Transcript Matematyka nie jest trudna

SPIS TREŚCI
Symetria jest rozumiana jako
przekształcenie figury na tą samą
figurę . Na płaszczyźnie wyróżniamy
symetrię osiową (symetrie względem
prostej- odbicie lustrzane) i symetrie
środkową (względem punktu).
Prosta względem której figura jest symetryczna
sama do siebie nazywa się osią figury
symetrii.
O figurze, która ma oś symetrii mówimy, że jest
figurą osiowosymetryczną. Jeżeli figurę
osiowosymetryczną przekształcimy przez
symetrię względem jej osi to figura ta nałoży
się sama na siebie.
Punkt względem którego figura jest
symetryczna sama do siebie nazywa się
środkiem symetrii figury. O figurze która ma
środek symetrii mówimy, że jest figurą
środkowo symetryczną. Jeżeli figurę
środkowo symetryczną przekształcimy przez
symetrię środka symetrii (obrócimy ją o kąt
180 ˚) to figura ta nałoży się sama na siebie
jest jednym z podstawowych pojęć
matematyki współczesnej. Z pojęciem tym
spotykamy się coraz częściej. W prasie
codziennej, w czasopismach i telewizji
często prezentowane są wykresy różnych
zależności. Przykładami Są choćby
notowania kursów walut czy tez akcji na
giełdzie papierów wartościowych.
Wykresem funkcji liniowej jest prosta.
Jeżeli dane są dwa zbiory X i Y i każdemu elementowi
x przynależnemu do zbioru X przyporządkowany jest
dokładnie jeden element y przynależny do zbioru Y, to
takie przyporządkowanie nazywamy funkcją określoną w
zbiorze X o wartościach w zbiorze Y.
f: x→y
Zbiór X nazywamy zbiorem argumentów lub dziedziną
funkcji. Zbiór wszystkich y przynależnych do zbioru
Y takich, że istnieje x przynależne do zbioru X,
dla którego y=f(x)
nazywamy zbiorem wartości tej funkcji.
W skład zespołu pewnego domu kultury liczy 6
osób, z czego Asia gra na pianinie, Andrzej
i Zosia grają na gitarze, Karol i Ewelina grają na
bębnach, a Maciej gra na skrzypcach. Wykonaj
rysunek (graf) przyporządkowujący każdej
osobie instrument na którym gra.
W stałym składzie
drużyny koszykowej z
Inowrocławia jest 5
mężczyzn. Jest to
Krzysztof który ma 189
cm wzrostu, Witold 173
cm, Jerzy 178 cm,
Jerzy 170 cm oraz
Aleksander który ma
180 cm wzrostu.
Wykonaj rysunek (graf )
przyporządkowujący
każdemu zawodnikowi
jego wzrost.
o dziedzinie X jest
zbiór wszystkich punktów płaszczyzny
o współrzędnych (x,y) spełniających warunek
y=f(x), gdzie x należy do zbioru X
W życiu codziennym
możemy zastosować
funkcje w wielu
przypadkach:
np. każda osoba:
- lubi różne gatunki
filmów
- różne kolory włosów
- różne zainteresowania
Funkcję możemy określić za pomocą:
 - opisu słownego
 - grafu
 - tabelki
 - wzoru
 - wykresu
Dane są dwa zbiory:
X = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Y = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
Zbiór X jest zbiorem argumentów, a Y jest zbiorem
wartości pewnej funkcji. Każdemu elementowi ze
zbioru X jest przyporządkowany tylko jeden element
ze zbioru Y, tak że wartością funkcji dla argumentu 0
jest liczba 2, dla argumentu 1 liczba 3 itd. Opisz
różnymi sposobami tę funkcję.
Opis słowny:
Każdej liczbie naturalnej mniejszej od 10 jest
przyporządkowana liczba ze zbioru y większa o 2.
GRAF:
WYKRES:
TABELKA:
x
0
1
2
3
4 5
6
7
8
9
y
2
3
4
5
6 7
8
9
10 11
Każdej liczbie ze zbioru x przyporządkowana jest
liczba y taka, że:
y=x+2
Wzór ten możemy zapisać:
x→ x + 2 lub f(x ) = x+ 2
Wykres funkcji zależy od dziedziny
funkcji.
Miejscem zerowym funkcji jest taki
argument, dla którego wartość funkcji
jest równa zero.
Dana jest funkcja y = x – 1.
Sporządź wykres na podstawie danych z
tabelki.
x
y
-2
-1
0
y = -2 -1 = -3
y = -1 -1 = -2
y = 0 -1 = -1
y = 1 -1 = 0
y = 2 -1 = 1
1
2
x
y
-2
-3
-1
-2
0
-1
1
0
2
1
Funkcja określona jest wzorem
y = 3(x-1) dla x = { -2, -1, 0, 1, 2}
Narysuj graf, sporządź tabelkę i wykres tej funkcji oraz
podaj taki argument tej funkcji, dla którego wartość
funkcji jest równa 0.
y = 3*(-2 -1)= -9
y = 3*(-1 -1)= -6
y = 3*(0 -1)= -3
y = 3*(1-1)= 0
y= 3*(2-1)= 3
graf:
tabelka:
wykres:
x
y
-2
-9
-1
-6
0
-3
1
0
2
3
Funkcja y = ax + b dla x należącego do R,
Jej wykres i własność.
Funkcją liniową jest każda funkcja określana wzorem
y= ax+b i x przynależne do zbioru R
gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
Wykresem funkcji liniowej y = ax + b jest prosta przecinająca oś
OY w punkcie ( 0, b)
Wykres funkcji liniowej y = ax + b, gdzie a≠0 przecina oś OX
W punkcie o współrzędnych -
b


