Transcript Pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť
Základy teórie pravdepodobnosti
1
Teória pravdepodobnosti
tvorí teoretický základ pre posudzovanie
spoľahlivosti a presnosti výberových postupov
pri popise náhodných javov – popisná štatistika
a pri analýze náhodných javov – induktívna
štatistika
2
Základné pojmy
• Náhodný jav je jav ktorý ako výsledok
určitého pokusu môže alebo nemusí nastať.
• Extrémnymi prípadmi javov je jav istý a jav
nemožný
• Jav istý je taký jav, ktorý ako výsledok
daného pokusu nastane vždy
• Jav nemožný je taký jav, ktorý ako výsledok
pokusu nemôže nastať nikdy
3
Klasická definícia pravdepodobnosti
(Pierre Simon Laplace)
• n - počet všetkých možných výsledkov pokusu
• m - počet výsledkov pokusu, v ktorých jav A
nastane (priaznivé výsledky)
PA 
m
n
4
Príklad 1
Medzi mestami M1 a M2, vzdialenými od seba 4 km,
ktoré sú spojené telefónnym káblom nastalo prerušenie
spojenia. Hľadáme pravdepodobnosť, že k pretrhnutiu
kábla došlo v prvých 500 metroch.
P ( A) 
500
4000
 0 ,125
5
Štatistická definícia pravdepodobnosti
(Richard von Mises)
• Pri n-krát opakovaní pokusu je relatívna početnosť
m
n
• Pri malom počte pokusov má relatívna početnosť náhodný
charakter
• S rastúcim počtom pokusov sa však približuje k určitému
číslu - pravdepodobnosti P(A)
P  A   lim
n 
m
n
6
Základné vlastnosti pravdepodobnosti
1.
Pre každý náhodný jav A platí:
0  P( A )  1
2.
Pravdepodobnosť javu istého je rovná
jednej
P( I )  1
3.
Pravdepodobnosť javu nemožného je
rovná nule:
P (0)  0.
4.
Pravdepodobnosť javu opačného je
P( A )  1  P( A )
7
Násobenie pravdepodobnosti
(prienik, a súčasne)
Ak sa súčasne objavia dva javy nastáva prienik
pravdepodobností
1. Ak sú javy A a B nezávislé:
P ( A  B )  P ( A ). P ( B )
2. Ak sú javy A a B závislé:
P ( A  B )  P ( B ). P ( A / B )
P ( A  B )  P ( A ). P ( B / A )
8
Prienik pravdepodobností
• je to pravdepodobnosť súčasného vzniku
udalostí A aj B
P( A  B)

P( A) P( B A)

P( B ) P( AB )
Podmienená pravdepodobnosť
• Podmienená pravdepodobnosť javu A vzhľadom
k uskutočneniu javu B
P( A / B) 
P( A  B)
P(B)
• Podmienená pravdepodobnosť javu B vzhľadom
k uskutočneniu javu A
P ( B / A) 
P( A  B)
P ( A)
10
Príklad 2
Hod dvomi kockami.
Jav A nastane ak súčet na oboch
kockách je rovný 4.
Jav B znamená padnutie nepárneho
počtu na prvej kocke.
P ( A) 
P(B) 
3
36
 0 , 08
18
36
P(A  B) 
1,1
2,1
3,1
4,1
5,1
6,1
1,2
2,2
3,2
4,2
5,2
6,2
1,3
2,3
3,3
4,3
5,3
6,3
1,4
2,4
3,4
4,4
5,4
6,4
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
1,6
2,6
3,6
4,6
5,6
6,6
P(A / B) 
 0 ,50
2
36
2
18
 0 , 06
 0 ,11
Bayesov vzorec
Vyjadruje podmienenú pravdepodobnosť
nastatia javu A, keď nastal jav B.
P(A B) 
P(A  B)
P(B)

P ( A)  P ( B A)
P(B)
12
Nezávislosť javov A a B
Dva javy A a B sú nezávislé, ak pravdepodobnosť
jedného z nich P(A) alebo P(B) nezávisí na tom, či
druhý jav nastal alebo nenastal
P ( A / B )  P ( A)
alebo
P ( B / A)  P ( B )
13
Sčítanie pravdepodobnosti
(zjednotenie, alebo)
Pravdepodobnosť zjednotenia dvoch javov sa rovná
súčtu ich pravepodobnosti zmenšenom o
pravdepodobnosť ich prieniku
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )  P ( A  B )
14
Sčítanie pravdepodobnosti nezlučiteľných
javov
Ak sú javy A, B nezlučiteľné,
P( A  B)  0
potom súčet pravdepodobností je
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )
15
Sčítanie pravdepodobnosti závislých
a nezávislých javov
Ak sú javy A a B nezávislé, potom
P ( A  B )  P ( A )  P ( B )  P ( A ). P ( B )
Ak sú javy A a B závislé, potom
P ( A  B )  P ( A )  P ( B )  P ( B ). P ( A / B )
P ( A  B )  P ( A )  P ( B )  P ( A ). P ( B / A )
16