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统计学
天津财经大学统计系

第八章 两个总体的比较


第一节

两个总体均值的比较



第二节

两个总体某种特征出现概率的比较

第一节 两个总体均值的比较





一、独立样本
独立样本是指：分别从两个无限总体中抽取的样本。
本节所讨论的是两个分布任意、方差未知总体的独
立大样本的情形。

二、双总体均值是否相等的检验
（一）两个正态总体，方差相等（但未知）
X 1 ~ N ( 1 ,  1 )
2

两个正态总体为：总体 1：
X 2 ~ N (  2 ,  2 ) 。并且，  1   2  
2

2

2

2

；总体 2：

。

分别来自两个总体的样本为：
样本 1：(x ，x ，…，x
11

12

样本 2：(x ，x ，…，x
21

22

并且，两样本独立。

1n1

2n2

)

) ， x1 

，x 2



n1

1
n1

1
n2

 x1i

i 1

n2

 x 2i

i 1

2
s1

，

2
s2

，





1

n1

 x1i  x1 

2

n1  1 i 1

1

n2

  x 2i  x 2 

n 2  1 i 1

2

（二）两个正态总体，方差不相等（也未知）
这时，使用检验统计量
t 

x1  x 2
2

s1

n1

（8.1）
2



s2

n2

2
2
在原假设 H0: 1 ＝  2 成立的条件下，由于 1   2 ，统

计量式（8.1）不服从 t-分布，但是其分布近似于 t-分布，
自由度近似地等于最接近 f 的自然数。这里，f 按式（8.2）
计算。当自由度≥30 时，上述检验统计量近似服从标准
正态分布。
2

f 

2

( s1 / n1  s 2 / n 2 )
2
( s1

/ n1 )
n1

2



2
(s 2

2

/ n2 )

2

（8.2）

n2

必须注意，用式（8.1）所作的检验只是近似 t-检验。

（三）两个非正态总体，样本量足够大
假设有两个任意分布的总体，均值分别为 1 和  2 。
分别来自二个总体的样本为：
样本 1： (x11 ， x12 ，…， x1n ) ， x1 
1

2
s1



1

n1

  x1i  x1 

n1

i 1

n1  1 i 1

2



 x1i ，

2

样本 2： (x 21 ， x 22 ，…， x 2n ) ， x 2 
2
s2

n1

1

1

n2

1
n2

n2

 x 2i ，

i 1

  x 2i  x 2  并且，两样本独立。

n 2  1 i 1

2

那么，只要 n1 和 n2 都足够大，在原假设 H0: 1 ＝  2
成立的条件下，以下检验统计量近似服从标准正态分布。
Z

x1  x 2
2
s1

n1



2
s2

n2

（8.3）

【例】某工厂为了比较两种装配方法的效率，分别组织了两
组员工，每组9人，一组采用新的装配方法，另外一组采用
旧的装配方法。假设两组员工设备的装配时间均服从正态
分布，两总体的方差相等但未知。现有18个员工的设备装
配时间见表8-2，根据这些数据，是否有理由认为新的装配
方法更节约时间？（显著性水平0.05）

表8-2 两组员工设备的装配时间
新方法（x2） 35
旧方法（x1） 32

31
37

29
35

25
38

34
41

单位：小时
40
44

27
35

32
31

31
34

解：原假设与备择假设如下：
H0：μ

旧

-μ 新 ≤0

H1：μ

旧

-μ 新 >0

该题属于两个正态总体，方差相等（但未知）的情
况。因此，可利用式（8.2）计算检验统计量。

t

x1  x2

 n1  1 s1   n2  1 s2

1

n1  n2  2

n1

2

=

2

36.3333  31.5556



1
n2

 2.3397

8  17.5+8  20.0278

2

9+9-2

9

查表可知，显著性水平为 0.05、自由度为 16 的
单侧临界值为 1.7459。t 统计量的样本观测值
2.3397≥1.7459，因此应拒绝原假设，即认为新
的装配方法更节约时间。

第二节 两个总体的比例是否相等的检验
设有服从二点分布的随机变量 X1 和 X2，参数（
“成功”
概率）分别为  1 和  2 。
分别独立对这两个随机变量进行独立重复观测 n1 次和
n2 次，观测结果为 (x11 ， x12 ，…， x1n1 ) 和 (x 21 ， x 22 ，…，
x 2n ) ，其中，每一次观测结果只取 1（
“成功”
）和 0（
“失
2

败”
）两个值。对随机变量 X1 的 n1 次观测中“成功”次数
为 a1，对随机变量 X2 的 n2 次观测中“成功”次数为 a2，
样本比例分别记作 p1=a1/n1 和 p2=a2/n2。

为检验  1 和  2 是否相等，建立原假设 H0： 1   2   。
在

原

假

设

成

立

的

条

件

下

，

有

p  (a1  a2）
（
/ n1  n2 )  ( n1 p1  n2 p2 ) /( n1  n2 ) 是π的无偏估计量，

以及，当 n1 和 n2 都充分大时，下面的检验统计量近似服
从标准正态分布。即
Z 

p1  p 2
p (1  p )(1 / n1  1 / n 2 )

~ N (0,1)

（8.4）


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统计学
天津财经大学统计系

第八章 两个总体的比较


第一节

两个总体均值的比较



第二节

两个总体某种特征出现概率的比较

第一节 两个总体均值的比较





一、独立样本
独立样本是指：分别从两个无限总体中抽取的样本。
本节所讨论的是两个分布任意、方差未知总体的独
立大样本的情形。

二、双总体均值是否相等的检验
（一）两个正态总体，方差相等（但未知）
X 1 ~ N ( 1 ,  1 )
2

两个正态总体为：总体 1：
X 2 ~ N (  2 ,  2 ) 。并且，  1   2  
2

2

2

2

；总体 2：

。

分别来自两个总体的样本为：
样本 1：(x ，x ，…，x
11

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样本 2：(x ，x ，…，x
21

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并且，两样本独立。

1n1

2n2

)

) ， x1 

，x 2



n1

1
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1
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 x1i

i 1

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 x 2i

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2
s1

，

2
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 x1i  x1 

2

n1  1 i 1

1

n2

  x 2i  x 2 

n 2  1 i 1

2

（二）两个正态总体，方差不相等（也未知）
这时，使用检验统计量
t 

x1  x 2
2

s1

n1

（8.1）
2



s2

n2

2
2
在原假设 H0: 1 ＝  2 成立的条件下，由于 1   2 ，统

计量式（8.1）不服从 t-分布，但是其分布近似于 t-分布，
自由度近似地等于最接近 f 的自然数。这里，f 按式（8.2）
计算。当自由度≥30 时，上述检验统计量近似服从标准
正态分布。
2

f 

2

( s1 / n1  s 2 / n 2 )
2
( s1

/ n1 )
n1

2



2
(s 2

2

/ n2 )

2

（8.2）

n2

必须注意，用式（8.1）所作的检验只是近似 t-检验。

（三）两个非正态总体，样本量足够大
假设有两个任意分布的总体，均值分别为 1 和  2 。
分别来自二个总体的样本为：
样本 1： (x11 ， x12 ，…， x1n ) ， x1 
1

2
s1



1

n1

  x1i  x1 

n1

i 1

n1  1 i 1

2



 x1i ，

2

样本 2： (x 21 ， x 22 ，…， x 2n ) ， x 2 
2
s2

n1

1

1

n2

1
n2

n2

 x 2i ，

i 1

  x 2i  x 2  并且，两样本独立。

n 2  1 i 1

2

那么，只要 n1 和 n2 都足够大，在原假设 H0: 1 ＝  2
成立的条件下，以下检验统计量近似服从标准正态分布。
Z

x1  x 2
2
s1

n1



2
s2

n2

（8.3）

【例】某工厂为了比较两种装配方法的效率，分别组织了两
组员工，每组9人，一组采用新的装配方法，另外一组采用
旧的装配方法。假设两组员工设备的装配时间均服从正态
分布，两总体的方差相等但未知。现有18个员工的设备装
配时间见表8-2，根据这些数据，是否有理由认为新的装配
方法更节约时间？（显著性水平0.05）

表8-2 两组员工设备的装配时间
新方法（x2） 35
旧方法（x1） 32

31
37

29
35

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34
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单位：小时
40
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27
35

32
31

31
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解：原假设与备择假设如下：
H0：μ

旧

-μ 新 ≤0

H1：μ

旧

-μ 新 >0

该题属于两个正态总体，方差相等（但未知）的情
况。因此，可利用式（8.2）计算检验统计量。

t

x1  x2

 n1  1 s1   n2  1 s2

1

n1  n2  2

n1

2

=

2

36.3333  31.5556



1
n2

 2.3397

8  17.5+8  20.0278

2

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9

查表可知，显著性水平为 0.05、自由度为 16 的
单侧临界值为 1.7459。t 统计量的样本观测值
2.3397≥1.7459，因此应拒绝原假设，即认为新
的装配方法更节约时间。

