Transcript DRGANIA

DRGANIA
Ruch harmoniczny, prosty,
tłumiony, drgania wymuszone
Ruch harmoniczny
Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach
czasu, nazywamy ruchem okresowym.
Przemieszczenie cząstki w ruchu okresowym można
wyrazić za pomocą funkcji sinus lub cosinus. Funkcje
te nazywamy funkcjami harmonicznymi, stąd ruch
okresowy cząstki nazywany jest ruchem
harmonicznym. Ruchem drgającym mogą poruszać
się nie tylko układy mechaniczne, ale również
cząsteczki obdarzone ładunkiem elektrycznym i fale
elektromagnetyczne. W przypadku fal
elektromagnetycznych występują drgania wektora
pola magnetycznego oraz elektrycznego.
Oscylator harmoniczny
Punkt materialny oscyluje wzdłuż prostej pomiędzy
dwoma ustalonymi punktami. Jego przemieszczenie x
zmienia się okresowo co do wartości i co do kierunku.
Jego prędkość i przyspieszenie oraz działająca na punkt
materialny siła również zmieniają się okresowo.
0
m
x
a
F
v
Ruch harmoniczny prosty
Całkowita energia drgającego punktu jest
sumą jego energii kinetycznej i potencjalnej:
E=K +U
Zakładamy, że ciało porusza się po
płaszczyźnie poziomej bez tarcia oraz że
spełnione jest prawo Hooke’a, wówczas siła
i wychylenie powiązane są zależnością:
F = - kx
1 2
Energia potencjalna wynosi: U  x   kx
2
F
Zakres
prawa
Hooke’a
Zakres
nieliniowości
Materiał
płynie
Zerwanie
materiału
x
Zależność między siłą a wydłużeniem materiałów
rzeczywistych np. aluminium
U(x)
Punkt materialny
porusza się ruchem
harmonicznym
prostym. Granice
wychyleń w obu
kierunkach są takie
same.
Energia
potencjalna
-x1
+x1
F(x)
Siła
-x1
Prędkość
+x1
v
Okresem ruchu harmonicznego T jest czas
jednego pełnego drgnięcia albo cyklu. Jest to
najkrótszy czas po upływie którego ruch zaczyna
się powtarzać.
Częstością  jest liczba drgań w jednostce czasu.
 
1
T
Jednostką częstotliwości
jest 1Hz.
1 Hz 
1
s
F = -kx, gdzie k jest stałą sprężystości materiału
(sprężyny)
F = -kx
m
m
m
F = -kx
F=0
II Zasada Newtona dla ruchu sprężyny:
F = ma
F = - kx
2
 kx  m
d x
dt
2
d x
dt
2

k
m
2
x  0
Otrzymaliśmy równanie
różniczkowe, którego
rozwiązaniem jest x(t) –
funkcja czasu.
Rozwiązaniem tego równania jest funkcja sinus i
cosinus.
Rozwiązanie ogólne tego równania:
x  A cos  t   
Rozwiązanie to oraz jego drugą pochodną
wstawiamy do równania.
dx
   A sin  t   
dt
 2 
T
2
d x
dt
  2
1
2
   A cos  t   
2

- Faza
początkowa
  A cos  t     
k
2
 
2
m
A cos  t   
k
m
Rozwiązanie ogólne spełnia równanie oscylatora
harmonicznego prostego.
Stałe A i φ mogą przyjmować dowolne wartości. Stałe
te określamy dla danego szczególnego ruchu z
warunków, w których ruch ten powstał.
A
x
t
T
v
a
t
Wahadło proste
l
T

M
Mg cos 
Mg sin 

Mg
Wyidealizowane ciało o
masie punktowej M,
zawieszone na cienkiej,
nierozciągliwej nici o
długości l. Wytrącone z
równowagi zaczyna się
wahać w płaszczyźnie
poziomej pod wpływem
siły ciężkości.
Składowa styczna przywracająca równowagę:
F = -Mg sin 
nie jest proporcjonalna do wychylenia.
Przemieszczenie wzdłuż łuku:
x=lθ
dla małych kątów sinθ  θ w mierze łukowej
F   Mg    Mg
x
l

Mg
x
l
Dla małych przemieszczeń siła F jest
proporcjonalna do wychylenia ze znakiem
przeciwnym.
Ruch harmoniczny prosty
Mg
l
określa stałą k w równaniu F = -kx
Okres dla małych amplitud:
T  2
m
k
 2
m
mg
 2
l
g
l
Okres wahadła prostego nie zależy od masy
wahadła.
Wahadło torsyjne
Element (krążek) zawieszony w
środku masy na sztywnym pręcie.
Jeżeli krążek obrócimy o kąt , pręt
zostanie skręcony. Na krążek działa
moment  siły od skręconego pręta.
 = -θ = Iα

Stała skręcenia
(moment kierujący)
Przyspiesze
nie kątowe
W ruchu obrotowym moment siły zależy od
przyspieszenia kątowego α
 = Iα
I – moment bezwładności
Równanie ruchu układu:
  I
d
d 
2
 I
dt
dt
d 
2
   I
dt
d 
2
dt
2

