Transcript Powerpoint-presentatie hoofdstuk 1

H1 Basis Rekenvaardigheden
Case Apple IPAD
De inkoopprijs van een microprocessor die in een
iPAD van Apple gaat, bedraagt 20 euro inclusief
btw. Apple krijgt een korting van 10% op de
inkoopprijs exclusief btw als men minimaal 10.000
microprocessoren inkoopt.
Teun de Wilde, stagiaire van de opleiding
Bedrijfseconomie, krijgt de vraag voorgelegd
hoeveel korting Apple krijgt, maar dan uitgedrukt in
euro.
Case Apple IPAD
Teun zit te denken hoe hij dit het makkelijkst kan
berekenen. Moet hij nu 19% vermenigvuldigen met
20 euro en dan vermenigvuldigen met 10%? Of
ging het toch anders?
Optellen en aftrekken
Hoe bereken je
8 + 9 – 2 + 7 – 12 + 5?
Je begint met 8 + 9 = 17.
Hiervan moet 2 af, dus 17 – 2 = 15.
Dan weer 7 er bij, dus 15 + 7 = 22.
Nu weer 12 er af, dus 22 – 12 = 10.
En tot slot tel je er 5 bij op, 10 + 5 = 15.
Optellen en aftrekken
Regel 1
Bij optellen en aftrekken begin je vooraan
en verwerk je term voor term.
Vermenigvuldigen en delen
Er zijn vier situaties bij vermenigvuldigen:
5 x 4 = 20
5 x (-4) = -20
(-5) x 4 = -20
(-5) x (-4) = 20
Vermenigvuldigen en delen
Regel 2
+ maal + is +
+ maal – is –
– maal + is –
– maal – is +
Vermenigvuldigen en delen
Er zijn ook vier situaties bij delen:
20/4 = 5
-20/4 = -5
20/-4 = -5
-20/-4 = 5
Vermenigvuldigen en delen
Regel 3
+ gedeeld door + is +
– gedeeld door + is –
+ gedeeld door – is –
– gedeeld door – is +
Haakjes wegwerken
Hoe bereken je (40 : (4 x 2)) – 1 + 5 x 6?
Eerst van binnen naar buiten de haakjes wegwerken
4x2=8
40 : 8 = 5
Nu heb je 5 – 1 + 5 x 6.
Haakjes wegwerken
De regel is dat vermenigvuldigen en delen voorgaan
voor optellen en aftrekken.
Dus 5 x 6 = 30
Dan krijg je
5 – 1 + 30 = 34
Haakjes wegwerken
Regel 4
Eerst haakjes wegwerken.
Machtsverheffen gaat voor,
dan vermenigvuldigen of delen en
dan optellen of aftrekken.
Rekenen met variabelen
Voorbeeld:
5x4+3x4=8x4
Verwissel de 4 voor een a dan zie je
5xa+3xa=8xa
Anders geschreven is dit
5a + 3a = 8a
Rekenen met variabelen
Voorbeeld:
Wat komt er uit 3a + 3b + 2a – 2b – a?
Zoek de termen met een gemeenschappelijke factor
Dit zijn 3a, 2a en –a
→ 3a + 2a – a = 4a
Nu nog 3b en 2b
→
3b – 2b = b
Het eindantwoord is 4a + b
Rekenen met variabelen
Voorbeeld:
Wat komt er uit 2ab x 4cd?
Je hoeft alleen maar 2 x 4 uit te rekenen, dit is 8. De
andere variabelen kun je niet samen nemen en blijven
daarom staan.
2ab x 4cd = 8abcd
Breuken
Voorbeeld:
1 3
Bereken
+
8 8
Je mag de tellers 1 en 3 bij elkaar optellen en dan vind
je
4
8
Breuken
Regel 5
Als je twee breuken hebt en de noemers zijn
gelijk, dan mag je de tellers bij elkaar op
tellen.
Breuken
Voorbeeld: Bereken 1 + 1
6 8
Je moet op zoek gaan naar het kleinst gemene veelvoud
van 6 en 8 en dat is 24.
1
Vermenigvuldig in de teller en noemer met 4,
6
1
4
4
dus
* 
6 4 24
1
Vermenigvuldig in de teller en noemer met 3,
8
dus 1 3 3
* 
8 3 24
Breuken
Nu zijn de breuken gelijknamig en mag je ze bij elkaar
optellen. Je vindt dan:
1 1
4
3
7
+ =
+
=
6 8 24 24 24
Breuken
Regel 6
Bij het optellen van breuken maak je de noemers
gelijknamig.
Daarna mag je de tellers optellen en de noemer
laten staan.
Breuken
Delen van breuken gaat volgens:
Regel 7
Delen door een breuk is vermenigvuldigen met
het omgekeerde.
Breuken
Voorbeeld:
1
Bereken
1
2
3
Dit mag je herschrijven naar
1 3 3
* 
2 1 2
Machtsverheffen
Wanneer je 4 maal de 2 met zichzelf
vermenigvuldigt dan heet dan machtsverheffen
2*2*2*2  2
4
Hierbij heet 2 het grondtal en 4 heet de exponent.