第二节 两个总体的比例是否相等的检验
设有服从二点分布的随机变量 X1 和 X2，参数（
“成功”
概率）分别为  1 和  2 。
分别独立对这两个随机变量进行独立重复观测 n1 次和
n2 次，观测结果为 (x11 ， x12 ，…， x1n1 ) 和 (x 21 ， x 22 ，…，
x 2n ) ，其中，每一次观测结果只取 1（
“成功”
）和 0（
“失
2

败”
）两个值。对随机变量 X1 的 n1 次观测中“成功”次数
为 a1，对随机变量 X2 的 n2 次观测中“成功”次数为 a2，
样本比例分别记作 p1=a1/n1 和 p2=a2/n2。

为检验  1 和  2 是否相等，建立原假设 H0： 1   2   。
在

原

假

设

成

立

的

条

件

下

，

有

p  (a1  a2）
（
/ n1  n2 )  ( n1 p1  n2 p2 ) /( n1  n2 ) 是π的无偏估计量，

以及，当 n1 和 n2 都充分大时，下面的检验统计量近似服
从标准正态分布。即
Z 

p1  p 2
p (1  p )(1 / n1  1 / n 2 )

~ N (0,1)

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统计学
天津财经大学统计系

第八章 两个总体的比较


第一节

两个总体均值的比较



第二节

两个总体某种特征出现概率的比较

第一节 两个总体均值的比较





一、独立样本
独立样本是指：分别从两个无限总体中抽取的样本。
本节所讨论的是两个分布任意、方差未知总体的独
立大样本的情形。

二、双总体均值是否相等的检验
（一）两个正态总体，方差相等（但未知）
X 1 ~ N ( 1 ,  1 )
2

两个正态总体为：总体 1：
X 2 ~ N (  2 ,  2 ) 。并且，  1   2  
2

2

2

2

；总体 2：

。

分别来自两个总体的样本为：
样本 1：(x ，x ，…，x
11

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样本 2：(x ，x ，…，x
21

22

并且，两样本独立。

1n1

2n2

)

) ， x1 

，x 2



n1

1
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 x1i

i 1

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 x1i  x1 

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  x 2i  x 2 

n 2  1 i 1

2

（二）两个正态总体，方差不相等（也未知）
这时，使用检验统计量
t 

x1  x 2
2

s1

n1

（8.1）
2



s2

n2

2
2
在原假设 H0: 1 ＝  2 成立的条件下，由于 1   2 ，统

计量式（8.1）不服从 t-分布，但是其分布近似于 t-分布，
自由度近似地等于最接近 f 的自然数。这里，f 按式（8.2）
计算。当自由度≥30 时，上述检验统计量近似服从标准
正态分布。
2

f 

2

( s1 / n1  s 2 / n 2 )
2
( s1

/ n1 )
n1

2



2
(s 2

2

/ n2 )

2

（8.2）

n2

必须注意，用式（8.1）所作的检验只是近似 t-检验。

（三）两个非正态总体，样本量足够大
假设有两个任意分布的总体，均值分别为 1 和  2 。
分别来自二个总体的样本为：
样本 1： (x11 ， x12 ，…， x1n ) ， x1 
1

2
s1



1

n1

  x1i  x1 

n1

i 1

n1  1 i 1

2

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 x1i ，

2

样本 2： (x 21 ， x 22 ，…， x 2n ) ， x 2 
2
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n1

1

1

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1
n2

n2

 x 2i ，

i 1

  x 2i  x 2  并且，两样本独立。

n 2  1 i 1

2

那么，只要 n1 和 n2 都足够大，在原假设 H0: 1 ＝  2
成立的条件下，以下检验统计量近似服从标准正态分布。
Z

x1  x 2
2
s1

n1



2
s2

n2

（8.3）

【例】某工厂为了比较两种装配方法的效率，分别组织了两
组员工，每组9人，一组采用新的装配方法，另外一组采用
旧的装配方法。假设两组员工设备的装配时间均服从正态
分布，两总体的方差相等但未知。现有18个员工的设备装
配时间见表8-2，根据这些数据，是否有理由认为新的装配
方法更节约时间？（显著性水平0.05）

表8-2 两组员工设备的装配时间
新方法（x2） 35
旧方法（x1） 32

31
37

29
35

25
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单位：小时
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27
35

32
31

31
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解：原假设与备择假设如下：
H0：μ

旧

-μ 新 ≤0

H1：μ

旧

-μ 新 >0

该题属于两个正态总体，方差相等（但未知）的情
况。因此，可利用式（8.2）计算检验统计量。

t

x1  x2

 n1  1 s1   n2  1 s2

1

n1  n2  2

n1

2

=

2

36.3333  31.5556



1
n2

 2.3397

8  17.5+8  20.0278

2

9+9-2

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查表可知，显著性水平为 0.05、自由度为 16 的
单侧临界值为 1.7459。t 统计量的样本观测值
2.3397≥1.7459，因此应拒绝原假设，即认为新
的装配方法更节约时间。

第二节 两个总体的比例是否相等的检验
设有服从二点分布的随机变量 X1 和 X2，参数（
“成功”
概率）分别为  1 和  2 。
分别独立对这两个随机变量进行独立重复观测 n1 次和
n2 次，观测结果为 (x11 ， x12 ，…， x1n1 ) 和 (x 21 ， x 22 ，…，
x 2n ) ，其中，每一次观测结果只取 1（
“成功”
）和 0（
“失
2

败”
）两个值。对随机变量 X1 的 n1 次观测中“成功”次数
为 a1，对随机变量 X2 的 n2 次观测中“成功”次数为 a2，
样本比例分别记作 p1=a1/n1 和 p2=a2/n2。

为检验  1 和  2 是否相等，建立原假设 H0： 1   2   。
在

原

假

设

成

立

的

条

件

下

，

有

p  (a1  a2）
（
/ n1  n2 )  ( n1 p1  n2 p2 ) /( n1  n2 ) 是π的无偏估计量，

以及，当 n1 和 n2 都充分大时，下面的检验统计量近似服
从标准正态分布。即
Z 

p1  p 2
p (1  p )(1 / n1  1 / n 2 )

~ N (0,1)

（8.4）


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统计学
天津财经大学统计系

第八章 两个总体的比较


第一节

两个总体均值的比较



第二节

两个总体某种特征出现概率的比较

第一节 两个总体均值的比较





一、独立样本
独立样本是指：分别从两个无限总体中抽取的样本。
本节所讨论的是两个分布任意、方差未知总体的独
立大样本的情形。

二、双总体均值是否相等的检验
（一）两个正态总体，方差相等（但未知）
X 1 ~ N ( 1 ,  1 )
2

两个正态总体为：总体 1：
X 2 ~ N (  2 ,  2 ) 。并且，  1   2  
2

2

2

2

；总体 2：

。

分别来自两个总体的样本为：
样本 1：(x ，x ，…，x
11

12

样本 2：(x ，x ，…，x
21

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并且，两样本独立。

1n1

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)

) ， x1 

，x 2



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1
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 x1i

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 x1i  x1 

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（二）两个正态总体，方差不相等（也未知）
这时，使用检验统计量
t 

x1  x 2
2

s1

n1

（8.1）
2



s2

n2

2
2
在原假设 H0: 1 ＝  2 成立的条件下，由于 1   2 ，统

计量式（8.1）不服从 t-分布，但是其分布近似于 t-分布，
自由度近似地等于最接近 f 的自然数。这里，f 按式（8.2）
计算。当自由度≥30 时，上述检验统计量近似服从标准
正态分布。
2

f 

2

( s1 / n1  s 2 / n 2 )
2
( s1

/ n1 )
n1

2



2
(s 2

2

/ n2 )

2

（8.2）

n2

必须注意，用式（8.1）所作的检验只是近似 t-检验。

（三）两个非正态总体，样本量足够大
假设有两个任意分布的总体，均值分别为 1 和  2 。
分别来自二个总体的样本为：
样本 1： (x11 ， x12 ，…， x1n ) ， x1 
1

2
s1



1

n1

  x1i  x1 

n1

i 1

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样本 2： (x 21 ， x 22 ，…， x 2n ) ， x 2 
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 x 2i ，

i 1

  x 2i  x 2  并且，两样本独立。

n 2  1 i 1

2

那么，只要 n1 和 n2 都足够大，在原假设 H0: 1 ＝  2
成立的条件下，以下检验统计量近似服从标准正态分布。
Z

x1  x 2
2
s1

n1



2
s2

n2

（8.3）

【例】某工厂为了比较两种装配方法的效率，分别组织了两
组员工，每组9人，一组采用新的装配方法，另外一组采用
旧的装配方法。假设两组员工设备的装配时间均服从正态
分布，两总体的方差相等但未知。现有18个员工的设备装
配时间见表8-2，根据这些数据，是否有理由认为新的装配
方法更节约时间？（显著性水平0.05）