x  
,0 
a


a oś OY w punkcie o współrzędnych (0, b).
Zwróć uwagę, że x  
b
a
jest miejscem zerowym funkcji.
Wykres każdej funkcji y = ax jest prostą, która
przechodzi przez początek układu współrzędnych
oraz przez punkt (1, a).
Jeżeli:
a >0, to wykres funkcji przechodzi przez I i III ćwiartkę,
a < 0, to wykres funkcji przechodzi przez II i IV ćwiartkę,
a = 0, to wykres pokrywa się z osią odciętych ( OX)
Dziedzinę funkcji y= x- 1 jest zbiór liczb
rzeczywistych. Sporządź częściową tabelkę
tej funkcji i zaznacz w układzie
współrzędnych wybrane punkty należące do
jej wykresu. Oblicz miejsce zerowe tej
funkcji.
x
y
…
-2
-1
0
1
2
…
y = -2 -1 = -3
y= -1 -1= -2
y=0 -1= -1
y= 1 -1= 0
y= 2-1= 1
x
y
…
…
-2
-3
-1
-2
0
-1
MIEJSCE ZEROWE:
a= -2
b= -3
b


x  
,0 
a


 3

x  
,0 
 2

1
0
=
2
1
…
…
1


,0 
1
2


(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2-2ab+b2
a2-b2= (a-b)(a+b)
Aby rozłożyć sumę algebraiczną na czynniki,
czyli przedstawić ja w postaci iloczynu co
najmniej dwóch czynników, należy:
- pogrupować wyrazy
- wyłączyć wspólny czynnik przed nawias
- zastosować wzory skróconego mnożenia
2a2+4ab+2b2=2(a2+2ab+b2)=2(a+b)2
Jeżeli w mianowniku ułamka pojawia
się jako składnik sumy pierwiastek,
korzystamy z wzoru na różnicę
kwadratów.
•Rozłóż na czynniki wyrażenie x2-y2.
x2-y2= (x-y)(x+y)
•Rozłóż na czynniki wyrażenie 24a2-24a+3,
korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.
24a2-24a+3= 3(8a2-8a+1)
•Oblicz.
(3+4√2)2=
(3)2+2*3*4√2+(4√2)2=9+24√2+32=41+24√2
4√2*4√2=4(2)2=32
•Oblicz.
(√5-1)3= (√5)3- 3*(√5)2*1 +3√5*(1)2-(1)3= 5√5-15+3√5-1=16+8√5
•Rozwiąż równanie korzystając ze wzorów skróconego
mnożenia.
(3-x)2-(x+1/3)2=2/9
32-2*3*x+x2-x2-2x*1/3-(1/3)2=2/9
9-6x-2/3x-1/9=2/9
-6x-2/3x=2/9-9+1/9
-20/3x=-9+3/9
-20/3x=-9+1/3
-20/3x=-26/3|*(-3)
20x=26
X=26/20
X=16/20
X=1,3
Odp. Rozwiązaniem równania jest x=1,3
I Metoda podstawiania
x+ 2y = 5
2x -5y = -8
x = 5 - 2y
2x – 5y = -8
x=5–2y
2( 5 – 2y) – 5y = -8
x = 5- 2y = -8
10 – 4y – 5y = -8
Wyznaczamy niewiadomą x z pierwszego równania
Układ jest równoważny poprzedniemu układowi
Podstawiamy do drugiego równania miejsce
niewiadomej x wyrażenie 5 – 2y. Otrzymany układ równań jest równoważny poprzedniemu
Przepisujemy pierwsze równanie i rozwiązujemy drugie
równanie z jedną niewiadomą
x = 5 – 2y
-4y – 5y = -8 -10
x = 5 – 2y
-9y = -18 | : (-9)
x = 5- 2y
y=2
Wstawiamy do równania pierwszego w miejsce y
wyznaczoną z drugiego równania liczbę 2
x = 5-2 • 2
y=2
x=1
y=2
Odp Para liczb x = 1 i y = 2 jest rozwiązaniem tego układu równań.
x- 2y = 1
y = -2
x - 2• (-2) = 1
y = -2
x+4=1
y = -2
x=1–4
y = -2
x = -3
y = -2
Odp : Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = -3 i y = -2
3x + y = -6 + y
x+y=2
3x + y – y = -6
y=2-x
3x = -6 | :3
y=2–x
x = -2
y= 2 – (-2)
x = -2
y=2+2
x = -2
y=4
Odp : Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = -2 i y = 4
Rozwiązanie układu równań metodą przeciwnych
współczynników polega na :
* przekształceniu obu równań układu tak aby
otrzymać przy tej samej niewiadomej
współczynniki będące liczbami przeciwnymi
*dodaniu stronami równań układu, eliminując
w ten sposób jedną z niewiadomych
* rozwiązaniu równania z jedną niewiadomą
* obliczeniu drugiej niewiadomej
x  y  8

