Transcript 黃金比例『 Φ 』
黃金比例 『 Φ 』 Φ = 1.6180339887…… 歐幾里得的中末比 將直線AB分割成兩段AC、CB 使長段與短段之比等於全長與長段之比 此比例稱為「黃金比例」，以Φ表示 A C B 黃金比例方程式 AC/CB = AB/AC 設AC為x CB為1 則 x/1 = (x + 1)/x x2 = x + 1 x2 – x – 1 = 0 取其中正解 x= 1 5 1.6180339887…… 2 A C 1 x B 黃金比例方程式 AC/CB = AB/AC 設AB為1 AC為x 則 x/(1 – x) = 1/x x2 = 1 – x x2 + x – 1 = 0 取其中正解 1 5 x= 0.6180339887…… 2 A C x 1 B 無窮無盡 平方根 1 1 1 1 1 1 連分數 1 1 1 1 1 1 1 巴特農神殿 『米羅的維納斯』雕像 雕像中維納斯的身高 與肚臍高度之比 接近黃金比例Φ 達文西的『維特魯威人』 圖中人物手臂伸開和 身體長度相同 伸展四肢時身體 外接一個圓 身高除以肚臍高度 正是黃金比例 五角星形 五角星形和正五邊形的關係密切 把五邊形的頂點以對角線相互連接就能得到五角星形 這些對角線又在中心形成一個小五邊形 小五邊形的對角線又形成一個更小的五角星形…… 圖中a,b,c,d,e,f之間的比都是黃金比例Φ f e d c b a 五角星形與黃金比例 正五邊形的每一個內角 = 108 下圖中ABD與DCB為相似三角形 AB/DB = CD/CB AC = CD = DB AB/AC = AC/CB = Φ A 36 36 36 36 36 36 108 108 C 72 36 72 72 36 D 36 36 72 B 柏拉圖立體 達利的名畫：最後的晚餐 餐桌上面浮著一個由正五邊形組成的 正十二面體 六面體與八面體 費波納奇 1175-1250 費波納奇數列 費波納奇描述兔子的生育問題： 1.第一個月有一對剛誕生的兔子 2.第兩個月之後牠們可以生育 3.每月每對可生育的兔子會誕生 下一對新兔子 4.兔子永不死去 n個月後兔子將有多少對？ 費波納契數列與植物分枝 費波納奇數列與黃金比例 費波納奇數列可以表示成： Fn+2 = Fn+1 + Fn 我們列出數列前16項： 1,1,2,3,5,8,13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 現在計算一下相鄰費波納奇數間的比值 1/1 = 1.000000 2/1 = 2.000000 3/2 = 1.500000 5/3 = 1.666666 8/5 = 1.600000 13/8 = 1.625000 21/13 = 1.615384 34/21 = 1.619047 55/34 = 1.617647 89/55 = 1.618181 144/89 = 1.617977 233/144 = 1.618055 377/233 = 1.618025 610/377 = 1.618037 987/610 = 1.618033 奇妙的數字 大多數植物的花瓣數目都屬於費波納契數列 例如：百合有3瓣、毛莨有5瓣、飛燕草有8瓣、 萬壽菊有13瓣、紫苑有21瓣、 雛菊有34、55或89瓣 大型向日葵頭上的小花排列成兩組螺線 鳳梨表面花紋也有兩組螺線 向日葵花蕊 1 1 數學規律源於基因或動力學？ 植物成長的數目顯現數學規律 究竟是源自於遺傳的安排還是由某種動力學的限制？ 植物學家指出： 植物枝條頂端有一塊不具特色的圓形組織稱為頂尖(apex) 頂尖周圍有一個一個微小的塊狀物稱為原基 新細胞以螺旋形式從原基生長出來 這新細胞也許會發育成葉子、也許發育成花瓣等結構 常見的螺線 阿基米德螺線 對數螺線 對數螺線 對數螺線獨特的性質包括 1.它的形狀不會隨變大而變形，有「自我相似性」 2.由極點連接曲線上任何一點畫出直線 此直線和曲線相交的角度皆相等，故它又叫做「等角螺線」 植物成長的秘密 1993年法國數學家杜迪與庫德證明： 從原基固定以 137.5° 生成新細胞 新細胞將舊細胞逐漸往外推 則無論生長速率多快或細胞長得多大 細胞都會形成最佳化排列 最佳化排列 原基沿著一條繞的很緊的 螺線做很稀疏的排列 這條螺線稱為「生成螺線」 生成螺線上連續兩個原基 之間的角度通常都很接近 137.5° 為何是137.5° 葉子或花蕾在生成螺線上採間隔黃金角的效益最大 可以保證蓓蕾不會沿著特定方向成直線排列，有效填滿空間 黃金角 以黃金比例去分割圓周得到 360/Φ=222.5 360-222.5 =137.5(黃金角) 以數學軟體模擬最佳化排列 3D 2D 3D葉序 兩組螺線 以黃金角分隔相鄰的點 眼睛會看到兩組交錯的螺線 一組為順時針方向一組為逆時針方向 兩組螺線的數目趨向相鄰的費波納奇數 植物葉序 觀察圖中葉序，我沒會發現： 從最上面開始呈螺線旋轉 3葉轉了1圈 5葉轉了2圈 8葉轉了3圈 13葉轉了5圈 這些都是費波納奇數列相隔 兩項的值 植物葉序 植物葉序 一片一片剝下萵苣 的葉子 看看他與費波納契 數列的關係 螺旋星系 葛根漢美術館 達文西「維特魯威人」 黃金矩形與對數螺線 黃金比例與藝術 蒙特里安畫作 達文西畫作中頭像 黃金矩形