表8-2 两组员工设备的装配时间
新方法（x2） 35
旧方法（x1） 32

31
37

29
35

25
38

34
41

单位：小时
40
44

27
35

32
31

31
34

解：原假设与备择假设如下：
H0：μ

旧

-μ 新 ≤0

H1：μ

旧

-μ 新 >0

该题属于两个正态总体，方差相等（但未知）的情
况。因此，可利用式（8.2）计算检验统计量。

t

x1  x2

 n1  1 s1   n2  1 s2

1

n1  n2  2

n1

2

=

2

36.3333  31.5556



1
n2

 2.3397

8  17.5+8  20.0278

2

9+9-2

9

查表可知，显著性水平为 0.05、自由度为 16 的
单侧临界值为 1.7459。t 统计量的样本观测值
2.3397≥1.7459，因此应拒绝原假设，即认为新
的装配方法更节约时间。

第二节 两个总体的比例是否相等的检验
设有服从二点分布的随机变量 X1 和 X2，参数（
“成功”
概率）分别为  1 和  2 。
分别独立对这两个随机变量进行独立重复观测 n1 次和
n2 次，观测结果为 (x11 ， x12 ，…， x1n1 ) 和 (x 21 ， x 22 ，…，
x 2n ) ，其中，每一次观测结果只取 1（
“成功”
）和 0（
“失
2

败”
）两个值。对随机变量 X1 的 n1 次观测中“成功”次数
为 a1，对随机变量 X2 的 n2 次观测中“成功”次数为 a2，
样本比例分别记作 p1=a1/n1 和 p2=a2/n2。

为检验  1 和  2 是否相等，建立原假设 H0： 1   2   。
在

原

假

设

成

立

的

条

件

下

，

有

p  (a1  a2）
（
/ n1  n2 )  ( n1 p1  n2 p2 ) /( n1  n2 ) 是π的无偏估计量，

以及，当 n1 和 n2 都充分大时，下面的检验统计量近似服
从标准正态分布。即
Z 

p1  p 2
p (1  p )(1 / n1  1 / n 2 )

~ N (0,1)

（8.4）


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统计学
天津财经大学统计系

第八章 两个总体的比较


第一节

两个总体均值的比较



第二节

两个总体某种特征出现概率的比较

第一节 两个总体均值的比较





一、独立样本
独立样本是指：分别从两个无限总体中抽取的样本。
本节所讨论的是两个分布任意、方差未知总体的独
立大样本的情形。

二、双总体均值是否相等的检验
（一）两个正态总体，方差相等（但未知）
X 1 ~ N ( 1 ,  1 )
2

两个正态总体为：总体 1：
X 2 ~ N (  2 ,  2 ) 。并且，  1   2  
2

2

2

2

；总体 2：

。

分别来自两个总体的样本为：
样本 1：(x ，x ，…，x
11

12

样本 2：(x ，x ，…，x
21

22

并且，两样本独立。

1n1

2n2

)

) ， x1 

，x 2



n1

1
n1

1
n2

 x1i

i 1

n2

 x 2i

i 1

2
s1

，

2
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，





1

n1

 x1i  x1 

2

n1  1 i 1

1

n2

  x 2i  x 2 

n 2  1 i 1

2

（二）两个正态总体，方差不相等（也未知）
这时，使用检验统计量
t 

x1  x 2
2

s1

n1

（8.1）
2



s2

n2

2
2
在原假设 H0: 1 ＝  2 成立的条件下，由于 1   2 ，统

计量式（8.1）不服从 t-分布，但是其分布近似于 t-分布，
自由度近似地等于最接近 f 的自然数。这里，f 按式（8.2）
计算。当自由度≥30 时，上述检验统计量近似服从标准
正态分布。
2

f 

2

( s1 / n1  s 2 / n 2 )
2
( s1

/ n1 )
n1

2



2
(s 2

2

/ n2 )

2

（8.2）

n2

必须注意，用式（8.1）所作的检验只是近似 t-检验。

（三）两个非正态总体，样本量足够大
假设有两个任意分布的总体，均值分别为 1 和  2 。
分别来自二个总体的样本为：
样本 1： (x11 ， x12 ，…， x1n ) ， x1 
1

2
s1



1

n1

  x1i  x1 

n1

i 1

n1  1 i 1

2



 x1i ，

2

样本 2： (x 21 ， x 22 ，…， x 2n ) ， x 2 
2
s2

n1

1

1

n2

1
n2

n2

 x 2i ，

i 1

  x 2i  x 2  并且，两样本独立。

n 2  1 i 1

2

那么，只要 n1 和 n2 都足够大，在原假设 H0: 1 ＝  2
成立的条件下，以下检验统计量近似服从标准正态分布。
Z

x1  x 2
2
s1

n1



2
s2

n2

（8.3）

【例】某工厂为了比较两种装配方法的效率，分别组织了两
组员工，每组9人，一组采用新的装配方法，另外一组采用
旧的装配方法。假设两组员工设备的装配时间均服从正态
分布，两总体的方差相等但未知。现有18个员工的设备装
配时间见表8-2，根据这些数据，是否有理由认为新的装配
方法更节约时间？（显著性水平0.05）

表8-2 两组员工设备的装配时间
新方法（x2） 35
旧方法（x1） 32

31
37

29
35

25
38

34
41

单位：小时
40
44

27
35

32
31

31
34

解：原假设与备择假设如下：
H0：μ

旧

-μ 新 ≤0

H1：μ

旧

-μ 新 >0

该题属于两个正态总体，方差相等（但未知）的情
况。因此，可利用式（8.2）计算检验统计量。

t

x1  x2

 n1  1 s1   n2  1 s2

1

n1  n2  2

n1

2

=

2

36.3333  31.5556



1
n2

 2.3397

8  17.5+8  20.0278

2

9+9-2

9

查表可知，显著性水平为 0.05、自由度为 16 的
单侧临界值为 1.7459。t 统计量的样本观测值
2.3397≥1.7459，因此应拒绝原假设，即认为新
的装配方法更节约时间。

第二节 两个总体的比例是否相等的检验
设有服从二点分布的随机变量 X1 和 X2，参数（
“成功”
概率）分别为  1 和  2 。
分别独立对这两个随机变量进行独立重复观测 n1 次和
n2 次，观测结果为 (x11 ， x12 ，…， x1n1 ) 和 (x 21 ， x 22 ，…，
x 2n ) ，其中，每一次观测结果只取 1（
“成功”
）和 0（
“失
2

败”
）两个值。对随机变量 X1 的 n1 次观测中“成功”次数
为 a1，对随机变量 X2 的 n2 次观测中“成功”次数为 a2，
样本比例分别记作 p1=a1/n1 和 p2=a2/n2。

为检验  1 和  2 是否相等，建立原假设 H0： 1   2   。
在

原

假

设

成

立

的

条

件

下

，

有

p  (a1  a2）
（
/ n1  n2 )  ( n1 p1  n2 p2 ) /( n1  n2 ) 是π的无偏估计量，

以及，当 n1 和 n2 都充分大时，下面的检验统计量近似服
从标准正态分布。即
Z 

p1  p 2
p (1  p )(1 / n1  1 / n 2 )

~ N (0,1)

（8.4）


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统计学
天津财经大学统计系

第八章 两个总体的比较


第一节

两个总体均值的比较



第二节

两个总体某种特征出现概率的比较

第一节 两个总体均值的比较





一、独立样本
独立样本是指：分别从两个无限总体中抽取的样本。
本节所讨论的是两个分布任意、方差未知总体的独
立大样本的情形。

二、双总体均值是否相等的检验
（一）两个正态总体，方差相等（但未知）
X 1 ~ N ( 1 ,  1 )
2

两个正态总体为：总体 1：
X 2 ~ N (  2 ,  2 ) 。并且，  1   2  
2

2

2

2

；总体 2：

。

分别来自两个总体的样本为：
样本 1：(x ，x ，…，x
11

12

样本 2：(x ，x ，…，x
21

22

并且，两样本独立。

1n1

2n2

)

) ， x1 

，x 2



n1

1
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1
n2

 x1i

i 1

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2
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，

2
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，

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 x1i  x1 

2

n1  1 i 1

1

n2

  x 2i  x 2 

n 2  1 i 1

2

（二）两个正态总体，方差不相等（也未知）
这时，使用检验统计量
t 

x1  x 2
2

s1

n1

（8.1）
2



s2

n2

2
2
在原假设 H0: 1 ＝  2 成立的条件下，由于 1   2 ，统

计量式（8.1）不服从 t-分布，但是其分布近似于 t-分布，
自由度近似地等于最接近 f 的自然数。这里，f 按式（8.2）
计算。当自由度≥30 时，上述检验统计量近似服从标准
正态分布。
2

f 

2

( s1 / n1  s 2 / n 2 )
2
( s1

/ n1 )
n1

2



2
(s 2

2

/ n2 )