x  y  2
+_______________
x + x +y – y = 8 +2
2x = 10 | :2
x=5
Równania układu równań dodajemy stronami. (Współczynniki
przy niewiadomej y są liczbami przeciwnymi 1 i -1.
Rozwiązujemy otrzymane równanie.
x=5
x+y=8
Tworzymy nowy układ równań równoważny układowi danemu,
którego jednym równaniem jest x = 5, a drugie dowolne
równanie układu początkowego.
x=5
5+y=8
Liczbę 5 podstawiamy w miejsce niewiadomej x do drugiego
równania i rozwiązujemy to równie
x=5
y= 8 – 5
x=5
y=3
Odp Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = 5 i y = 3
-x + 3y = 4 | • 3
3x – 2y = 2
-3x + 9y = 12
3x -2y = 2
+____________
7y = 14 | :7
y=2
-x + 3y = 4
y= 2
-x + 3•2 = 4
y=2
-x = -2| : (-1)
y=2
x=2
y=2
Odp : Rozwiązaniem tego układu
równań jest para liczb x = 2 i y = 2
4( x+ 2) = 1 – 5y
3( y + 2) = 3 – 2x
4x + 8 = 1 – 5y
3y + 6 = 3- 2x
4x + 5y = 1 – 8
2x + 3y = 3 – 6
4x + 5y = -7
2x + 3y = -3
4x + 5y = -7
2x + 3y = -3 | • (-2)
4x+ 5y = -7
-4x -6y = 6
+___________
-y = - 1
y=1
y=1
2x + 3y = -3
y=1
2x + 3 = -3
y=1
2x = -6 |:2
x = -3
y=1
Rozwiązaniem tego układu równań jest
para liczb x = -3 i y = 1
Przed 10 laty ojciec był 4 razy starszy od
syna. Za 10 lat ojciec i syn będą mieli
razem 100 lat. Ile lat ma obecnie
ojciec a ile syn ?
x –wiek syna
y – wiek ojca
y- 10 – wiek ojca z przed 10 laty
4(x-10) – wiek syna z przed 10 laty
100 –suma lat ojca i syna za 10 lat
y – 10 = 4x – 40
y + 10 + x + 10 = 100
y – 10= 4x – 40
y + x = 100 -20
y – 4x = -40 + 10
y + x = 80 |• (-1)
y – 4x = -30
-y – x = - 80
+____________
- 5x = -110 | : (-5)
x= 22
y – 10 = 4(x-10)
x= 22
y – 10= 4(22-10)
x =22
y = 58
x = 22
Odp : Obecnie ojciec ma 58 lat a syn
22
Suma dwóch liczb jest równa 92. Jakie to liczby jeżeli 40%
pierwszej liczby jest równe ¾ liczby drugiej.
x- pierwsza liczba
y druga liczba
40 %x = ¾ y – 40% pierwszej liczby jest równe ¾ drugiej
liczby
x+ y = 92
40%x = ¾ y
x + y = 92
2/5 x = ¾ y | • 20
x + y = 92
8x = 15y
x = 92 – y
8 (92 – y) = 15y
x = 92 – y
736 – 8y = 15 y
x = 92 – y
23y = 736 | :23
x = 92 – y
y = 32
x=60
y = 32
Ile kilogramów 15- procentowego roztworu kwasu siarkowego I ile kilogramów 30procentowego roztworu kwasu siarkowego należy zmieszać , aby otrzymać 18 kg roztworu
kwasu siarkowego o stężeniu 20%
x
+
y
