn ) x1 , an (
bn ) x2 ,
y
1
1
n
n
2
2
(1 rn )
(1 rn )
( x2 )(e x2 e x1 1) ( y )
推论3.3的证明
证明：对s=2,(3.1)式右边为
(e x2 e x1 )0
(e x2 e x1 )1
( x2 )
( x2 )
0!
1!
( x2 )(e x2 e x1 1)
谢谢大家！