2

（8.2）

n2

必须注意，用式（8.1）所作的检验只是近似 t-检验。

（三）两个非正态总体，样本量足够大
假设有两个任意分布的总体，均值分别为 1 和  2 。
分别来自二个总体的样本为：
样本 1： (x11 ， x12 ，…， x1n ) ， x1 
1

2
s1



1

n1

  x1i  x1 

n1

i 1

n1  1 i 1

2



 x1i ，

2

样本 2： (x 21 ， x 22 ，…， x 2n ) ， x 2 
2
s2

n1

1

1

n2

1
n2

n2

 x 2i ，

i 1

  x 2i  x 2  并且，两样本独立。

n 2  1 i 1

2

那么，只要 n1 和 n2 都足够大，在原假设 H0: 1 ＝  2
成立的条件下，以下检验统计量近似服从标准正态分布。
Z

x1  x 2
2
s1

n1



2
s2

n2

（8.3）

【例】某工厂为了比较两种装配方法的效率，分别组织了两
组员工，每组9人，一组采用新的装配方法，另外一组采用
旧的装配方法。假设两组员工设备的装配时间均服从正态
分布，两总体的方差相等但未知。现有18个员工的设备装
配时间见表8-2，根据这些数据，是否有理由认为新的装配
方法更节约时间？（显著性水平0.05）

表8-2 两组员工设备的装配时间
新方法（x2） 35
旧方法（x1） 32

31
37

29
35

25
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41

单位：小时
40
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27
35

32
31

31
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解：原假设与备择假设如下：
H0：μ

旧

-μ 新 ≤0

H1：μ

旧

-μ 新 >0

该题属于两个正态总体，方差相等（但未知）的情
况。因此，可利用式（8.2）计算检验统计量。

t

x1  x2

 n1  1 s1   n2  1 s2

1

n1  n2  2

n1

2

=

2

36.3333  31.5556



1
n2

 2.3397

8  17.5+8  20.0278

2

9+9-2

9

查表可知，显著性水平为 0.05、自由度为 16 的
单侧临界值为 1.7459。t 统计量的样本观测值
2.3397≥1.7459，因此应拒绝原假设，即认为新
的装配方法更节约时间。

第二节 两个总体的比例是否相等的检验
设有服从二点分布的随机变量 X1 和 X2，参数（
“成功”
概率）分别为  1 和  2 。
分别独立对这两个随机变量进行独立重复观测 n1 次和
n2 次，观测结果为 (x11 ， x12 ，…， x1n1 ) 和 (x 21 ， x 22 ，…，
x 2n ) ，其中，每一次观测结果只取 1（
“成功”
）和 0（
“失
2

败”
）两个值。对随机变量 X1 的 n1 次观测中“成功”次数
为 a1，对随机变量 X2 的 n2 次观测中“成功”次数为 a2，
样本比例分别记作 p1=a1/n1 和 p2=a2/n2。

为检验  1 和  2 是否相等，建立原假设 H0： 1   2   。
在

原

假

设

成

立

的

条

件

下

，

有

p  (a1  a2）
（
/ n1  n2 )  ( n1 p1  n2 p2 ) /( n1  n2 ) 是π的无偏估计量，

以及，当 n1 和 n2 都充分大时，下面的检验统计量近似服
从标准正态分布。即
Z 

p1  p 2
p (1  p )(1 / n1  1 / n 2 )

~ N (0,1)

（8.4）


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统计学
天津财经大学统计系

第八章 两个总体的比较


第一节

两个总体均值的比较



第二节

两个总体某种特征出现概率的比较

第一节 两个总体均值的比较





一、独立样本
独立样本是指：分别从两个无限总体中抽取的样本。
本节所讨论的是两个分布任意、方差未知总体的独
立大样本的情形。

二、双总体均值是否相等的检验
（一）两个正态总体，方差相等（但未知）
X 1 ~ N ( 1 ,  1 )
2

两个正态总体为：总体 1：
X 2 ~ N (  2 ,  2 ) 。并且，  1   2  
2

2

2

2

；总体 2：

。

分别来自两个总体的样本为：
样本 1：(x ，x ，…，x
11

12

样本 2：(x ，x ，…，x
21

22

并且，两样本独立。

1n1

2n2

)

) ， x1 

，x 2



n1

1
n1

1
n2

 x1i

i 1

n2

 x 2i

i 1

2
s1

，

2
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，

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1

n1

 x1i  x1 

2

n1  1 i 1

1

n2

  x 2i  x 2 

n 2  1 i 1

2

（二）两个正态总体，方差不相等（也未知）
这时，使用检验统计量
t 

x1  x 2
2

s1

n1

（8.1）
2



s2

n2

2
2
在原假设 H0: 1 ＝  2 成立的条件下，由于 1   2 ，统

计量式（8.1）不服从 t-分布，但是其分布近似于 t-分布，
自由度近似地等于最接近 f 的自然数。这里，f 按式（8.2）
计算。当自由度≥30 时，上述检验统计量近似服从标准
正态分布。
2

f 

2

( s1 / n1  s 2 / n 2 )
2
( s1

/ n1 )
n1

2



2
(s 2

2

/ n2 )

2

（8.2）

n2

必须注意，用式（8.1）所作的检验只是近似 t-检验。

（三）两个非正态总体，样本量足够大
假设有两个任意分布的总体，均值分别为 1 和  2 。
分别来自二个总体的样本为：
样本 1： (x11 ， x12 ，…， x1n ) ， x1 
1

2
s1



1

n1

  x1i  x1 

n1

i 1

n1  1 i 1

2



 x1i ，

2

样本 2： (x 21 ， x 22 ，…， x 2n ) ， x 2 
2
s2

n1

1

1

n2

1
n2

n2

 x 2i ，

i 1

  x 2i  x 2  并且，两样本独立。

n 2  1 i 1

2

那么，只要 n1 和 n2 都足够大，在原假设 H0: 1 ＝  2
成立的条件下，以下检验统计量近似服从标准正态分布。
Z

x1  x 2
2
s1

n1



2
s2

n2

（8.3）

【例】某工厂为了比较两种装配方法的效率，分别组织了两
组员工，每组9人，一组采用新的装配方法，另外一组采用
旧的装配方法。假设两组员工设备的装配时间均服从正态
分布，两总体的方差相等但未知。现有18个员工的设备装
配时间见表8-2，根据这些数据，是否有理由认为新的装配
方法更节约时间？（显著性水平0.05）

表8-2 两组员工设备的装配时间
新方法（x2） 35
旧方法（x1） 32

31
37

29
35

25
38

34
41

单位：小时
40
44

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35

32
31

31
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解：原假设与备择假设如下：
H0：μ

旧

-μ 新 ≤0

H1：μ

旧

-μ 新 >0

该题属于两个正态总体，方差相等（但未知）的情
况。因此，可利用式（8.2）计算检验统计量。

t

x1  x2

 n1  1 s1   n2  1 s2

1

n1  n2  2

n1

2

=

2

36.3333  31.5556



1
n2

 2.3397

8  17.5+8  20.0278

2

9+9-2

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查表可知，显著性水平为 0.05、自由度为 16 的
单侧临界值为 1.7459。t 统计量的样本观测值
2.3397≥1.7459，因此应拒绝原假设，即认为新
的装配方法更节约时间。

第二节 两个总体的比例是否相等的检验
设有服从二点分布的随机变量 X1 和 X2，参数（
“成功”
概率）分别为  1 和  2 。
分别独立对这两个随机变量进行独立重复观测 n1 次和
n2 次，观测结果为 (x11 ， x12 ，…， x1n1 ) 和 (x 21 ， x 22 ，…，
x 2n ) ，其中，每一次观测结果只取 1（
“成功”
）和 0（
“失
2

败”
）两个值。对随机变量 X1 的 n1 次观测中“成功”次数
为 a1，对随机变量 X2 的 n2 次观测中“成功”次数为 a2，
样本比例分别记作 p1=a1/n1 和 p2=a2/n2。

为检验  1 和  2 是否相等，建立原假设 H0： 1   2   。
在

原

假

设

成

立

的

条

件

下

，

有

p  (a1  a2）
（
/ n1  n2 )  ( n1 p1  n2 p2 ) /( n1  n2 ) 是π的无偏估计量，

以及，当 n1 和 n2 都充分大时，下面的检验统计量近似服
从标准正态分布。即
Z 

p1  p 2
p (1  p )(1 / n1  1 / n 2 )

~ N (0,1)