=
18
15%
30%
20%
x + y = 18
15%x + 30%y = 20% •18
x + y = 18
3/20x + 3/10y = 3,6 | • 10
x+ y = 18
x = -6
x + y = 18 | • -3
6x + 3y = 34
-3x – 3y = -54
6x + 3y = 36
+____________
3x = -18 | : 3
y=24
x =-6
x =- 6
Na obóz do Krynicy Morskiej wyjechało 120,a do Łeby 128 sportowców. W
Łebie było 30% więcej dziewcząt i o 10% mniej chłopców niż w Krynicy. Ile
dziewcząt i ilu chłopców było na obozie w Krynicy morskiej ?
x – liczba dziewcząt na obozie w Krynicy
y – liczba chłopców na obozie w Krynicy
x + y = 120 – liczba sportowców na obozie w Krynicy
x + 0,3x = 1,3x – liczba dziewcząt na obozie w Łebie
y – 0,1y = 0,9y – liczba chłopców na obozie w Łebie
1,3x + 0,9y = 128 – liczba sportowców na obozie w Łebie
x = 50
y
=
120
–
x
x +y = 120
y = 120 – 50
4x
+
1080
=
1280
1,3x + 0,9y = 128| • 10
x = 50
y
=
120
–
x
x + y = 120
y = 70
4x
=
1280
–
1080
13x + 9y = 1280
Odp : Na obozie w Krynicy
y
=
120
–
x
y = 120 – x
Morskiej było 50 dziewcząt i 70
4x
=
200
|
:4
13x + 9 (120-x) = 1280
chłopców.
y = 120 – x
13x + 1080 – 9x =1280
y = 120 – x
x = 50
Jeden procent (1%) to jedna setna (0,01) część
całości.
1% = 1/100 = 0,01
Dziesiąta część procenta to promil (‰) albo jeden
procent to 10 promili.
1% = 10‰
2 = 200%
0,75 = 75%
1,25 = 125%
0,30 = 30%
0,89 = 89%
0,01 = 1%
0,15 = 15%
4,78 = 478%
Aby obliczyć procent danej liczby, należy procent przedstawić
w postaci ułamka i otrzymany ułamek pomnożyć
przez daną liczbę
Przykład:
20% liczby 60 = 0,20 · 60 = 12
Można tez obliczyć 1% (10%) danej wielkości, a następnie żądany
procent.
Przykład:
30% liczby 20
100% liczby: 20
10% liczby: 2 (dziesięciokrotnie mniej)
30% liczby: 6 (trzykrotnie więcej)
Oblicz, ile wynosi 60% liczby 120.
0,60 * 120 = 72
Oblicz ile wynosi 17% liczby 110.
0,17 * 110 = 18,7
Żeby obliczyć, jakim procentem
pierwszej liczby jest druga liczba,
należy obliczyć, jakim ułamkiem
pierwszej
liczby jest druga liczba i ułamek ten
przedstawić w postaci procentu.
1. Jakim procentem liczby 75 jest liczba 5?
5/75 * 100% = 6 2/3 %
2. Jakim procentem liczby 40 jest liczba 25?
25/40 * 100% = 62, 5 %
3. Jakim procentem liczby 60 jest liczba 15?
15/60 * 100% = 25%
Przykład:
Oblicz liczbę której 50% stanowi 50
I sposób:
Należy zamienić procent na ułamek
50 % 
50

