Transcript WAHADŁO MATEMATYCZNE

WAHADŁO
MATEMATYCZNE
Spis treści
Czym jest wahadło matematyczne i jak w prosty sposób je wykonać?
Co potrzebujemy do wykonania wahadła?
Rozkład sił w wahadle matematycznym
Drgania harmoniczne ciężarka zawieszonego na nieważkiej nitce
Wahadło sekundowe
Analiza wzoru na okres drgań
Dalsze rozważanie nad możliwością i dokładnością obliczenia siły
grawitacyjnej g
Czym jest wahadło matematyczne
i jak w prosty sposób je zbudować?
Otóż odpowiedź jest bardzo
prosta:
Wahadło matematyczne to
ciało zawieszone na
nierozciągliwej i nieważkiej
lince, sznurku w punkcie
przyłożenia znajdującym się
nad środkiem ciężkości tego
ciała. Tak aby po odchyleniu
ciała można było
zaobserwować ruch po
półkolu, w którym ciało
wychyla się o kąt α .
Co potrzebujemy do wykonania wahadła?
Deska
Odważnik 200g
Gumka recepturka
Mocna nitka z której robimy ,,koszyczek’’, aby wyeliminować
niestabilność zawieszenia odważnika.
W całości wygląda to tak:
Rozkład sił w wahadle matematycznym
po wychyleniu go z położenia równowagi
Q – ciężar ciała
N – siła naprężenia nici
F’ – siła reakcji do siły N
F – siła powodująca powrót
ciała do pozycji początkowej
X - maksymalne wychylenie
α - kąt wychylenia wahadła
Huśtawka
Wahadło matematyczne to
bardzo miły wynalazek.
Towarzyszy nam od
najmłodszych lat.
Nawet teraz lubimy z bratem
(gdy nikt nie widzi )
wykorzystać jego zalety…
Drgania harmoniczne ciężarka
zawieszonego na nieważkiej nitce
Drgania ciężarka polegają na ciągłej zamianie energii potencjalnej w energię
kinetyczną i na odwrót.
Odległość ciężarka od położenia równowagi nazywamy wychyleniem x.
Wychylenie przyjmuje wartości dodatnie i ujemne, największe wychylenie
nazywamy amplitudą.
Xmax = A
Okres drgań jest to czas, w którym ciało wykonuje jedno pełne drganie.
tjednego pełnego drgania = T
Częstotliwość to ilość pełnych drgań w jednostce czasu.
f = nt
f – częstotliwość
n – liczba drgań
t – czas, w którym te drgania zostały wykonane
Ruch drgający harmoniczny
Ruch drgający harmoniczny to taki, w którym siła powodująca ten
s
ruch jest wprost proporcjonalna do wychylenia.
F~x
F = -kx
Minus występuje dlatego, że gdy wychylenie jest dodatnie to
siła skierowana jest w kierunku ujemnym.
ma = -kx
Wahadło sekundowe
Wahadło sekundowe to wahadło którego okres drgań (T) równy
jest 2s, a długość nici utrzymującej ciało (l) jest równa 1 metr!!
Wyprowadzenie wzoru na okres drgań
Siła powodująca ruch wahadła jest wprost proporcjonalna wychylenia,
a więc wahadło podlega ruchowi drgającemu harmonicznie.
F1  mg sin 
F1   mg
Więc: k 
T  2
mg
m
k
l
x
Ale dla małych kątów:

mg
l
x
l
sin    
x
l
F1   kx
Wiadomo jednak, że dla ruchu harmonicznego:
Więc:
T  2
m
mg
l
 2
l
g
Z wyprowadzonego wzoru wyznaczamy
przyspieszenie ziemskie.
l
T  2
Jak widać w celu wyznaczenia
przyspieszenia ziemskiego wystarczy
zbudować wahadło matematyczne
i dla danej długości wahadła
zmierzyć okres drgań.
g
T