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统计学
天津财经大学统计系

第八章 两个总体的比较


第一节

两个总体均值的比较



第二节

两个总体某种特征出现概率的比较

第一节 两个总体均值的比较





一、独立样本
独立样本是指：分别从两个无限总体中抽取的样本。
本节所讨论的是两个分布任意、方差未知总体的独
立大样本的情形。

二、双总体均值是否相等的检验
（一）两个正态总体，方差相等（但未知）
X 1 ~ N ( 1 ,  1 )
2

两个正态总体为：总体 1：
X 2 ~ N (  2 ,  2 ) 。并且，  1   2  
2

2

2

2

；总体 2：

。

分别来自两个总体的样本为：
样本 1：(x ，x ，…，x
11

12

样本 2：(x ，x ，…，x
21

22

并且，两样本独立。

1n1

2n2

)

) ， x1 

，x 2



n1

1
n1

1
n2

 x1i

i 1

n2

 x 2i

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2
s1

，

2
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，





1

n1

 x1i  x1 

2

n1  1 i 1

1

n2

  x 2i  x 2 

n 2  1 i 1

2

（二）两个正态总体，方差不相等（也未知）
这时，使用检验统计量
t 

x1  x 2
2

s1

n1

（8.1）
2



s2

n2

2
2
在原假设 H0: 1 ＝  2 成立的条件下，由于 1   2 ，统

计量式（8.1）不服从 t-分布，但是其分布近似于 t-分布，
自由度近似地等于最接近 f 的自然数。这里，f 按式（8.2）
计算。当自由度≥30 时，上述检验统计量近似服从标准
正态分布。
2

f 

2

( s1 / n1  s 2 / n 2 )
2
( s1

/ n1 )
n1

2



2
(s 2

2

/ n2 )

2

（8.2）

n2

必须注意，用式（8.1）所作的检验只是近似 t-检验。

（三）两个非正态总体，样本量足够大
假设有两个任意分布的总体，均值分别为 1 和  2 。
分别来自二个总体的样本为：
样本 1： (x11 ， x12 ，…， x1n ) ， x1 
1

2
s1



1

n1

  x1i  x1 

n1

i 1

n1  1 i 1

2



 x1i ，

2

样本 2： (x 21 ， x 22 ，…， x 2n ) ， x 2 
2
s2

n1

1

1

n2

1
n2

n2

 x 2i ，

i 1

  x 2i  x 2  并且，两样本独立。

n 2  1 i 1

2

那么，只要 n1 和 n2 都足够大，在原假设 H0: 1 ＝  2
成立的条件下，以下检验统计量近似服从标准正态分布。
Z

x1  x 2
2
s1

n1



2
s2

n2

（8.3）

【例】某工厂为了比较两种装配方法的效率，分别组织了两
组员工，每组9人，一组采用新的装配方法，另外一组采用
旧的装配方法。假设两组员工设备的装配时间均服从正态
分布，两总体的方差相等但未知。现有18个员工的设备装
配时间见表8-2，根据这些数据，是否有理由认为新的装配
方法更节约时间？（显著性水平0.05）

表8-2 两组员工设备的装配时间
新方法（x2） 35
旧方法（x1） 32

31
37

29
35

25
38

34
41

单位：小时
40
44

27
35

32
31

31
34

解：原假设与备择假设如下：
H0：μ

旧

-μ 新 ≤0

H1：μ

旧

-μ 新 >0

该题属于两个正态总体，方差相等（但未知）的情
况。因此，可利用式（8.2）计算检验统计量。

t

x1  x2

 n1  1 s1   n2  1 s2

1

n1  n2  2

n1

2

=

2

36.3333  31.5556



1
n2

 2.3397

8  17.5+8  20.0278

2

9+9-2

9

查表可知，显著性水平为 0.05、自由度为 16 的
单侧临界值为 1.7459。t 统计量的样本观测值
2.3397≥1.7459，因此应拒绝原假设，即认为新
的装配方法更节约时间。

第二节 两个总体的比例是否相等的检验
设有服从二点分布的随机变量 X1 和 X2，参数（
“成功”
概率）分别为  1 和  2 。
分别独立对这两个随机变量进行独立重复观测 n1 次和
n2 次，观测结果为 (x11 ， x12 ，…， x1n1 ) 和 (x 21 ， x 22 ，…，
x 2n ) ，其中，每一次观测结果只取 1（
“成功”
）和 0（
“失
2

败”
）两个值。对随机变量 X1 的 n1 次观测中“成功”次数
为 a1，对随机变量 X2 的 n2 次观测中“成功”次数为 a2，
样本比例分别记作 p1=a1/n1 和 p2=a2/n2。

为检验  1 和  2 是否相等，建立原假设 H0： 1   2   。
在

原

假

设

成

立

的

条

件

下

，

有

p  (a1  a2）
（
/ n1  n2 )  ( n1 p1  n2 p2 ) /( n1  n2 ) 是π的无偏估计量，

以及，当 n1 和 n2 都充分大时，下面的检验统计量近似服
从标准正态分布。即
Z 

p1  p 2
p (1  p )(1 / n1  1 / n 2 )

~ N (0,1)

（8.4）


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统计学
天津财经大学统计系

第八章 两个总体的比较


第一节

两个总体均值的比较



第二节

两个总体某种特征出现概率的比较

第一节 两个总体均值的比较





一、独立样本
独立样本是指：分别从两个无限总体中抽取的样本。
本节所讨论的是两个分布任意、方差未知总体的独
立大样本的情形。

二、双总体均值是否相等的检验
（一）两个正态总体，方差相等（但未知）
X 1 ~ N ( 1 ,  1 )
2

两个正态总体为：总体 1：
X 2 ~ N (  2 ,  2 ) 。并且，  1   2  
2

2

2

2

；总体 2：

。

分别来自两个总体的样本为：
样本 1：(x ，x ，…，x
11

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样本 2：(x ，x ，…，x
21

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并且，两样本独立。

1n1

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)

) ， x1 

，x 2



n1

1
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1
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 x1i

i 1

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 x 2i

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2
s1

，

2
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 x1i  x1 

2

n1  1 i 1

1

n2

  x 2i  x 2 

n 2  1 i 1

2

（二）两个正态总体，方差不相等（也未知）
这时，使用检验统计量
t 

x1  x 2
2

s1

n1

（8.1）
2



s2

n2

2
2
在原假设 H0: 1 ＝  2 成立的条件下，由于 1   2 ，统

计量式（8.1）不服从 t-分布，但是其分布近似于 t-分布，
自由度近似地等于最接近 f 的自然数。这里，f 按式（8.2）
计算。当自由度≥30 时，上述检验统计量近似服从标准
正态分布。
2

f 

2

( s1 / n1  s 2 / n 2 )
2
( s1

/ n1 )
n1

2



2
(s 2

2

/ n2 )

2

（8.2）

n2

必须注意，用式（8.1）所作的检验只是近似 t-检验。

（三）两个非正态总体，样本量足够大
假设有两个任意分布的总体，均值分别为 1 和  2 。
分别来自二个总体的样本为：
样本 1： (x11 ， x12 ，…， x1n ) ， x1 
1

2
s1



1

n1

  x1i  x1 

n1

i 1

n1  1 i 1

2



 x1i ，

2

样本 2： (x 21 ， x 22 ，…， x 2n ) ， x 2 
2
s2

n1

1

1

n2

1
n2

n2

 x 2i ，

i 1

  x 2i  x 2  并且，两样本独立。

n 2  1 i 1

2

那么，只要 n1 和 n2 都足够大，在原假设 H0: 1 ＝  2
成立的条件下，以下检验统计量近似服从标准正态分布。
Z

x1  x 2
2
s1

n1



2
s2

n2

（8.3）

【例】某工厂为了比较两种装配方法的效率，分别组织了两
组员工，每组9人，一组采用新的装配方法，另外一组采用
旧的装配方法。假设两组员工设备的装配时间均服从正态
分布，两总体的方差相等但未知。现有18个员工的设备装
配时间见表8-2，根据这些数据，是否有理由认为新的装配
方法更节约时间？（显著性水平0.05）

表8-2 两组员工设备的装配时间
新方法（x2） 35
旧方法（x1） 32

31
37

29
35

25
38

34
41

单位：小时
40
44

27
35

32
31

31
34

解：原假设与备择假设如下：
H0：μ

旧

-μ 新 ≤0

H1：μ

旧

-μ 新 >0

该题属于两个正态总体，方差相等（但未知）的情
况。因此，可利用式（8.2）计算检验统计量。

t

x1  x2

 n1  1 s1   n2  1 s2

1

n1  n2  2

n1

2

=

2

36.3333  31.5556



1
n2

 2.3397

8  17.5+8  20.0278

2

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9

查表可知，显著性水平为 0.05、自由度为 16 的
单侧临界值为 1.7459。t 统计量的样本观测值
2.3397≥1.7459，因此应拒绝原假设，即认为新
的装配方法更节约时间。