100
1
2
Obliczamy na podstawie danego jej ułamka
50 :
1
2
 50 *
2
1
 100
II sposób:
Jeżeli 50% stanowi 50, to 1% stanowi
50/50
A 100% stanowi
50
* 100  100
50
Odp. Liczba, której 50% stanowi 50 to
100.
W Klasie 3G jest 15 dziewcząt. Stanowi to 60 procent
uczniów tej klasy. Ile jest chłopców?
Obliczamy ilu jest wszystkich uczniów
60 % 
60

100
15 :
3
5
 15 *
3
5
5
 25
3
Obliczamy ilu jest chłopców:
25-15=10
Rodzina Kowalskich wybrała się na wycieczkę rowerową.
Na trzecim postoju zauważyli, że przejechali już 12km,
co stanowi 45% całej zaplanowanej trasy. Ile
kilometrów pozostało im to końca planowanej trasy?
Obliczamy długość całej trasy:
45 % 
45

100
12 :
45
100
 12 *
9
20
100
 26 , 6 km
45
Obliczamy długość całej trasy:
26,6 – 12 = 14,6
Przykład:
Oblicz odsetki od kwoty 1500zł złożonej w
banku na 5% na okres dwóch lat.
1500 * 5 % * 1 
1500 * 5
100
Odp. Odsetki wynoszą 75 zł.
* 1  75
Pani Ania założyła lokatę terminową na
kwotę 5200zł w banku z rocznym
oprocentowaniem 8%. Oblicz jaką
kwotę na swoim koncie będzie miała
pani Ania po upływie roku.
Obliczamy odsetki, jakie będą doliczone:
5200 * 8 %  5200 *
8
 416
100
Obliczamy stan konta pani Ani po dodaniu
odsetek
5200 + 416 = 5614
Pan Janusz wziął kredyt w banku w kwocie 5000 zł o
oprocentowaniu 9%. Jaką kwotę będzie musiał oddać
banku po doliczeniu odsetek?
Obliczamy ile będą wynosiły odsetki:
9
5000 * 9 %  5000 *
 450
100
Obliczamy ile będzie wynosiła kwota do zapłaty:
5000 + 450 = 5450
Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi
równoległymi, to odcinki wyznaczone na
jednym ramieniu kąta są proporcjonalne
do odpowiednich odcinków
wyznaczonych na drugim ramieniu kąta.
Jeżeli dwie proste przecięte są kilkoma
prostymi równoległymi, to stosunek każdych
dwóch odcinków utworzonych na jednej
prostej jest równy stosunkowi odpowiednich
dwóch odcinków utworzonych na drugiej
prostej.
Jeżeli dwie proste przecięte są kilkoma
prostymi równoległymi, to odcinki
utworzone na jednej prostej są
proporcjonalne do odpowiednich
odcinków utworzonych na drugiej
prostej.
Jeżeli odcinki wyznaczone przez proste
na jednym ramieniu kąta są
proporcjonalne do odpowiednich
odcinków wyznaczonych przez te
proste na drugim ramieniu kąta, to te
proste są równoległe.
Jeżeli ramiona kąta (lub ich
przedłużenia) przecięte są prostymi
równoległymi, to odcinki utworzone
na prostych równoległych są
proporcjonalne do odpowiednich
odcinków każdego ramienia, których
początkiem jest wierzchołek kąta.