2
T
4
l
g
2
2

g  4
Brzmi to prosto. Jednak takie całkiem
proste nie jest, gdyż trzeba jak
najdokładniej wyznaczyć długość
wahadła i okres jego drgań.
l
g
2
l
T
2
Liczba π
Na dokładność obliczenia przyspieszenia ziemskiego ma także
wpływ dokładność wyznaczenia liczby  , a jak wiadomo jest to
liczba niewymierna, której dokładnie podać nie można. Jednak
uwzględniając przybliżenia pomiarów, które trzeba będzie przyjąć,
  3 ,14 jest zupełnie wystarczające.
„Podziwu godna liczba Pi
trzy koma jeden cztery jeden.
Wszystkie jej dalsze cyfry też są
początkowe, pięć dziewięć dwa
ponieważ nigdy się nie kończy…”
Dokładne określenie długości L, środka ciężkości
i punktowego przymocowania nici do deski
Nawiercenie cienkim
wiertłem deski i
przełożenie nici
Dla możliwości
regulacji długości
montaż zapałki
Poprawa budowy
koszyczka pozwala
na dokładniejsze
określenie środka
ciężkości
Kłopot ze środkiem ciężkości
Odważnik 0,5 kg, który wykorzystałem
w moim doświadczeniu ma typowy
kształt odważnika sklepowego.
Jego „główka” bardzo utrudnia precyzyjne
wyznaczenie środka ciężkości.
Dodatkowo powoduje nieprzewidywalne
chybotania ciężarka zawieszonego
bezpośrednio na nici.
Ten drugi problem pomogła rozwiązać mi mama (ja niestety nie
dziergam na szydełku) i zrobiła dla odważnika ciasny „koszyczek”.
Problem „główki” rozwiązałem przyjmując środek ciężkości
odważnika 1 milimetr nad jego połową wysokości.
Wyniki I serii pomiarów
L długość wahadła, od
punktu zawieszenia, do
środka ciężkości ciężarka
l = 0.43m
Przyjmuję dokładność
pomiaru długości
wahadła:
U góry 1 mm= 0,001m
Na dole 3 mm=0.003m,
ze względu na
nieprecyzyjne określenie
środka ciężkości.
Łącznie  l  0 , 004 m
Numer próby Czas 10 wahnięć
Czas 1 wahnięcia
1
13,7
1,37
2
14
1,4
3
14,1
1,41
4
13,5
1,35
5
13
1,3
6
13,2
1,32
7
13,9
1,39
8
13
1,3
9
13,5
1,35
10
13,1
1,31
Obliczenie przyspieszenia ziemskiego na
podstawie pierwszej serii pomiarów.
 l  0 , 004 m
T  (1, 35  0 , 2 ) s
 T  0,2 s
l  ( 0 , 43  0 , 0004 ) m
g  4
2
l
T
2
g  4 * ( 3 ,14 ) *
2
0 , 43 m
(1, 35 s )
g  9 , 31
m
s
2
2
Pomiar czasu
Pomiaru czasu dziesięciu wahnięć wahadła dokonywałem
stoperem, który umożliwia pomiar z dokładnością 0,1 s.
Uwzględniając niedokładność pomiaru wynikającą z braku
mojej precyzji w naciśnięciu stopera, pomiaru dokonałem
dziesięciokrotnie. Do wzoru na przyspieszenie wstawię średnią
arytmetyczną tych pomiarów.
Próbowałem liczyć dokładność wyznaczenia okresu metodą
Studenta Fishera, ale otrzymany błąd, był zaniedbywalny w
porównaniu z przyjętą przeze mnie niedokładnością 0,2 s.
(0,1s –dokładność stopera, oraz 0,1s – mój czas reakcji na
bodziec)
Wyniki II serii pomiarów
l  0 ,855 m
T śr  1,84 s
g  10 , 02
m
s
2
Numer próby
Czas 10 wahnięć
Czas 1 wahnięcia
1
18,2
1,82
2
18,5
1,85
3
18,3
1,83
4
18,6
1,86
5
18,1
1,81
6
18,2
1,82
7
18,7
1,87
8
18,3
1,83
9
18,2
1,82
10
18,3
1,83
Wyniki III serii
Numer próby Czas 10 wahnięć
 l  1, 25 m
1
23,5
2,35
2
24
2,4
3
23,5
2,35
4
23
2,3
5
23,5
2,35
6
21
2,1
m
7
23
2,3
2
8
22,5
2,25
9
24
2,4
10
24
2,4
T śr  2 , 32 s
g  9 ,16
Czas 1 wahnięcia
s
Podsumowanie przeprowadzonych serii
Obliczam natężenie pola grawitacyjnego (przyspieszenie ziemskie)
jako średnią arytmetyczną przeprowadzonych serii pomiarów.
g 
9 , 31  10 , 02  9 ,16
 9 , 496  9 , 5
3
m
s
2
Rachunek błędu:
Wiem, że to nie jest prosta sprawa…
Wiadomości w internecie, które zebrałem na ten temat trochę
mnie wystraszyły, bo wiedza matematyczna, którą dysponuję jest
delikatnie mówiąc niewystarczająca.
Początkowo myślałem, że metoda Studenta- Fishera będzie
dobra, ale wstępne rachunki zaskoczyły mnie i ostatecznie
odrzucilem tę metodę.
Inne sposoby obliczania błędów były jednak przerażające:
- Metoda różniczki zupełnej
- Metoda graficzna
Zdecydowałem się na pierwszą z tych metod.
Pani profesor pokazała mi jak policzyć pochodne mojej funkcji
wzglądem T i względem l.
Poniżej prezentuję efekt moich obliczeń.
Rachunek błędu:
ciąg dalszy
g
T
 8 l
2

T
3

 8 * 9 ,8596 * 0 , 43
1,35 
3
 13 , 78
g
l

4
T
2
2

Ostatecznie dla I serii pomiarów:
g 
g
l
* l 
g
T
* T 
21 , 64 * 0 , 004  13 , 78 * 0 , 2  2 ,84
4 * 9 ,8596
1,35 
2
 21 , 64
Wynik I serii:
Wynik II serii
(policzony w analogiczny
sposób):
Wynik III serii pomiarów:
g I  9 , 31  2 ,84 
m
s
2
g II  10 , 02  2 , 25 
g III  9 ,16  1,87 
m
s
2
m
s
2
Z rachunków wynika, że im dłuższe wahadło, tym mniejszym
błędem obarczony jest wynik. Jest to intuicyjnie zrozumiałe, bo
dla dłuższego wahadła łatwiej jest zmierzyć okres.
Wnioski końcowe:
Celem mojego doświadczenia było wyznaczenie wartości
przyspieszenia ziemskiego, przy pomocy modelu
wahadła matematycznego.
Wartości otrzymane przeze mnie są zbliżone do
tablicowych w granicach błędu.
Cel osiągnąłem i z tego powodu odczuwam satysfakcję.
Zaskoczyło mnie, że tak trudno jest oszacować
dokładność dokonanych obliczeń. (Niewątpliwie
dostrzegłem potrzebę uczenia się matematyki.)
W przeprowadzonym rachunku błędów zdziwiło mnie, że
największy udział w niedokładności wyniku ma pomiar
czasu. Zdaję sobie sprawę, że założony czas mojej reakcji
na bodziec, mógłbym spokojnie podwoić…
Nauka to potęga!
Podziwiam współczesnych fizyków doświadczalnych, którzy
potrafią dokonywać niezwykle precyzyjnych pomiarów
Krótko mówiąc nasuwa mi się jeden wniosek:
Chylę głowę przed naukowcami!