第二节 两个总体的比例是否相等的检验
设有服从二点分布的随机变量 X1 和 X2，参数（
“成功”
概率）分别为  1 和  2 。
分别独立对这两个随机变量进行独立重复观测 n1 次和
n2 次，观测结果为 (x11 ， x12 ，…， x1n1 ) 和 (x 21 ， x 22 ，…，
x 2n ) ，其中，每一次观测结果只取 1（
“成功”
）和 0（
“失
2

败”
）两个值。对随机变量 X1 的 n1 次观测中“成功”次数
为 a1，对随机变量 X2 的 n2 次观测中“成功”次数为 a2，
样本比例分别记作 p1=a1/n1 和 p2=a2/n2。

为检验  1 和  2 是否相等，建立原假设 H0： 1   2   。
在

原

假

设

成

立

的

条

件

下

，

有

p  (a1  a2）
（
/ n1  n2 )  ( n1 p1  n2 p2 ) /( n1  n2 ) 是π的无偏估计量，

以及，当 n1 和 n2 都充分大时，下面的检验统计量近似服
从标准正态分布。即
Z 

p1  p 2
p (1  p )(1 / n1  1 / n 2 )

~ N (0,1)

（8.4）


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统计学
天津财经大学统计系

第八章 两个总体的比较


第一节

两个总体均值的比较



第二节

两个总体某种特征出现概率的比较

第一节 两个总体均值的比较





一、独立样本
独立样本是指：分别从两个无限总体中抽取的样本。
本节所讨论的是两个分布任意、方差未知总体的独
立大样本的情形。

二、双总体均值是否相等的检验
（一）两个正态总体，方差相等（但未知）
X 1 ~ N ( 1 ,  1 )
2

两个正态总体为：总体 1：
X 2 ~ N (  2 ,  2 ) 。并且，  1   2  
2

2

2

2

；总体 2：

。

分别来自两个总体的样本为：
样本 1：(x ，x ，…，x
11

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样本 2：(x ，x ，…，x
21

22

并且，两样本独立。

1n1

2n2

)

) ， x1 

，x 2



n1

1
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 x1i

i 1

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 x1i  x1 

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  x 2i  x 2 

n 2  1 i 1

2

（二）两个正态总体，方差不相等（也未知）
这时，使用检验统计量
t 

x1  x 2
2

s1

n1

（8.1）
2



s2

n2

2
2
在原假设 H0: 1 ＝  2 成立的条件下，由于 1   2 ，统

计量式（8.1）不服从 t-分布，但是其分布近似于 t-分布，
自由度近似地等于最接近 f 的自然数。这里，f 按式（8.2）
计算。当自由度≥30 时，上述检验统计量近似服从标准
正态分布。
2

f 

2

( s1 / n1  s 2 / n 2 )
2
( s1

/ n1 )
n1

2



2
(s 2

2

/ n2 )

2

（8.2）

n2

必须注意，用式（8.1）所作的检验只是近似 t-检验。

（三）两个非正态总体，样本量足够大
假设有两个任意分布的总体，均值分别为 1 和  2 。
分别来自二个总体的样本为：
样本 1： (x11 ， x12 ，…， x1n ) ， x1 
1

2
s1



1

n1

  x1i  x1 

n1

i 1

n1  1 i 1

2

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 x1i ，

2

样本 2： (x 21 ， x 22 ，…， x 2n ) ， x 2 
2
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n1

1

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1
n2

n2

 x 2i ，

i 1

  x 2i  x 2  并且，两样本独立。

n 2  1 i 1

2

那么，只要 n1 和 n2 都足够大，在原假设 H0: 1 ＝  2
成立的条件下，以下检验统计量近似服从标准正态分布。
Z

x1  x 2
2
s1

n1



2
s2

n2

（8.3）

【例】某工厂为了比较两种装配方法的效率，分别组织了两
组员工，每组9人，一组采用新的装配方法，另外一组采用
旧的装配方法。假设两组员工设备的装配时间均服从正态
分布，两总体的方差相等但未知。现有18个员工的设备装
配时间见表8-2，根据这些数据，是否有理由认为新的装配
方法更节约时间？（显著性水平0.05）

表8-2 两组员工设备的装配时间
新方法（x2） 35
旧方法（x1） 32

31
37

29
35

25
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单位：小时
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27
35

32
31

31
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解：原假设与备择假设如下：
H0：μ

旧

-μ 新 ≤0

H1：μ

旧

-μ 新 >0

该题属于两个正态总体，方差相等（但未知）的情
况。因此，可利用式（8.2）计算检验统计量。

t

x1  x2

 n1  1 s1   n2  1 s2

1

n1  n2  2

n1

2

=

2

36.3333  31.5556



1
n2

 2.3397

8  17.5+8  20.0278

2

9+9-2

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查表可知，显著性水平为 0.05、自由度为 16 的
单侧临界值为 1.7459。t 统计量的样本观测值
2.3397≥1.7459，因此应拒绝原假设，即认为新
的装配方法更节约时间。

第二节 两个总体的比例是否相等的检验
设有服从二点分布的随机变量 X1 和 X2，参数（
“成功”
概率）分别为  1 和  2 。
分别独立对这两个随机变量进行独立重复观测 n1 次和
n2 次，观测结果为 (x11 ， x12 ，…， x1n1 ) 和 (x 21 ， x 22 ，…，
x 2n ) ，其中，每一次观测结果只取 1（
“成功”
）和 0（
“失
2

败”
）两个值。对随机变量 X1 的 n1 次观测中“成功”次数
为 a1，对随机变量 X2 的 n2 次观测中“成功”次数为 a2，
样本比例分别记作 p1=a1/n1 和 p2=a2/n2。

为检验  1 和  2 是否相等，建立原假设 H0： 1   2   。
在

原

假

设

成

立

的

条

件

下

，

有

p  (a1  a2）
（
/ n1  n2 )  ( n1 p1  n2 p2 ) /( n1  n2 ) 是π的无偏估计量，

以及，当 n1 和 n2 都充分大时，下面的检验统计量近似服
从标准正态分布。即
Z 

p1  p 2
p (1  p )(1 / n1  1 / n 2 )

~ N (0,1)

（8.4）


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统计学
天津财经大学统计系

第八章 两个总体的比较


第一节

两个总体均值的比较



第二节

两个总体某种特征出现概率的比较

第一节 两个总体均值的比较





一、独立样本
独立样本是指：分别从两个无限总体中抽取的样本。
本节所讨论的是两个分布任意、方差未知总体的独
立大样本的情形。

二、双总体均值是否相等的检验
（一）两个正态总体，方差相等（但未知）
X 1 ~ N ( 1 ,  1 )
2

两个正态总体为：总体 1：
X 2 ~ N (  2 ,  2 ) 。并且，  1   2  
2

2

2

2

；总体 2：

。

分别来自两个总体的样本为：
样本 1：(x ，x ，…，x
11

12

样本 2：(x ，x ，…，x
21

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并且，两样本独立。

1n1

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)

) ， x1 

，x 2



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1
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 x1i

i 1

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 x1i  x1 

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（二）两个正态总体，方差不相等（也未知）
这时，使用检验统计量
t 

x1  x 2
2

s1

n1

（8.1）
2



s2

n2

2
2
在原假设 H0: 1 ＝  2 成立的条件下，由于 1   2 ，统

计量式（8.1）不服从 t-分布，但是其分布近似于 t-分布，
自由度近似地等于最接近 f 的自然数。这里，f 按式（8.2）
计算。当自由度≥30 时，上述检验统计量近似服从标准
正态分布。
2

f 

2

( s1 / n1  s 2 / n 2 )
2
( s1

/ n1 )
n1

2



2
(s 2

2

/ n2 )

2

（8.2）

n2

必须注意，用式（8.1）所作的检验只是近似 t-检验。

（三）两个非正态总体，样本量足够大
假设有两个任意分布的总体，均值分别为 1 和  2 。
分别来自二个总体的样本为：
样本 1： (x11 ， x12 ，…， x1n ) ， x1 
1

2
s1



1

n1

  x1i  x1 

n1

i 1

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样本 2： (x 21 ， x 22 ，…， x 2n ) ， x 2 
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 x 2i ，

i 1

  x 2i  x 2  并且，两样本独立。

n 2  1 i 1

2

那么，只要 n1 和 n2 都足够大，在原假设 H0: 1 ＝  2
成立的条件下，以下检验统计量近似服从标准正态分布。
Z

x1  x 2
2
s1

n1



2
s2

n2

（8.3）

【例】某工厂为了比较两种装配方法的效率，分别组织了两
组员工，每组9人，一组采用新的装配方法，另外一组采用
旧的装配方法。假设两组员工设备的装配时间均服从正态
分布，两总体的方差相等但未知。现有18个员工的设备装
配时间见表8-2，根据这些数据，是否有理由认为新的装配
方法更节约时间？（显著性水平0.05）