OBLICZ DŁUGOŚCI ODCINKÓW
OZNACZONYCH LITERAMI.
A)
Rozwiązanie:
¾ = 6/a
3a = 4*6 |: 3
3a = 24 |: 3
a=8
B)
Rozwiązanie:
3/2 = 3+3/b
3/2 = 6/b
3b = 6*2 |: 3
3b = 12 |: 3
b=4
C)
Rozwiązanie:
5/8 = 7/8+c
5*8+c = 7*8
40c = 56 |: 40
c = 1,4
Odp.: Długość odcinka a wynosi 8 cm,
długość odcinka b 4 cm, a długość odcinka c
1,4 cm.
Boki trójkąta ABC mają długości: |AB|=5cm,
|BC|=6cm, |AC|=9cm. Na boku AB
odmierzamy odcinek AD długości 2cm
i przez punkt D prowadzimy prostą równoległą
do boku AC. Prosta ta przecina bok BC
w punkcie E. Oblicz obwód trapezu ADEC
|DE|/|DB| = |AC|/|AB|
|DE|/3 = 9/5
5|DE|= 9*3 |: 5|DE|
5|DE|= 27 |: 5|DE|
|DE| = 5,4 cm
Rozwiązanie:
|BC|/|AB|=|EC|/|DA|
6/5 = |EC|/2
5|EC|=6*2 |: 5|EC|
5|EC|= 12 |: 5|EC|
|EC| = 2,4
Ob= |AC|+|CE|+|ED|+|DA|= 9 cm + 2,4
cm + 5,4 cm + 2 cm = 18,8 cm
Odp.: Obwód trapezu wynosi 18,8 cm.
a)3a+x
b)(4x-y)-2z
c)(a+6)/(-16)
Odp:
a)Suma 3a i x
b)Różnica 4x-y i 2z
c)Iloraz (a+6)przez -16
a)Trzykrotność sumy liczb a i 5
b)Połowę różnicy liczb 6 i x
c)Liczbę trzycyfrową, której cyfrą setek jest a,
cyfrą dziesiątek b i cyfrą jedności c.
d)Iloczyn sumy i różnicy liczb x i y.
Odp:
a)3(a+b)
b)(6-x)/2
c)100a+10b+c
d)(x+y)*(x-y)
.
Np.
2a-b+3a+11b=5a+10b
2c-10a+5b-10a-2c=5b-20a
23a-ab+5ab-b=23a-b+4ab
a) 5x + 4 - 2x + 3 =
b) 2a + 4b - 7a =
c) 3x2 + 2x + 4x2 + 4 =
d) 2a + 2b - a + 4b =
e) a + 4a + 3b - b - 2a + 3b =
Odp:
a) 5x + 4 - 2x + 3 = 3x + 7
b) 2a + 4b - 7a = -5a + 4b
c) 3x2 + 2x + 4x2 + 4 = 7x2 + 2x + 4
d) 2a + 2b - a + 4b = a + 6b
e) a + 4a + 3b - b - 2a + 3b = 3a + 5b
Medianą, uporządkowanego rosnąco ciągu n
danych liczbowych (a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ … ≤ an)
nazywamy:
Dla n nieparzystego: środkowy wyraz
ciągu
Dla n parzystego: średnią arytmetyczną
środkowych wyrazów ciągu
Oceny:
3, 5, 6, 1, 2, 4, 5
Uporządkowane: 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6
Mediana:
1, 2, 3, 4, 5, 5, 6
Oceny:
5, 1, 3, 4, 5, 2
Uporządkowane: 1, 2, 3, 4, 5, 5
Mediana:
3+4
2
= 3.5
Ile wynosi mediana zarobków w pewnej firmie, jeżeli
szef zarabia 12000 zł, sekretarka 8000 zł, 2
zastępców prezesa po 5000 zł, i 3 pracowników po
2000 zł?
OBLICZENIA:
Zarobki:
szef
sekretarka
wiceprezes 1
wiceprezes 2
pracownik 1
pracownik 2
pracownik 3
12000 zł
8000 zł
5000 zł
5000 zł
2000 zł
2000 zł
2000 zł
Uporządkowane:
2000, 2000, 2000, 5000, 5000, 8000, 12000
Odp: Mediana zarobków w firmie wynosi 5000 zł.
Podaj medianę cen towarów w sklepie, znając ich cenę:
2500 zł