 
 I
gdzie  
d
dt
2
ω – prędkość kątowa
 
2



Otrzymane zostało
równanie dla kątowego
ruchu harmonicznego.
d
dt
Otrzymane równanie jest podobne do równania
liniowego ruchu harmonicznego prostego.
x→θ
I
M→I
T  2

k→
Rozwiązanie tego równania ma postać:
   m cos  t   
gdzie m jest amplitudą
wychylenia kątowego
Φ – fazą dla t = 0
Wahadło fizyczne
PC = d
Ciało sztywne o dowolnym
kształcie, może się obracać
wokół dowolnej osi,
przechodzącej przez to ciało.
P
θ
C
θ
Mg
Zawieszone w punkcie P, środek
ciężkości w punkcie C.
Po odchyleniu od położenia
równowagi o kąt θ, pojawia się
moment siły  przywracający
równowagę.
Moment siły  pochodzi od składowej stycznej
Mg sinθ.
   Mgd sin 
Dla małych amplitud sin   , stąd
   Mg  d  Mgd 
   
 M gd
Wiadomo, że
  I  I
d
dt
d 
2
 I
dt
2
Z poprzednich związków wynika, że
d 
2
dt
2
d 


I
2
dt
2




I

I

Rozwiązaniem tego równania jest
funkcja czasu θ = f(t) o postaci na
przykład:
 = sinωt, gdzie ω jest pulsacją
ruchu okresowego.
Rozwiązując to równanie otrzymujemy tak zwane
równanie charakterystyczne o postaci:
 
2

I
 

 - jest częstotliwością,
T – okresem drgań
I
  2   2 
1
T
Wahadło fizyczne wykonuje ruch okresowy, ale nie jest
to prosty ruch harmoniczny. Okres T tego ruchu zależy
od momentu bezwładności ciała, jego masy,
odległości osi obrotu od środka ciężkości i
przyspieszenia ziemskiego.
T  2
I

 2
I
Mgd
Drgania tłumione
x
k
M m
-kx
-b dx/dt
Oscylator harmoniczny
pobudzony do drgań
drgałby nieskończenie
długo, gdyby nie było
tarcia.
W rzeczywistości
pojawia się siła tarcia,
zależna od prędkości
ciała, lecz przeciwnie
skierowana.
Równanie ruchu oscylatora harmonicznego z
uwzględnieniem siły tarcia:
k xb
dx
2
 M
dt
2
M
d x
dt
2
b
d x
dt
dx
2
 kx  0
dt
Jest to równanie oscylatora harmonicznego
tłumionego o stałej tłumienia b.
Rozwiązaniem tego równania dla przypadku
małej wartości stałej b jest zależność x od czasu:
x  Ae

  2
,
bt
2M

cos  t  
,
 b 


M  2M 
k

A – amplituda
oscylacji
2
Tarcie powoduje spowolnienie ruchu, zmniejszenie
częstotliwości i wydłużenie okresu drgań. Przy bardzo
dużym tarciu następuje zanik oscylacji.
+A
x  Ae

bt
2M
x
t
T
-A
x  Ae

bt
2M

cos  t  
,
Wykres ruchu harmonicznego tłumionego

Drgania wymuszone i rezonans
W przypadku wszystkich omawianych dotychczas
drgań, pobudzenie było jednorazowe –
wychylenie ciała ze stanu równowagi i następnie
puszczenie swobodne tego ciała. Ciało
wykonywało drgania, bądź tylko jednorazowo się
wychylało (duże tłumieni). Drgania po pewnym
czasie zanikały w wyniku tarcia. Teoretyczny
rezonator harmoniczny wykonuje drgania
nieskończenie długo, bo pomijamy tłumienie w
wyidealizowanym modelu.
Drgania mogą być podtrzymywane w wyniku
dodania siły działającej okresowo. Drgania takie
nazywamy wymuszonymi. Układ drga wówczas z
częstotliwością siły pobudzającej F.
F  Fm cos  t
,,
Fm – maksymalna wartość siły
ω’’ – częstość kołowa siły wymuszającej
ω’’ = 2π’’
Równanie ruchu :
 kx  b
dx
dt
2
 F m cos  t  M
,,
d x
dt
2
lub
2
d x
M
dt
2
 kx  b
dx
dt
  F m cos  t
,,
Rozwiązaniem tego równania jest funkcja czasu:
x
Fm
G

sin  t  
,,

gdzie
G 
M
2
  arccos

,, 2
b


2 2
b 
2
,, 2
,,
G
ω – jest częstością kołową drgań własnych
układu
Otrzymana postać rozwiązania wskazuje na to,
że maksymalną amplitudę drgań otrzymamy
przy częstotliwości siły pobudzającej równej
częstotliwości drgań własnych.
ω’’ → ω
A → ∞
A
b=0
b=0
ω’’
Wykres amplitudy drgań A w funkcji częstości ω’’
Dla oscylatorów tłumionych przy pewnej
charakterystycznej częstotliwości
wymuszającej ω’’amplituda oscylacji osiąga
maksimum. Takie zjawisko nazywamy
rezonansem, a częstotliwość odpowiednio –
częstotliwością rezonansową.
Im mniejsze tłumienie tym częstotliwość
rezonansowa jest bliższa częstotliwości ω
układu nietłumionego.
Układ elektryczny
Jeżeli wstawimy ładunek, indukcyjność,
odwrotność pojemności i opór
X→q
M→L
k → 1/C
b→R
otrzymamy równanie obwodu RLC
2
ug  L
d Q
dt
2
R
dQ
dt

Q
C
L
UL
Uc
Ug
UR
R
U g = U L + Uc + U R
C