Transcript 8.3 - mathonline

8 – Breuken van functies
8.3 – Breuken van lineaire functies omkeren
9 De algemene werkwijze is x vrij te maken.
De eerste stap is telkens om links en rechts van het =-teken te vermenigvuldigen met de noemer aan de
rechterkant.
Vervolgens het wegwerken van de haakjes, de termen met x links te verzamelen en de termen zonder x
aan de rechterkant.
Dan x buiten haakjes halen en delen door de factor waarmee x vermenigvuldigd wordt.
a
y=
2x − 5
x
⇔ xy = 2 x − 5
(links en rechts met x vermenigvuldigen)
(2 x naar links brengen)
⇔ xy − 2 x = −5 (x buiten haakjes halen)
⇔ x ( y − 2 ) = −5 (delen door y − 2)
⇔x=
b
y=
−5
y−2
3x + 4
6x − 2
(links en rechts met 6x − 2 vermenigvuldigen)
⇔ ( 6 x − 2 ) y = 3x + 4 (haakjes wegwerken)
⇔ 6 xy − 2 y = 3 x + 4 (3x naar links brengen; 2 y naar rechts brengen)
⇔ 6 xy − 3x = 2 y + 4 (x buiten haakjes halen)
⇔ x ( 6 y − 3) = 2 y + 4 (delen door 6y − 3)
⇔x=
c
y=
2y + 4
6y − 3
2x
x+4
(links en rechts met x + 4 vermenigvuldigen)
⇔ ( x + 4) y = 2 x
(haakjes wegwerken)
⇔ xy + 4 y = 2 x
(2x naar links brengen; 4y naar rechts brengen)
⇔ xy − 2 x = −4 y (x buiten haakjes halen)
⇔ x ( y − 2 ) = −4 y (delen door y − 2)
⇔x=
−4 y
y−2
© Noordhoff Uitgevers
Uitwerkingen
1
8 – Breuken van functies
d
y=
3x − 6
x+2
(links en rechts met x + 2 vermenigvuldigen)
⇔ ( x + 2 ) y = 3x − 6
(haakjes wegwerken)
⇔ xy + 2 y = 3x − 6
(3x naar links brengen; 2 y naar rechts brengen)
⇔ xy − 3x = −2 y − 6 (x buiten haakjes halen)
⇔ x ( y − 3) = −2 y − 6 (delen door y − 3)
⇔x=
e
y=
−2 y − 6
y−3
−3 x + 2
x −5
(links en rechts met x − 5 vermenigvuldigen)
⇔ ( x − 5 ) y = −3x + 2 (haakjes wegwerken)
⇔ xy − 5 y = −3x + 2 ( − 3x naar links brengen; 5 y naar rechts brengen)
⇔ xy + 3x = 5 y + 2
(x buiten haakjes halen)
⇔ x ( y + 3) = 5 y + 2 (delen door y + 3)
⇔x=
f
y=
5y + 2
y +3
ax + b
cx + d
(links en rechts met cx + d vermenigvuldigen)
⇔ ( cx + d ) y = ax + b (haakjes wegwerken)
⇔ cxy + dy = ax + b
(ax naar links brengen; dy naar rechts brengen)
⇔ cxy − ax = −dy + b (x buiten haakjes halen)
⇔ x ( cy − a ) = − dy + b (delen door cy − a)
⇔x=
−dy + b
cy − a
10 Het functievoorschrift van de inverse functie is het resultaat van de vorige opgave:
als x en y in het eindresultaat verwisseld worden, staat er precies de vergelijking van de inverse functie.
In de grafieken is behalve de grafieken van de oorspronkelijke functie (in blauw) en de inverse functie
(in rood) ook de lijn y = x getekend.
De grafieken van een functie en de bijbehorende inverse functie zijn elkaars spiegelbeeld ten opzichte
van de lijn y = x .
© Noordhoff Uitgevers
Uitwerkingen
2
8 – Breuken van functies
a
b
c
d
2x − 5
x
−5
y inv =
x−2
y=
3x + 4
6x − 2
2x + 4
y inv =
6x − 3
y=
2x
x+4
−4 x
inv
y =
x−2
y=
3x − 6
x+2
−2 x − 6
inv
y =
x−3
y=
© Noordhoff Uitgevers
Uitwerkingen
3
8 – Breuken van functies
e
11 a
−3x + 2
x −5
5x + 2
y inv =
x+3
y=
f =
Tio − Te
Ti − Te
⇔ f ⋅ (Ti − Te ) = Tio − Te
⇔ f ⋅ Ti − f ⋅ Te = Tio − Te
⇔ Te − f ⋅ Te = Tio − f ⋅ Ti
⇔ Te ⋅ (1 − f ) = Tio − f ⋅ Ti
⇔ Te =
b
f =
Tio − f ⋅ Ti
1− f
Tio − Te
Ti − Te
⇔ f ⋅ (Ti − Te ) = Tio − Te
⇔ f ⋅ Ti − f ⋅ Te = Tio − Te
⇔ f ⋅ Ti − f ⋅ Te + Te = Tio
⇔ Tio = f ⋅ Ti − f ⋅ Te + Te = f ( Ti − Te ) + Te
c Tio = 0, 65 ⋅ 20 − 0,65 ⋅ 12 + 12 = 13 − 7,8 + 12 = 17, 2 [°C]
© Noordhoff Uitgevers
Uitwerkingen
4
8 – Breuken van functies
12 a Als t = 0 genomen wordt voor 1650, dan is t = 340 voor 1990.
In 1650 geldt: N = 0,510 (miljard).
Dus:
N0
0,510 =
⇔ N 0 = 0,510 (miljard).
1− a ⋅0
In 1990 geldt: N = 5,320 (miljard).
Dus:
0,510
5,320 =
1 − a ⋅ 340
⇔ 5,320 ⋅ (1 − 340a ) = 0,510
0,510
= 0,0959
5,320
⇔ −340a = 0,0959 − 1 = −0,904
−0,904
⇔a=
= 0,00266
−340
⇔ 1 − 340a =
b
N0
1 − at
⇔ N ⋅ (1 − at ) = N 0
N=
⇔ N − aNt = N 0
⇔ −aNt = N 0 − N
⇔t =
c
N0 − N N − N0
=
− aN
aN
N − N0
in: N = 10 miljard in, N 0 = 0,510 miljard en a = 0,00266 .
aN
N − N 0 10 − 0,510
9, 490
=
=
= 356,87
t=
0,00266 ⋅ 10 0, 0266
aN
Dat wil zeggen dat 357 jaar na 1650, dat wil zeggen in 2007, de wereldbevolking meer dan 10 miljard
inwoners zal tellen.
Vul in de formule t =
© Noordhoff Uitgevers
Uitwerkingen
5