500 zł
30 zł
OBLICZENIA:
Ceny:
komputer
mikroskop
żarówka
Uporządkowane:
2500zł
500zł
30zł
30, 500, 2500
Odp: Mediana cen w sklepie wynosi 500 zł.
Średnia arytmetyczna n liczb a1, a2, a3, …, an jest
równa:
a1 + a2 + a3 + … + an
a=
n
PRZYKŁAD
Średnia arytmetyczna liczb 2, 8, 4, 3, 1 wynosi:
S= (2 + 8 + 4 + 3 + 1) / 5 =
= 18 / 5 = 3,6
Oblicz średnią arytmetyczną ocen ze
sprawdzianu.
OBLICZENIA
Suma wszystkich ocen:
3*1+2*2+5*3+7*4+4*5+2*6=
82
Ilość wszystkich ocen:
3
+2
+5
+7
Średnia:
S= 82 / 23 ≈ 3,57
+4
+2 = 23
Tabela pokazuje średnie kursy dolara w
poszczególnych miesiącach, oblicz średnią cenę
dolara w danym roku.
Cena
dolara
3,6
2
3,6
5
3,6
5
3,8
0
3,8
1
3,8
1
3,8
1
3,8
3
3,8
5
3,8
5
3,9
0
4,1
4
Miesiąc
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
OBLICZENIA
Suma cen dolara:
3,62 + 3,65 + 3,65 + 3,80 + 3,81 + 3,81 + 3,81 + 3,83 + 3,85 +
3,85 + 3,90 + 4,14 = 45,75
Liczba miesięcy: 12
Średnia:
S= 45,75 / 12 = 3,81
Rozstępem nazywamy różnicę miedzy
najwyższą a najniższą wartością w
zbiorze.
R = Xmax – Xmin
PRZYKŁAD
Oceny:
4, 6, 14, 90, 84, 23, 432, 1645, 3, 0
R = Xmax – Xmin
R = 1645 – 0 = 1645
Oblicz amplitudę temperatury dla Warszawy.
Temp.
-10
-7
-5
0
5
8
15
20
17
14
10
0
MC
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
Najwyższa temperatura: 20°C
Najniższa temperatura: -10°C
Rozstęp:
R= 20 – (-10) = 30
Oblicz rozstęp między średnią pensją krajową a
średnią pensją krajową.
Średnia krajowa [zł]
4015,37
Minimalna pensja [zł]
1500
OBLICZENIA
R = Xmax – Xmin
R = 4015,37 – 1500
R = 2515,37
Oblicz rozstęp miedzy miastami.
Miasto
Odległość w km
Warszawa
520
Gdańsk
730
Opole
260
Zakopane
120
OBLICZENIA
R = Xmax – Xmin
R = 730 – 120
R = 610
Dominantą nazywamy wartość najczęściej
występująca w zbiorze uporządkowanym
liczb.
PRZYKŁAD
Zbiór liczb:
1,
2,
Dominanta
3,
3,
3
3,
5,
6,
Podaj dominantę ocen z klasówki.
Ilość ocen
Oceny
3
1
4
2
6
3
15
4
7
5
1
6
Odp.: 4
Ile wynosi dominanta liczb w zbiorze:
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, ,8, 9, 10, 11, 11,
11, 11, 20 }
Odp. 11
Dominanta ocen z klasówki wynosi:
Odp. 4
Patryk Ewertowski
 Kinga Kuskowska
 Adam Ropelewski
 Milena Skierkowska
 Aleksandra Żbikowska
 Martyna Żurawska

Podręcznik do matematyki „Z
PITAGORASEM PRZEZ GIMNAZJUM” do
klasy II i III.










SYMETRIE
FUNKCJE
WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ
I STOPNIA Z DWIEMA NIEWIADOMYMI
PROCENTY
TWIERDZENIE TALESA
WYRA ŻENIA ALGEBRAICZNE
ELEMENTY STATYSTYKI