Machtsverheffen
Regel 8
n
x = x.x...x,
waarbij x n maal genoemd.
x en n kunnen hier willekeurig gekozen worden.
Machtsverheffen
Voorbeeld:
3 * 3  (3 * 3 * 3 * 3 * 3) * (3 * 3)  3
5
2
7
Regel 9
n
m
n+ m
x .x = x
Machtsverheffen
Voorbeeld:
7
5 5*5*5*5*5*5*5
4


5
53
5*5*5
Regel 10
n
x
nm
x
m
x
Machtsverheffen
Voorbeeld:
(2 )  2 * 2  (2 * 2 * 2 * 2) * (2 * 2 * 2 * 2)  2
4 2
4
4
Regel 11
n m
(x ) = x
n.m
8
Machtsverheffen
Regel 12
x
- n
1
= n
x
Verheffen tot een negatieve macht betekent
delen door de exponentiële uitdrukking
Machtsverheffen
Regel 13
0
x =1
Worteltrekken
Voorbeeld:
Joris is voor zijn studie bezig met een financiële
analyse van het bedrijf Drimo. Hij heeft wat
gegevens op internet gevonden en komt tot de
conclusie dat de omzet van het bedrijf de afgelopen
twee jaar verviervoudigd is!
In woordformule:
Omzet na 2 jaar = 4 x oude omzet
Worteltrekken
Vervolg voorbeeld:
Stel nu dat de omzet gelijkmatig is gegroeid de
afgelopen twee jaar, dus ieder jaar gegroeid met
een gelijke ‘factor’.
omzet na 2 jaar = factor x factor x oude omzet
Worteltrekken
Vervolg voorbeeld:
Nu weet je wel hoe groot de groei in 2 jaar is, maar
weet je niet de jaarlijkse groeifactor. Wat je wel
weet is:
factor x factor = 4
Ofwel
factor2 = 4
Je zoekt dus een getal dat tot de macht ‘2’, ‘4’ oplevert.
Worteltrekken
Vervolg voorbeeld:
Dit kun je oplossen door gebruik te maken van
worteltrekken. Dit schrijf je wiskundig als:
factor =
2
4
Je spreekt dit uit als factor is de tweedemachtswortel
van 4. De factor moet dan wel gelijk zijn aan 2, dus:
2
4= 2
Worteltrekken
Voorbeeld:
2
42
want
22  4
3
82
want
23  8
4
16  2 want
2 4  16
Bij de tweedemachtswortel wordt de ‘2’ weggelaten,
dus 4 = 2 4
Worteltrekken
Voorbeeld:
3
4
 8  2 want -2 x -2 x -2 = -8
 16 bestaat niet
Regel 14
Een onevenmachtswortel over een negatief getal
levert een negatief getal op.
Een evenmachtswortel over een negatief getal
kan niet.
Worteltrekken
Voorbeeld:
2
10 = 10
1
2
en
7
x= x
1
7
Regel 15
1
n
x =
n
x
De n-de machtswortel van een getal kan herschreven worden als dit getal tot de macht 1/n.
Logaritmes
In sommige situaties weet je wel het grondtal
en de uitkomst, maar niet de exponent.
Regel 16
log y
Als x = y dan geldt dat n =
log x
n
Logaritmes
Voorbeeld:
n
3 = 729
Dan kun je n als volgt vinden:
log 729
n=
=6
log 3
6
3 is inderdaad 729, dus het klopt.
Procent rekenen
Voorbeeld:
Als je € 100,= hebt en je krijgt hier 5% rente per
jaar over dan heb je na één jaar 5/100 x 100 = 5
euro rente. Het totale bedrag is € 105,=
In feite kom je aan dit bedrag door € 100,= te
vermenigvuldigen met 1,05.
Deze 1,05 heet de groeifactor.
Procent rekenen
Vervolg voorbeeld:
Je hebt nu € 100,= hebt en je vraagt je af wat je
een jaar geleden had. Noem dit bedrag X.
Dan geldt 1,05 X = 100 dus
X = 100/1,05 = 94,24 euro.
Procent rekenen
Regel 17
Bij terugrekenen met procenten moet je
delen door de groeifactor.
Oplossen case Apple IPAD
De inkoopprijs van een microprocessor voor de
Apple iPAD is 20 euro inclusief btw. Voor de
inkoopprijs exclusief btw moet je terugrekenen,
dus delen door de groeifactor 1,19.
Je krijgt dan 20/1,19 = 16,81 euro.
De inkoopprijs exclusief BTW is € 16,81.
Oplossen case Apple IPAD
Apple krijgt korting over de16,81 euro als men
10.000 exemplaren afneemt.
De korting is dan 10% x 16,81 = 1,68 euro per stuk.
Voor 10.000 exemplaren is dat een korting van
10.000 x 1,68 = 16.800 euro.