表8-2 两组员工设备的装配时间
新方法（x2） 35
旧方法（x1） 32

31
37

29
35

25
38

34
41

单位：小时
40
44

27
35

32
31

31
34

解：原假设与备择假设如下：
H0：μ

旧

-μ 新 ≤0

H1：μ

旧

-μ 新 >0

该题属于两个正态总体，方差相等（但未知）的情
况。因此，可利用式（8.2）计算检验统计量。

t

x1  x2

 n1  1 s1   n2  1 s2

1

n1  n2  2

n1

2

=

2

36.3333  31.5556



1
n2

 2.3397

8  17.5+8  20.0278

2

9+9-2

9

查表可知，显著性水平为 0.05、自由度为 16 的
单侧临界值为 1.7459。t 统计量的样本观测值
2.3397≥1.7459，因此应拒绝原假设，即认为新
的装配方法更节约时间。

第二节 两个总体的比例是否相等的检验
设有服从二点分布的随机变量 X1 和 X2，参数（
“成功”
概率）分别为  1 和  2 。
分别独立对这两个随机变量进行独立重复观测 n1 次和
n2 次，观测结果为 (x11 ， x12 ，…， x1n1 ) 和 (x 21 ， x 22 ，…，
x 2n ) ，其中，每一次观测结果只取 1（
“成功”
）和 0（
“失
2

败”
）两个值。对随机变量 X1 的 n1 次观测中“成功”次数
为 a1，对随机变量 X2 的 n2 次观测中“成功”次数为 a2，
样本比例分别记作 p1=a1/n1 和 p2=a2/n2。

为检验  1 和  2 是否相等，建立原假设 H0： 1   2   。
在

原

假

设

成

立

的

条

件

下

，

有

p  (a1  a2）
（
/ n1  n2 )  ( n1 p1  n2 p2 ) /( n1  n2 ) 是π的无偏估计量，

以及，当 n1 和 n2 都充分大时，下面的检验统计量近似服
从标准正态分布。即
Z 

p1  p 2
p (1  p )(1 / n1  1 / n 2 )

~ N (0,1)

（8.4）


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统计学
天津财经大学统计系

第八章 两个总体的比较


第一节

两个总体均值的比较



第二节

两个总体某种特征出现概率的比较

第一节 两个总体均值的比较





一、独立样本
独立样本是指：分别从两个无限总体中抽取的样本。
本节所讨论的是两个分布任意、方差未知总体的独
立大样本的情形。

二、双总体均值是否相等的检验
（一）两个正态总体，方差相等（但未知）
X 1 ~ N ( 1 ,  1 )
2

两个正态总体为：总体 1：
X 2 ~ N (  2 ,  2 ) 。并且，  1   2  
2

2

2

2

；总体 2：

。

分别来自两个总体的样本为：
样本 1：(x ，x ，…，x
11

12

样本 2：(x ，x ，…，x
21

22

并且，两样本独立。

1n1

2n2

)

) ， x1 

，x 2



n1

1
n1

1
n2

 x1i

i 1

n2

 x 2i

i 1

2
s1

，

2
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，





1

n1

 x1i  x1 

2

n1  1 i 1

1

n2

  x 2i  x 2 

n 2  1 i 1

2

（二）两个正态总体，方差不相等（也未知）
这时，使用检验统计量
t 

x1  x 2
2

s1

n1

（8.1）
2



s2

n2

2
2
在原假设 H0: 1 ＝  2 成立的条件下，由于 1   2 ，统

计量式（8.1）不服从 t-分布，但是其分布近似于 t-分布，
自由度近似地等于最接近 f 的自然数。这里，f 按式（8.2）
计算。当自由度≥30 时，上述检验统计量近似服从标准
正态分布。
2

f 

2

( s1 / n1  s 2 / n 2 )
2
( s1

/ n1 )
n1

2



2
(s 2

2

/ n2 )

2

（8.2）

n2

必须注意，用式（8.1）所作的检验只是近似 t-检验。

（三）两个非正态总体，样本量足够大
假设有两个任意分布的总体，均值分别为 1 和  2 。
分别来自二个总体的样本为：
样本 1： (x11 ， x12 ，…， x1n ) ， x1 
1

2
s1



1

n1

  x1i  x1 

n1

i 1

n1  1 i 1

2



 x1i ，

2

样本 2： (x 21 ， x 22 ，…， x 2n ) ， x 2 
2
s2

n1

1

1

n2

1
n2

n2

 x 2i ，

i 1

  x 2i  x 2  并且，两样本独立。

n 2  1 i 1

2

那么，只要 n1 和 n2 都足够大，在原假设 H0: 1 ＝  2
成立的条件下，以下检验统计量近似服从标准正态分布。
Z

x1  x 2
2
s1

n1



2
s2

n2

（8.3）

【例】某工厂为了比较两种装配方法的效率，分别组织了两
组员工，每组9人，一组采用新的装配方法，另外一组采用
旧的装配方法。假设两组员工设备的装配时间均服从正态
分布，两总体的方差相等但未知。现有18个员工的设备装
配时间见表8-2，根据这些数据，是否有理由认为新的装配
方法更节约时间？（显著性水平0.05）

表8-2 两组员工设备的装配时间
新方法（x2） 35
旧方法（x1） 32

31
37

29
35

25
38

34
41

单位：小时
40
44

27
35

32
31

31
34

解：原假设与备择假设如下：
H0：μ

旧

-μ 新 ≤0

H1：μ

旧

-μ 新 >0

该题属于两个正态总体，方差相等（但未知）的情
况。因此，可利用式（8.2）计算检验统计量。

t

x1  x2

 n1  1 s1   n2  1 s2

1

n1  n2  2

n1

2

=

2

36.3333  31.5556



1
n2

 2.3397

8  17.5+8  20.0278

2

9+9-2

9

查表可知，显著性水平为 0.05、自由度为 16 的
单侧临界值为 1.7459。t 统计量的样本观测值
2.3397≥1.7459，因此应拒绝原假设，即认为新
的装配方法更节约时间。

第二节 两个总体的比例是否相等的检验
设有服从二点分布的随机变量 X1 和 X2，参数（
“成功”
概率）分别为  1 和  2 。
分别独立对这两个随机变量进行独立重复观测 n1 次和
n2 次，观测结果为 (x11 ， x12 ，…， x1n1 ) 和 (x 21 ， x 22 ，…，
x 2n ) ，其中，每一次观测结果只取 1（
“成功”
）和 0（
“失
2

败”
）两个值。对随机变量 X1 的 n1 次观测中“成功”次数
为 a1，对随机变量 X2 的 n2 次观测中“成功”次数为 a2，
样本比例分别记作 p1=a1/n1 和 p2=a2/n2。

为检验  1 和  2 是否相等，建立原假设 H0： 1   2   。
在

原

假

设

成

立

的

条

件

下

，

有

p  (a1  a2）
（
/ n1  n2 )  ( n1 p1  n2 p2 ) /( n1  n2 ) 是π的无偏估计量，

以及，当 n1 和 n2 都充分大时，下面的检验统计量近似服
从标准正态分布。即
Z 

p1  p 2
p (1  p )(1 / n1  1 / n 2 )

~ N (0,1)

（8.4）


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统计学
天津财经大学统计系

第八章 两个总体的比较


第一节

两个总体均值的比较



第二节

两个总体某种特征出现概率的比较

第一节 两个总体均值的比较





一、独立样本
独立样本是指：分别从两个无限总体中抽取的样本。
本节所讨论的是两个分布任意、方差未知总体的独
立大样本的情形。

二、双总体均值是否相等的检验
（一）两个正态总体，方差相等（但未知）
X 1 ~ N ( 1 ,  1 )
2

两个正态总体为：总体 1：
X 2 ~ N (  2 ,  2 ) 。并且，  1   2  
2

2

2

2

；总体 2：

。

分别来自两个总体的样本为：
样本 1：(x ，x ，…，x
11

12

样本 2：(x ，x ，…，x
21

22

并且，两样本独立。

1n1

2n2

)

) ， x1 

，x 2



n1

1
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1
n2

 x1i

i 1

n2

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2
s1

，

2
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，



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1

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 x1i  x1 

2

n1  1 i 1

1

n2

  x 2i  x 2 

n 2  1 i 1

2

（二）两个正态总体，方差不相等（也未知）
这时，使用检验统计量
t 

x1  x 2
2

s1

n1

（8.1）
2



s2

n2

2
2
在原假设 H0: 1 ＝  2 成立的条件下，由于 1   2 ，统

计量式（8.1）不服从 t-分布，但是其分布近似于 t-分布，
自由度近似地等于最接近 f 的自然数。这里，f 按式（8.2）
计算。当自由度≥30 时，上述检验统计量近似服从标准
正态分布。
2

f 

2

( s1 / n1  s 2 / n 2 )
2
( s1

/ n1 )
n1

2



2
(s 2

2

/ n2 )

2

（8.2）

n2

必须注意，用式（8.1）所作的检验只是近似 t-检验。

（三）两个非正态总体，样本量足够大
假设有两个任意分布的总体，均值分别为 1 和  2 。
分别来自二个总体的样本为：
样本 1： (x11 ， x12 ，…， x1n ) ， x1 
1

2
s1



1

n1

  x1i  x1 

n1

i 1

n1  1 i 1

2



 x1i ，

2

样本 2： (x 21 ， x 22 ，…， x 2n ) ， x 2 
2
s2

n1

1

1

n2

1
n2

n2

 x 2i ，

i 1

  x 2i  x 2  并且，两样本独立。

n 2  1 i 1

2

那么，只要 n1 和 n2 都足够大，在原假设 H0: 1 ＝  2
成立的条件下，以下检验统计量近似服从标准正态分布。
Z

x1  x 2
2
s1

n1



2
s2

n2

（8.3）

【例】某工厂为了比较两种装配方法的效率，分别组织了两
组员工，每组9人，一组采用新的装配方法，另外一组采用
旧的装配方法。假设两组员工设备的装配时间均服从正态
分布，两总体的方差相等但未知。现有18个员工的设备装
配时间见表8-2，根据这些数据，是否有理由认为新的装配
方法更节约时间？（显著性水平0.05）

表8-2 两组员工设备的装配时间
新方法（x2） 35
旧方法（x1） 32

31
37

29
35

25
38

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41

单位：小时
40
44

27
35

32
31

31
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解：原假设与备择假设如下：
H0：μ

旧

-μ 新 ≤0

H1：μ

旧

-μ 新 >0

该题属于两个正态总体，方差相等（但未知）的情
况。因此，可利用式（8.2）计算检验统计量。

t

x1  x2

 n1  1 s1   n2  1 s2

1

n1  n2  2

n1

2

=

2

36.3333  31.5556



1
n2

 2.3397

8  17.5+8  20.0278

2

9+9-2

9

查表可知，显著性水平为 0.05、自由度为 16 的
单侧临界值为 1.7459。t 统计量的样本观测值
2.3397≥1.7459，因此应拒绝原假设，即认为新
的装配方法更节约时间。

第二节 两个总体的比例是否相等的检验
设有服从二点分布的随机变量 X1 和 X2，参数（
“成功”
概率）分别为  1 和  2 。
分别独立对这两个随机变量进行独立重复观测 n1 次和
n2 次，观测结果为 (x11 ， x12 ，…， x1n1 ) 和 (x 21 ， x 22 ，…，
x 2n ) ，其中，每一次观测结果只取 1（
“成功”
）和 0（
“失
2

败”
）两个值。对随机变量 X1 的 n1 次观测中“成功”次数
为 a1，对随机变量 X2 的 n2 次观测中“成功”次数为 a2，
样本比例分别记作 p1=a1/n1 和 p2=a2/n2。

为检验  1 和  2 是否相等，建立原假设 H0： 1   2   。
在

原

假

设

成

立

的

条

件

下

，

有

p  (a1  a2）
（
/ n1  n2 )  ( n1 p1  n2 p2 ) /( n1  n2 ) 是π的无偏估计量，

以及，当 n1 和 n2 都充分大时，下面的检验统计量近似服
从标准正态分布。即
Z 

p1  p 2
p (1  p )(1 / n1  1 / n 2 )

~ N (0,1)

（8.4）


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统计学
天津财经大学统计系

第八章 两个总体的比较


第一节

两个总体均值的比较



第二节

两个总体某种特征出现概率的比较

第一节 两个总体均值的比较





一、独立样本
独立样本是指：分别从两个无限总体中抽取的样本。
本节所讨论的是两个分布任意、方差未知总体的独
立大样本的情形。

二、双总体均值是否相等的检验
（一）两个正态总体，方差相等（但未知）
X 1 ~ N ( 1 ,  1 )
2

两个正态总体为：总体 1：
X 2 ~ N (  2 ,  2 ) 。并且，  1   2  
2

2

2

2

；总体 2：

。

分别来自两个总体的样本为：
样本 1：(x ，x ，…，x
11

12

样本 2：(x ，x ，…，x
21

22

并且，两样本独立。

1n1

2n2

)

) ， x1 

，x 2



n1

1
n1

1
n2

 x1i

i 1

n2

 x 2i

i 1

2
s1

，

2
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，





1

n1

 x1i  x1 

2

n1  1 i 1

1

n2

  x 2i  x 2 

n 2  1 i 1

2

（二）两个正态总体，方差不相等（也未知）
这时，使用检验统计量
t 

x1  x 2
2

s1

n1

（8.1）
2



s2

n2

2
2
在原假设 H0: 1 ＝  2 成立的条件下，由于 1   2 ，统

计量式（8.1）不服从 t-分布，但是其分布近似于 t-分布，
自由度近似地等于最接近 f 的自然数。这里，f 按式（8.2）
计算。当自由度≥30 时，上述检验统计量近似服从标准
正态分布。
2

f 

2

( s1 / n1  s 2 / n 2 )
2
( s1

/ n1 )
n1

2



2
(s 2

2

/ n2 )

2

（8.2）

n2

必须注意，用式（8.1）所作的检验只是近似 t-检验。

（三）两个非正态总体，样本量足够大
假设有两个任意分布的总体，均值分别为 1 和  2 。
分别来自二个总体的样本为：
样本 1： (x11 ， x12 ，…， x1n ) ， x1 
1

2
s1



1

n1

  x1i  x1 

n1

i 1

n1  1 i 1

2



 x1i ，

2

样本 2： (x 21 ， x 22 ，…， x 2n ) ， x 2 
2
s2

n1

1

1

n2

1
n2

n2

 x 2i ，

i 1

  x 2i  x 2  并且，两样本独立。

n 2  1 i 1

2

那么，只要 n1 和 n2 都足够大，在原假设 H0: 1 ＝  2
成立的条件下，以下检验统计量近似服从标准正态分布。
Z

x1  x 2
2
s1

n1



2
s2

n2

（8.3）

【例】某工厂为了比较两种装配方法的效率，分别组织了两
组员工，每组9人，一组采用新的装配方法，另外一组采用
旧的装配方法。假设两组员工设备的装配时间均服从正态
分布，两总体的方差相等但未知。现有18个员工的设备装
配时间见表8-2，根据这些数据，是否有理由认为新的装配
方法更节约时间？（显著性水平0.05）

表8-2 两组员工设备的装配时间
新方法（x2） 35
旧方法（x1） 32

31
37

29
35

25
38

34
41

单位：小时
40
44

27
35

32
31

31
34

解：原假设与备择假设如下：
H0：μ

旧

-μ 新 ≤0

H1：μ

旧

-μ 新 >0

该题属于两个正态总体，方差相等（但未知）的情
况。因此，可利用式（8.2）计算检验统计量。

t

x1  x2

 n1  1 s1   n2  1 s2

1

n1  n2  2

n1

2

=

2

36.3333  31.5556



1
n2

 2.3397

8  17.5+8  20.0278

2

9+9-2

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查表可知，显著性水平为 0.05、自由度为 16 的
单侧临界值为 1.7459。t 统计量的样本观测值
2.3397≥1.7459，因此应拒绝原假设，即认为新
的装配方法更节约时间。

第二节 两个总体的比例是否相等的检验
设有服从二点分布的随机变量 X1 和 X2，参数（
“成功”
概率）分别为  1 和  2 。
分别独立对这两个随机变量进行独立重复观测 n1 次和
n2 次，观测结果为 (x11 ， x12 ，…， x1n1 ) 和 (x 21 ， x 22 ，…，
x 2n ) ，其中，每一次观测结果只取 1（
“成功”
）和 0（
“失
2

败”
）两个值。对随机变量 X1 的 n1 次观测中“成功”次数
为 a1，对随机变量 X2 的 n2 次观测中“成功”次数为 a2，
样本比例分别记作 p1=a1/n1 和 p2=a2/n2。

为检验  1 和  2 是否相等，建立原假设 H0： 1   2   。
在

原

假

设

成

立

的

条

件

下

，

有

p  (a1  a2）
（
/ n1  n2 )  ( n1 p1  n2 p2 ) /( n1  n2 ) 是π的无偏估计量，

以及，当 n1 和 n2 都充分大时，下面的检验统计量近似服
从标准正态分布。即
Z 

p1  p 2
p (1  p )(1 / n1  1 / n 2 )

~ N (0,1)

（8.4）